V. Wünsch. Differentialgeometrie

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1 V. Wünsch Differentialgeometrie

2 Differentialgeometrie Kurven und Flächen Von Prof. Dr. Volkmar Wünsch B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart. Leipzig 1997

3 Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von: Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth, Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner, Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Manfred Schneider, Prof. Dr. Günter Zeidler Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes: Prof. Dr. Otfried Beyer Autor: Prof. Dr. Volkmar Wünsch Friedrich-Schiller-Universität Jena Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier. Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Wünsch, Volkmar: Differentialgeometrie : Kurven und Flächen / von Volkmar Wünsch. [Verantw. Hrsg. dieses Bd.: Otfried Beyer). - Stuttgart ; Leipzig: Teubner, 1997 (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler) ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997 Umschlaggestaltung : E. Kretschmer, Leipzig

4 Meinem verehrten Lehrer Professor Dr. Paul Günther ( ) zum Gedenken

5 Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Dasein, sondern das Hinkommen, was den größten Genuß gewährt. Wenn ich eine Sache ganz ins Klare gebracht und erschöpft habe, so wende ich mich davon weg, um wieder ins Dunkle zu gehen; so sonderbar ist der nimmersatte Mensch, hat er ein Gebäude vollendet, so ist es nicht, um ruhig darin zu wohnen, sondern um ein anderes anzufangen. earl Friedrich Gauß ( )

6 Vorwort Die Geschichte der Differentialgeometrie ist eng mit der Entwicklung der Infinitesimalrechnung und der analytischen Geometrie einerseits, mit der Geodäsie, der Kartographie und der Physik andererseits verknüpft. Sie ist zwar durch Idealisierung der Erfahrungswelt entstanden, hat sich aber im Laufe der letzten beiden Jahrhunderte zu einer deduktiven, mit strengen Beweisen arbeitenden Wissenschaft herausgebildet. Heute sind zahlreiche Disziplinen der Mathematik, aber auch der Physik und Technik mit differentialgeometrischen Begriffsbildungen durchsetzt. Diese interdisziplinäre Verzahnung - man denke etwa an die Darstellung geometrischer Objekte mit den Methoden der Numerik und Informatik (CAGD) oder an die Geometrisierung der modernen Physik - hält unvermindert an. Mit dem vorliegenden Buch wird einem möglichst großen Interessentenkreis eine brauchbare Grundlage für eine klassisch- und anwendungsorientierte Kurvenund Flächentheorie geliefert. In der Differentialgeometrie kann ein Studierender die in der Differential- und Integralrechnung sowie in der analytischen Geometrie erworbenen Techniken anwenden und geometrische Vorstellungen entwickeln. Dem Leser sollen Brücken zwischen Theorie und Praxis aufgezeigt werden. Im Vordergrund stehen die lokale Differentialgeometrie und ihre Anwendungsmöglichkeiten, wobei lokale und globale Aspekte klar unterschieden werden. Gelegentlich wird dem technisch Wichtigen der Vorrang vor dem geometrisch Wertvollen eingeräumt. Gleichwohl sollen die technischen Anwendungen nicht von den geometrischen Grundgedanken ablenken. Differentialgeometrie wird eben nicht nur als Grundlage technischer Bildung, sondern auch wegen ihres Stellenwertes im Rahmen der Mathematik und ihrer kulturellen Bedeutung betrieben. Neben den Anwendern sind daher die geometrisch interessierten Mathematiker und Lehrer angesprochen, die auch der Auffassung sind, daß der Anschauung verpflichtete Geometrie mit der nötigen Strenge gelehrt werden sollte. Natürlich mußte aus der Fülle des zur Verfügung stehenden Stoffes eine strenge Auswahl getroffen werden. Besonderer Wert wird auf die klare Herausarbeitung der Grundbegriffe und ihre geometrische Veranschaulichung gelegt. Der

7 8 Vorwort "harte Kern" der Flächentheorie in Abschnitt 4.6 ist straff gehalten und kann vom Anwender bei erster Lektüre überschlagen werden. Bezüglich des weiteren Aufbaus der Theorie, insbesondere der globalen Differentialgeometrie, der konstruktiven Geometrie, der geometrischen Datenverarbeitung, zusätzlicher physikalischer und technischer Anwendungen sowie einiger Beweise muß auf die Literatur verwiesen werden. Einen Ausblick auf weitere Anwendungen und einen Abriß zur Geschichte der Differentialgeometrie findet der Leser am Buchende. Zahlreiche Abbildungen, Beispiele, Anwendungen, Aufgaben, Tabellen und Rückverweise sollen zum Verständnis beitragen und Übungsmöglichkeiten anbieten. Formalismen treten bewußt in den Hintergrund, das geometrisch Wesentliche soll nicht vom analytischen Aufwand verdeckt werden. Als das adäquate Werkzeug zur Beschreibung der geometrischen Eigenschaften erweist sich der Tensorkalkül. Der Leser wird gewiß schnell einsehen, wie einfach Tensoren zu handhaben sind, wenn er erst einmal die anfängliche Scheu" vor den Indizes" verloren hat. Dieses einführende Lehrbuch wendet sich vor allem an Studierende der Ingenieur- und Naturwissenschaften, aber auch der Mathematik, der Technomathematik und des Lehramtes. Möge es dazu beitragen, daß in stärkerem Ausmaß als bisher an Universitäten und Fachhochschulen Differentialgeometrie auch für Nichtmathematiker gelehrt wird. Ich danke dem verantwortlichen Herausgeber dieses Bandes, Herrn Prof. Dr. O. Beyer, sowie den Herren Doz. Dr. M. Belger, Doz. Dr. R. Illge und Doz. Dr. R. Schimming für wertvolle Hinweise und Anregungen. Mein besonderer Dank gilt Herrn N. Nerlich für die mit großer Sorgfalt vorgenommene Übertragung des Manuskriptes in eine reproduktions reife Fassung, insbesondere für die Gestaltung zahlreicher Bildentwürfe. Mit unerschöpflicher Geduld und mit Elan ging er auf alle Wünsche des Autors und des Verlages ein und trug so wesentlich dazu bei, dem Buch eine ansprechende Form zu geben. Nicht zuletzt spreche ich dem Verlag B. G. Teubner, insbesondere Herrn J. Weiß, für die verständnisvolle gute Zusammenarbeit meinen verbindlichen Dank aus. Jena, im Februar 1997 Volkmar Wünsch

8 Inhalt o Vorbereitungen Der Euklidische Raum ffi Vektorfunktionen... " Lokale Kurventheorie Der Kurvenbegriff Bogenlänge Begleitendes Dreibein, Krümmung und Torsion... " Frenetsche Gleichungen..., Fundamentalsatz der Kurventheorie, Invarianten Krümmung und Torsion bei beliebiger Parametrisierung Anwendungen in der Mechanik Ebene Kurven Darstellungsformen Singuläre Punkte Fraktale Geometrie Evolute und Evolvente Einige bedeutende ebene Kurven.. "... '" Globale Eigenschaften ebener Kurven Die isoperimetrische Ungleichung... '".. " Der Umlaufsatz Konvexe Kurven und Vierscheitelsatz Lokale Flächentheorie Der Flächenbegriff Tangentialebene, Gaußsches begleitendes Dreibein Die erste Fundamentalform Die zweite Fundamentalform... "... " Die Krümmungen einer Fläche Ableitungsgleichungen, Theorema egregium, Fundamentalsatz Geodätische Krümmung, geodätische Linien

9 10 Inhalt 5 Spezielle Flächen Regelfächen Drehflächen Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung Nichteuklidische Geometrie Schraubflächen Minimalflächen Flächen konstanter mittlerer Krümmung Abbildungen von Flächen Isometrische Abbildungen Konforme Abbildungen Weitere Abbildungen von Flächen Kartennetzentwürfe Globale Eigenschaften von Flächen Der Integralsatz von Gauß-Bonnet Eiflächen Ausblick: Weitere Anwendungen der Differentialgeometrie Abriß zur Geschichte der Differentialgeometrie Lösungen der Aufgaben Literatur Bildquellennachweis Sachregister