Profilkurs Physik K1

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1 Profilkurs Physik K1 Teil I III: E- und B-Feld, Induktion Glosauer JKG Reutlingen SJ 2016/17

2 Inhalt I Das elektrische Feld 1 0 Wiederholung: Elektrostatik (ruhende Ladungen) Das Feldkonzept Das Coulomb-Gesetz Die elektrische Feldstärke Die elektrische Spannung Das elektrische Potenzial Teilchen im E-Feld Kondensatoren Analogie: Gravitationsfeld und E-Feld II Das magnetische Feld 89 1 Grundtatsachen des Magnetismus Die magnetische Flussdichte Die Lorentzkraft III Elektromagnetische Induktion Historisches Die beiden Grundversuche zur Induktion Induktion erster Art Induktion zweiter Art Die Lenz sche Regel Selbstinduktion Die Energie des Magnetfeldes einer Spule

3 Teil I Das elektrische Feld

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5 0 Wiederholung: Elektrostatik (ruhende Ladungen) Elektrische Ladung ist ebenso wie Masse eine fundamentale Eigenschaft der Materie. Niemand weiß, was Ladung oder Masse letztendlich ist. Für uns ist Ladung die Ursache dafür, dass ein Körper die elektrische Kraft, eine Grundkraft der Natur, spürt. Wir sagen, ein Körper trägt Ladung (bzw. ist geladen), wenn er diese Kraft erfahren kann, z.b. in der Nähe eines anderen geladenen Körpers, aber auch in materielosen elektromagnetischen Feldern, und beschreiben nun, wie geladene Materie sich verhält. Zunächst sammeln wir einige wichtige Fakten und Begriffe zum Thema Ladung. Es gibt zwei Arten von Ladung (hier unterscheidet Ladung sich von Masse), positiv und negativ genannt. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. In gewöhnlicher Materie sind die Elektronen (e ) die Träger der negativen Ladung und die Protonen (p + ) des Atomkerns die Träger der postiven Ladung. Heutzutage kennt man viele weitere Teilchen, die Ladung tragen (z.b. diverse Mesonen, die allerdings alle instabil sind). Ein Körper ist neutral, wenn er gleich viele Elektronen und Protonen enthält; negativ geladen, wenn Elektronenüberschuss herrscht; und postiv geladen bei Elektronenmangel. Die Einheit der Ladung (Coulomb) wird heute mit Hilfe des Amperes definiert (s. später). Nachweisgeräte für Ladung: Das Elektroskop, bei dem sich durch Berührung mit einem geladenen Körper Halterung und Zeiger gleichnamig aufladen, und somit durch die elektrostatische Abstoßung ein Zeigerausschlag entsteht. Die Größe dieses Ausschlages gibt sogar Auskunft über die Ladungsmenge, die auf das Elektroskop gebracht wurde. Nachteil: Die Art der Ladung (Plus oder Minus) ist nicht erkennbar. Die Glimmlampe, mit der die Ladungsart erkennbar ist: Leuchtet die dem Körper zugewandte Seite auf, so war er negativ geladen. Im Bild gehen Elektronen vom Körper auf den linken Draht der Glimmlampe über, und beim Austritt aus diesem regen sie durch Stöße die Atome des Glimmlampen-Füllgases (meist Neon) zum Leuchten an. Auf ihrem weiteren Weg zum rechten Draht, über den sie dann zur Erde abfließen, nehmen sie nicht mehr genug Beschleunigungsenergie auf, um noch weitere Neon-Atome zum Leuchten zu bringen. Deshalb leuchtet immer nur eine Seite der Glimmlampe auf! Erkläre selbst, was bei einem positiv geladenen Körper passiert. Nachteil der Glimmlampe: Die Ladungsmenge ist so nicht quantitativ messbar, und nach dem Abfließen über die Glimmlampe ist die Ladung futsch. Ladung ist quantisiert ( körnig ): Alle in der Natur beobachtbaren Ladungsmengen Q sind ganzzahlige Vielfache der sogenannten Elementarladung e: Q = n e ; n Z wobei e 1, C (Millikan 1909) Die Ladung des Elektrons beträgt e, die des Protons +e. Modernste Messungen haben ergeben, dass die Ladungsbeträge dieser beiden Teilchen bis auf 20 (!) Stellen nach dem Komma übereinstimmen; theoretische Argumente sprechen dafür, dass sie sogar exakt gleich sind. Dies ist sehr bemerkenswert, da es sich um grundverschiedene Teilchen handelt. Die Ladung der Quarks beträgt zwar ± 1 3 e bzw. ± 2 3e, allerdings lassen sie sich (bisher) nie isoliert beobachten, sondern nur in gebundenen Zuständen, welche allesamt ganzzahlige Ladungen aufweisen.

6 4 0 Wiederholung: Elektrostatik (ruhende Ladungen) Ein fundamentales Naturgesetz ist die Erhaltung der Ladung: Die Gesamtladung des Universums bleibt stets erhalten. Selbst bei Paarbildungsprozessen wo aus dem Nichts (Energie eines Photons) ein Elektron und sein Antiteilchen, das Positron e + entstehen, bleibt die Gesamtladung konstant: +e e = 0. Unter Influenz versteht man die Ladungstrennung in einem Leiter durch Gegenwart eines geladenen Körpers ohne Berührung. Dass sich dabei, zumindest in Metallen, nur die negativen Ladungen bewegen und die positiven Ladungen ortsfest sind sie sitzen in den Atomkernen an festen Gitterplätzen, zeigte erstmals Edison 1883 mit dem glühelektrischen Effekt (siehe Unterricht). Im Bild haben sich also die Elektronen nach rechts bewegt, und dabei positive Metallionen auf der linken Seite zurückgelassen. Polarisation: In einem Nichtleiter sind zwar keine frei beweglichen Elektronen vorhanden, jedoch verschieben sich in Anwesenheit eines geladenen Körpers die Elektronenhüllen der Atome bzw. Moleküle des Nichtleiters und es entstehen Dipole, die an der Außenfläche des Körpers Ladung hervorrufen. Diesen Vorgang nennt man präziser Verschiebungspolarisation. Dies ist zu unterscheiden von der Orientierungspolarisation; hier enthält der Nichtleiter bereits ungeordnete Dipole (wie z.b. Wasser), die sich in einem äußeren E-Feld ausrichten. V Wasserstrahl wird von einem geladenen Stab abgelenkt. Sitz der Ladungen: Bringt man Ladungen auf einen massiven Leiter, so verteilen sich diese stets auf seiner Oberfläche und nicht im Inneren. Anschaulicher Grund: So sind die Ladungen im Mittel weiter voneinander entfernt (wodurch die gegenseitige Abstoßung minimiert wird), als wenn sie sich gleichmäßig im gesamten Leiter verteilen würden. Abstrakterer Grund: Das Leiterinnere ist im elektrostatischen Gleichgewicht stets feldfrei, also können dort keine Überschussladungen sitzen, da in ihnen Feldlinien beginnen oder enden würden (siehe später). V Faraday-Becher (siehe Unterricht).

7 5 ÜA zur Elektrostatik: Die Bilderfolge zeigt, wie ein Elektroskop in mehreren Schritten aufgeladen wird. Erkläre genau, was in jedem Bild passiert. Ist das Elektroskop schließlich positiv oder negativ aufgeladen?

8 6 1 Das Feldkonzept 1 Das Feldkonzept 1.1 Das elektrische Feld und Feldlinien V Wattebausch hüpft zwischen den Kugeln der Influenzmaschine hin und her. Ein elektrisch geladener Körper verändert den ihn umgebenden Raum, denn andere Ladungen können in seiner Umgebung eine elektrische Kraft erfahren. Man sagt, der Raum um ihn ist von einem elektrischen Feld erfüllt. Die Gestalt des Feldes wird mit Hilfe von Feldlinien dargestellt: (Gedachte) Linien, deren Tangenten die Richtung der elektrischen Kraft im jeweiligen Punkt des Feldes angeben. Die Pfeilrichtung der Feldlinien gibt die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung an, d.h. die Feldlinienrichtung ist von Plus nach Minus. Negative Ladungen erfahren somit eine Kraft, die entgegengesetzt zur Feldlinienrichtung orientiert ist. Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Feldes: Je mehr Feldlinien eine Einheitsfläche durchsetzen, desto stärker ist dort das Feld. Feldlinien elektrostatischer Felder enden nie frei im Raum, sondern stets in Ladungen, den Erzeugern des elektrostatischen Feldes. Aus positiven Ladungen treten sie aus (Quellen des Feldes) und in negativen Ladungen enden sie (Senken des Feldes). Insbesondere gibt es in der Elektrostatik keine geschlossenen Feldlinien. 1.2 Wichtige Feldformen V Elektroden werden in mit Grießkörnern durchsetztes Rizinusöl gesteckt und mit der Influenzmaschine aufgeladen. Die Grießkörner werden dabei durch Polarisation zu Dipolen und ordnen sich entlang einiger Feldlinien an, wodurch sich die Feldform gut sichtbar machen lässt. Im Folgenden sind die Feldlinienbilder einiger Ladungsanordnungen dargestellt. a) Kugelkondensator / Punktladung Man erkennt sehr schön einen radialsymmetrischen Feldverlauf. Beachte, dass alles außer dem Zwischenraum beider Ringe bzw. Kugelschalen feldfrei ist. Daneben ist der Spezialfall des radialen Feldes einer Punktladung dargestellt. Die negativen Ladungen, in denen die Feldlinien enden, befinden sich hier in größerer Entfernung (sie entstehen z.b. durch Influenz im umgebenden Raum). b) Zwei betragsmäßig gleiche Punktladungen (bzw. kugelsymmetr. Ladungsverteilungen)

9 1.3 Allgemeine Gesetze für elektrische Felder 7 c) Plattenkondensator (kongruente, entgegengesetzt geladene Platten, die parallel angeordnet sind) Bei nicht zu großem Plattenabstand herrscht im Inneren (I) des Plattenkondensators ein homogenes Feld: Parallele Feldlinien in konstantem Abstand. In der Nähe der Plattenränder (II) haben wir ein inhomogenes Randfeld und der Bereich III hinter den Platten ist (so gut wie) feldfrei. 1.3 Allgemeine Gesetze für elektrische Felder (1) In elektrostatischen (d.h. zeitlich unveränderlichen) Feldern beginnen oder enden die Feldlinien immer senkrecht auf einer Leiteroberfläche. (2) Superpositionsprinzip (ungestörte Überlagerung): Befindet sich eine Probeladung im Feld zweier Ladungen, so addieren sich die Kräfte auf sie (und damit auch die Felder) vektoriell, also nach der Parallelogrammregel F res = F 1 + F 2. Dies gilt ebenfalls, wenn sich die Felder beliebig vieler Ladungen überlagern. (3) Faraday-Käfig: Metallisch umschlossene Räume, die keine (Überschuss-) Ladungen enthalten, sind in der Elektrostatik stets feldfrei. zu (1): Angenommen Feldlinie 1 endet nicht senkrecht auf der Metalloberfläche. Dann lässt sich die Kraft F el, die tangential zur Feldlinie auf ein Elektron in der Metalloberfläche wirkt in zwei Komponenten zerlegen: F el = F n + F t, wobei F n normal (d.h. senkrecht) und F t tangential zur Leiteroberfläche steht. Da das Elektron frei beweglich ist, wird es durch F t entlang der Leiteroberfläche verschoben. Somit liegt kein elektrostatisches Gleichgewicht vor, denn es bewegen sich Ladungen, wodurch sich das Gesamtfeld verändert. Dies geschieht so lange, bis Situation 2 erreicht ist und die Feldlinien senkrecht auf der Leiteroberfläche enden. Hier verschwindet die Tangentialkomponente, d.h. es ist F el = F n, und das Elektron ruht. (Außer das Feld ist zu stark: Dann reißt F n das Elektron aus dem Metall heraus.) zu (2): Dieses Erfahrungsgesetz erweist sich stets als gültig, auch bei der Überlagerung zeitlich veränderlicher E-Felder und nicht nur im elektrostatischen Fall. Mit der Hilfe des Superpositionsprinzips lässt sich der Feldverlauf in 1.2 b) genauer analysieren. Betrachte z.b. die Verbindungslinie der beiden Ladungen Q + und Q. Im Bereich zwischen Q + und Q zeigen die elektrischen Kräfte beider Ladungen auf eine Probeladung in dieselbe Richtung, d.h. dort verstärken sich beide Felder. Links von Q + bzw. rechts von Q zeigen die Kräfte in verschiedene Richtungen, dort schwächen sich die Felder von Q + und Q also ab. Entsprechend ist die Feldliniendichte, die ja ein Maß für die Stärke des Feldes

10 8 1 Das Feldkonzept ist, zwischen den Ladungen deutlich größer als in den Bereichen links und rechts von ihnen. Unter Zuhilfenahme des Coulombgesetzes (siehe später) lässt sich der Feldverlauf aus den Einzelfeldern der Punktladungen sogar exakt konstruieren. ÜA: Erkläre mit Hilfe des Superpositionsprinzips, warum die Feldlinien entlang der Verbindungsachse von Q + und Q nicht gekrümmt sind 1. Warum kann keine Feldlinie durch die Mitte der beiden positiven Ladungen im zweiten Bild von 1.2 b) verlaufen? zu (3): Dies lässt sich mit Hilfe von Influenz erklären. Im Bild links wird eine ungeladene metallische Hohlkugel von einem (homogenen) elektrischen Feld durchsetzt. Die Tangentialkomponente der elektrischen Kraft treibt die frei beweglichen Elektronen von der rechten Seite der Kugel zur linken. Rechtes Bild: Innerhalb kürzester Zeit hat sich ein elektrostatisches Gleichgewicht eingestellt, wobei das Feld der Influenzladungen das ursprüngliche Feld verändert hat: Im Außenraum der Kugel werden die Feldlinien so verbogen, dass sie nun senkrecht auf der Kugeloberfläche enden; siehe (1). Innerhalb der Kugel hebt sich das äußere Feld mit dem Influenzfeld auf, so dass der Innenraum feldfrei ist 2. Eine schöne Animation hierzu findet man auf wikipedia (unter Faradayscher Käfig). Man beachte übrigens, dass es sich bei den klassischen Anwendungen des Faradayschen Käfigs wie Blitzschutz im Auto / Flugzeug oder Blitzableiter an Häusern um keine elektrostatischen Vorgänge mehr handelt, da hier Ströme fließen. Ebenso hat die Abschirmung elektromagnetischer Wechselfelder (z.b. Handy- oder Mikrowellenstrahlung) durch Metall-Ummantelungen andere Ursachen! 1 Die Feldlinie links von Q + geht also nicht zu Q, sondern endet an irgendeiner entfernten (Influenz) Ladung. 2 Warum die Felder sich im Inneren komplett aufheben müssen, ist nicht trivial! Die Feldlinien könnten auch senkrecht auf der Innenfläche der Kugel enden, ohne das elektrostatische Gleichgewicht zu stören. Eine einfache anschauliche Erklärung für E = 0 im Inneren ist mir nicht bekannt (es folgt letztendlich aus den Maxwell-Gleichungen).

11 2 Das Coulomb-Gesetz 9

12 10 2 Das Coulomb-Gesetz

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14 PH K1 / Glos / Blatt 1 Coulomb-Gesetz / Feldstärke Rechne mit k = 1 4πε 0 = Nm2 C 2 und g = 9,81 N kg. Influenzeffekte werden vernachlässigt. (1) Berechne die Kraft, mit welcher sich zwei Punktladungen der Größe Q = 1 C im Abstand von r = 1 m abstoßen. Welche Seitenlänge dürfte ein Granit-Würfel haben, damit er durch diese Abstoßungskraft im Schwerefeld der Erde schweben würde? (ρ = 2,8 kg dm 3 ) (2) Der Abstand zwischen Proton und Elektron im Wasserstoffatom sei d = m. Das Elektron trägt die negative, das Proton die positive Elementarladung e = 1, C. a) Wie groß ist die Coulomb-Kraft, mit der sich die beiden Teilchen anziehen? b) Wie groß ist die Gravitationskraft zwischen den beiden? (m p = 1 u = 1, kg, m e = 9, kg, Gravitationskonstante: γ = 6, Nm2.) In welchem Verhältnis kg 2 stehen elektrostatische Anziehungskraft und Gravitationskraft? (3) Zwei gleich stark geladene Kugeln befinden sich im Abstand r = 20 cm voneinander und stoßen sich mit einer Kraft von F = 0,015 N ab. Welche Ladung tragen sie? (4) Vier Ladungen mit dem gleichen Betrag Q = 3 nc (aber unterschiedlichem Vorzeichen) sind an den Ecken eines Quadrates der Seitenlänge a = 5 cm angeordnet. a) Berechne Betrag und Richtung der Kraft, die auf die Ladung links unten wirkt. Wie groß ist dort also die von den drei anderen Ladungen erzeugte elektrische Feldstärke? b) Bestimme Betrag und Richtung des elektrischen Feldes in der Mitte der unteren Quadratseite. (5) Die positiven Punktladungen Q 1 und Q 2 = 4Q 1 haben den Abstand r = 0,5 m voneinander. In welchem Punkt ihrer Verbindungslinie ist die resultierende Feldstärke Null? (6) Zwei kleine metallische Kugeln mit gleicher Masse m und gleicher Ladung Q hängen an zwei isolierenden Fäden der Länge l und stoßen sich ab. Im Gleichgewichtszustand nehmen die Kugeln einen Abstand d voneinander ein. a) Leite eine Formel für die Ladung Q in Abhängigkeit von d, l und m her. b) Bestimme die Ladung Q der Kugeln, wenn m = 1 g, l = 1 m und d = 5 cm ist. c) Wie ändert sich die Situation, wenn die rechte Kugel eine doppelt so große Ladung wie die linke trägt? (7) Ein graphitbeschichtetes Kügelchen k der Masse m = 0,25 g hängt an einem langen Nylonfaden. Es trägt die positive Ladung q = 2 nc. Nähert man die negativ geladene Konduktorkugel K, so wird k ausgelenkt. Beträgt der Abstand der Kugelmittelpunkte d = 10 cm, so hat sich k auf eine Gleichgewichtslage mit α = 3 eingependelt, wobei die Verbindungslinie der Mittelpunkte horizontal verläuft. Berechne daraus die Ladung Q von K, sowie die Feldstärke des von K am Ort des Kügelchens erzeugten Feldes.

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16 14 2 Das Coulomb-Gesetz

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18 16 2 Das Coulomb-Gesetz

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20 18 3 Die elektrische Feldstärke 3 Die elektrische Feldstärke

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26 24 3 Die elektrische Feldstärke Zur Grundgleichung des elektrischen Feldes Wir wollen die Grundgleichung des elektrischen Feldes, σ = ε 0 E (im Vakuum bzw. annähernd auch in Luft), für das homogene Feld im Inneren eines Plattenkondensators plausibel machen 1. Vorausgesetzt wird nur die Gültigkeit des Coulomb-Gesetzes. a) Das Feld einer Ladungsverteilung in großer Entfernung Als Vorbetrachtung begründen wir die allgemeine Tatsache, dass das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung in großer Entfernung wie das radiale Feld einer Punktladung aussieht. Dazu denken wir uns einen Ladungsbatzen Q in seine Einzelladungen zerlegt; im Beispiel q 1, q 2 und q 3. Um die Feldstärke in einem weit entfernten Punkt P zu bestimmen, überlagern wir nach dem Superpositionsprinzip die Einzelfelder der q i : Eges = E 1 + E 2 + E 3. Da die Feldstärkevektoren in P nahezu in dieselbe Richtung radial vom Mittelpunkt der Ladungsverteilung weg zeigen (siehe Bild), ist der Betrag von E ges in guter Näherung die Summe der Feldstärke-Beträge E i. Somit gilt für die Gesamtfeldstärke E ges E 1 + E 2 + E 3 = 1 ( q1 4πε 0 r1 2 + q 2 r2 2 + q ) 3 r3 2 1 q 1 + q 2 + q 3 4πε 0 r 2 = 1 Q 4πε 0 r 2, wobei im vorletzten Schritt die Näherung r i r verwendet wurde. Diese ist gerechtfertigt, da sich aufgrund der großen Entfernung von P die Einzelabstände r i kaum vom Abstand r zwischen P und dem Mittelpunkt der Ladungsverteilung unterscheiden. In großer Entfernung ist damit das E-Feld der Ladungsverteilung nahezu identisch mit dem einer Punktladung der Größe Q = q 1 + q 2 + q 3, die im Mittelpunkt sitzt. b) Das Feld einer geladenen Platte Zunächst soll eine Formel für die Feldstärke einer (gleichmäßig) geladenen Platte hergeleitet werden. Dazu betrachten wir eine Plattenseite aus geringer Entfernung: Das E-Feld muss aus Symmetriegründen in jedem Punkt abgesehen von den Plattenrändern den gleichen Betrag und die gleiche Richtung aufweisen. Denn es ist ja kein Punkt der Platte bevorzugt und die Ladungen sind gleichmäßig auf der Platte verteilt; wie gesagt sehen wir im Moment vom Plattenrand ab. In der Darstellung des E-Feldes durch Feldlinien ist die Feldliniendichte ρ ein Maß für die Feldstärke E. Es ist ρ = f E mit einem Proportionalitätsfaktor f, der festlegt, welcher Feldlinienanzahl pro cm 2 eine Feldstärke von 1 N C entsprechen soll. Die Gesamtzahl N der Feldlinien, die von der Platte (ohne Rand) ausgehen, erhält man durch: Feldliniendichte mal doppelte Plattenfläche 2A, weil ja Feldlinien von beiden Plattenseiten ausgehen, d.h. N = ρ 2A = f E 2A. 1 Herleiten wäre zu hoch gegriffen, denn zu einer mathematisch strengen Herleitung bräuchten wir den Gaußschen Integralsatz, der leider weit über unserem Niveau liegt.

27 25 Nun betrachten wir die Platte aus großer Ferne. Nach Punkt 1 wird ihr Feld dann nahezu wie das einer Punktladung Q ( = Gesamtladung der Platte) aussehen. Bei diesem Übergang sind die Randinhomogenitäten des Plattenfeldes entscheidend; ansonsten könnte man wohl kaum einsehen, wieso das nahezu homogene Feld in Plattennähe sich jetzt gleichmäßig in alle Raumrichtungen erstrecken sollte. Die Feldliniendichte entspricht nun näherungsweise der eines radialen Coulomb-Feldes: ρ = f E 1 Q = f 4πε 0 r 2 Die Anzahl N der Feldlinien, welche durch eine große einhüllende Kugel vom Radius r und der Oberfläche A = 4πr 2 verlaufen, ist gegeben durch N = ρ A = f 1 Q 4πε 0 r 2 4πr2 = f Q. ε 0 Da dies natürlich dieselben Feldlinien sind, die ursprünglich von der Platte ausgingen, ergibt sich mit N = N (eigentlich nur, weil wir bei N die Randfeldlinien vernachlässigt haben): f E 2A = f Q ε 0, also E = 1 2ε 0 Q A. Messungen bestätigen, dass wir trotz aller Näherungen ein vernünftiges Resultat erhalten haben. Das Feld in der Nähe einer gleichmäßig geladenen Platte ist nahezu homogen (vom Randfeld abgesehen). Die Feldstärke beträgt E = 1 Q 2ε 0 A. c) Das Feld eines Plattenkondensators Mit Hilfe des Superpositionsprinzips lässt sich nun leicht das Feld eines Plattenkondensators bestimmen, indem wir die Felder der positiven Platte (Ladung Q) und der negativen Platte (Ladung Q) überlagern; Eges = E + + E. Ist der Plattenabstand nicht zu groß, so ist die homogene Näherung zulässig, und hinter den Platten heben sich die beiden Felder gerade auf, da sie gleich stark aber entgegengesetzt gerichtet sind. Im Innenraum sind sie hingegen gleichgerichtet und die Feldstärken addieren sich daher E ges, innen = E + + E = 1 2ε 0 Q A + 1 2ε 0 Q A = 1 ε 0 Q A = 1 ε 0 σ. Für nicht zu großen Plattenabstand und etwas weg von den Plattenrändern gilt also: Das Feld im Inneren eines Plattenkondensators ist nahezu homogen und die Feldstärke erfüllt die Grundgleichung des elektrischen Feldes σ = ε 0 E. In der Nähe der Plattenränder sind stets Streufelder vorhanden (oben gestrichelt angedeutet); ansonsten ist der Außenraum hinter den Platten so gut wie feldfrei. Insbesondere beginnen oder enden auf den Plattenrückseiten (fast) keine Feldlinien; dort können somit (fast) keine Ladungen sitzen. Im Gegensatz zur Einzelplatte sammeln sich die Ladungen beim Plattenkondensator also jeweils nur auf der der anderen Platte zugewandten Seite an.

28 26 4 Die elektrische Spannung 4 Die elektrische Spannung

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30 28 4 Die elektrische Spannung

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32 30 4 Die elektrische Spannung

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34 32 4 Die elektrische Spannung Abiaufgaben (E-Feldstärke, Plattenkondensator, Spannung) Aufgabe 1 Aufgabe 2

35 Aufgabe 3 33

36 34 5 Das elektrische Potenzial 5 Das elektrische Potenzial Lies 5.1, 5.2 und 5.4 aufmerksam durch. Diskutiere anschließend gründlich folgende Fragen in deiner Gruppe und erstelle einen knappen aber verständlichen Aufschrieb (mit Skizzen). Am Ende trägt eine Gruppe möglichst frei die Ergebnisse vor. (Zur Rechtschreibung: Früher Potential, nach neuer Rechtschreibung ebenfalls noch möglich, aber Potenzial wird bevorzugt... ) 1) Was ist das elektrische Potenzial? Was kann man an den Feldlinien über den Potenzialverlauf ablesen? 2) Wie hängen Potenzial und Spannung zusammen? (Mit Begründung.) 3) Wie sieht der Potenzialverlauf im Plattenkondensator aus (für ϕ = 0 auf der negativen Platte)? Was ändert sich, wenn man den Potenzial-Nullpunkt auf die positive Platte legt? 4) Wie sehen die Äquipotenzialflächen des homogenen Kondensatorfeldes aus? 5) Was ist potenzielle elektrische Energie? Wie hängen E pot und Überführungsarbeit zusammen? 6) Diskutiere anhand des PK die möglichen E pot -Änderungen (mit Hinblick auf den EES) eines geladenen Teilchens für die beiden Fälle q > 0 und q < 0. Wie unterscheidet sich eine Bewegung, bei der E pot zunimmt von einer bei der E pot abnimmt?

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38 36 5 Das elektrische Potenzial

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40 38 5 Das elektrische Potenzial

41 6 Teilchen im E-Feld 39

42 40 6 Teilchen im E-Feld

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44 42 6 Teilchen im E-Feld

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46 PH K1 / Glos / Blatt 2 Geladene Teilchen im E-Feld In allen Aufgaben wird die relativistische Massenzunahme vernachlässigt. (1) (Teilchenbeschleuniger) Protonen (m p = 1, kg, q = e = 1, C) werden paral-lel zu den Feldlinien in das (nahezu) homogene E-Feld eines Plattenkondensators (PK) geschossen. Ihre Eintrittsgeschwindigkeit beträgt v 0 = m s. a) Bestimme Polung und Größe der angelegten Spannung, wenn die Protonen den PK mit v = m s verlassen. b) Welche Stärke besitzt das E-Feld im Innern des PK, wenn die Platten 10 cm voneinander entfernt sind? c) Berechne die Flugzeit der Protonen im PK. d) Vergleiche die kinetische Energie der Protonen am Ende mit der am Anfang (Angabe in ev). Was fällt auf? (2) (Gegenfeldmethode) Elektronen (m e = 9, kg) unbekannter Energie treten in die Anordnung aus voriger Aufgabe ein. Hinter der zweiten Platte ist nun ein Leuchtschirm angebracht, so dass man beobachten kann, ob die Elektronen es schaffen, den PK zu durchqueren. Erhöht man die Spannung nach und nach, so stellt man fest, dass ab U = 300 V keines der Elektronen mehr den Leuchtschirm erreicht. a) Wie groß war die Geschwindigkeit und Energie (in ev) der eintretenden Elektronen? b) Berechne Bremsdauer und Bremsweg für ein Elektron im PK (allg. Formeln herleiten!). c) Auf welchen Wert muss man U erhöhen, damit die Elektronen bereits in der Mitte des PKs umkehren? (Argumentiere auch ohne Rechnung!) d) Wie groß waren Spannung und Feldstärke, wenn die Elektronen mit halber Anfangsgeschwindigkeit auf den Leuchtschirm auftreffen? (3) (Braunsche Röhre) Die folgenden Daten einer Kathodenstrahlröhre (braunschen Röhre) sind gegeben: Plattenabstand d = 1 cm, Länge der Platten l = 3 cm, Abstand Platten(ende) zum Schirm s = 20 cm, Ablenkspannung U y = 60 V. Ein Elektron tritt mit einer kinetischen Energie von 285 ev senkrecht zu den Feldlinien in das Ablenk-Feld ein. Berechne a) die Kraft auf das Elektron und seine Beschleunigung in y-richtung. b) seine Flugzeit im PK, seine vertikale Ablenkung beim Verlassen des Plattenpaares, den Ablenkwinkel gegenüber seiner ursprünglichen Bewegungsrichtung, und wo es auf den Schirm trifft. Zudem seine Endgeschwindigkeit (auch mit Hilfe EES!). (4) Zeige, dass ein Elektronenstrahl, der in einer Kathodenstrahlröhre vertikal abgelenkt wird, vom Schirm aus gesehen vom Mittelpunkt des Plattenpaares herzukommen scheint. (5) Ein Mg 2+ -Ion (m = kg) wird wie rechts dargestellt im Punkt P mit v 0 = m s unter einem Winkel von α = 35 in das homogene Feld eines PK geschossen (Länge der Platten: l = 10 cm). a) Wie groß muss die Feldstärke im PK sein, damit das Ion den PK bei Q verlässt? b) Wie groß muss der Plattenabstand mindestens sein, damit das Ion auf seiner Bahn nicht gegen die obere Platte knallt? Wie hängt dies von v 0 ab?

47 45 (6) Teilchen im elektrischen Querfeld (Abi 1992) Ein Kondensator K mit Plattenabstand d = 4 cm und Plattenlänge l = 8 cm befinde sich im Vakuum. Ein α-teilchen, d.h. ein Heliumkern der Masse m = 6, kg und Ladung q = 2e = 3, C, tritt zur Zeit t = 0 s mit der Geschwindigkeit v 0 = 2, m s parallel zu den Platten von K im Punkt P in dessen homogenes elektrisches Feld ein. Eine geeignete Rechteckspannung an den Platten mit U(t) = U = konst., d.h. U(t) hüpft zwischen U und U, zwingt das α-teilchen auf die eingezeichnete Bahnkurve von P über Q nach R. In Q berührt es dabei fast die obere Platte. Welchen Betrag muss die Rechteckspannung haben, und zu welchen Zeitpunkten muss sie umgepolt werden, damit die skizzierte Bahn entsteht? (Zeitverluste beim Umpolen sowie kurze Inhomogenitäten des sich ändernden Feldes werden vernachlässigt.) Zeichne ein Diagramm des zeitlichen Verlaufs dieser Rechteckspannung. Bestimme die maximale kinetische Energie des α-teilchens (wo muss diese erreicht werden?). Preisfrage: Was ist das?

48 46 6 Teilchen im E-Feld Die braunsche Röhre Aufgaben: Benenne die Bauteile der braunschen Röhre (und notiere falls nötig kurz ihre Funktion). Wie müssen Wehnelt-Zylinder und Anode über die Punkte W und A aufgeladen werden (+ oder )? Wie müssen die Ablenkplatten geladen sein, damit der Leuchtfleck oben rechts auf dem Schirm erscheint? Zeichne den Elektronenstrahl mit ein. K. F. Braun ( ) 1 Anwendungen: 1 Braun war zunächst Gymnasiallehrer, später dann Professor für Physik (u.a. in Straßburg und Tübingen). Die nach ihm benannte Kathodenstrahlröhre entwickelte er Zu seinen weiteren Entdeckungen zählen u.a. der Gleichrichtereffekt bei Halbleitern und der Bau des ersten Radioempfängers. Er erhielt 1909 den Nobelpreis für Physik (für seine Beiträge zur drahtlosen Telegraphie).

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50 48 6 Teilchen im E-Feld

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56 54 7 Kondensatoren 7 Kondensatoren

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68 PH K1 / Glos / Blatt 3 Kondensatoren ε 0 = 8, F m (1) Wie groß müsste die Plattenfläche eines luftgefüllten Plattenkondensators mit Plattenabstand d = 1 mm sein, damit er eine Kapazität von 470 µf erreicht? Wie schafft man es bei Elkos auf so kleinem Raum solche Kapazitäten zu erreichen? (2) Bei einem Plattenkondensator (d = 4 mm, A = 452 cm 2 ) wird bei einer Spannung von U = 200 V ohne Glasfüllung eine Ladungsmenge von Q V = 20 nc gemessen, während er mit Glasfüllung Q r = 110 nc speichern kann. Bestimme daraus ε r für Glas. (3) Zeige, dass bei einer Reihenschaltung zweier Kondensatoren C 1, C 2 für die Ersatzkapazität C = C 1C 2 C 1 +C 2 gilt und beweise (erneut), dass sie stets kleiner als C 1 bzw. C 2 ist. Verallgemeinere diese Formel auf die Reihenschaltung von drei Kondensatoren. (4) Berechne alle Kapazitäten, die man durch (sinnvolles) Zusammenschalten von drei Kondensatoren mit C = 30 µf erhalten kann. (5) Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen, quadratischen Platten der Seitenlänge a im Abstand d voneinander. Der vertikal stehende Kondensator wird nun bis zur Höhe h mit Öl (ε r = 2,5) gefüllt (bei angeschlossener Spannungsquelle). Gib seine Kapazität als Funktion der Füllhöhe h an und zeichne das C(h)-Diagramm. [ a = 0,2 m, d = 5 cm. ] (6) Zwei Kondensatoren der Kapazitäten C 1 = 200 pf und C 2 = 100 pf sind in Reihe an eine Quelle der Spannung 1,5 kv angeschlossen. a) Welche Teilspannungen lassen sich an C 1 und C 2 jeweils abgreifen? Warum muss man dazu ein sehr hochohmiges Voltmeter verwenden? b) Nun wird versucht, die Spannung an C 1 mit einem statischen Spannungsmesser (Elektroskop) zu messen. Dieses zeigt jedoch nur noch 400 V an. Warum wird die Spannungsmessung im Vergleich zu a) verfälscht und wie groß ist die Kapazität des Elektroskops? (7) Ein Plattenkondensator (A = 500 cm 2, d = 5 mm) wird mit U = 2 kv aufgeladen. a) Bei abgetrennter Quelle wird eine 5 mm dicke Kunststoffplatte (ε r = 4) vollständig zwischen die Platten geschoben. Berechne, wie Feldstärke und Spannung sich durch das Einschieben ändern. Erkläre! Wie groß sind die Polarisationsladungen auf der Platte? b) Erkläre und berechne, was sich bei angeschlossener Quelle ändert. c) Nun werden die Platten in der Situation von a) auf 8 mm Abstand auseinandergezogen. Welche Spannung herrscht nun zwischen den Platten? Was zeigt ein Elektroskop der Eigenkapazität 15 pf an, wenn mit ihm diese Spannung nachgemessen wird? (8) Ein luftgefüllter Plattenkondensator besteht aus kreisförmigen Platten der Fläche A = 500 cm 2 in einem Abstand von d = 10 cm. Nach dem Laden wurde er von der Quelle getrennt. In diesen Kondensator werden kreisförmige, flächengleiche Scheiben der Dicke a = 2 cm eingeführt. a) Die eingeführte Scheibe sei aus Eisen. Begründe die auftretende Kapazitätsänderung und zeige, dass die Kapazität der Anordnung unabhängig vom Abstand x der Scheibe von der linken Platte ist. Berechne die neue Kapazität. b) Nun wird anstelle von Eisen eine Glasscheibe (ε r = 5) verwendet. Zeige, dass auch hier die Kapazität unabhängig von x ist und berechne die neue Kapazität.

69 (9) Ein mit Glas (ε r = 5) gefüllter Plattenkondensator, der quadratische Platten der Seitenlänge a = 30 cm im Abstand von 5 mm besitzt, wird mit U = 15 kv aufgeladen. Berechne die gespeicherte Energiemenge sowie die Energiedichte am Ende des Ladevorgangs. (10) Wie groß müsste die Plattenfläche eines luftgefüllten Plattenkondensators sein, der bei einem Plattenabstand von d = 1 mm und einer Spannung von U = 230 V die gleiche Energie speichert wie eine Autobatterie von 12 V und 88 Ah? (11) (Elektronenblitzröhre) In einer mit Xenon gefüllten Blitzlampe einer Kamera wird ein mit Hochspannung aufgeladener Kondensator rasch entladen, wodurch im Inneren der Lampe eine sehr kurze, helle Gasentladung entsteht; das Blitzlicht. Die Ladespannung soll 360 V betragen, und am Ende des Entladevorgangs verbleibe auf dem Kondensator eine Restspannung von 70 V (unterhalb der sog. Löschspannung leitet das Gas der Röhre nicht mehr und der Kondensator kann sich nicht weiter entladen). Welche Kapazität muss der Kondensator besitzen, wenn die Blitzenergie 60 J betragen soll? (12) Zwei Kondensatoren mit C 1 = 2 µf und C 2 = 4 µf werden in Reihe an U 0 = 240 V gelegt. Nach der Aufladung wird die Spannungsquelle abgetrennt. a) Berechne die Spannungen U 1 und U 2 an den Kondensatoren. Wie groß ist die Gesamtenergie W 0 der geladenen Kondensatoren? b) Die beiden Kondensatoren werden voneinander getrennt und dann parallel geschaltet, wobei gleichpolige Klemmen miteinander verbunden werden. Berechne die neue Spannung U 12, die sich an den Kondensatoren einstellt. Wie groß ist nun die Gesamtenergie W 12? Vergleiche W 12 mit W 0 und interpretiere das Ergebnis. ( ) c) Zeige, dass für den Energieverlust allgemein W = 1 4 C 0 C 12 W 0 gilt, wobei C 0 die Ersatzkapazität aus a) und C 12 die Ersatzkapazität aus b) ist. Was geschieht bei C 1 = C 2? 67 Zusatzaufgaben Z1 Ein Plattenkondensator (A = 1 m 2, d = 1 cm), der vollständig mit einer Glasscheibe (ε r = 5) gefüllt ist, wird auf die Spannung U = 10 kv aufgeladen und dann von der Quelle getrennt. Welche Arbeit muss man aufwenden, um die Glasplatte aus dem Kondensator herauszuziehen? Wohin verschwindet die zugeführte Energie? Z2 Ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten der Fläche A und dem Plattenabstand d wird auf die Spannung U aufgeladen und dann von der Quelle getrennt. Eine rechteckige Isolator-Platte mit ε r = 2 der Dicke d und der Fläche 1 2A wird in den PK geschoben, so dass sie diesen zur Hälfte ausfüllt. Es sei σ 1 die Flächenladungsdichte auf der Grenzfläche zwischen Leiter (PK-Platte) und Dielektrikum und σ 2 die Flächenladungsdichte auf der Grenzfläche zwischen Leiter und Luft. a) Warum muss das (resultierende) E-Feld im Dielektrikum und im lufterfüllten Plattenzwischenraum dieselbe Stärke besitzen? Zeige, dass σ 1 = 2σ 2 ist. b) Zeige, dass die neue Kapazität 3 2 ε A 0 d und die neue Spannung 2 3 U ist. Z3 (hard n heavy!) Drei Kondensatoren der Kapazität C 1 = 2 µf, C 2 = 4 µf und C 3 = 6 µf werden parallelgeschaltet und auf 200 V aufgeladen. Dann werden sie von der Quelle getrennt und wie rechts dargestellt verbunden. a) Welche Spannung liegt über den Kondensatoren, wenn S 1 und S 2 geschlossen und S 3 offen ist? b) Was ändert sich, nachdem S 3 geschlossen wurde?

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79 PH K1 / Glos / Blatt 3b 7.6 Auf- und Entladen eines Kondensators Dieses Blatt sollte erst nach dem Kapitel über Selbstinduktion (Seite 137 ff.) bearbeitet werden. Nachdem wir nämlich dort die DGL für den Ein- und Ausschaltvorgang bei einer Spule verstanden haben, ist es ein Leichtes, diese Überlegungen auf den Auf- und Entladevorgang eines Kondensators zu übertragen. Aufgabe 1 Aufladen eines Kondensators Wir betrachten einen RC-Kreis, d.h. einen Kondensator C in Reihe mit einem Widerstand R, der über das Schließen eines Schalters S mit einer Spannungsquelle verbunden wird. Es beginnt ein Ladestrom I zu fließen, welcher den Kondensator so lange auflädt, bis die Spannung am Kondensator so groß wie die von außen angelegte Spannung U 0 ist. Im Folgenden soll eine DGL für den Ladevorgang, genauer: für die Ladungsmenge Q(t) auf der positiven Platte des Kondensators aufgestellt werden. a) Laufe im rechten Schaltplan einmal im Kreis und stelle dabei die Spannungsbilanz auf. Beachtest du nun noch, dass I(t) = Q(t) ist, so erhältst du daraus die DGL für die Ladungsmenge Q(t) während des Aufladens. Vergleiche diese DGL mit der beim Einschalten des Spulenstroms und rechne nach, dass ) Q(t) = Q max (1 e t τ mit Q max = C U 0 und τ = RC eine Lösung dieser DGL ist. Wie lauten die Funktionen U C (t) und I(t), welche die Kondensatorspannung und die Ladestromstärke beschreiben? b) Zahlenbeispiel: RC-Kreis mit R = 10 kω und C = 470 µf wird an U 0 = 1 kv aufgeladen. Berechne die Zeitkonstante τ (Einheitenrechnung!) und zeichne die Schaubilder der Ladefunktionen U C (t) und I(t). c) Wieso heißt 5τ wohl Ladezeit des Kondensators? d) Leite eine Gleichung für die Halbzeit des Aufladevorgangs, definiert durch Q(T H ) = 1 2 Q max, her und berechne sie für die Zahlenwerte von b). Trage sie in den Diagrammen mit ein. e) Wann hat die Spannung am Kondensator in b) einen Wert von 800 V erreicht? Aufgabe 2 Entladen eines Kondensators Der Kondensator C wird über den Widerstand R auf die Spannung U 0 aufgeladen. Anschließend wird der Schalter S umgelegt, wodurch die äußere Spannungsquelle abgetrennt wird und der Kondensator sich über R entlädt, bis U C = 0 V ist. Der Entladestrom fließt dabei entgegengesetzt zum Ladestrom. a) Leite analog zu Aufgabe 1 die DGL. Q(t) = 1 RC Q(t) für die Ladungsmenge Q(t) auf der positiven Kondensatorplatte während des Entladevorgangs her und bestimme ihre Lösung (mit Nachweis!).

80 78 7 Kondensatoren Wie lauten die Funktionen U C (t) und I(t), welche die Kondensatorspannung und die Entladestromstärke beschreiben (auf Vorzeichen achten)? b) Zeige, dass der Kondensator nach der Entladezeit 5τ so gut wie entladen ist, und leite zudem eine Formel für die Halbwertszeit des Entladevorgangs her. c) Ein Kondensator unbekannter Kapazität C wird auf 100 V aufgeladen und anschließend über einen Widerstand der Größe R = 0,3 MΩ entladen. Nach 10 s Entladezeit ist die Spannung am Kondensator auf 80 V gesunken. Berechne daraus seine Kapazität. Schokoladenaufgabe Die nebenstehende Schaltung wird an 36 V gelegt. a) Welche Platte lädt sich positiv auf, und welche Spannung liegt am Ende des Ladevorgangs über dem Kondensator? (Tipp: Arbeite mit Potentialen!) b) Nun wird die Spannungsquelle entfernt. Wie lange dauert es, bis die Kondensatorspannung auf 1 V gesunken ist?

81 79 Lösungen zu: Auf- und Entladen eines Kondensators Aufgabe 1 a) Wie gewohnt ist beim Bestimmen der Spannungen die Pfeilrichtung entscheidend: Zeigt der Pfeil wie z.b. an der Spannungsquelle von tiefem zu hohem Potential, so ist die zugehörige Spannung negativ; beim Kondensator ist es gerade umgekehrt. Am Widerstand messen wir in technische Stromrichtung, und weil diese stets von hohem zu niedrigerem Potential weist, ist der Spannungsabfall am Widerstand R I > 0. Die Spannungsbilanz lautet woraus I(t) = U 0 R Q(t) RC U 0 + Q(t) C + R I(t) = 0, folgt. Unter Beachtung von I(t) = Q(t) erhalten wir die DGL. Q(t) = U 0 R 1 RC Q(t) für die Ladungsmenge Q(t) > 0 auf der linken Kondensatorplatte während des Aufladens. Zum Vergleich: Beim Einschalten eines Spulenstroms gilt die baugleiche DGL. I(t) = U 0 L R L I(t). ( ) Um nachzuweisen, dass die angegebene Funktion Q(t) = Q max 1 e t τ mit Q max = C U 0 und τ = RC die DGL löst, setzen wir sie ganz einfach dort ein. Linke Seite: Ableiten mit der Kettenregel liefert. Q(t) = Q max e ( ) t τ 1 1 τ = CU0 RC e t U 0 τ = R e t τ. Einsetzen in die rechte Seite führt auf dasselbe Ergebnis, denn: U 0 R 1 RC Q(t) = U 0 R 1 ( ) RC Q max 1 e t τ = U 0 R 1 = U 0 R U 0 R ( 1 e t τ Für die Kondensatorspannung beim Aufladen gilt U C (t) = Q(t) C = Q max C ) RC C U 0 ( ) 1 e t τ = U 0 R U 0 R + U 0 R e t τ = U 0 R e t τ. ( ) ( ) 1 e t τ = U 0 1 e t τ Für die Ladestromstärke ergibt sich mit der oben berechneten Ableitung I(t) =. Q(t) = U 0 R e t τ = I0 e t τ. Dabei ist I 0 = U 0 /R die Stromstärke, die zu Beginn des Ladevorgangs fließt, wo der ungeladene Kondensator wie ein Kurzschluss bzw. ein Kabel mit R C = 0 Ω wirkt.. b) Zahlenbeispiel: R = 10 kω, C = 470 µf, U 0 = 1 kv. Die Zeitkonstante dieses RC-Kreises beträgt τ = RC = 10 kω 470 µf = 10 4 V As A V = 4,7 s.

82 80 7 Kondensatoren U C (t) = U 0 (1 e t τ ) ) = 1 kv (1 e t 4,7 s und I(t) = I 0 e t τ = 100 ma e t 4,7 s U C [kv] I [ma] t [s] t [s] ( ) c) Es ist Q(5τ) = Q max 1 e 5τ τ 99,3 % Q max, d.h. C ist praktisch voll geladen. d) Der Ansatz Q(T H ) = Q max (1 e T H τ )! = 1 2 Q max führt durch Auflösen nach T H auf 1 e T H τ = 1 2 T e H τ = 1 ln 2 T H τ = ln 1 2 = ln 2 T H = τ ln 2 3,3 s. ( ) e) Wir suchen die Zeit t, nach der U C (t) = 1000 V 1 e t τ = 800 V ist. Auflösen nach t liefert: 1 e t τ = 0,8 e t τ = 0,2 ln t τ = ln 0,2 t = τ ln 0,2 7,6 s. Aufgabe 2 a) Da U C diesmal von der negativen zur positiven Platte gemessen wird, ist U C < 0, der Spannungsabfall am Widerstand ist jedoch weiterhin R I(t) > 0, da wir an R in technischer Stromrichtung messen, sprich von hohem zu tiefem Potential. Die Spannungsbilanz lautet somit Q(t) C + R I(t) = 0, woraus I(t) = Q(t) RC folgt. Achtung: Der Kondensator entlädt sich, d.h. es ist Q(t) < 0, weshalb wir I(t) = Q(t) setzen müssen, um eine positive Entladestromstärke zu erhalten 2. Mit dieser Definition, also Q(t) = I(t), erhält man wie gewünscht. Q(t) = 1 RC Q(t). Diese DGL hat dieselbe Gestalt wie beim Ausschaltvorgang des Spulenstromes, İ(t) = R L I(t). Dementsprechend ist auch hier die Lösung von der Form Nachweis: Die Kettenregel liefert. Q(t) = Q 0 e t τ mit Q 0 = C U 0 und τ = RC. Q(t) = Q 0 e t τ ( 1 τ ) = 1 RC Q 0e t τ = 1 RC Q(t). 2 Alternativ könnte man auch I(t) < 0 erlauben, was dann so zu interpretieren wäre, dass der Entladestrom entgegengesetzt zum Ladestrom fließt. Dann muss der Spannungsabfall an R jedoch als R I(t) geschrieben werden, da er ja positiv sein muss. Insgesamt ergibt sich auch so dieselbe DGL für Q(t).

83 81 Für Spannung am Kondensator und Entladestromstärke folgt somit U C (t) = Q(t) C = Q 0 C e t τ = U 0 e t τ und I(t) =. Q(t) = 1 RC Q(t) = 1 RC Q 0e t τ = 1 RC CU 0e t τ = U 0 R e t τ = I 0 e t τ. Sowohl Strom als auch Spannung nehmen hier also exponentiell ab. b) Es ist Q(5τ) = Q 0 e 5τ τ = Q 0 e 5 0,7 % Q 0, d.h. der Kondensator ist praktisch entladen. Der Ansatz Q(T H ) = 1 2 Q 0 führt völlig analog zu 1 d) auf die Halbwertszeit T H = τ ln 2. c) Wir wissen, dass U C (t) = 100 V e t τ = 80 V für t = 10 s gilt. Dies kann man nach τ auflösen und daraus dann die Kapazität C ermitteln. 100 V e t τ = 80 V e t τ = 0,8 t τ = ln 0,8 τ = t ln 0,8. Mit τ = RC folgt daraus C = τ R = t R ln 0,8 = 10 s µf. Ω ln 0,8

84 82 8 Analogie: Gravitationsfeld und E-Feld 8 Analogie: Gravitationsfeld und E-Feld 8.1 Der Feldbegriff Erinnern wir uns: In der Umgebung eines elektrisch geladenen Körpers K, z.b. einer positiv geladenen Metallkugel, erfährt ein anderer elektrisch geladener Körper k, wie z.b. ein positiv geladener Wattebausch (sogenannter Probekörper ), eine elektrische Kraft. Der Körper K hat aufgrund seiner Ladung also den ihn umgebenden Raum verändert, denn ohne ihn würde k keine Kraft erfahren. Wir sagen, K ist von einem elektrischen Feld umgeben, welches wir durch Feldlinien veranschaulichen. Ebenso haben wir den Begriff des magnetischen Feldes eingeführt und bei den Quarks sogar den Begriff des Farbfeldes der starken Wechselwirkung. Dasselbe wollen wir nun auch für die Gravitation durchführen. In der Umgebung eines Körpers der Masse M, wie z.b. der Erde, erfährt ein anderer Körper der Masse m, wie z.b. ein Stuhl oder der Mond, eine anziehende Gravitationskraft. Die Masse M verändert somit den Raum, der sie umgibt; wir sagen, sie ist von einem Gravitationsfeld (oder Schwerefeld) umgeben. Für den Betrag der Gravitationskraft zwischen M und m gilt nach Newton F Grav = γ Mm r 2, wobei r der Abstand zwischen den Massen ist (beachte hierzu die Bemerkung 2 am Ende der nächsten Seite!) und γ = 6, N m2 die Gravitationkonstante bezeichnet. Um das Gravitationsfeld von M zu beschreiben, ist die Kraft F Grav kg 2 ungeeignet, da sie stets von der Masse m des Probekörpers abhängt. Betrachten wir jedoch den Quotienten Kraft : Probemasse F Grav m = γ M r 2, so hängt dieser nicht mehr von m ab, d.h. die Wechselwirkung zwischen M und einer Probemasse m wird nun ausgeblendet. Egal wie man m wählt 1, der Quotient F Grav m besitzt für jeden festen Abstand r den konstanten Wert γ M, der nur noch von M (und natürlich γ) abhängt. Somit ist r 2 dieser Quotient eine am Ort r für das Gravitationsfeld von M charakteristische Größe, die man als Betrag der Gravitationsfeldstärke G bezeichnet. Auf die Vektor-Notation soll nun noch etwas genauer eingegangen werden. 1 Dabei sollte m im Vergleich zu M vernachlässigbar klein sein. Andernfalls müssen für die Beschreibung des Gravitationsfeldes in der Umgebung von m und M die Felder beider Massen überlagert werden.

85 8.1 Der Feldbegriff 83 Im Bild oben links ist das Gravitationsfeld durch Feldlinien veranschaulicht 2. Diese sind so zu zeichnen, dass sich in jedem Raumpunkt die Richtung der Gravitationskraft als Tangente an die Feldlinie ergibt. Da F Grav stets zum Schwerpunkt von M hin gerichtet ist, ergibt sich der obige Feldlinienverlauf (radiales Feld). Hier erkennt man auch sehr schön, dass die Feldliniendichte um so größer wird, je näher man M kommt, was die Tatsache widerspiegelt, dass das Feld umso stärker ist, je näher man sich bei M befindet: Je kleiner r, desto größer ist 1 und damit auch G = γ M. r 2 r 2 Im rechten Bild wird das Gravitationsfeld von M mit Hilfe von Feldstärke-Vektoren G dargestellt. Dies hat den Vorteil, dass man nicht nur die Richtung des Feldes, sondern auch gleichzeitig seine Stärke erkennen kann. Je länger der G-Pfeil, d.h. je größer sein Betrag G = G, desto größer ist an diesem Ort auch die Kraft auf einen Körper der Masse m, denn es gilt ja laut Definition von G: F Grav m = γ M r 2 =: G, also F Grav = m G. Der Kraftvektor F Grav zeigt dabei stets in dieselbe Richtung wie der Feldvektor G, denn anders als beim elektrischen Feld, gibt es bei der Gravitation keine positiven oder negativen Massen; die Gravitation wirkt immer anziehend. Nun zu den Längenverhältnissen im Feldstärke-Bild. Überall auf dem gestrichelten Kreis mit Radius r besitzt die Feldstärke denselben Wert G = γ M ; z.b. ist G r 2 P1 = G P2, da beide Punkte denselben Abstand r vom Massenmittelpunkt von M besitzen. Aber Vorsicht: Es ist G P1 G P2, denn die Feldstärkevektoren zeigen offenbar in verschiedene Richtungen. Zur vollständigen Beschreibung der Feldstärke G gehört immer ihr Betrag und ihre Richtung, da sie eine Vektorgröße ist. Zu guter Letzt erkennt man an den Pfeillängen auf dem äußeren Kreis, dass das Feld nach außen hin schwächer wird. Aus r < r folgt 1 > 1, und damit gilt G r 2 r 2 P1 = γ M > γ M = G r 2 r 2 Q. Fassen wir diese Ergebnisse zusammen. Stärke und Richtung des Gravitationsfeldes einer Masse M beschreibt man mit Hilfe der Gravitationsfeldstärke G, indem man jedem Punkt P im Außenraum von M einen Feldstärke-Vektor G P zuordnet. Die Gravitationskraft F grav, die M in P auf eine Masse m ausübt, zeigt in dieselbe Richtung wie G P, und ihr Betrag ist proportional zum Betrag des G P -Pfeils. Für die Beträge gilt (Index P weggelassen) G = γ M r 2 und F Grav = m G, wobei r den Abstand zu M bezeichnet (beachte dazu Bemerkung 2!). Bemerkungen. 1) Für Kenner der Vektorrechnung lässt sich dies noch kompakter formulieren: F Grav = m M G mit G = γ r 2 r0, wobei r 0 = 1 r r der auf Länge 1 normierte Ortsvektor von m ist (bezogen auf den Schwerpunkt von M als Koordinatenursprung). Das Minuszeichen ist nötig, weil r 0 von M wegzeigt, während F Grav natürlich in Richtung von M zeigen muss. 2) Wie ist eigentlich mit dem Abstand r zur Masse M gemeint? Misst man z.b. bis zum Rand von M oder bis zum Schwerpunkt? Nun, das Newtonsche Gravitationsgesetz gilt in dieser einfachen Form nur für Punktmassen; allerdings konnte Newton beweisen, dass es auch für Körper mit kugelsymmetrischer Massenverteilung (wie z.b. Sterne oder Planeten) gilt, wenn man so tut, als wäre deren gesamte Masse im Schwerpunkt vereinigt. Auf diese Spezialfälle wollen wir uns stets beschränken, da zur Beschreibung des Gravitationsfeldes beliebig geformter Körper mehrdimensionale Integralrechnung erforderlich ist. 2 Hier ist natürlich nur ein zweidimensionaler Querschnitt des Feldes dargestellt; das dreidimensionale Feld weist eine Kugelsymmetrie auf.

86 84 8 Analogie: Gravitationsfeld und E-Feld 8.2 Potenzielle Energie im Gravitationsfeld Im homogenen Feld Aus einiger Entfernung gesehen können wir die Erde als (fast) kugelförmigen Körper betrachten, der von einem radialen Gravitationsfeld umgeben ist. Auf der Erdoberfläche scheint für uns kleine Menschen die Erde jedoch flach zu sein, und zoomt man genügend weit in das Feldlinienbild hinein, so verlaufen die gedachten Feldlinien beinahe parallel und in konstantem Abstand in die Erdoberfläche hinein. Wir haben es lokal also (fast) mit einem homogenen Gravitationsfeld zu tun, in welchem die Gravitationskraft (nahezu) konstant ist. Bestimmen wir doch einmal die Gravitationsfeldstärke G = γ M auf der Erdoberfläche. Hmm, aber r 2 was sollen wir als r verwenden? Etwa r = 0, weil wir uns ja direkt auf der Erdoberfläche befinden, was jedoch zum absurden Ergebnis G = führen würde. Nein; mit Bemerkung 2 im Hinterkopf stellen wir uns die gesamte Masse der Erde im Erdmittelpunkt vereinigt vor und setzen für r den Erdradius r E ein: G = γ M E r 2 E 11 N m2 = 6,67 10 kg 2 5, kg (6, m) 2 = 9,81 N kg. Die Gravitationsfeldstärke G auf der Erdoberfläche ist also gleich dem Ortsfaktor bzw. der Erdbeschleunigung g = 9,81 m, was wegen F s 2 G = F Grav natürlich auch so sein muss. Nun folgt eine kleine Wiederholung zum Thema potenzielle Energie, die wir im Folgenden verallgemeinern wollen. Welche Hubarbeit ist nötig, um ein Klavier der Masse m von der Erdoberfläche (r 1 = r E ) ins Obergeschoss eines Hauses (r 2 = r 1 +h) zu transportieren? Da wir das Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche als homogen annähern, dürfen wir mit einer konstanten Gravitationskraft rechnen. Da zudem die Hubarbeit unabhängig vom Hubweg ist ( Zerlegungstrick ; siehe Unterricht), dürfen wir so tuen, als würde das Klavier senkrecht um die Höhe h angehoben. Somit haben wir eine konstante Kraft, deren Richtung parallel zum Hubweg ist, d.h. wir dürfen die Formel Arbeit = Kraft Weg anwenden: W = F Grav r = F G h = mgh. Diese Hubarbeit ist im Klavier als potenzielle Energie gespeichert, E pot = mgh. Rechts ist dieser Sachverhalt noch einmal graphisch dargestellt: Die Hubarbeit ist die Fläche unter der F (r)-kurve, welche hier wegen F (r) = F G = konstant ein Rechteck ist. So weit sollte dir das alles noch bekannt vorkommen. Im radialen Feld Jetzt werden wir uns etwas weiter von der Erde entfernen, indem wir z.b. einen Satelliten der Masse m ins All schießen. Welche Energie bzw. Hubarbeit ist hierzu erforderlich? Die Formel W = F Grav r darf nun nicht mehr angewendet werden, da die Näherung einer konstanten Gravitationskraft jetzt nicht mehr zulässig ist. Entfernen wir uns beträchtlich von der Erde, so muss die Abnahme von F Grav 1 berücksichtigt werden. r 2 Weiterhin gilt jedoch, dass die Hubarbeit die Fläche unter der F (r)-kurve ist. Erinnere dich an das Argument mit der Stotterfeder, als wir die Formel für die Spannenergie hergeleitet haben! Damals hatten wir es mit einer Dreiecksfläche (da lineares Kraft-Weg-Gesetz) zu tun, die wir leicht berechnen konnten. Hier muss nun die Fläche unter einer 1 -Kurve bestimmt werden, was wir bis r 2

87 8.2 Potenzielle Energie im Gravitationsfeld 85 jetzt noch nicht können. Sie lässt sich jedoch mit Hilfe der sogenannten Integralrechnung (siehe Kursstufe) problemlos berechnen: r2 r2 W = F (r) dr = γ mm r 1 r 1 r 2 dr [ = γ mm 1 ] r2 ( 1 = γ mm 1 ) r r 1 r 1 r 2 Diese Rechnung hast du jetzt vermutlich noch nicht verstanden, aber vielleicht ist dir aufgefallen, dass die Ableitung von 1 r gerade 1 ist; Integrieren ist nämlich r 2 die Umkehrrechenart zum Ableiten. Egal; wichtig ist hier nur das Ergebnis, und dass du dir Arbeit = Fläche im F (r)-diagramm gemerkt hast, was rechts nochmal dargestellt ist. Im radialen Gravitationsfeld einer Masse M gilt: Bewegt man einen Körper der Masse m vom Punkt P 1 (Abstand r 1 zum Schwerpunkt von M) zum Punkt P 2 (Abstand r 2 > r 1 ), so wird dabei die eben berechnete Hubarbeit benötigt. Diese ist als potenzielle Energie in m gespeichert, d.h. (wenn wir das NN bei P 1 festlegen) ( 1 E pot = γ mm 1 ). r 1 r 2 Diese als E pot gespeicherte Hubarbeit kann beim Zurückfallen natürlich wieder freigesetzt werden. Rechts ist der gesamte Vorgang nochmals graphisch veranschaulicht. Wichtig: Es spielt keine Rolle, ob m nach P 2 oder P 2 bewegt wird! Entlang des Kreisbogens von P 2 nach P 2 steht nämlich in jedem Punkt die Gravitationskraft senkrecht auf der Bewegungsrichtung, d.h. die auf diesem Weg zu verrichtende Arbeit verschwindet. So kann man übrigens auch zeigen, dass die Hubarbeit völlig unabhängig vom gewählten Weg ist (was wir oben stillschweigend vorausgesetzt hatten), indem man einen beliebigen Hubweg in immer feinere Kreisbogen- und radiale Stücke zerlegt (siehe Unterricht). Beispiel 1. Welche Hubarbeit ist erforderlich, um einen geostationären Satelliten (m = 950 kg) auf seine Umlaufbahn in der Höhe von km über der Erdoberfläche zu befördern? In seiner Umlaufbahn ( besitzt der Satellit (bezogen auf die Erdoberfläche) die potenzielle Energie E pot = γ mm 1 E r 1 1 ) r 2. Dabei ist r1 = r E = 6370 km (Erdradius) und r 2 = r E km = km einzusetzen. ( ) ( ) E pot = γ mm 1 E r N m2 r 2 = 6, kg 5, kg kg 2 6, m 1 42, m = 5, Nm = 50,4 GJ Diese 50,4 Gigajoule muss die Trägerrakete dem Satelliten als Hubarbeit zuführen. Beachte: Hätten wir die Formel E pot = mgh verwendet (also eine konstante Gravitationskraft angenommen), so wäre das Ergebnis von 334 GJ ein kleiiin wenig zu groß geworden, und die ESA hätte den Satelliten weit über seine geplante Umlaufbahn hinausgeschossen.

88 86 8 Analogie: Gravitationsfeld und E-Feld Beispiel 2. Welche Energie müsste man einer Trägerrakete mitgeben, damit sie einen Satelliten beliebig weit aus dem Gravitationsfeld der Erde entfernen, d.h. ins Unendliche befördern kann? Ist dies mit einer endlichen Energiemenge überhaupt möglich? Wir lassen hier r 2 streben, und wegen 1 r 2 0 für r 2 ergibt sich ( 1 E pot = γ mm 1 ) γ mm 1 für r 2. r 1 r 2 r 1 Diese potenzielle Energie muss dem Satelliten als Hubarbeit zugeführt werden, welche in diesem Fall von den Raketentriebwerken (z.b. durch Gasverbrennung) aufgebracht wird. Um einen Satelliten der Masse m = 950 kg von der Erdoberfläche (r 1 = r E ) ins Unendliche zu befördern wären dies γ mm E 1 r E 11 N m2 = 6, kg 5, kg = 59,4 GJ, kg 2 6, m also ein endlicher Betrag. (Der Energiebedarf der Rakete selbst lässt sich nicht so leicht berechnen, da ihre Masse durch den Gasausstoß ja ständig abnimmt.) Beachte, dass diese Energiemenge nur um 9 GJ größer als diejenige in Beispiel 1 ist, was daran liegt, dass die Gravitationskraft aufgrund des 1 -Gesetzes sehr rasch mit der Entfernung abnimmt. r 2 Abschliessend wollen wir berechnen, mit welcher Geschwindigkeit v 0 der Satellit von der Erdoberfläche starten muss, damit er ins Unendliche entkommen kann, wobei er dort keine Restgeschwindigkeit mehr haben soll. Legen wir das Nullniveau für die potenzielle Energie auf die Erdoberfläche, so besitzt der Satellit auf der Erdoberfläche nur kinetische Energie, während er im Unendlichen nur noch potenzielle Energie hat. Nach dem EES gilt dann 1 2 mv2 = γ mm 1 0 E, also v r 0 = 2γ M E = 11,2 km E r s km h! E Diese (von der Masse des Satelliten unabhängige) Geschwindigkeit nennt man Fluchtgeschwindigkeit oder auch 2. kosmische Geschwindigkeit 3. Raketen können beim Start tatsächlich solch riesige Geschwindigkeiten erreichen. Umgekehrt würde ein Meteorit, der zunächst in großer Ferne ruht und dann vom Gravitationsfeld der Erde angesaugt wird, mit genau diesen km h auf dem Erdboden einschlagen (von Reibungsverlusten abgesehen)! Auf der Mondoberfläche beträgt die Fluchtgeschwindigkeit nur 2,38 km s. Hätte der Mond eine Atmosphäre, so wäre die Geschwindigkeit der energiereichsten Gasmoleküle groß genug, um den Anziehungsbereich des Mondes zu verlassen. Die Gravitation des Mondes ist also zu klein, um eine Atmosphäre zu halten. Die Erde hingegen mit einer fast fünfmal größeren Fluchtgeschwindigkeit hat ihre Atmosphäre offensichtlich behalten. Ergänzung. Mal sehen, ob sich die altbekannte Formel für E pot in der Nähe der Erdoberfläche in der allgemeinen Formel versteckt hält. Für r 1 = r E und r 2 = r E + h mit h << r E ergibt sich ( 1 E pot = γ mm E 1 ) r = γ mm E + h r E r E r E + h E r E (r E + h) γ mm E h r 2 E ( = m γ M ) E r 2 h = mgh, E wobei beim -Zeichen die Näherung r E +h r E verwendet wurde. Somit passt also alles wunderbar zusammen. 3 Die 1. kosmische Geschwindigkeit beträgt 7,91 km. Mit dieser müsste man einen Körper tangential auf der Erdoberfläche abschießen, damit er die Erde auf einer Kreisbahn umrundet (ohne s Luftwiderstand!).

89 8.3 Das Potenzial Das Potenzial Definition des Potenzials Für viele Rechnungen ist es zweckmäßig, das Nullniveau für die potenzielle Energie im Gravitationsfeld nicht auf die Oberfläche des Zentralkörpers (wie z.b. der Erde) zu legen, sondern ins Unendliche, d.h. r 1. Für einen Körper der Masse m, der sich im Abstand r 2 = r vom Zentralkörper M befindet, gilt dann E pot (r) = γ mm 1 r. Der geostationäre Satellit aus Beispiel 1 besitzt bezüglich des neuen NNs eine potenzielle Energie von ca. 9 GJ (rechne dies nach!), wobei das negative Vorzeichen andeutet, dass er sich unter dem Nullniveau befindet: Man müsste ihm noch eine Hubarbeit von +9 GJ zuführen, um ihn auf Höhe des NNs, d.h. ins Unendliche zu befördern. Wie schon bei der Feldstärke dividieren wir auch jetzt wieder durch die Masse m des Probekörpers, um eine weitere charakteristische Feldgröße zu erhalten. Das Potenzial des Gravitationsfeldes im Abstand r vom Zentralkörper M ist definiert als ϕ(r) = E pot(r) m = γ M 1 r. Auf der Umlaufbahn des obigen geostationären Satelliten (r = km) beträgt das Potenzial des Erdschwerefeldes 9 GJ MJ ϕ(r) = 950 kg = 9,47 kg, während es auf der Erdoberfläche einen Wert von 62,5 MJ kg besitzt (nachrechnen!). Dies bedeutet, dass man 9,47 MJ (bzw. 62,5 MJ) pro kg aufbringen muss, um einen Körper von dort aus ins Unendliche zu befördern. Das Potenzial ϕ(r) ist also ein Maß dafür, wie viel Energie pro kg dem Gravitationsfeld zugeführt werden muss, um einen Körper von r aus ins Unendliche zu befördern. Rechts ist der Potenzialtrichter in der Nähe der Erde graphisch dargestellt. Wird z.b. ein Meteorit aus großer Ferne vom Erdfeld angezogen, so kann man sich ganz anschaulich vorstellen, dass er die Potenzialkurve nach unten rollt. Dabei nimmt seine potenzielle Energie immer mehr ab (d.h. E pot wird immer negativer), und seine kinetische Energie nimmt immer mehr zu. Befindet er sich auf Höhe des Satelliten, so hat das Schwerefeld der Erde ihm (aus dem Unendlichen kommend) eine Energie von 9,47 MJ pro kg Meteoritenmasse verliehen. Bis zum Erreichen der Erdoberfläche wird er weitere 62,5 MJ ( 9,47) MJ = 53 MJ (pro kg) potenzielle Energie aus dem Feld aufnehmen und dabei noch schneller werden. An der letzten Rechnung erkennt man bereits, dass sich E pot -Unterschiede bequem als Potenzialdifferenzen ausdrücken lassen. Die Änderung der potenziellen Energie bei einer Verschiebung von r 1 nach r 2 beträgt nämlich ( ) ) 1 E pot, 12 = γ mm r 1 1 r 2 = m ( γm 1r2 + γm 1r1 = m (ϕ(r 2 ) ϕ(r 1 )). Für r 1 > r 2 (Bsp.: Satellit fällt Richtung Erde) ist ϕ(r 1 ) > ϕ(r 2 ) und E pot, 12 ist negativ. Die potenzielle Energie nimmt also ab, während die kinetische steigt, und dieser Prozess läuft freiwillig ab. Anders ausgedrückt: Das Feld verrichtet Arbeit am Körper, wobei Feldenergie freigesetzt wird. Ist umgekehrt r 1 < r 2 (Bsp.: Satellit wird von der Erde ins All geschossen), so ist E pot, 12 positiv. Dieser Prozess läuft nicht freiwillig ab, sondern man muss von außen Hubarbeit zuführen (um den Körper den Potenzialtrichter hinauf zu schieben ), welche im Körper (bzw. im Feld) als potenzielle Energie gespeichert wird. Bei all diesen Vorgängen ist jedoch stets E ges = E kin + E pot = 1 2 mv2 γmm 1 r konstant (EES).

90 88 8 Analogie: Gravitationsfeld und E-Feld Äquipotenziallinien Das Schwerepotenzial einer Kugel, ϕ(r) = γ M 1 r (für r r!), hängt nur vom Abstand r Kugel zum Kugelmittelpunkt ab. Demzufolge besitzt ϕ auf einem Kreis um den Kugelmittelpunkt stets denselben Wert, weshalb man solche Kreise als Äquipotenziallinien bezeichnet 4. Bei der Bewegung entlang einer solchen Äquipotenziallinie ändert sich das Potenzial und damit die potenzielle Energie eines Körpers nicht. Auch über Kräfte ist dies einsichtig: Da die Äquipotenziallinien senkrecht zu den Feldlinien verlaufen, steht die Gravitationskraft in jedem Punkt senkrecht zur Bewegungsrichtung, weshalb sie keine Arbeit am Körper verrichten kann. Noch interessanter wird es, wenn wir das Schwerefeld zweier Körper wie z.b. des Systems Erde- Mond betrachten. Hier muss man beide Felder bzw. beide Potenziale überlagern, um das Gesamtfeld bzw. -potenzial zu erhalten. In der linken Abbildung ist der gemeinsame Erde-Mond- Potenzialverlauf (nicht maßstabsgetreu) dargestellt; rechts sieht man einen zweidimensionalen Querschnitt durch das Feld sowie die Äquipotenziallinien, die auch hier wieder stets senkrecht zu den Feldlinien verlaufen. (Quelle der Bilder: Cornelsen / Physik.) Erwähnenswert ist noch der Punkt L (ein sogenannter Lagrange-Punkt): Hier ist die Gravitationsfeldstärke Null, da sich die Anziehungskräfte von Erde und Mond gegenseitig aufheben (Rotationseffekte um den gemeinsamen Schwerpunkt werden hier vernachlässigt). Ein dort positionierter Satellit würde sich nicht bewegen (relativ zu Erde und Mond). Probier doch mal, seine Lage zu berechnen! Nimm einen konstanten Abstand Erde-Mond von ca km an; die Masse des Mondes ist 7, kg, die der Erde 5, kg. [ Lösung: L ist ca km von der Erde entfernt. ] Potenzial und Feldstärke Zum Abschluss noch ein paar Worte zur eigentlichen Bedeutung des Potenzials. Wie gut, dass es die Ableitung gibt; es ist nämlich ϕ (r) = ( γ M 1 ) = γ M 1 r r 2 = G(r). Oho! Durch Ableiten des Potenzials erhält man die Gravitationsfeldstärke. Oder anders ausgedrückt: Die Steilheit der Potenzialkurve ist ein Maß für die Stärke des Schwerefeldes. Ausblick. Mit Hilfe des sogenannten Gradienten (so etwas wie eine dreidimensionale Ableitung ) lässt sich das Gravitationsfeld, d.h. nicht nur der Betrag der Feldstärke, sondern auch die Richtung der Feldstärkevektoren, aus dem Potenzial gewinnen: G = ϕ(r). Das dreidimensionale Vektorfeld G lässt sich auf diese Weise bequem aus dem eindimensionalen Skalarfeld ϕ ableiten. Insbesondere bei der Überlagerung mehrerer Felder ist dies enorm praktisch; anstatt mühsam die Feldstärken vektoriell zu überlagern, addiert man einfach die Potenziale und bildet anschließend den Gradienten. 4 Wir betrachten hier stets einen zweidimensionalen Querschnitt des Feldes. Dreidimensional betrachtet spricht man von Äquipotenzialflächen, welche in diesem Fall Kugelflächen sind.

91 Teil II Das magnetische Feld

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93 91 1 Grundtatsachen des Magnetismus 1.1 Historisches Schon die alten Griechen bzw. Chinesen entdeckten (grob 500 v. Chr.), dass das natürlich vorkommende Gestein Magnetit (Eisenoxid Fe 3 O 4 ) eine anziehende Wirkung auf Eisen ausübt. Chinesische Seefahrer verwendeten seit dem 11. Jhd. (schwimmende) Kompassnadeln (kleine magnetische Dipole, die drehbar gelagert sind) zur Navigation; die Europäer orientierten sich ca. 100 Jahre später mit Hilfe von Trockenkompassen. Pierre de Maricourt begründete 1270 die Wissenschaft des Magnetismus. Als erster untersuchte er z.b. genauer die Kraftwirkungen in der Nähe eines kugelförmigen Magneten und führt den Begriff der Magnetpole ein. Der englische Arzt und Physiker William Gilbert führte weitere systematische Untersuchungen zum Magnetismus von Erzen durch. Zudem untersuchte er den Erdmagnetismus und zeigte, dass die Erde ein großer Magnet mit zwei Polen ist führte Charles Coulomb mit seiner Drehwaage quantitative Versuche zur Stärke von elektrischer und magnetischer Kraft durch, und fand für beide ein ähnliches Kraftgesetz. Die Ursache des Magnetismus blieb jedoch noch lange Zeit ein Rätsel und konnte erst dank Galileo Mystery aufgeklärt werden... :) 1.2 Einige Fakten zu Magneten Mit Magneten sind hier zunächst Dauermagnete (Permanentmagnete) gemeint, im Gegensatz zu den Elektromagneten (siehe Abschnitt 1.4). Ein Magnet ist ein Körper, der auf bestimmte Probekörper eine neue, mysteriöse magnetische Kraft ausüben kann. Diese Kraft ist nicht durch die Gravitation oder die elektrische Kraft zu erklären, denn sie hängt weder von der Masse noch von der Ladung des Probekörpers ab, wohl aber von dessen Material: Körper, die z.b. Eisen, Cobalt oder Nickel (sogenannte ferromagnetische Stoffe) enthalten, spüren diese Magnetkraft, andere Metalle wie z.b. Kupfer oder Aluminium komischerweise nicht. In der Nähe von Magneten werden Gegenstände aus magnetisierbarem Material selbst zu Magneten (z.b. Entlangstreichen an einem Eisennagel mit einem Permanentmagneten ohne Berührung), was man als magnetische Influenz bezeichnet. Ein Magnet besitzt (mindestens) zwei Stellen stärkster Kraftwirkung, Pole genannt. Es gibt zwei verschiedene Arten von Polen, die man Nordpol und Südpol nennt. Wie in der Elektrizität gilt: Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige Pole ziehen sich an, und die magnetische Kraft nimmt mit der Entfernung zwischen den Magneten ab. Während es in der Elektrizität isoliert vorkommende Plus- und Minus-Ladungen gibt (z.b. ein einzelnes Proton bzw. Elektron), treten magnetische Pole immer paarweise auf, d.h. es gibt keine magnetischen Monopole 1, sondern nur Dipole! [ V : Zerteilen einer magnetisierten Stricknadel. ] Die Erde selbst ist ein riesiger Magnet. In der Nähe des geographischen Nordpols befindet sich der magnetische Südpol und umgekehrt. 1 Zumindest wurden bis heute noch keine entdeckt. Es gibt eine wunderschöne mathematische Theorie von Paul Dirac aus dem Jahre 1931, welche die Existenz magnetischer Monopole voraussagt, und auch moderne Theorien wie die vereinheitlichte Feldtheorie oder die Stringtheorie postulieren das Auftreten magnetischer Monopol-Teilchen. Allerdings sind alle experimentellen Befunde bis heute negativ.

94 92 1 Grundtatsachen des Magnetismus 1.3 Das Magnetfeld Wie in der Elektrizität ist das Feldkonzept auch im Magnetismus einer der zentralsten Gedanken. Ein Magnet verändert den ihn umgebenden Raum, denn in seiner Umgebung können magnetische (bzw. magnetisierbare) Probekörper wie z.b. eine kleine Magnetnadel ( Probe-Dipol ) eine magnetische Kraft erfahren. Man sagt, der Raum um ihn ist von einem magnetischen Feld erfüllt. Zur Sichtbarmachung dieser Kraftwirkung kann man z.b. Eisenfeilspäne verwenden. Durch ihre Ausrichtung sowie die Dichte ihrer Ansammlung gelangt man auch hier wieder zur Beschreibung des Magnetfeldes durch Feldlinien. Die Dichte der (gedachten) Feldlinien ist ein Maß für die Stärke des Feldes und ihr Verlauf gibt die Ausrichtung einer kleinen Magnetnadel an: Tangential zur Feldlinie, wobei der Nordpol der Nadel die Pfeilrichtung der Feldlinie angibt. Unten links sind die Feldlinienbilder eines Stabmagneten und eines Hufeisenmagneten dargestellt. Während das Feld des Stabmagneten an das elektrische Feld zweier ungleichnamiger Punktladungen erinnert, ähnelt das Hufeisenfeld im Inneren dem homogenen Feld eines Plattenkondensators. Einen wichtigen Unterschied gibt es jedoch: Während elektrische Feldlinien bei einer positiven Ladung ( Quelle des E-Feldes) beginnen und bei einer negativen Ladung ( Senke des E-Feldes) enden, haben magnetische Feldlinien keinen Anfang und kein Ende, sie sind stets in sich geschlossen. Dies hat damit zu tun, dass es keine isolierten magnetischen Nord- oder Südpole gibt, da diese immer nur in Paaren (als Dipole) auftreten. Anders ausgedrückt: Das Magnetfeld besitzt keine Quellen oder Senken. Auf der rechten Seite sind Computersimulationen vom Innenleben eines Stab- bzw. Hufeisenmagneten dargestellt, wo man sehr schön die geschlossenen Feldlinien erkennen kann. Hier zeigt sich, dass eine Festlegung der Feldlinienrichtung von Nord nach Süd problematisch ist, da die Feldlinien im Inneren des Permanentmagneten genau in die umgekehrte Richtung verlaufen. 1.4 Elektrizität und Magnetismus 1820 machte der dänische Physiker Christian Oersted durch Zufall eine extrem wichtige Entdeckung: Eine Magnetnadel, die neben einem Draht stand, schlug plötzlich aus, als der Draht unter Strom gesetzt wurde. Er entdeckte somit einen Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus 2 : Ein Strom ist stets von einem Magnetfeld umgeben. Allgemein kann man sagen: Ladungen erzeugen elektrische Felder. Elektrische Felder üben Kräfte auf Ladungen aus. Ströme (also bewegte Ladungen) erzeugen magnetische Felder. Magnetfelder üben Kräfte auf Ströme aus. Wie diese Feststellung mit Permanentmagneten zusammenpasst (wo sollen da bitteschön Ströme fließen?), wird im letzten Abschnitt ausführlicher diskutiert. 2 welcher ca von dem genialen J. C. Maxwell zur Theorie des Elektromagnetismus ausgebaut wurde.

95 1.4 Elektrizität und Magnetismus 93 Im Folgenden sind die Feldlinienbilder einiger stromdurchflossener Leiter dargestellt. Man beachte, dass diese Felder keinen Nord- oder Südpol mehr besitzen, was am Magnetfeld eines Drahtes am besten deutlich wird. Auch hier legt man die Feldlinienrichtung wieder über den Nordpol einer kleinen Magnetnadel fest. Sie lässt sich stets mit Hilfe der rechten-faust-regel bestimmen: Zeigt der rechte Daumen in die technische Stromrichtung, so zeigen die zur Faust gekrümmten Finger in Pfeilrichtung des Feldes. 1. Gerader Leiter (Draht) 2. Leiterschleife (Kreisstrom) 3. Spule (viele Schleifen hintereinander) Draufsicht (Querschnitt) Aufgrund der Ähnlichkeit zwischen dem Feld einer Spule (der klassische Elektromagnet ) und dem Feld eines Stabmagneten, könnte man das Ende der Spule, aus dem die Feldlinien austreten, als Nordpol bezeichnen und das Ende, in das die Feldlinien hineinlaufen, als Südpol. Allerdings muss man dann aufpassen, wenn man sich im Inneren der Spule befindet: Dort zeigt der Nordpol einer Magnetnadel plötzlich in Richtung des so definierten Spulen-Nordpols und nicht mehr zum Spulen-Südpol.

96 94 1 Grundtatsachen des Magnetismus 1.5 Was sind die Elementarmagnete letztendlich? In Klasse 9 wurde das Modell der Elementarmagnete verwendet (kleinste magnetische Dipole, die sich in magnetischen Stoffen befinden), um z.b. die magnetische Influenz besser erklären zu können. Was es damit genau auf sich hat, soll nun zumindest angedeutet werden. Nachdem Oersted auf den Zusammenhang zwischen Strömen und Magnetfeldern gestoßen war, vermutete Ampère, dass die kleinen magnetischen Dipole ( Elementarmagnete ) in den ferromagnetischen Stoffen durch atomare Kreisströme erzeugt werden. Dies erschien damals wenig glaubhaft, zumal es im 19. Jahrhundert noch kein annähernd korrektes Atommodell gab. Ständig fließende atomare Ströme (ohne Widerstand / Reibung) innerhalb von Permanentmagneten?! Dennoch war Ampères Idee richtig, allerdings dauerte es noch über 100 Jahre, bis eine befriedigende Theorie des Ferromagnetismus erschaffen wurde: Erst 1928 gelang dies den Physikern Heisenberg, Frenkel und Bloch im Rahmen der Quantenphysik. Die magnetischen Eigenschaften der Materie theoretisch zu verstehen, ist bis heute eine wichtige und extrem schwierige Aufgabe der Festkörperphysik. Grob gesagt stellen die Elektronen bei ihrer Bewegung um den Atomkern einen Strom dar, welcher ein Magnetfeld erzeugt (ihr Bahndrehimpuls erzeugt ein magnetisches Moment ). Bei genauerer quantenmechanischer Betrachtung stellt sich jedoch heraus, dass der wichtigste Beitrag zur Erklärung des atomaren Magnetismus vom Eigendrehimpuls dem Spin des Elektrons kommt (neben der negativen Ladung eine grundlegende Eigenschaft des Elektrons, die nur quantenphysikalisch richtig zu verstehen ist, da sie kein klassisches Analogon besitzt). Das Elektron selbst stellt aufgrund seines Spins einen Elementarmagneten dar, dessen magnetisches Moment man genau berechnen kann. Ob ein Atom mit mehreren Elektronen insgesamt ein magnetisches Moment besitzt, hängt subtil mit der Besetzung seiner Energieniveaus ( Orbitale ) durch die Elektronen zusammen. Bei Atomen mit abgeschlossener Schalenstruktur heben sich z.b. die magnetischen Momente der Elektronen nach außen hin auf. Beim Eisen hingegen sind die Elektronen in der nicht voll besetzten 3d-Schale für das magnetische Moment des Fe-Atoms verantwortlich (ähnlich bei Co und Ni). Diese atomaren magnetischen Momente alleine wären allerdings viel zu schwach, um den starken Magnetismus von Ferromagneten zu erklären, denn aufgrund der ungeordneten Temperaturbewegung der Fe-Atome würden sich die atomaren magnetischen Momente nach außen hin so gut wie aufheben. Hier kommt noch ein weiterer quantenphysikalischer Effekt ins Spiel: Durch die sog. Austauschwechselwirkung (Spin-Spin-Wechselwirkung) richten benachbarte Atome ihre Spins und damit ihre Elementarmagnete parallel aus. Dies führt dazu, dass sich innerhalb eines ferromagnetischen Kristalls kleine Bereiche (sog. Weiss-Bezirke, ca. 100 µm im Durchmesser) ausbilden, die ein starkes Magnetfeld aufweisen. Aus energetischen Gründen sind diese untereinander zunächst so angeordnet, dass sich ihre magnetische Wirkung nach außen hin aufhebt. Beim Magnetisieren des Kristalls in einem äußeren Magnetfeld klappen die Bezirke um und orientieren sich in dieselbe Richtung, wodurch der Kristall zum eigentlichen Magneten wird. Enthält er zudem Verunreinigungen (wie z.b. Kohlenstoffatome), so wird das Zurückklappen weitgehend verhindert: Man hat ein magnetisch hartes Material vorliegen, welches auch nach Entfernen des äußeren Magnetfeldes magnetisch bleibt.

97 95 2 Die magnetische Flussdichte Aufschrieb: siehe Unterricht! Zum Versuch Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld :

98 96 2 Die magnetische Flussdichte

99 PH K1 / Glos / Blatt 4 Kraft auf Leiter im B-Feld (1) Ein Teil eines quadratischen Rahmens (Seitenlänge a = 8 cm), der mit 50 Windungen Draht umwickelt ist, ragt in der gezeichneten Weise in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B = 25 mt. Bestimme Richtung und Betrag der Kraft, die das Magnetfeld auf den Rahmen ausübt, wenn seine Windungen von einem Strom der Stärke I = 0,5 A durchflossen werden. (2) Eine Freileitung der Länge 150 m, die in Ost-West-Richtung verläuft, wird von einem Strom der Stärke I = 100 A nach Osten durchflossen. Bestimme Betrag und Richtung der Kraft, die das Erdmagnetfeld auf diese Leitung ausübt, wenn es in der Nähe der Leitung nahezu parallel zur Erdoberfläche nach Norden verläuft und eine Flussdichte von 20 µt besitzt. (3) Ein 0,5 m langer Draht der Masse m = 30 g, durch den ein Strom der Stärke I = 4 A fließt, wird durch ein homogenes Magnetfeld zum Schweben gebracht. Zeichne einen möglichen Feldverlauf (bei horizontaler Stromrichtung) und berechne die erforderliche magnetische Flussdichte. (g = 10 N kg ) (4) Ein Draht der Länge 5 cm, der von einem Strom der Stärke I = 3 A durchflossen wird, erfährt in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B = 0,3 T eine magnetische Kraft von F = 4 cn. Bestimme den Winkel, den der Leiter mit den Feldlinien einschließt. (5) Ein s = 20 cm langer Alu-Stab der Masse 45 g wird auf zwei Leiterschienen gelegt, die um α = 30 gegenüber der Horizontalen (Ebene E) geneigt sind. Die gesamte Anordnung befindet sich im homogenen Feld eines Elektromagneten der Flussdichte B = 2,4 T, welches senkrecht zu E nach unten verläuft. Läßt man einen Strom geeigneter Stärke durch den Stab fließen, so verharrt er in seiner Position. Bestimme die dazu erforderliche Stromstärke sowie die Richtung des Stromes. Zusatzaufgabe Ein gerader Metalldraht (Länge 20 cm, Masse 10 g) liege an seinen beiden Enden waagerecht auf zwei elektrischen Kontakten. Ein homogenes, horizontales Magnetfeld der Flussdichte 0,35 T stehe senkrecht auf dem Draht. Nun werden die Kontakte durch Schließen eines Schalters mit einer Batterie verbunden, die den Draht unter Strom setzt, woraufhin dieser nach oben katapultiert wird. Berechne die maximale Steighöhe h des Drahtes, wenn in der kurzen Zeitspanne t, die er Strom führte, die Ladungsmenge 2 C durch ihn floss. (Was ist seltsam an den Angaben in dieser Aufgabe?)

100 98 2 Die magnetische Flussdichte

101 99 3 Die Lorentzkraft Aufschrieb: siehe Unterricht!

102 PH K1 / Glos / Blatt 5 Teilchen in E- und B-Feldern e = 1, C, m e = 9, kg, 1 u = 1, kg Aufgaben 1 3 (samt Bildern) entstammen dem zünftigen bayrischen Abitur (Physik-LK ) (1) (Massenspektrograph) Ein Gemisch aus einfach positiv geladenen Kohlenstoff-Isotopen 12 C + und 14 C + tritt durch eine Lochblende L 1 in einen Wien-Filter ein. a) Am Kondensator (Plattenabstand d = 2 cm) liegt eine Spannung von U = 700 V. Bestimme die magnetische Flussdichte B 1 so, dass nur die Ionen mit der Geschwindigkeit v 0 = 2, m s den Kondensator unabgelenkt durchqueren. b) Nachdem die Ionen den PK durch die Blende L 2 verlassen haben, treten sie in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B 2 ein und durchlaufen je nach Masse zwei Halbkreise. Zeige, dass für den Abstand y der beiden Punkte, an denen die Ionen das Magnetfeld wieder verlassen, gilt: y = 2(m C14 m C12 )v 0 eb 2. c) Die beiden Ionensorten sollen nun durch zwei verschiebbare Detektoren D 1 und D 2 registriert werden. Die äußerste Position von D 1 liegt 60 cm oberhalb der x-achse und der Mindestabstand beider Detektoren beträgt 1,5 cm. Zwischen welchen Werten muss B 2 liegen, damit beide Isotope gleichzeitig gezählt werden können? (v 0 wie oben) (2) (Elektronenspiegel) Von einem Quadrat der Seitenlänge a = 1,2 m wird ein Viertel in Form eines gleichschenkligen Dreiecks ausgeschnitten (siehe Skizze). Die verbleibende Fläche wird im Vakuum von einem Magnetfeld der Flussdichte B = 2, T senkrecht durchsetzt. Durch eine Blende werden nun Elektronen mit der Geschwindigkeit v 0 = 1, m s senkrecht zu den Feldlinien in Richtung des Mittelpunktes M eingeschossen (vgl. Skizze). a) Nach dem Eintreten in das Magnetfeld bei M bewegen sich die Elektronen zunächst auf einem Kreisbogen vom Radius r. Berechne r und überlege, wie die Bewegung eines Elektrons weiterverläuft. Zeichne dann die gesamte Flugbahn im Maßstab 1 : 20. b) Zeige allgemein, dass die Flugzeit eines Elektrons der Geschwindigkeit v v 0 vom Eintritt in das Magnetfeld bei M bis zum Wiederaustritt bei M unabhängig von v ist. (Die relativistische Massenzunahme wird hier vernachlässigt; vgl. Aufgabe 3.)

103 101 (3) (Versuch von Bucherer) Im Jahre 1909 konnte Bucherer die 1905 von Einstein vorhergesagte relativistische Massenzunahme experimentell bestätigen. Er untersuchte mit nebenstehender Anordnung die Abhängigkeit der Elektronenmasse von der Geschwindigkeit. Als Elektronenquelle diente ein β -Strahler, der Elektronen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aussendet. a) Erläutere, wie die eingezeichnete Bahn zustande kommt. Wie muss der Kondensator hier gepolt sein? b) Leite die folgende Formel für die Masse der Elektronen in Abhängigkeit von ihrer Ablenkung d her: m eb2 s 2 2Ed. Dabei ist E die Feldstärke im Kondensator, B die Flussdichte des Magnetfeldes und es darf die Näherung r s2 2d für den Radius der Kreisbahn im B-Feld verwendet werden (Nachweis?). c) Für E = 8, V m, B = 4,0 mt und s = 5,0 cm stellte Bucherer eine Ablenkung von d = 3,3 mm fest. Zeige, dass diese Messung die Massenzunahme nach der speziellen Relativitätstheorie bestätigt: m rel = m(v) = m 0 1 ( ), v 2 c wobei m 0 die Ruhemasse des Elektrons ist. d) Um wie viel Prozent würde die Ablenkung vom wirklichen Messwert d abweichen, wenn die Masse geschwindigkeitsunabhängig wäre? (4) Teilchen der Masse m und der Ladung q treten wie in der Abbildung ersichtlich mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes, kreisrund begrenztes Magnetfeld der Flussdichte B ein. Nachdem sie das Magnetfeld durchquert haben, wurden sie um den Winkel α aus ihrer ursprünglichen Bewegungsrichtung abgelenkt. a) Zeige, dass tan α 2 = qbd gilt. 2mv b) Bei einer bestimmten Teilchenart stellt man bei v = 1, m s einen Ablenkwinkel von α = 48 fest. Magnetfelddaten: B = 200 mt, d = 8 cm. Um was für Teilchen könnte es sich handeln? c) Obiges Magnetfeld soll mit Hilfe einer langen Spule erzeugt werden. Sie ist l = 60 cm lang und hat 8000 Windungen. Rechts und links eines kleinen Spaltes in der Spulenmitte ist sie mit einer Legierung mit µ r = 600 gefüllt. Wie groß muss die Stromstärke in der Spule sein, um obige Flussdichte zu erreichen? (Der Einfluss des Spaltes auf das Magnetfeld bleibt unberücksichtigt.) 6 Vs µ 0 = 1,26 10 Am, spez. Ladungen: q m e = 1, C kg (Elektron), q m p = 9, C kg (Proton)

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111 Teil III Elektromagnetische Induktion

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113 111 1 Historisches Nachdem Oersted 1820 entdeckt hatte, dass man durch elektrischen Strom Magnetfelder erzeugen kann, wollte der große Experimentator Michael Faraday dieses Phänomen umkehren und mit Hilfe von Magnetfeldern elektrischen Strom bzw. Spannung erzeugen. Einer seiner Notizbucheinträge von 1822 lautete Convert magnetism into electricity, was ihm 1831 nach großen Mühen und vielen Fehlschlägen (inklusive einer mehrjährigen Pause, in der er auf anderen Gebieten forschte) dann auch tatsächlich gelang. Er hatte damit die elektromagnetische Induktion, also das Erzeugen elektrischer Spannungen mit Hilfe von Magnetfeldern entdeckt. Sie bildet eine der wichtigsten Grundlagen der Elektrotechnik, z.b. zum großtechnischen Erzeugen von Spannungen mit Hilfe von Generatoren (E-Werk!). 2 Die beiden Grundversuche zur Induktion In der Mittelstufe haben wir zwei grundlegend verschiedene Induktions-Versuche kennengelernt. 1.) Bewegter Leiter in statischem Magnetfeld (Induktion erster Art) 2.) Ruhender Leiter in zeitlich veränderlichem Magnetfeld (Induktion zweiter Art) Beide lassen sich sehr schön mit nebenstehendem Versuchsaufbau demonstrieren. V : 1.) Wird der Leiter, in diesem Fall eine Spule, in das Feld eines (ruhenden) Hufeisen- oder Stabmagneten hineinbewegt oder aus diesem Feld herausgezogen, so bewegt sich der Propeller (durch einen Elektromotor angetrieben) und das Voltmeter zeigt eine Induktionsspannung an. Drehsinn des Propellers sowie Vorzeichen von U ind hängen dabei von der Bewegungsrichtung der Spule ab (hoch oder runter). Wird die Spule parallel zu den Feldlinien des Hufeisenmagneten bewegt, so wird keine Spannung induziert. 2.) Man sorgt für eine Magnetfeldänderung im Inneren der ruhenden Spule, indem man einen Stabmagneten in sie hineinstößt (zunehmende B-Flussdichte) bzw. ihn schnell hinauszieht (abnehmende B-Flussdichte). Man beobachtet dasselbe wie in 1.). Auch hier hängen Drehsinn des Propellers sowie Vorzeichen von U ind von der Bewegungsrichtung des Magneten ab. Die Rotationsgeschwindigkeit des Propellers und damit die Größe der induzierten Spannung U ind hängt bei beiden Versuchen davon ab, mit welcher Geschwindigkeit der Leiter bewegt bzw. das Magnetfeld verändert wird. Je größer v, desto größer auch U ind.

114 112 3 Induktion erster Art Anstatt einen Permanentmagneten zu bewegen, lässt sich ein zeitlich veränderliches Magnetfeld bequemer mit Hilfe eines Elektromagneten herstellen. Der Elektromagnet rechts (Feldspule mit Eisenkern) ist über einen Schalter S mit einer Gleichspannungsquelle verbunden. Schließt man S, so entsteht in der Feldspule ein Magnetfeld, dessen Stärke durch den Eisenkern noch um ein Vielfaches verstärkt wird. Solange der felderzeugende Spulenstrom von 0 auf I f = konst ansteigt, wird die Induktionsspule von einem immer stärker werdenden Magnetfeld durchsetzt, und das Voltmeter zeigt eine kleine Induktionsspannung an. Sobald der Einschaltvorgang abgeschlossen ist und ein konstanter Spulenstrom I f vorliegt, geht die Anzeige auf 0 mv zurück; es liegt nun ja ein statisches, also zeitlich unveränderliches, Magnetfeld vor. Öffnet man den Schalter S, so baut sich das Magnetfeld der Feldspule ab, entsprechend sinkt die B-Flussdichte im Inneren der Induktionsspule, und das Voltmeter schlägt kurzzeitig 1 in die umgekehrte Richtung aus. Beachte, dass keinerlei leitende Verbindung zwischen Feld- und Induktionsspule besteht. Die Information über den Magnetfeldauf- bzw. abbau breitet sich wie durch Magie durch die Luft aus! 3 Induktion erster Art 3.1 Lorentzkraft als Ursache der Induktion erster Art Die Ursache der Induktion erster Art ist nichts anderes als die Lorentzkraft, wie man an den folgenden Bildern schön erkennen kann. Es wird ein Leiter der Länge s mit einer konstanten Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes B bewegt. Auf jedes mit v im Leiter mitbewegte Elektron wirkt die Lorentzkraft F L, welche die Elektronen in obiger Situation zum vorderen Stabende P treibt (linke-hand-regel!). Dadurch entsteht bei P ein Elektronenüberschuss, während es bei Q zu einem Elektronenmangel kommt. Somit baut sich im Leiter ein elektrisches Feld E auf, und zwischen den Leiterenden lässt sich eine Spannung abgreifen: U P Q = U ind, die Induktionsspannung. Die Ladungstrennung geschieht so lange, bis die durch E erzeugte elektrische Kraft, welche in Richtung Q auf die Elektronen wirkt, der Lorentzkraft die Waage hält (dieses Gleichgewicht stellt sich in extrem kurzer Zeit ein): F el = F L. Daraus lässt sich die Größe der Induktionsspannung berechnen. Die Feldstärke im Leiter beträgt E = U ind /s (homogenes Feld vorausgesetzt), und Gleichsetzen von F el = ee mit F L = evb führt auf e U ind s = evb bzw. U ind = Bvs. 1 Obwohl der Stromkreis unterbrochen wurde, sorgt die Spule dafür, dass eine kurze Zeit lang noch ein Strom weiterfließt; siehe Abschnitt Selbstinduktion.

115 3.2 Der magnetische Fluss 113 Merke: Bewegt sich ein (gerader) Leiter der Länge s mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfeldes der konstanten Flussdichte B, so induziert die Lorentzkraft zwischen seinen Enden die Spannung U ind = Bvs. Bemerkungen: 1.) Erfolgt die Bewegung nicht senkrecht zu den Feldlinien, so muss v durch die Geschwindigkeitskomponente v senkrecht zu B ersetzt werden. Beachte: Wird der Leiter parallel zu den Feldlinien bewegt, so ist v = 0. Damit verschwindet die Lorentzkraft und mit ihr auch die Induktionsspannung. Kurz: U ind = 0 für v B. 2.) Dieses Gesetz gilt auch für eine nicht-gleichförmige Bewegung des Leiters (v(t) konst); siehe Beispiel 2 weiter unten, mitsamt der Bemerkung dazu. Bestätigungs- V Ein Drahträhmchen mit a = 5 cm und 500 Windungen sinkt mit v = 4 mm s im B-Feld im Inneren einer langen Spule nach unten (senkrecht zu den Feldlinien). Ein Mikrovoltmeter zeigt U ind an. Fragen: 1. Welche Polung besitzt die Induktionsspannung U P Q? Überlege dazu, welche Wirkung die Lorentzkraft in den Leiterabschnitten 1 3 auf die Elektronen im Draht hat. 2. Berechne die magnetische Flussdichte B in der Spulenmitte. Spulendaten: n f = , l = 0,48 m, felderzeugende Stromstärke I f = 100 ma. Wie groß sollte demnach laut obiger Formel die Induktionsspannung sein? Vergleiche mit dem Messwert. 3. Was zeigt das Mikrovoltmeter an, wenn auch Leiterabschnitt 4 ins Magnetfeld eingetaucht ist, d.h. wenn das gesamte Rähmchen vom B-Feld durchsetzt ist? Begründe! 3.2 Der magnetische Fluss Wir wollen die Gesetzmäßigkeit U ind = Bvs nun aus einem etwas anderen Blickwinkel betrachten (ohne auf die Lorentzkraft zurückzugreifen). Dies wird zu einer allgemeineren Fassung dieses Induktionsgesetzes führen, welche sich verblüffenderweise wortwörtlich auch auf die Induktion zweiter Art anwenden lässt. Beim Absenken des Rähmchens links nimmt die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche A(t) zu. Vielleicht lässt sich ein Zusammenhang zwischen dieser Flächenzunahme und U ind erkennen? Es ist A(t) = x(t) s, und da die Absenkgeschwindigkeit v(t) bekanntlich die Ableitung von x(t) ist, folgt für die Zunahmegeschwindigkeit von A(t). A(t) = (x(t) s). = ẋ(t) s = v(t) s. Multiplizieren wir jetzt noch mit B, so ergibt sich B Ȧ(t) = B v(t) s = U ind(t)!

116 114 3 Induktion erster Art Aha! Die Größe B A scheint also eine wichtige Bedeutung für den Induktionsvorgang zu besitzen. Deshalb bekommt sie einen eigenen Namen. Eine ebene Leiterschleife (egal welcher Form) werde von einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B senkrecht durchsetzt. Schließt sie mit dem Magnetfeld die Fläche A ein, so versteht man unter dem magnetischen Fluss Φ, der die Leiterschleife durchsetzt, das Produkt Φ = B A. Einheit: [ Φ ] = 1 Tm 2! = 1 Vs =: 1 Wb (Weber) Anschauliche Bedeutung von Φ: Veranschaulichen wir die Flussdichte B als Dichte der Feldlinien, so ist B A nichts anderes als die Anzahl der Feldlinien, die durch die Fläche A hindurchtreten. (Die Beziehung B = Φ/A motiviert überhaupt erst den Namen Flussdichte.) Natürlich müssen die Feldlinien nicht senkrecht auf der Fläche A stehen. Eine allgemeinere Definition des Flusses ist Φ = B A, wobei A die Projektion der Fläche A ist, die von den Feldlinien senkrecht durchsetzt wird. Im Bild erkennt man, dass A = a b cos α = A cos α gilt (was übrigens auch bei krummlinig begrenzten Flächen wie z.b. Kreisen stimmt). Wichtiger Spezialfall: Für α = 90 verschwindet der magnetische Fluss, denn A = A cos 90 = 0, was auch anschaulich klar ist: Keine einzige Feldlinie durchbohrt die Fläche A, da sie parallel zu den Feldlinien liegt. Ausblick (für diejenigen mit fundierten mathematischen Kenntnissen!): Ist A der Normalenvektor der ebenen Fläche A mit A = A, so lässt sich der magnetische Fluss einfach als das Skalarprodukt Φ = B A definieren. Ist zudem das Magnetfeld inhomogen ( B konst ), so zerlegt man die Fläche A in viele kleine Stückchen A i, auf denen man B als näherungsweise konstant betrachten kann, und addiert die Flüsse Φ i durch diese Einzelflächen: Φ B i A i. i Lässt man den Inhalt dieser Flächenstückchen gegen Null (und ihre Anzahl damit gegen unendlich) streben, so geht die Summation in eine Integration über, und man erhält die allgemeinste Definition des magnetischen Flusses: Φ = lim A i 0 B i A i = i A B d A. 3.3 Flussänderung als Ursache der Induktion erster Art Nun aber zurück zu unserem eigentlichen Vorhaben. Oben hatten wir erkannt, dass B Ȧ(t) die Induktionsspannung liefert. Mit Hilfe des Flusses lässt sich das schreiben als U ind = B Ȧ(t) = (B A(t)). =. Φ(t), wobei im zweiten Schritt B = konst. (homogenes, zeitlich unveränderliches Magnetfeld) eingeht. Im Experiment zeigt sich, dass dieser Zusammenhang bei allen Induktionsprozessen erster Art stets die korrekte Induktionsspannung liefert. Wenn die Feldlinien A nicht senkrecht durchsetzen, muss man hierbei Φ = B A verwenden.

117 3.3 Flussänderung als Ursache der Induktion erster Art 115 Falls wir es nicht nur mit einer Leiterschleife, sondern mit n Schleifen hintereinander (also einer Spule mit n Windungen) zu tun haben, so wird insgesamt natürlich die n-fache Spannung induziert, da sich die Einzelspannungen der Schleifen bei einer Reihenschaltung einfach addieren. Diese Ergebnisse halten wir nun allgemein fest. Induktionsgesetz (Induktion 1. Art): Eine Spule mit n Windungen befinde sich in einem statischen, homogenen Magnetfeld und werde vom magnetischen Fluss Φ = B A durchsetzt. Ändert sich dieser Fluss durch Änderung von A, sei es durch Bewegen (Translation / Rotation) oder Verbiegen der Spule, so wird eine Spannung in der Spule induziert. Der Betrag dieser Induktionsspannung ist dabei zur Änderungsgeschwindigkeit des Flusses proportional: U ind (t) = n.φ(t). Einige Beispiele sollen die Anwendung des Induktionsgesetzes in dieser Form demonstrieren. Beispiel 1: Ein quadratisches Rähmchen der Seitenlänge a = 5 cm, auf das n = 100 Windungen lackierter Kupferdraht aufgewickelt sind, wird mit einer konstanten Geschwindigkeit von v = 1 cm s durch ein statisches, homogenes Magnetfeld der Breite 2a gezogen, dessen Flussdichte B = 20 mt beträgt. Die Feldlinien durchsetzen den Rahmen dabei senkrecht. Wir wollen nun den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung berechnen. Dazu teilt man die Bewegung am besten in drei Phasen ein. Phase I (. Φ > 0): Das Rähmchen taucht in das B-Feld ein, ohne sich ganz darin zu befinden. Für den magnetischen Fluss gilt und mit dem Induktionsgesetz folgt Φ I (t) = B A(t) = B x(t) a, U ind, I (t) = n.φ I (t) = n B ẋ(t) a = n B v a = mt 10 2 m s m = 1 mv [ Einheitenrechnung: T m s m = N Am m2 s = Nm As = J C = V ] Phase I dauert 5 s, denn dann ist das Rähmchen ganz in das B-Feld eingetaucht.

118 116 3 Induktion erster Art. Phase II ( Φ = 0): Da sich das Rähmchen ganz im Magnetfeld befindet, ändert sich die von den Feldlinien durchsetzte Fläche A und mit ihr auch der Fluss Φ II = B a 2 nicht mehr. Daher gilt U ind, II = n.φ II (t) = 0 V. Phase III (. Φ < 0): Nach insgesamt 10 s verlässt die Vorderseite des Rähmchens das B-Feld, weshalb der magnetische Fluss nun abnimmt. Seine Abnahmegeschwindigkeit ist betragsmäßig natürlich genauso groß wie in Phase I, denn die Geschwindigkeit hat sich ja nicht geändert. Die induzierte Spannung wechselt einfach nur ihr Vorzeichen: U ind, III = n.φ III (t) = 1 mv.. (Rechnerisch: A(t) = a 2 (x(t) 2a) a = 3a 2 x(t) a, d.h. A(t) = ẋ(t) a = v a. Damit folgt U ind, III = nbva = U ind, I.) Rechts ist der zeitliche Verlauf der Induktionsspannung grafisch dargestellt. Bei t = 5 s springt U ind natürlich nicht von 1 mv auf 0, sondern nimmt stetig ab, allerdings in einer extrem kleinen Zeitspanne. Jetzt wirkt nämlich auch im linken Teil des Rähmchens die Lorentzkraft, welche derjenigen im rechten Teil entgegenwirkt und für eine Gleichverteilung der Elektronen sorgt. Beispiel 2: Ein Kupferstab der Masse m = 100 g kann reibungsfrei auf zwei parallelen Metallschienen vom Abstand d = 20 cm gleiten. Die Schienenebene wird senkrecht von einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B = 5 mt durchsetzt. Der Stab wird aus der Ruhe heraus von einer konstanten Kraft vom Betrag F = 0,2 N nach rechts in das Magnetfeld hineingezogen. Bestimme mit Hilfe des Induktionsgesetzes die Spannung U ind (t), die sich zwischen den Punkten P und Q abgreifen lässt. Wie werden die Diagramme von U ind (t) und U ind (x) aussehen? (Es soll x(0) = 0 sein.) Offenbar gilt für den magnetischen Fluss Φ(t) = B A(t) = B x(t) d, und das Induktionsgesetz liefert. U ind (t) = Φ(t) = B ẋ(t) d = B v(t) d. Wir müssen also lediglich das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Stabes bestimmen. Nach Newton gilt für die Beschleunigung des Stabes a = F m = 2 m = konst., d.h. es liegt eine gleichmäßig s 2 beschleunigte Bewegung vor. Somit ist v(t) = at und es folgt U ind (t) = B v(t) d = B a t d = k t. Das U ind (t)-diagramm ist demnach eine Ursprungsgerade mit der Steigung k = Bad = B F m d = Vs m 2 2 m s 2 0,2 m = V s. Um U ind (x) zu bestimmen, muss die Zeit t durch den Ort x(t) des Stabes ersetzt werden. (U ind (x) = Φ (x) wäre total falsch, da es im Induktionsgesetz stets um die zeitliche Ableitung des Flusses geht!) Da bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung

119 3.3 Flussänderung als Ursache der Induktion erster Art 117 x(t) = 1 2 at2 gilt, folgt t(x) = 2x a und man erhält, dass das Schaubild von U ind (x) eine Wurzelfunktion sein wird: 2x U ind (x) = Bad t(x) = Bad a = Bd 2ax = 2aBd x, welches im Vergleich zur normalen Wurzelfunktion mit dem Faktor 2aBd = 4 m Vs 0,2 m = s 2 m 2 in y-richtung gestaucht wird. Zeichnen könnt ihr die Diagramme nun hoffentlich selber. Bemerkung: Anwenden des Induktionsgesetzes U ind (t) =. Φ(t) liefert hier, dass die Bvd-Formel auch für zeitlich veränderliches v(t) gilt. Dies ist keineswegs klar, denn wir hatten diese Formel ja nur für konstantes v, also auch konstante Lorentzkraft F L = evb hergeleitet. V m Beispiel 3: Wir berechnen U ind, wenn der Leiter in nebenstehender Situation aus der Ruhe reibungsfrei nach unten zu rollen beginnt. Da er durch die konstante Hangabtriebskraft beschleunigt wird, gilt s(t) = 1 2 at2, wobei laut Newton a = F H mg sin α = m m = g sin α ist. Die zu Beginn vom B-Feld durchsetzte Fläche der Schleife (die hier aus Leiter, Schienen und angeschlossenem Voltmeter besteht) ist A 0 = d l. Bewegt sich der Leiter um die Strecke s(t), so nimmt diese Fläche um d s(t) ab, d.h. es ist A(t) = A 0 d s(t). Für die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Projektionsfläche A (t) ergibt sich A (t) = A(t) cos α = (d l d s(t)) cos α = d (l 1 2 g sin α t2) cos α. Laut Induktionsgesetz erhält man U ind als Ableitung des magnetischen Flusses d.h. Φ(t) = B A (t) = Bd ( l 1 2 g sin α t2) cos α, U ind (t) =. Φ(t) = Bd ( l 1 2 g sin α t2). cos α = Bdg sin α cos α t = k t. Der Betrag der Induktionsspannung steigt also ebenso wie in Beispiel 2 linear mit der verstrichenen Zeit t an (natürlich nur so lange, bis der Leiter das Ende der Schienen erreicht hat, also bis t = 2l/a ). Am negativen Vorzeichen lässt sich ablesen, dass der magnetische Fluss mit der Zeit abnimmt. Würde der Stab die Schienen hinaufgezogen, so wäre U ind > 0, da dann ja A zunehmen würde und damit die Ableitung von Φ positiv wäre. (Für sich allein betrachtet, sagt das Vorzeichen von U ind allerdings gar nichts aus, da sich durch Umpolen des Voltmeters dieses Vorzeichen ganz einfach umdrehen würde. Wir setzen hier also stillschweigend immer voraus, dass die Polung, in der U ind gemessen wird, zu unserer. Φ-Formel passt.)

120 118 3 Induktion erster Art Beispiel 4: (Wechselspannungsgenerator) Eine Spule mit n Windungen (im Bild ist nur eine Windung dargestellt) und der Querschnittsfläche A rotiere in einem homogenen, statischen Magnetfeld der Flussdichte B um die eingezeichnete Drehachse. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die dabei induzierte Spannung U ind (t) = n.φ(t) = n (B A (t)). = n (B A cos α(t)). = nba (cos α(t)).. Kettenregel: (cos α(t)). = sin α(t).α(t). Handelt es sich um eine gleichförmige Rotationsbewegung, d.h. es liegt eine konstante Winkelgeschwindigkeit ω = 2πf, so ist α(t) = ω t (wir nehmen dabei α 0 = 0 an, die Spulenfläche A soll für t = 0 also senkrecht zum B-Feld stehen), und es folgt U ind (t) = nba sin(ωt) (ωt). = ω nba sin(ωt). Diese rotierende Spule liefert uns also eine wunderschöne sinusförmige Wechselspannung. Um diese abzugreifen, kann man natürlich nicht einfach Kabel mit den Punkten P und Q verbinden (diese rotieren ja mit), sondern man muss mit Schleifkontakten arbeiten. Dies ist einer der Gründe, warum man bei der großtechnischen Erzeugung von Wechselspannung im E-Werk einen Magneten in einer ruhenden Spule rotieren lässt (Induktion 2. Art). Zahlenbeispiel: Es sei f = 50 Hz (Netzfrequenz), n = 100, B = 10 mt und A = 25 cm 2. Um die Periode der Sinusfunktion sin(ω t) besser erkennen zu können, schreibt man ω = 2πf = 2π T, d.h. ab t = T wiederholt sich der Sinus. Wegen f = 1 T ist seine Periodendauer damit T = 1 f = 1 50 s = 20 ms. Für die Amplitude gilt ω nba = 2π 50 1 s T m 2 0,785 V Insgesamt ergibt sich der links dargestellte Spannungsverlauf. Bestimme abschließend (mit Hilfe der Lorentzkraft) die Polung von P und Q in der oben gezeichneten Position, und entscheide anhand dessen, ob U ind = U P Q oder U QP ist. Beispiel 5: Eine kreisförmige Leiterschleife vom Radius r = 5 cm wird senkrecht von einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B = 0,6 T durchsetzt. Nun wird die Leiterschleife in der Zeitspanne t = 0,1 s auf ein Viertel der ursprünglichen Fläche zusammengequetscht. Die bei diesem Vorgang in der Leiterschleife induzierte Spannung beträgt im Mittel: U ind = Φ t = B A 3 t = B 4 πr2 t 0,6 T 5, m 2 0,1 s 35 mv. Da wir nichts über den genauen zeitlichen Ablauf des Quetschvorganges wissen (z.b. ob die Flächenabnahme linear verläuft), können wir nicht mit der Ableitung von Φ(t) arbeiten, sondern müssen die mittlere Änderungsrate Φ/ t verwenden.

121 119 4 Induktion zweiter Art All die Beispiele zur Induktion erster Art (bis auf das Letzte) hätte man auch mit der Formel U ind = Bv s in den Griff bekommen. Hier war also die Flussänderung nur eine elegante Lösungsmöglichkeit, die vielleicht etwas Zeit spart. Jetzt aber kommt der eigentliche Siegeszug der Flussformel; sie ist nämlich so allgemein gehalten, dass sie auch auf Induktionsvorgänge zweiter Art anwendbar ist, obwohl es sich hier physikalisch um etwas komplett anderes handelt! 4.1 Flussänderung als Ursache der Induktion zweiter Art und das allgemeine Induktionsgesetz Wir betrachten nun eine ruhende Leiterschleife, die sich in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld befindet. Diese zeitliche Änderung kann z.b. dadurch erreicht werden, dass man in der Nähe der Schleife einen Permanentmagneten bewegt, wodurch sich die Flussdichte am Ort der Schleife verändert. Oder man platziert die Leiterschleife in der Nähe (bzw. in) einer Spule, und variiert deren felderzeugenden Strom, wodurch dann auch die Stärke des Spulenfeldes verändert wird. Zwar ist jetzt die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche A konstant, aber dennoch ändert sich der magnetische Fluss Φ = BA, da die Anzahl der die Schleife durchsetzenden Feldlinien zu- bzw. abnimmt. Für die Änderungsgeschwindigkeit des Flusses gilt jetzt. Φ(t) = (B(t)A ). = Ḃ(t)A, d.h. je schneller die Magnetfeldänderung erfolgt, desto größer ist auch der Betrag der Flussänderung. Wäre es nicht toll, wenn auch bei einem solchen Vorgang für die induzierte Spannung dasselbe Gesetz wie bei der Induktion erster Art, also gelten würde? Prüfen wir das doch einfach nach. U ind (t)! = n.φ(t) = nḃ(t)a V In unserer großen Spule ( n 1 = , l = 0,48 m ) wird der Strom mit Hilfe einer elektronischen Schaltung innerhalb von 30 Sekunden linear von 0 auf 100 ma hochgefahren. Inmitten der großen Spule liegt koaxial eine Induktionsspule (n 2 = 2000, Fläche A = 28 cm 2 ), an deren Enden die Induktionsspannung gemessen wird. Während des Hochfahrens gilt für die Magnetfeldzunahme Ḃ(t) = ( µ 0 n1 wobei aufgrund des linearen Stromanstieges. B(t) = 4π 10 7 Tm A l I(t) ). = µ 0 n1 l. İ(t), I(t) = I t = 0,1 A 30 s = konst. ist. Damit: ,48 m 0,1 A 30 s 1, T s. Stimmt unsere Vermutung, dann müsste während der Magnetfeldzunahme eine Spannung von U ind = n 2.Φ = n 2 Ḃ A 0,78 mv induziert werden. Und tatsächlich zeigt ein an die Induktionsspule angeschlossenes Voltmeter eine konstante Spannung in genau dieser Größenordnung an! Jedes weitere Experiment zur Induktion zweiter Art bestätigt die Gültigkeit von U ind = n.φ, weshalb wir diese Gleichung nun als allgemeines Induktionsgesetz festhalten. Zu Ehren des genialen Experimentators und Entdeckers der Induktion, wird es nach Faraday benannt, obwohl dieser nicht über die mathematischen Kenntnisse verfügte, um es in dieser Form niederzuschreiben.

122 120 4 Induktion zweiter Art Faradays Induktionsgesetz: Eine Spule mit n Windungen werde vom magnetischen Fluss Φ = B A durchsetzt. Ändert sich dieser Fluss (egal ob durch Induktion erster oder zweiter Art), so wird eine Spannung in der Spule induziert, deren Größe zur Änderungsgeschwindigkeit des Flusses proportional ist: U ind (t) = n.φ(t). Beachte, dass dieses Gesetz auch für den Fall gilt, dass gleichzeitig Induktionprozesse beider Arten ablaufen. Ändert sich sowohl A (Induktion 1. Art), als auch B (Induktion 2. Art), so folgt mit der Produktregel für die Ableitung des Flusses: U ind = n.φ = n (B A ). = n (Ḃ A + B Ȧ ). 4.2 Was geschieht physikalisch bei der Induktion zweiter Art? Wir wissen nun zwar, dass auch die Induktion zweiter Art durch dasselbe mathematische Gesetz wie die Induktion erster Art beschrieben wird, aber wir haben noch nicht die leiseste Ahnung, was die eigentliche Ursache für das Entstehen der Induktionsspannung in diesem Falle sein könnte. Die Lorentzkraft kommt sicherlich nicht in Frage, denn Leiter, und damit auch die Elektronen in ihm, ruhen ja (abgesehen von ihrer thermischen Zitterbewegung, deren Effekte sich im Mittel stets anullieren). Hier betritt nun der geniale schottische Physiker James Clerk Maxwell ( ) die Bühne. Er entwickelte ca vier Gleichungen, in denen alle Grundlagen des Elektromagnetismus zusammengefasst sind! Unter anderem folgerte er aus diesen Gleichungen die Existenz elektromagnetischer Wellen, deren Nutzung (z.b. in der drahtlosen Datenübertragung) aus unserem heutigen Leben nicht mehr wegzudenken ist. Eine dieser berühmten vier Maxwell-Gleichungen lautet E = B t.. B des magnetischen Auf der rechten Seite steht die (negative) zeitliche Änderungsgeschwindigkeit Flussdichtevektors, während links ein komplizierter mathematischer Ausdruck steht; die sogenannte Rotation, kurz: rot, des E-Feldes (siehe Ausblick), welche ein Maß für seine Verwirbelung ist. Merke: Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld ruft stets ein elektrisches Wirbelfeld, d.h. ein E- Feld mit geschlossenen Feldlinien, hervor. Warum das so ist, können wir nicht sagen; das ist ein physikalisches Grundgesetz, ebenso wie die Tatsachen, dass z.b. zwei negative Ladungen sich abstoßen, oder zwei Massen sich anziehen. Rechts ist die Entstehung eines elektrischen Wirbelfeldes für den Fall einer B-Feldzunahme bildlich dargestellt. Die geschlossenen E-Feldlinien entstehen hierbei natürlich nicht nur an dem eingezeichneten Querschnitt. Die Pfeilrichtung der Wirbelfeldlinien werden wir später diskutieren (siehe Lenz sche Regel ).

123 4.2 Was geschieht physikalisch bei der Induktion zweiter Art? 121 Mit diesem neuen Wissen über die Entstehung eines elektrischen Wirbelfeldes bei Magnetfeldänderung ist nun die Induktion zweiter Art leicht zu verstehen: Befindet sich eine Leiterschleife wie im Bild in einem zeitlich veränderlichen B-Feld, so ruft dieses ein elektrisches Wirbelfeld hervor. Dessen Feldlinien durchsetzen den Leiter und üben eine elektrische Kraft auf die darin befindlichen Elektronen aus (wie immer entgegengesetzt zur Feldrichtung), wodurch diese sich zu bewegen beginnen. So entsteht eine Ladungstrennung, die wir als Induktionsspannung messen können. Wird die Schleife im Bild rechts um 90 gedreht, so dass sie parallel zu den B-Feldlinien liegt, dann verlaufen die E - Feldlinien nicht mehr entlang der Schleife, sondern stehen senkrecht auf ihr. Damit können sie keine räumliche Ladungstrennung zwischen den Enden der Schleife mehr bewirken und folglich verschwindet die Induktionsspannung. Dies muss nach dem Induktionsgesetz natürlich so sein, denn in diesem Fall ist der Fluss (und damit auch seine Änderung) stets Null, da A = 0. Im Unterschied zur Induktion erster Art verschwindet hier aber nicht die eigentliche Ursache (bei 1. Art die Lorentzkraft); das Wirbelfeld entsteht weiterhin, nur hat es jetzt nicht mehr dieselbe Wirkung auf die Elektronen, wie wenn es entlang des Leiters verläuft. Ausblick: Das elektrische Feld ist ein Vektorfeld E (x,y,z,t), welches von den drei Raumkoordinaten x, y und z, sowie von der Zeit t abhängt. Da es jedem Raumpunkt einen dreidimensionalen Feldstärkevektor zuordnet, besitzt das E-Feld drei Komponenten: E 1 (x,y,z,t) E (x,y,z,t) = E 2 (x,y,z,t). E 3 (x,y,z,t) Seine Rotation ist definiert als rot E = y E 3 z E 2 E = z E 1 x E 3, x E 2 y E 1 wobei x abkürzend für die (partielle) Ableitung nach der x-komponente steht; entsprechend sind y und z definiert. In voller Schönheit ausgeschrieben lautet obige Maxwell-Gleichung also E 3 (x,y,z,t) E 2(x,y,z,t) B 1 (x,y,z,t) y z E 1 (x,y,z,t) E 3(x,y,z,t) t B = 2 (x,y,z,t). z x E 2 (x,y,z,t) E 1(x,y,z,t) t B 3 (x,y,z,t) x y t Um Kenntnisse über das genaue Aussehen des elektrischen Wirbelfeldes zu erhalten, müsste man dieses System gekoppelter partieller Differentialgleichungen lösen, weshalb wir in der Schule spätestens an dieser Stelle aufhören. Eine wichtige Sache im Zusammenhang mit dem elektrischen Wirbelfeld sei jedoch noch erwähnt. Von den elektrostatischen Feldern her sind wir gewohnt, dass die Gesamtspannung entlang eines geschlossenen Weges verschwindet. Da das Wirbelfeld kein elektrostatisches Feld ist, gilt das hier nicht mehr. Wird z.b. ein Elektron in einer Leiterschleife von einem elektrischen Wirbelfeld einmal im Kreis herum geführt, so ergibt sich eine von Null verschiedene Umlaufspannung, U = E ds, Schleife welche wir als Induktionsspannung messen. Insbesondere lässt sich in elektrischen Wirbelfeldern kein Potential definieren, denn dieses müsste ja wegunabhängig sein.

124 122 4 Induktion zweiter Art Die Existenz des elektrischen Wirbelfeldes kann man nicht nur am Auftreten einer Induktionsspannung erkennen; man kann es sogar sichtbar machen! V Elektrodenlose Ringentladung Um eine mit Neon (unter geringem Druck) gefüllte Glaskugel werden ein paar Windungen Draht gewickelt. Durch diese Ringspule werden kurze, heftige Stromstöße einer hochfrequenten Wechselspannung gejagt, woraufhin das Gas in der Kugel auf einem geschlossenen Kreisring rötlich zu leuchten beginnt. Im Gas fließt demnach ein Strom, obwohl keinerlei spannungsführenden Elektroden von außen in das Gas gebracht wurden (wie z.b. bei einer Leuchtstoffröhre)! [ Bildquelle: Metzler / Physik ] Erklärung: Um die Spule herum entsteht ein schnell und stark veränderliches Magnetfeld, welches wiederum ein starkes elektrisches Wirbelfeld erzeugt. Dieses ionisiert die Neonatome und beschleunigt die freien Elektronen (und die Neonionen) entlang seiner geschlossenen Feldlinien. Durch Zusammenstöße mit Elektronen werden die Gasteilchen zum Leuchten angeregt (wie in der Wehneltröhre). Der folgende Versuch demonstriert nochmals auf eindrucksvolle Weise die Wirkung eines elektrischen Wirbelfeldes. V wireless lightbulb An die Enden einer Ringspule aus Kupferdraht ist eine Glühbirne gelötet. Diese Ringspule wird über den verlängerten Eisenkern einer felderzeugenden Spule gestülpt, welche an die Steckdose angeschlossen wird. Sobald man den Schalter drückt, leuchtet die Glühbirne hell auf, obwohl keinerlei leitende Verbindung zur Steckdose besteht. Erklärung: Um den Eisenkern der Spule herum entsteht durch die Netz-Wechselspannung ein sich ständig auf- und abbauendes Magnetfeld, welches wiederum ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt, das im Takt des magnetischen Wechselfeldes seine Richtung ändert. Dieses Wirbelfeld bringt die Elektronen im Kupferdraht der Ringspule zum Zappeln, induziert also einen Wechselstrom, welcher die Glühlampe zum Leuchten bringt. Aufgrund dieser neuen Erkenntnisse müssen wir einen früher aufgestellten Merksatz zur Ursache elektrischer Felder verallgemeinern. Elektrische Felder werden von geladenen Teilchen erzeugt oder von zeitlich veränderlichen Magnetfeldern (ganz ohne Beteiligung von Materie!).

125 123 5 Die Lenz sche Regel Bisher haben wir zur Messung der Induktionsspannung stets ein hochohmiges Voltmeter verwendet, so dass die in der Leiterschleife fließenden Ströme vernachlässigbar klein waren. Jetzt überlegen wir, was passiert, wenn die Enden der Induktionsschleife über einen kleinen Widerstand verbunden werden, so dass nun merkliche Induktionsströme fließen können. Ein Leiter bewege sich auf zwei Schienen im Abstand d senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B. Anstatt die dabei entstehende Induktionsspannung mit einem Voltmeter zu messen, verbinden wir die Schienen mit einem niederohmigen Widerstand R (z.b. einem Amperemeter). Daraufhin beginnt ein Induktionsstrom der Stärke I zu fließen. Überzeuge dich mit Hilfe der linken-hand-regel davon, dass dessen Richtung im Bild richtig eingezeichnet ist. Achtung: Nicht durch das + und verwirren lassen; der bewegte Stab fungiert hier als Spannungsquelle, d.h. in seinem Inneren, wo Ladungstrennung durch Induktion stattfindet, fließt der Strom von nach +! Der vom Induktionsstrom durchflossene Leiter erfährt nun im Magnetfeld selbst eine Kraft der Größe F = IBd, welche nach links zeigt (rechte-hand-regel), und somit die Bewegung des Leiters nach rechts behindert. Dass dies so sein muss, zeigt die folgende Überlegung: Angenommen, die Kraft auf den Induktionsstrom würde nach rechts zeigen, dann würde der Stab beschleunigt, d.h. v würde steigen, wodurch auch die Induktionsspannung U ind = Bvd anwachsen würde, was wiederum eine Steigerung der Induktionsstromstärke I = U ind /R nach sich zöge, wodurch die Kraft F = IBd erhöht und der Stab noch stärker beschleunigt würde etc.... Wir müssten den Stab also nur einmal kurz antippen, woraufhin dieser immer schneller würde (E kin ) und zudem eine immer größere elektrische Leistung P = U ind I abgeben könnte. Kurz gesagt, wir hätten ein perpetuum mobile, dessen Existenz dem EES widerspricht. In der Tat passt die Energieerhaltung auch mit unseren bisherigen Formeln zusammen: Um den Stab in obiger Anordnung mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts weiter zu bewegen, muss gegen die Bremskraft F = IBd Arbeit verrichtet werden. Man muss mit einer betragsmäßig gleich großen Kraft nach rechts ziehen, damit der Stab sich kräftefrei, also gleichförmig weiterbewegt (Trägheitsgesetz!). Dabei steckt man entlang einer Strecke s die mechanische Arbeit W mech = F s = IBds in das System (Reibung wird vernachlässigt). Diese hält einen konstanten Induktionsstrom aufrecht, der am Widerstand die elektrische Arbeit W el = U I t verrichtet, welche in Form von Wärme abgeführt wird. Nun ist aber der Spannungsabfall am Widerstand betragsmäßig gleich der induzierten Spannung, denn der bewegte Stab ist ja die einzige Spannungsquelle im Stromkreis, und der Widerstand der einzige Verbraucher (der Widerstand des Stabes und der Schienen wird vernachlässigt). Damit folgt W el = U ind I t = Bvd I s v = IBds = W mech. Das folgende Gesetz, welches letztendlich die Energieerhaltung bei Induktionsprozessen beinhaltet, geht auf den deutsch-estländischen Physiker Heinrich Lenz zurück (1834): Lenz sche Regel: Ein Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er seiner Entstehungsursache entgegenwirkt.

126 124 5 Die Lenz sche Regel Bei der Induktion erster Art lässt sich die Polung der Induktionsspannung und damit auch die Richtung des Induktionsstromes formal mit Hilfe der Lorentzkraft bestimmen. Die Lenz sche Regel erlaubt jedoch stets eine viel direktere Bestimmung der Richtung des Induktionsstromes, wie anhand der beiden folgenden wunderbaren Versuche demonstriert werden soll. Da es sich hier jeweils um Induktion zweiter Art handelt, könnten wir die Richtung des Induktionsstromes auch gar nicht formal bestimmen, denn wir können die Orientierung des elektrischen Wirbelfeldes noch nicht vorhersagen (da wir für die Maxwell-Gleichung mathematisch zu unterbelichtet sind). V Thomson scher Ringversuch (von Elihu Thomson, nicht J.J. Thomson, Entdecker des e ) Über den verlängerten Eisenkern einer Spule wird ein Aluminium-Ring gestülpt. Setzt man die Spule durch Betätigen des Schalters S kurz unter Gleichstrom, so fetzt es den Ring nach oben weg. Anleitung zur Erklärung: Überlege dir zunächst, welche Richtung die Magnetfeldlinien des sich aufbauenden Spulenfeldes haben. Nach Lenz muss der durch die Magnetfeldzunahme im Ring induzierte Strom ( Wirbelstrom ) seiner Ursache entgegenwirken, also das anwachsende Spulenfeld abschwächen. Welche Richtung muss er demnach besitzen? Finde mit der drei-finger-regel heraus, in welche Richtung die Lorentzkraft wirkt, die das Spulen-Magnetfeld auf die Elektronen des Wirbelstromes ausübt. Bei diesem Versuch ist unbedingt zu beachten, dass der Eisenkern nicht aus einem massiven Block bestehen darf. Denn auch dieser wird von dem elektrischen Wirbelfeld durchsetzt und es würden sich starke Wirbelströme ausbilden, die einen Großteil der Energie in Form von Wärme abführen würden. Stattdessen baut man den Kern aus vielen kleinen Teilen zusammen (z.b. dünne Bleche), die gegeneinander isoliert sind, und vermeidet so das Entstehen unerwünschter Wirbelströme. Dasselbe gilt für die Kerne von Transformatoren. V Magnet im Alurohr Ein kleiner, zylindrischer Neodym-Magnet wird durch ein Alurohr fallen gelassen (zur Erinnerung: Aluminium ist nicht magnetisch!), wobei er atemberaubend langsam nach unten segelt. Erkläre diese Beobachtung, indem du überlegst, in welche Richtung die im Alurohr induzierten Wirbelströme oberhalb bzw. unterhalb des fallenden Magneten fließen müssen, um der Magnetfeldab- bzw. zunahme entgegen zu wirken (Lenz!). Welche Wirkung haben die Magnetfelder dieser Wirbelströme jeweils auf den Neodym- Magneten? Verwendet man ein Bleirohr, so wird der Magnet wesentlich weniger stark abgebremst. Warum wohl? Nach diesem Prinzip funktionieren übrigens Wirbelstrombremsen. (Details: Siehe Kurzreferat!) Aus den beiden Versuchserklärungen geht auch die Orientierung des elektrischen Wirbelfeldes bei Magnetfeldzu- bzw. -abnahme hervor, denn die (technische!) Richtung des Induktionsstromes stimmt mit der Feldlinienrichtung überein. Prüfe nach, ob die Pfeilrichtung in 4.2 stimmt!

127 125 Zum Schluss noch eine Bemerkung über das Vorzeichen der Induktionsspannung. Viele Bücher definieren die Induktionsspannung als U ind = n.φ, wobei das Minuszeichen automatisch die Lenz sche Regel berücksichtigen soll. Meiner Erfahrung nach sind unreflektiert gesetzte Vorzeichen eine der größten Fehlerquellen der gesamten E-Lehre, weshalb wir auf dieses Minuszeichen hier verzichten. Solange sich keine zusätzliche Spannungsquelle im Induktionsstromkreis befindet, ist das Vorzeichen der Induktionsspannung sowieso irrelevant. Außer es wird explizit angegeben, in welche Richtung U ind gemessen werden soll: Sind z.b. P und Q die beiden Anschlüsse einer Spule, und wird die induzierte Spannung als U P Q gemessen, so berechnet man zunächst U ind = n.φ und entscheidet dann, welcher Punkt auf höherem Potential liegt (bei Induktion erster Art mit Hilfe der linken- Hand-Regel). Ist es P, so ist U P Q = U ind > 0; andernfalls ist U P Q = U ind < 0. Den interessanteren Fall, wo es eine zusätzliche Spannungsquelle im Induktionsstromkreis gibt, diskutieren wir ausführlich im nächsten Kapitel.

128 PH K1 / Glos / Blatt 6 Elektromagnetische Induktion (1) (LK 03, BY) Ein quadratisches Rähmchen mit der Diagonalenlänge d = 8 cm wird mit der konstanten Geschwindigkeit v = 0,5 cm s senkrecht zu den Feldlinien in ein räumlich begrenztes homogenes Magnetfeld der Flussdichte B = 0,4 T geschoben. An den Enden A und E des Drahtes wird ein empfindliches Mikrovoltmeter angeschlossen. Zum Zeitpunkt t = 0 s taucht die Spitze C gerade in das Magnetfeld ein. Bestimme zunächst den magnetischen Fluss Φ durch das Rähmchen und die aufgrund der Flussänderung induzierte Spannung in den Zeitintervallen 0 s t 8 s sowie 8 s t 16 s. Zeichne das U ind (t)-diagramm für 0 s t 40 s. (2) Ein leitfähiger Ring aus elastischem Material wird gleichförmig ausgedehnt, so dass für seinen Radius r = r 0 + vt gilt. Er befindet sich dabei in einem homogenen Magnetfeld, das ihn senkrecht durchsetzt. Berechne mit dem Induktionsgesetz die hierbei im Ring induzierte Spannung. (Veranschauliche die Ursache dieser Induktion mit Hilfe der Lorentzkraft!) (3) Ein leitender Metallstab gleitet reibungsfrei mit v = 14 cm s auf horizontalen Metallschienen. Der Schienenabstand beträgt zunächst d = 20 cm, bei x = 0 cm laufen sie um jeweils α = 20 auseinander und ab a = 35 cm sind die Schienen wieder parallel. Zur Zeit t = 0 s tritt der Stab bei x = 0 cm in ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B = 0,80 T ein, welches die Schienenebene senkrecht durchsetzt. a) Erläutere, wieso zwischen den Punkten P und Q für t > 0 s eine Spannung entsteht und gib deren Polung an. Berechne U ind (t), indem du dir überlegst, dass der magnetische Fluss für 0 < x < a durch Φ(t) = Bdv t + Bv 2 tan(α) t 2 beschrieben wird (zerlege dazu A(t) in geeignete Teilflächen), und stelle einen Zusammenhang zur Bvs-Formel her! Zeichne U ind (t) für 0 t 5 s. b) Die Punkte P und Q werden nun leitend verbunden. Erläutere (mit Skizze!), wieso die Bewegung des Stabes sich von der in a) unterscheidet, wenn er jetzt in das Magnetfeld hineinrollt. Handelt es sich um eine gleichmäßig verzögerte Bewegung? (4) (gk 04, BY) Eine kleine rechteckige Spule (s = 3 cm) mit 50 Windungen und kurzgeschlossenen Spulenenden besitzt den ohmschen Widerstand R = 0,50 Ω. Sie wird gleichförmig mit v = 1,5 cm s in ein homogenes, quadratisches Magnetfeld (b = 9 cm) der Flussdichte B = 0,8 T gezogen, welches die Spulenfläche senkrecht durchsetzt. Nachdem ihr rechter Rand in das Magnetfeld eingetreten ist, wird sie 10 s lang gleichförmig nach rechts bewegt.

129 a) Bestimme Betrag und Richtung der Kräfte, die in dieser Zeit auf die Spule wirken. b) Nun wird die ursprüngliche Anordnung um 90 gedreht, so dass die Spule nach unten durch das Magnetfeld fallen kann (ohne zu kippen; die Feldlinien durchsetzen sie stets senkrecht). Erläutere qualitativ, wie der eigentlich freie Fall der Spule durch das Magnetfeld beeinflusst wird und skizziere ein v(t)-diagramm (die Spule soll zur Zeit t = 0 s mit v = 0 m s in das B-Feld eintreten). Welchen Einfluss hätte eine Verdopplung des Widerstandes R auf die Bewegung? (5) (LK 97, BY) Ein metallischer Zeiger dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um M. Seine Spitze S gleitet auf einem Metallring vom Radius R, welcher von einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B durchflutet wird. Zwischen der Zeigerachse und dem Ring ist ein Spannungsmeßgerät geschaltet. a) Berechne die zwischen M und S induzierte Spannung als Verschiebearbeit pro Ladung (Achtung: Die Arbeit wird von der Lorentzkraft verrichtet, welche hier nicht konstant ist!) b) Zeige, dass auch stures Anwenden des Induktionsgesetzes dasselbe Ergebnis wie in a) liefert. (Bestimme zunächst die Flächenänderung A, die der Zeiger bei einer Drehung um einen kleinen Winkel α erzeugt.) Wer erkennt, welche Bedeutung A(t) hier hat und wieso stets Ȧ(t) > 0 sein sollte? (6) Der felderzeugende Strom I 1 mit dem folgenden zeitlichen Verlauf fließt durch eine lange, schlanke Spule der Länge l 1 = 60 cm mit n 1 = 1000 Windungen. Eine negative Stromstärke ist dabei so zu interpretieren, dass der Strom seine Richtung geändert hat, d.h. die Spannungsquelle der Feldspule wurde umpepolt. In der Mitte dieser Spule befindet sich parallel zur Spulenachse eine Induktionsspule mit n 2 = 4000 Windungen und der Querschnittsfläche A 2 = 19,6 cm 2. (µ 0 = 4π 10 7 Vs a) Bestimme den zeitlichen Verlauf der in der zweiten Spule induzierten Spannung und zeichne das U ind (t)-diagramm oben mit ein (wähle geeignete Einheiten auf der y-achse). b) Begründe mit Hilfe der Lenz schen Regel, warum die Induktionsspannung bei der Richtungsänderung des Stromes (kurz nach t = 9 s) ihre Polung nicht wechselt. Am )

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138 b) siehe Unterricht!

139 137 6 Selbstinduktion Befindet sich eine Spule in einem Stromkreis, so geschehen beim Ein- oder Ausschalten des Stromes scheinbar seltsame Dinge, die wir nun genauer verstehen wollen. 6.1 Selbstinduktion beim Einschaltvorgang V Zwei Glühlampen L 1 und L 2 werden parallel an eine Batterie angeschlossen. Vor L 1 ist ein Widerstand R geschaltet, vor L 2 eine Spule mit Eisenkern. (R wird dabei so gewählt, dass die beiden Lampen gleich hell leuchten.) Beim Einschalten passiert etwas Überraschendes: Während L 1 sofort nach Schließen des Schalters S zu leuchten beginnt, beginnt L 2 erst mit merklicher Verzögerung zu leuchten! Die Stromstärke im Spulenzweig steigt also nicht so schnell an, wie im anderen Zweig des Stromkreises. Entfernt man den Eisenkern aus der Spule, so ist dieser Effekt kaum mehr beobachtbar; er muss also etwas mit der Stärke des Spulenmagnetfeldes zu tun haben (und nicht etwa mit der Länge des Spulendrahtes). Tatsächlich ist dieser Effekt mit unserem bisherigen Wissen schnell erklärt. Es handelt sich schlicht und ergreifend um Induktion zweiter Art, die in den Spulenwindungen selbst stattfindet. Durch die Zunahme des magnetischen Flusses entsteht ein elektrisches Wirbelfeld, welches die Windungen der Spule durchsetzt und dort eine Induktionsspannung erzeugt. Nach Lenz muss diese ihrer Ursache, also dem Anwachsen des felderregenden Spulenstromes, entgegenwirken. Daher wird der Anstieg der Stromstärke im Spulenzweig des obigen Stromkreises behindert. Diese Induktionswirkung eines sich ändernden Magnetfeldes auf den eigenen Leiterkreis bezeichnet man als Selbstinduktion. 6.2 Die Induktivität einer Spule Bei langen Spulen lässt sich der Vorgang der Selbstinduktion leicht in eine Formel fassen. Dort gilt nämlich für den magnetischen Fluss Φ = B A = µ 0 µ r n l I A, und laut Induktionsgesetz folgt für die selbstinduzierte Spannung (wir gehen beim Ableiten vereinfachend von µ r = konst. aus, was bei eisenhaltigen Spulenkernen nicht erfüllt ist; Stichwort: Hysterese) U ind = n.φ = µ 0 µ r n2 A l İ = L İ. Im letzten Schritt wurden dabei alle Spulenkonstanten zu einer einzigen Größe L, der sogenannten Induktivität (auch: Eigen- oder Selbstinduktivität) der Spule zusammengefasst. Beispielsweise ist bei unserer großen NEVA-Spule n = , l = 0,48 m und A = 48 cm 2, womit sich hier (bei Luftfüllung) eine Induktivität von L = µ 0 n2 A l 6 Vs = 1,26 10 Am ,0048 m 2 0,48 m = 3,23 Vs A = 3,23 H ergibt. Die Einheit H steht für Henry, zu Ehren des Entdeckers der Selbstinduktion, dem amerikanischen Physiker Joseph Henry ( ). Fassen wir zusammen:

140 138 6 Selbstinduktion Wird eine Spule von einem zeitlich veränderlichen Strom durchsetzt, so tritt zwischen den Spulenenden eine Selbstinduktionsspannung auf, für die gilt U ind = L İ, d.h. sie ist der Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke proportional. Sie ist laut Lenz stets so gepolt, dass sie die Ursache der Induktion behindert, hier also die Änderung der Stromstärke. Der Proportionalitätsfaktor L heißt Induktivität, und ist bei einer langen Spule gegeben durch L = µ 0 µ r n2 A l. Noch zur anschaulichen Bedeutung der Einheit Henry: Steigt die Stromstärke mit einer Momentangeschwindigkeit von 1 A s in einer Spule der Induktivität L = 3,23 H, so wird dabei eine Spannung von U ind = L İ = 3,23 H 1 A s = 3,23 Vs A 1 A s = 3,23 V induziert. Diese Selbstinduktionsspannung wird der Batteriespannung im Leiterkreis entgegenwirken, d.h. sie erschwert das weitere Ansteigen des Spulenstromes. 6.3 Mathematische Behandlung des Einschaltvorganges Wir wollen nun herausfinden, wie die Funktion I(t) genau aussieht, welche den Stromstärkeverlauf während des Einschaltvorganges beschreibt, wenn sich eine Induktivität L in einem Stromkreis befindet. Dabei bedienen wir uns eines der mächtigsten Hilfsmittel der mathematischen Physik überhaupt: Wir stellen eine sogenannte Differentialgleichung (DGL) für den Einschaltvorgang auf. Doch zunächst schauen wir uns an, was das Experiment liefert. Nimmt man den Stromstärkeverlauf während des Einschaltvorganges mit einem Oszi auf, so ergibt sich nebenstehendes Bild (nach rechts ist die Zeit t, nach oben die Stromstärke I im Spulenkreis aufgetragen). Zunächst steigt I rasch an, wächst dann aber immer langsamer, bis sich nach einiger Zeit eine (nahezu) konstante Endstromstärke einstellt. Wer das in Mathe schon mal behandelt hat, wird sich bei diesem Kurvenverlauf an beschränktes Wachstum erinnert fühlen. Die folgende Herleitung wird diese Vermutung bestätigen. Wir betrachten eine Reihenschaltung aus einer Spule der Induktivität L und einem Widerstand R, die über einen Schalter S mit einer Batterie der Spannung U 0 > 0 verbunden sind. Diese Anordnung nennt man übrigens einen LR-Kreis. Der ohmsche Widerstand der Spule sei bereits in R berücksichtigt und die Induktivität der restlichen Schaltung soll vernachlässigbar klein gegenüber L sein. (Das Kabel ist nichts anderes als eine Spule mit einer Windung! Ebenso besitzt ein gewickelter Drahtwiderstand eine Induktivität.)

141 6.3 Mathematische Behandlung des Einschaltvorganges 139 Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen und die Stromstärke I(t) beginnt anzuwachsen. Wir laufen im nebenstehenden Schaltplan einmal im Kreis und betrachten dabei alle auftretenden Spannungen. Einigen wir uns darauf, die Spannungen stets in technischer Stromrichtung zu messen. Dies hat den Vorteil, dass der Spannungsabfall am Widerstand U R (t) = R I(t) stets positiv ist (denn die technische Stromrichtung weist von hohem zu tieferem Potential); die Spannung über der Batterie beträgt dann allerdings U 0, da wir von tiefem zu hohem Potential messen. Jetzt kommt der entscheidende Punkt: Da die Selbstinduktionsspannung der Batteriespannung entgegen arbeitet (Lenz!), muss die linke Seite der Spule auf höherem Potential als die rechte liegen (man stelle sich die Spule als weitere Spannungsquelle vor, die entgegengesetzt zur Batterie in Reihe geschaltet wird). Somit ist die über der Spule gemessene Spannung positiv und beträgt demnach U ind = L İ(t) > 0 (die Stromstärke steigt an, also ist die Ableitung von I(t) positiv). Einmal im Kreis gelaufen müssen sich alle Spannungen zu Null addieren, also: L İ(t) + R I(t) U 0 = 0 V. Auflösen nach der Zunahmegeschwindigkeit İ der Stromstärke ergibt. I(t) = U 0 L R L I(t). Dies ist eine sogenannte Differentialgleichung, da sie einen Zusammenhang zwischen der gesuchten Funktion I(t) und deren Ableitung İ(t), also ihrem Differentialquotienten, herstellt. Selbst ohne sie explizit lösen zu können, kann man an ihr schon einiges über den Einschaltvorgang ablesen. Da zu Beginn (t = 0) die Stromstärke noch Null ist, sprich I(0) = 0, folgt durch Einsetzen in die DGL, dass die (rechtsseitige!) Ableitung. I(0) = U 0 L ist, d.h. bei festem U 0 bestimmt allein die Induktivität L der Spule, wie schnell der Stromstärkeanstieg gleich nach dem Einschalten erfolgt. Anders ausgedrückt: Die Tangentensteigung der obigen Oszikurve ist zum Zeitpunkt t = 0 gleich U 0 /L, d.h. die Kurve startet umso flacher, je größer die Induktivität L der Spule ist! Danach sinkt die Zuwachsgeschwindigkeit der Stromstärke, denn es ist. I(t) = U 0 L R L }{{} I(t) < U 0 L = İ(0), >0 d.h. die Stromstärke wächst immer langsamer an. Will man wissen, welcher Endstromstärke I max die Kurve sich nähert, setzt man İ(t) = 0 (keine Zunahme der Stromstärke mehr) und erhält U 0 L R L I max = 0, also I max = U 0 R. Das Ergebnis ist nicht überraschend, denn wenn I sich nicht mehr ändert, kommt der Induktionsprozess in der Spule zum Erliegen und die Stromstärke wird nur noch von U 0 und R bestimmt. Nun aber zur Lösung der DGL des Einschaltvorganges. Wie man eine solche DGL systematisch löst, lernt ihr (vielleicht) in der Mathe-AG. Wir begnügen uns damit nachzurechnen, dass die Funktion ) I(t) = I max (1 e t τ

142 140 6 Selbstinduktion die gesuchte Lösung ist (für t 0). Dabei bezeichnet e t die e-funktion, welche die wunderbare Eigenschaft hat, sich beim Ableiten nicht zu ändern, d.h. es ist (e t ). = e t. Hinter der Zahl τ ( Tau ) verbirgt sich die Zeitkonstante des LR-Kreises, τ = L R, zu deren Bedeutung wir gleich kommen werden. Die Ableitung von I(t) ist nach der Kettenregel. I(t) = I max e t τ ( 1 τ ) = U 0 R R L e t τ = U 0 L e t τ. Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man I(t) in die rechte Seite der DGL einsetzt: ( ) ( ) U 0 L R L I(t) = U 0 L R L I max 1 e t τ = U 0 L R L U0 R 1 e t τ = U 0 L U 0 L ( 1 e t τ ) = U 0 L U 0 L + U 0 L e t τ = U 0 L e t τ. Damit haben wir nachgewiesen, dass obige Funktion I(t) tatsächlich eine Lösung der DGL ist. Nun aber noch zur Bedeutung der Zeitkonstanten τ = L R. Ist die Zeit t = τ nach dem Einschalten vergangen, so ist die Stromstärke auf ) I(τ) = I max (1 e τ τ = I max (1 e 1 ) 0,632 I max = 63,2 % I max angewachsen. Bereits nach t = 5τ ist ( ) I(5τ) = I max 1 e ( 5τ τ = I max 1 e 5 ) 0,993 I max = 99,3 % I max, d.h. die Stromstärke hat beinahe ihren Endwert erreicht und man kann den Einschaltvorgang für praktische Zwecke als abgeschlossen betrachten. Nach ca. fünf Zeitkonstanten ist also I konst. Den weiteren Umgang mit I(t) samt zugehörigem Schaubild, lernt ihr in den Übungsaufgaben. 6.4 Selbstinduktion beim Ausschaltvorgang V Eine Parallelschaltung aus einer Spule großer Induktivität L und einer Glimmlampe GL ist über einen Schalter mit einem 6 V-Akku verbunden (der Widerstand R dient nur der Stromstärkebegrenzung beim Einschalten). Beim Einschalten ist nichts zu beobachten. Dies ist nicht weiter verwunderlich, da die Zündspannung der Glimmlampe (ca. 100 V) weit über 6 V liegt, d.h. GL leuchtet beim Einschalten nicht auf. Beim Ausschalten leuchtet die Glimmlampe jedoch kurz auf, und zwar an der linken Elektrode. Hier muss zwischen den Enden von GL also kurzzeitig eine Spannung von über 100 V entstanden sein. Erklärung: Beim Öffnen von S wird die Spule vom Akku getrennt, d.h. ihre Stromstärke beginnt plötzlich stark abzusinken, woraufhin das Spulenmagnetfeld zusammenbricht. Dieses große. Φ ruft eine zunächst hohe Selbstinduktionsspannung (hier über 100 V) hervor, welche nach Lenz ihrer Ursache, also der Flussabnahme, entgegenwirken muss. Somit treibt U ind, nachdem sie GL gezündet hat, den Strom in seiner ursprünglichen Richtung weiter. Zeichne die Polung der Spule, die jetzt als Spannungsquelle fungiert, ein und überzeuge dich, dass diese mit dem Leuchten der linken Seite von GL zusammen passt. (Bei der Glimmlampe leuchtet die Elektrode auf, aus der die Elektronen in das Gas übertreten, also diejenige Elektrode, die mit dem Minuspol verbunden ist.)

143 6.5 Mathematische Behandlung des Ausschaltvorganges 141 Links ist die Oszi-Aufnahme von Strom- und U ind -Verlauf beim Ein- und Ausschaltvorgang dargestellt, wo man schön den Vorzeichenwechsel von U ind und insbesondere den hohen Spannungsstoß bei t aus erkennen kann, der durch die rasche Stromstärkeänderung (großes I. ) hervorgerufen wird. Beim Ausschalten von Stromkreisen mit Bauteilen großer Induktivität (Motoren, E-Magneten, etc.) sind diese hohen Spannungsstöße gefährlich und können sogar zum Funkenüberschlag am Schalter führen, was durch Parallelschalten eines Kondensators zum Schalter unterbunden wird. Diese hohen Spannungsstöße werden aber auch technisch angewendet bei Zündanlagen (Auto, Leuchtstoffröhre), Weidezäunen, Reizstromtherapie, etc. (siehe Kurzreferate). 6.5 Mathematische Behandlung des Ausschaltvorganges Durch Umlegen des Schalters S wird die Verbindung zur Batterie gekappt und die Spule ist die einzig verbleibende Spannungsquelle im Stromkreis. Die Ursache der Induktion ist nun die Abnahme der Stromstärke, und nach Lenz wird die Selbstinduktionsspannung versuchen, den Stromfluss in derselben Richtung aufrecht zu erhalten. Somit kehrt sich ihre Polung im Vergleich zum Einschaltvorgang um, und die Spannung über der Spule (gemessen in technische Stromrichtung) wird negativ. Also ist diese auch hier gegeben durch U ind = L İ(t) (beachte İ(t) < 0, da I(t) abnimmt). Einmal im Kreis laufen liefert L İ(t) + R I(t) = 0 V (der ohmsche Widerstand der Spule wird wieder vernachlässigt bzw. soll schon in R mit enthalten sein), d.h. die DGL des Ausschaltvorganges lautet Definieren wir wieder τ = L R. I(t) = R L I(t). als Zeitkonstante, so nimmt die DGL die Gestalt. I(t) = 1 τ I(t) an, und im Gegensatz zum Einschaltvorgang lässt sich hier leicht eine Lösung erkennen. Da die Ableitung bis auf einen Vorfaktor gleich der Funktion sein soll, probiert man es am besten mal mit einer e-funktion. Für die Ableitung der Funktion I(t) = c e λt gilt nach der Kettenregel. I(t) = λ c e λt = λ I(t). Setzt man λ = 1 τ, so erkennt man, dass I(t) = c e 1 τ t = c e t τ für jedes c R eine Lösung unserer DGL ist. In die Konstante c muss noch die Anfangsbedingung eingearbeitet werden: Zum Zeitpunkt t = 0 genau im Moment des Schalter-Umlegens betrage die Stromstärke I(0) = I 0 (falls nach dem Einschalten so lange gewartet wurde, dass sich eine konstante Stromstärke einstellen konnte, ist I 0 = U 0 /R), also muss für c gelten I(0) = c e 0 = c. Damit wird die Stromstärkeabnahme nach dem Ausschalten beschrieben durch

144 142 6 Selbstinduktion I(t) = I 0 e t τ, es handelt sich also um eine exponentielle Abnahme der Stromstärke. Ist die Zeit t = 5τ verstrichen, so ist die Stromstärke auf I(5τ) = I 0 e 5τ τ = I 0 e 5 0,007 I 0 = 0,7 % I 0 gesunken, d.h. man kann den Ausschaltvorgang praktisch als abgeschlossen betrachten.

145 PH K1 / Glos / Blatt 7 Selbstinduktion (1) Eine Spule der Eigeninduktivität L = 40 H und einem ohmschen Widerstand von 120 Ω wird in Reihe mit einem 80 Ω-Widerstand an eine 12 V-Batterie angeschlossen. a) Wie groß ist die maximale Stromstärke am Ende des Einschaltvorganges? b) Bestimme die Zeitkonstante τ dieses LR-Kreises (Einheitenrechnung!) und zeichne den Stromverlauf für 0 t 5τ. Begründe den Kurvenverlauf mit Hilfe der DGL des Einschaltvorganges; auch wie er sich bei einer größeren Induktivität L ändern würde. c) Nach welcher Zeit wird die Stromstärke I = 50 ma erreicht? d) Leite eine allgemeine Formel für die Halbzeit T H der Stromstärke her, d.h. die Zeit nach welcher 50 % von I max erreicht sind! (2) Die nebenstehende Schaltung wird an eine konstante Gleichspannung U 0 = 32 V gelegt. Die beiden Glühlampen L 1 und L 2 sind baugleich und als ohmsche Leiter zu behandeln. Die ohmschen Widerstände R sowie R sp der Spule, die eine sehr große Eigeninduktivität L besitzt, betragen jeweils 280 Ω. a) Was beobachtet man beim Schließen des Schalters? Begründe deine Antwort. Der zeitliche Verlauf der Stromstärke im Zweig mit der Spule sieht folgendermaßen aus: 100 I [ma] b) Wie groß ist der Widerstand einer Lampe? Begründe deinen Ansatz c) Bestimme mit Hilfe des Diagramms die Eigeninduktivität der Spule auf zwei verschiedene Arten t [s] d) Wie groß ist die Stromstärke im Spulenzweig, wenn die Selbstinduktionsspannung gerade 3,0 V beträgt? Rechnerische und grafische Lösung. (3) Ausschaltvorgang mit U 0 = 2 V und R ges = R + R sp = 100 Ω (Schaltplan: siehe S. 141). a) Stelle die DGL für den Ausschaltvorgang auf, und begründe mit ihrer Hilfe, wie die Abnahmegeschwindigkeit der Stromstärke von der Induktivität L der Spule abhängt. b) Gib die Lösung der DGL an (mit Nachweis). Skizziere die I(t)-Kurven für L 1 = 50 mh und L 2 = 200 mh, und berechne wie lange es bei beiden Spulen dauert, bis die Stromstärke auf 1 ma abgesunken ist. Leite zudem eine Formel für die Halbwertszeit T H her. (4) Die Spule hat den Widerstand R sp und die Glimmlampe soll (stark vereinfacht!) 1 einen sehr großen, aber konstanten Widerstand R gl R + R sp besitzen. Bestimme zunächst die Endstromstärke beim Einschalten und zeige dann mit der DGL des Ausschaltvorganges, dass beim Öffnen des Schalters (t = 0 s) die Spannung U ind (0) = L I(0) U 0 induziert wird. 1 (Vor dem Zünden ist GL wie ein Kondensator, d.h. R gl = ; erst nach dem Zünden sinkt R gl auf einen endlichen Wert.) (5) Steigt die Induktivität einer Spule, so entsteht beim Einschalten eine viel größere Induktionsspannung. Zeige mit Hilfe der DGL des Einschaltvorgangs, dass dies falsch ist, und korrigiere die Aussage.

146 144 6 Selbstinduktion Aufgabe 1 Lösungen zur Selbstinduktion a) Wartet man genügend lange (in der Praxis genügt t = 5τ), geht I 0, d.h. die Selbstinduktionsprozesse in der Spule kommen zum Erliegen, und es stellt sich eine konstante Stromstärke ein. Weil dann nur noch die Batteriespannung als treibende Kraft wirkt (da U ind 0), gilt für die maximale Stromstärke am Ende des Einschaltvorganges Im = U 0 R ges = U 0 = 12 V = 60 ma. R + R sp 200 Ω 40 Vs A 200 V A b) Für die Zeitkonstante τ dieses LR-Kreises ergibt sich τ = L R ges = wird der Stromverlauf während des Einschaltvorganges beschrieben durch: I(t) = Im ( ) ( 1 e t τ = 60 ma 1 e 5 s t). Auch ohne diese Lösung zu kennen, kann man den Kurvenverlauf anhand der DGL qualitativ verstehen:. I(t) = U 0 L R ges L I(t). Im Einschaltmoment ist I(0) = 0 A, woraus mit der DGL. I(0) = U 0 L I [ma] τ = 0,2 s. Damit t [s] 0,6 5τ folgt (rechtsseitige Ableitung!). Bei festem U 0 bestimmt also allein die Induktivität L der Spule den Stromstärkeanstieg gleich nach dem Einschalten. Je größer L, desto kleiner ist die Tangentensteigung I(0), desto flacher verläuft die I(t)-Kurve. Dies ist auch anschaulich klar, da L die Behinderung des Stromstärkeanstiegs beschreibt. Für t > 0 sinkt die Zuwachsgeschwindigkeit der Stromstärke, denn es ist. I(t) = U 0 L R >0 {}}{ ges L I(t) < U 0 L = İ(0), d.h. die Stromstärke wächst immer langsamer an, sprich die I(t)-Kurve flacht ab. Zusatz: Warum I(t) nicht negativ werden kann (dies würde ein Absinken von I bedeuten), ist allein anhand der DGL nicht offensichtlich. Verwendet man jedoch die Lösungsfunktion I(t) der DGL, so sieht man, dass für t die e-funktion e t τ 0 geht und I(t) sich asymptotisch von unten einer Grenzstromstärke Im = lim t I(t) nähert. Ihr Wert ergibt sich aus dem Ansatz 2 I(t) = 0 (keine Zunahme der Stromstärke mehr), woraus man den bereits in a) physikalisch begründeten Wert erhält: U 0 L R ges L Im = 0, also Im = U 0. R ges ( ) c) Für welches t wird I(t) = Im 1 e t τ = 50 ma? Auflösen dieser Gleichung nach t: 1 e t I(t) τ = Im = 5 6 e t τ = 1 6 ln t τ = ln 1 6 t = τ ln 1 6 0,36 s. (Vergleiche auch mit der grafischen Lösung anhand des Diagramms oben.) 2 Korrekter sollte man lim t I(t) = 0 schreiben, da I(t) theoretisch nie ganz Null wird. Praktisch gesehen ist der Einschaltvorgang allerdings nach ca. 5τ beendet und I(t) ändert sich dann fast nicht mehr.

147 6.5 Mathematische Behandlung des Ausschaltvorganges 145 d) Analog zu c) folgt aus I(T H ) = 1 2Im, dass T H = τ ln 1 2 = τ ln 2 0,14 s. Aufgabe 2 a) Während Lämpchen L 1 quasi sofort nach Schließen von S aufleuchtet, wird L 2 erst mit merklicher Verzögerung zu leuchten beginnen. Begründung: Der Anstieg der Stromstärke im Spulenzweig wird durch die in der Spule stattfindende Selbstinduktion behindert. Sobald Strom durch die Spule fließt, beginnt sich ein Magnetfeld in der Spule aufzubauen. Laut Maxwell bildet sich aufgrund der Flussdichteänderung Ḃ > 0 ein elektrisches Wirbelfeld, welches auch die Windungen der Spule durchsetzt. Nach Lenz muss es so orientiert sein, dass es der Ursache der Induktion also Ḃ > 0, verursacht durch den Anstieg I > 0 des Spulenstroms entgegenwirkt. Somit arbeitet das Wirbelfeld in der Spule dem Feld der Batterie entgegen und verzögert das Ansteigen der Stromstärke. (Weil die ohmschen Widerstände in beiden Stromzweigen der Parallelschaltung gleich sind, leuchten die baugleichen Lämpchen am Ende des Einschaltvorganges gleich hell, da dieselbe Stromstärke in ihnen herrscht.) b) Laut Diagramm kommt der Selbstinduktionsprozess nach ca. 10 s fast komplett zum Erliegen, und es stellt sich eine nahezu konstante Stromstärke von Im = 100 ma ein. Dann ist wegen I 0 auch U ind = L I 0 und die Batterie ist die einzige Spannungsquelle im Stromkreis. Somit gilt R ges = U 0 Im = 32 V 0,1 A = 320 Ω, und da es sich im Spulenzweig um eine Reihenschaltung von Spule und Lämpchen handelt, gilt R ges = R sp + R 2, weshalb der Lämpchenwiderstand R 2 = R ges R sp = 40 Ω beträgt. Da die Lämpchen baugleich sind, hat auch L 1 einen Widerstand von 40 Ω. c) Möglichkeit 1 : Man zeichnet die Tangente im Ursprung an das Schaubild von I(t) ein und bestimmt deren Steigung zu. 100 ma I(0) = 0,05 A 2 s s. Laut DGL gilt im Einschaltmoment aber I(0) = U 0 /L, woraus für die Induktivität der Spule folgt L = U 0. I(0) 32 V 0,05 A s = 640 H I [ma] zu d) t [s] Möglichkeit 2 : Man liest die Zeit T H 1,4 s ab, nach der die Stromstärke auf die Hälfte von Im, d.h. auf 50 ma, angestiegen ist. Laut Aufgabe 1 d) gilt T H = τ ln 2 = L R ges ln 2 und es ergibt sich L = T H R ges ln H. d) Sei t der Zeitpunkt mit U ind (t ) = 3 V. Da wie in a) begründet die Selbstinduktionsspannung der Batteriespannung entgegen arbeitet, ist die Gesamtspannung über dem Spulenzweig zum Zeitpunkt t gerade 32 V 3 V = 29 V, d.h. die Stromstärke beträgt dann I(t ) = 29 V = 29 V 90,6 ma. R ges 320 Ω

148 146 6 Selbstinduktion [ Über die DGL: U ind = L İ = L ( U 0 L Rges L I) = U 0 R ges I, also ist I = U 0 U ind R ges. ] Grafische Lösung : Die Tangentensteigung zur Zeit t ist I(t ) = U ind (t ) /L 5 ma s. Verschiebt man eine Gerade mit dieser Steigung so lange, bis sie das Schaubild berührt, so beträgt die y-koordinate des Berührpunktes ca. 90 ma. (Und man kann t 4,7 s ablesen, was gut mit dem rechnerischen Ergebnis überein stimmt.) Aufgabe 3 a) Aufstellen der DGL: siehe Skript! Aus der DGL İ(t) = R L I(t) folgt durch Einsetzen von t = 0 s (Ausschaltmoment). I(0) = R L I(0) 1 L, d.h. je größer die Induktivität L der Spule, desto weniger negativ ist die Tangentensteigung I(0), desto flacher startet die Ausschaltkurve I(t). Dies ist auch anschaulich klar, da bei einer großen Induktivität die Ursache der Induktion nämlich die Abnahme von I(t) stärker behindert wird, als bei einer Spule mit kleinerem L. [ Die anfängliche Abnahmegeschwindigkeit der Stromstärke ist zudem betragsmäßig am größten, denn wegen I(t) < 0 ist I(t) streng monoton fallend, d.h. I(t) < I(0) für alle t > 0 s, und es folgt İ(t) = R L I(t) < R I(0) = İ(0), L weshalb die I(t)-Kurve für zunehmendes t immer mehr abflacht. ] b) Die Lösung lautet I(t) = I 0 e R L t = I 0 e t τ, wobei wie gewohnt τ = L R gesetzt wurde und I 0 = I(0) die Stromstärke im Moment des Ausschaltens bezeichnet. Der Nachweis, dass dies eine Lösung der DGL ist, erfolgt einfach mit der Kettenregel: İ(t) = I 0 e ( t 1 ) R τ = τ L I 0 e t R τ = L I(t). Zum Zeichnen gehen wir davon aus, dass nach dem Einschalten so lange gewartet wurde, dass sich eine konstante Stromstärke von I 0 = U 0 R ges = 20 ma eingestellt hat. Es ist Aufgabe 4 τ 1 = L 1 R = 0,5 ms und τ 2 = L 2 R = 2 ms. Auflösen von I 1,2 (t) = 1 ma nach t liefert t 1,2 = τ 1,2 ln 1 20, also t 1 1,5 ms und t 2 6,0 ms I [ma] I 1(t) Eine analoge Rechnung mit dem Ansatz I(T H ) = 1 2 I 0 ergibt T H = τ ln 2. I 2(t) Wir warten nach dem Schließen des Schalters wieder so lange, bis sich eine konstante Stromstärke von I 0 = U 0 U 0 = R ein R + R sp eingestellt hat. Der Widerstand der Glimmlampe kann beim Einschaltvorgang ignoriert werden, da sie dort parallel zur Spule liegt, und somit kaum Strom durch sie fließt (und in echt ist, wie gesagt, sowieso R gl = vor dem Zünden). Im Ausschaltmoment t = 0 s gilt laut DGL. I(0) = R aus L I(0) = R aus L I 0 = R aus L U 0 R ein. t [ms]

149 6.5 Mathematische Behandlung des Ausschaltvorganges 147 Der Gesamtwiderstand im Ausschaltstromkreis beträgt nun allerdings R aus = R sp + R gl und ist damit viel größer als R ein, womit für die induzierte Spannung folgt Raus U ind (0) = L İ(0) = L L U 0 = R aus U 0 U 0! R ein R ein Seltsam erscheint zunächst, dass dieses Ergebnis gar nicht mehr von L abhängt, d.h. selbst für L 0 sollte U ind (0) so groß wie eben berechnet werden. Betrachtet man allerdings den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung U ind (t) = U ind (0) e Raus L t, so erkennt man, dass der Vorfaktor Raus L im Exponent der e-funktion für sehr kleines L sehr groß wird, wodurch die e-funktion extrem rasch abfällt. Somit sinkt bei zu geringer Eigeninduktivität L trotz großem U ind (0) die Leistung P = U ind (t) I(t) sofort nach dem Ausschalten zu rasch ab, um die Glimmlampe zu zünden bzw. einen Funken am Schalter verursachen zu können. Auf den zeitlichen Verlauf von U ind (t) kommt man übrigens, indem man in DGL U ind (t) = L İ(t) = R aus I(t) den Stromverlauf I(t) = I 0 e Raus L t = U 0 R ein e Raus L t einsetzt (oder einfach direkt I(t) ableitet). Aufgabe 5 Es ist stets U0 U ind (0) = L İ(0) = L L = U 0 vollkommen unabhängig von L! Allerdings sinkt U ind (t) = L İ(t) = U 0 e t τ viel langsamer, wenn L und damit auch τ = L R vergrößert wird, d.h. U ind(t) bleibt länger groß.

150 148 7 Die Energie des Magnetfeldes einer Spule 7 Die Energie des Magnetfeldes einer Spule Wir haben gesehen, dass auch nach dem Trennen eines Spulenstromkreises von der Spannungsquelle noch kurzzeitig ein Strom weiterfließt. Der Grund hierfür war die Selbstinduktion der Spule. Durch dieses Weiterfließen wird ohne äußere Energiequelle elektrische Energie freigesetzt, die hier in Form von Wärme abgeführt wird (an den Widerständen von Kabeln und Verbrauchern). Nach dem EES muss diese Energie irgendwo herkommen, und die einzig mögliche Quelle dafür ist das Magnetfeld der Spule die Trägheit der Elektronen des Stromes ist vernachlässigbar, weil Elektronen eine so kleine Masse haben, welches sich nach und nach abbaut. Diese im Magnetfeld gespeicherte Energie können wir nun berechnen, indem wir die beim Ausschaltvorgang freiwerdende elektrische Energie bestimmen; nach dem EES müssen beide gleich sein. Die von der selbstinduzierten Spannung erzeugte Momentanleistung beträgt P (t) = U ind (t) I(t) = L İ(t) I(t). Da diese Leistung nicht konstant ist, dürfen wir für die verrichtete elektrische Arbeit W nicht die Formel W = P t = U I t anwenden. Anstelle von P = W t müssen wir vielmehr die allgemeingültige Definition der Leistung als W P (t) = lim = t 0 t Ẇ (t) verwenden, wonach sich die Gesamtarbeit als Integral über die Momentanleistung ergibt: W = 0 P (t) dt. Damit erhalten wir die von der Induktionsspannung beim Ausschaltvorgang verrichtete elektrische Arbeit W = 0 P (t) dt = L 0. I(t) I(t) dt. Noch ein Wort zu den Grenzen: Zur Zeit t = 0 ist I(0) = I der Spulenstrom vor dem Ausschalten, und theoretisch dauert es unendlich lange, bis dieser auf Null absinkt, weshalb wir als obere Grenze gewählt haben. Für die Praxis genügt aber z.b. schon t = 5τ = 5 L R, denn hier beträgt der Ausschaltstrom bereits weniger als 1 % von I(0). Um das Integral zu lösen, beachten wir, dass nach der Kettenregel gilt also ist Somit folgt 0. I(t) I(t) dt = ( 1 I(t)2). 2 = 1 2 2I(t) İ(t) = İ(t) I(t), 0 ( 1 I(t)2). 2 dt HS = [ 1 2 I(t)2] 0 = 1 2 I( ) 2 1 }{{} 2 I(0)2 = 1 2 I2. =0 W = L 0. I(t) I(t) dt = 1 2 LI2. Das Minuszeichen ist so zu deuten, dass dem Magnetfeld Energie entzogen wird. Fließt durch eine Spule der Eigeninduktivität L ein Strom der Stärke I, dann ist in ihrem Magnetfeld also die Energie W mag = 1 2 L I2

151 149 gespeichert (in Anlehnung an die E-Lehre verwenden wir auch hier ausnahmsweise den Buchstaben W für die Energie). Ebenso wie das elektrische Feld ist also auch das magnetische Feld ein Energiespeicher. Beachtenswert ist zudem die Ähnlichkeit der Formeln für den Energiegehalt, denn für das homogene Feld eines Kondensators gilt ja bekanntlich W el = 1 2 C U 2. Noch instruktiver ist ein Vergleich mit der Mechanik: Die Formel für die kinetische Energie, E kin = 1 2 mv2, enthält genau die zu L und I analogen mechanischen Größen m und v! Die träge Masse m ist der Grund dafür, dass ein ruhender Körper sich bei Einwirken einer Kraft einer Beschleunigung widersetzt, bzw. dass er weiter in Bewegung bleiben will, nachdem die Kraft aufhört zu wirken. Entsprechend ist die Eigeninduktivität L einer Spule die Ursache dafür, dass sich eine stromlose Spule dem Ansteigen der Stromstärke bei Anlegen einer Spannung widersetzt, bzw. dass nach Entfernen der äußeren Spannungsquelle der Strom noch weitergetrieben wird. Ebenso sind Geschwindigkeit v und Spulen-Stromstärke I vergleichbar als Größen, die den Zustand am Ende der Beschleunigungsphase bzw. des Einschaltvorganges beschreiben. Abschließend bestimmen wir noch die Energiedichte des magnetischen Feldes im Inneren einer langen Spule (wir tun dabei so, als wäre die gesamte Energie im Innenfeld gespeichert und vernachlässigen das Feld außerhalb der Spule). Mit der Formel für die Eigeninduktivität L einer langen Spule, sowie dem nach I aufgelösten Zusammenhang B = µ 0 µ r n l I erhält man W mag = 1 2 L I2 = 1 2 µ 0 µ r n2 A l ( ) B 2 µ 0 µ r n = 1 2 Al 1 B 2, l µ 0 µ r und da das Spulenvolumen V = Al beträgt, folgt ρ mag = W mag V = 1 2µ 0 µ r B 2. Auch hier besticht die Ähnlichkeit mit der Formel für die Energiedichte des elektrischen Feldes, ρ el = ε 0 εr 2 E 2. Im Gegensatz zum elektrischen Fall (man denke z.b. an Kondensatoren als Energiespeicher), ist das Magnetfeld als technisch einsetzbares Energiespeichermedium uninteressant, da die Energiedichten üblicherweise sehr gering sind. Selbst bei starken Elektromagneten mit Flussdichten im Teslabereich, sind nur wenige kwh pro m 3 im Magnetfeld gespeichert. Zum Vergleich: Die Gesamtenergie des Erdmagnetfeldes beträgt nur rund 100 Milliarden kwh (so viel liefern ca Kernkraftwerke in einem Jahr).