zeitung für mathematik am mpg trier / heft 15 / februar 2005

Transkript

1 zeitung für mathematik am mpg trier / heft 15 / februar 2005

2 Ein dummer Roboter Wir haben in der Mathe-AG einen dummen Roboter kennen gelernt. Er kann nur gerade aus laufen und um 90 nach links abbiegen. Zuerst konnte er sich nur eine Zahl merken. Deshalb lief er nur im Quadrat rum: Im ersten Beispiel läuft er immer 3 cm gerade aus, ehe er sich um 90 dreht, im zweiten Beispiel läuft er 2 cm, ehe er die Richtung ändert. Später brachten wir ihm bei, sich zwei Zahlen zu merken. Aber das war auch nicht gut, denn nun lief er ein Rechteck (außer bei zwei gleichen Zahlen; dann läuft er wieder ein Quadrat und das kennen wir ja schon): (3;5) (2;1) (1;2) Das war also immer noch langweilig. Deshalb brachten wir ihm bei sich, noch eine weitere Zahl zu behalten. 2

3 Jetzt wurde es interessant (Startpunkt und erste Wegstrecke sind immer markiert): Der Roboter kommt immer wieder zu seinem Startpunkt zurück. Dabei durchläuft er eine Figur, die aussieht wie die Flügel einer Windmühle. Dabei haben wir folgendes festgestellt: 3

4 Ergebnis: Die ersten beiden Ziffern sagen immer aus wie groß und breit die äußeren Kästchen sind. Dabei entscheidet die dritte Ziffer wie weit voneinander diese äußeren Kästchen sind; sie entscheidet auch wie groß das mittlere Kästchen ist: man muss nur die beiden andern Zahlen subtrahieren.. Wir haben dann noch genauer untersucht, was passiert, wenn man bei drei Zahlen zwei Gleiche hat. In den folgenden Beispielen haben wir den Roboter mit den Zahlen 1 1 n laufen lassen wobei n zuerst auch 1 war, dann 2,3,4 und zuletzt 5: Wir erhalten hier genau die Figuren wie vorher, nur entstehen wegen der zwei gleichen Zahlen Quadrate, deren Seitenlänge so groß ist wie die beiden gleichen Zahlen; hier also 1. Die Seitenlänge s des mittleren Quadrates können wir auch berechnen: s = n 2 mal 1. Außerdem ist es völlig egal wo die andere Zahl eingeordnet ist

5 Spaziergänge auf dem Schachbrett Wir haben uns mit einem ganz normalen Schachbrett beschäftigt und dabei sind wir auf eine ganz interessante Frage gestoßen. 1. Material und Anfangsstellung Der Spielplan besteht aus 64 gleichgroßen Feldern, und zwar 8 senkrechten und 8 waagerechten Reihen. Wir platzieren nun eine Spielfigur in die linke obere Ecke des Schachbrettes. S S = Start der Spielfigur Z = Ziel Z 2. Regel für die Fortbewegung der Figur Die Spielfigur, die in der linken, oberen Ecke des Schachbrettes steht, soll in die rechte untere Ecke dieses Schachbrettes gelangen. Die Figur darf aber aus der Draufsichtperspektive nur nach rechts und nach unten bewegt werden. 3. Die Frage Wie viele verschiedene Wege gibt es, um in die rechte untere Ecke zu gelangen? 5

6 Dabei interessierte uns auch, wie sich die Möglichkeiten verändern, wenn bestimmte Felder des Schachbrettes gesperrt wären. 4. Die Lösung 4.1 Ohne Sperrung eines Feldes Um eine Lösung und Regelmäßigkeit zu erkennen, betrachteten wir zunächst Schachbretter ohne Sperrung eines Feldes und zwar geordnet nach verschiedenen Größen. Zuerst beschäftigten wir uns mit einem 2x2 Kästchenfeld. S 1 Es gibt nur eine Möglichkeit in die äußeren Felder zu gelangen. Für das rechte untere 1 Feld Z gibt es demnach 2 Möglichkeiten, denn aus den beiden äußeren Feldern kann man sich nur auf eine Art weiterbewegen. Man hat also 1+1=2 Möglichkeiten. Die vollständige Lösung für ein 2x2 Feld sieht also wie unten angegeben aus. S Hieraus leiteten wir die folgende Regel ab: Wenn ein Feld leer ist, ergibt sich die Lösung für die Wege dieses Feldes aus der Summe des links danebenliegenden und des oberhalb liegenden Feldes. 6

7 Bei einem 3x3 Feld untersuchten wir, ob diese Regel sich ebenfalls als richtig erwies. Wir erhielten folgende Lösungen: S In der ersten Spalte bleibt senkrecht und waagerecht immer nur eine Möglichkeit. S Auch hier ergibt sich die Lösung für die Felder nach der Regel als Summe des links danebenliegenden und des oberhalb liegenden Feldes. S Die Regel bestätigt sich auch bei dem rechten unteren Feld Z. Es ergeben sich also 3+3=6 mögliche Wege, um von dem Feld S in das Feld Z zu gelangen. So überprüften wir für viele Größen von Schachbrettern die möglichen Lösungswege. Es folgen noch drei Beispiele: 4x4 Feld S

8 6x6 Feld S x8 Feld S Es gibt also 3432 verschiedene Wege um bei einem 8x8 Feld von der linken oberen Ecke in die rechte untere Ecke zu gelangen. Betrachtet man diese Lösung, so ergibt sich eine Symmetrieachse, nämlich die Diagonale. 8

9 4.2 Mit Sperrung eines Feldes Anschließend untersuchten wir, wie sich die Anzahl der möglichen Wege veränderte, wenn einzelne Felder gesperrt werden. Die gesperrten Felder dürfen nicht betreten werden, wodurch sich natürlich die Zahl der Wege von S nach Z verkleinert. Beispiel 1: Untersuchung des 2x2 Feldes mit G als gesperrtem Feld. Es gibt nur eine Möglichkeit das Feld Z zu erreichen. Auch hier gilt: Das Ergebnis errechnet sich wieder als Summe des links danebenliegenden und des darüberliegenden Feldes, wobei das Feld G den Wert 0 hat. Rechnung: 1+0= 1. Beispiel 2: Sperrt man das S angegebene Feld G, so erhält man 54 Wege um das Feld Z zu 1 erreichen. Die Anzahl der 1 möglichen Wege nach Z zu G gelangen verringert sich also 1 erheblich bei Sperrung dieses Feldes. Ohne Sperrung hätten 1 sich nämlich 70 Wege ergeben, wie man an dem 5x5 Feld weiter oben erkennen kann. S G 1 1 S Z Für die systematische Untersuchung des 5 x 5 Brettes tragen wir die Zahl 54 in das Feld G ein. Entsprechend haben wir für alle Sperrfelder die Anzahl der Wege von S nach Z bestimmtund in der Tabelle eingetragen. Es gibt immer vier symmetrisch 9

10 zueinander liegende Felder mit der gleichen Anzahl von Wegen. Diese Symmetrie haben wir bei allen Feldgrößen festgestellt, wie die nächsten Beispiele zeigen. 5x5 Feld S Z 8x8 Feld S Z 10

11 Wenn man größere Quadratzahlen ausrechnen will, muss man immer wieder multiplizieren. Ich habe mich gefragt, ob das auch einfacher geht. Eines Tages fand ich dann durch Zufall eine Formel, weil mir in einigen Beispielen auffiel, dass man die nächste Quadratzahl einfach aus der vorangehenden erhalten kann: Beispiele: 4 2 = = = = = = = = = 49 Wie man sieht, muss man zur alten Quadratzahl nur die Zahl und ihren Nachfolger addieren. 2 2 Behauptung: ( n + 1) = n + n + ( n + 1) Für n = 5 kann man sich die Gültigkeit dieser Formel in einer Zeichnung klar machen: 11

12 Wenn man zu den 4² = 16 kleinen Kreisen die vier Quadrate und die fünf Kreise mit Kreuzen dazunimmt hat man 5² = 25 Symbole. Allgemein kann man die Formel beweisen, wenn man die 1. Binomische Formel verwendet: ( n + 1) 2 = n = n = n = n n n n + n n + ( n + 1) 2 Viel Spaß beim Ausprobieren. Noch n Witz Ein Mathematiker, ein Physiker und ein Biologe sitzen im Zug und fahren durch Schottland. Während der Fahrt sehen sie auf einer Wiese ein schwarzes Schaf, worauf der Biologe meint: "Ah, ich sehe, dass die schottischen Schafe schwarz sind." Der Physiker sagt: " Du meinst wohl, dass manche schottischen Schafe schwarz sind." Darauf der Mathematiker: "Nein, wir wissen lediglich, dass es in Schottland mindestens ein Schaf gibt, und dass wenigstens eine Seite dieses Schafes schwarz ist." 12

13 Wenn Leute von einem Viereck sprechen, meinen sie häufig ein Quadrat oder ein Rechteck: Vierecke müssen aber keine rechten Winkel haben: Drache Trapez Parallelogramm Sie können auch völlig unsymmetrisch sein: Das gilt auch für Figuren mit 3,5,6,... Ecken, sogenannte n-ecke. 7-Eck 13

14 Wie viele rechte Winkel kann ein n-eck nun maximal haben (Als rechte Winkel zählen Innen- und Außenwinkel mit 90 )? Ausprobieren: 6-Eck= 6 rechte Winkel? 8-Eck= 6 rechte Winkel? Am besten erkennt man die Zahl der rechten Winkel bei der Treppenmethode, weil dies ein festes Schema ist: 8-Eck= 8 rechte Winkel! 9-Eck= 7 rechte Winkel! In der folgenden Tabelle sind alle Ergebnisse zusammen gefasst: 14

15 n rw Feststellung: Bei gerader Eckanzahl (n) ist die maximale Zahl der rechten Winkel gleich der Anzahl der Ecken. Bei ungerader Eckanzahl (n) ist die maximale Zahl der rechten Winkel um 2 geringer als die Anzahl der Ecken. Abgekürzt: n= gerade rw= n n= ungerade rw= n-2 (rw= maximale Anzahl der rechten Winkel) Beweis: 1. n gerade:,,treppe ungerade 5 1,,Treppe schließt in der geraden n-ten Ecke 15

16 Hier sieht man, dass es bei gerader Eckanzahl auf jeden Fall genauso viele rw wie Ecken geben kann. Mehr rw als Ecken sind natürlich nicht möglich. 2. n ungerade: Graphische Begründung dafür, dass es mit der Treppenmethode im Idealfall n-2 rechte Winkel gibt: gerade Ecken sind nicht rechtwinklig,,treppe schließt in der ungeraden n-ten Ecke Nach der Treppenmethode erstellte n-ecke können also bei ungeradem n höchstens n 2 rechte Winkel haben. Es könnte aber noch irgendwie anders gebaute n-ecke geben, die n 1 oder sogar n rechte Winkel haben. Gegenbeweis: Um den Gegenbeweis zu verstehen, muss erst etwas erklärt werden: 16

17 1. Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Im Viereck ist sie 2mal so groß: 360. Da Mathematik logisch aufgebaut ist, setzt sich die Reihe so fort: 5-Eck= 3mal 180 = Eck= 4mal 180 = Winkelsumme beim 7-Eck= 5* Wenn der Außenwinkel 90 ist, dann ist der Innenwinkel 270 und kann in zerlegt werden: Annahme: Im folgenden soll y die Anzahl der Außenwinkel mit 90 sein. Jetzt geht es los: Es gibt n rechte Winkel. Dann kann man die Winkelsumme auf zwei Arten angeben. Nach der Formel für die Winkelsumme im n- Eck ist die Summe gleich (n 2)* 180. ( n 2)*180 = n*90 + n* = n*90 + y *180 n*90 = 180 * y : 90 n = 2* y + 4 n = 2*( y + 2) y * n*90 17

18 Nach der letzten Zeile müsste n dann eine gerade Zahl sein, obwohl wir uns gerade mit ungeradem n beschäftigen. Also ist unsere erste Annahme falsch. 2.Annahme: Es gibt n-1 rechte Winkel ( n 2)*180 = ( n 1)*90 + y *180 + α ( n 2)*180 ( n 1)*90 y *180 = α n* n* y *180 = α n* y *180 = α ( n + 1)* y *180 = α α = der nicht rechte Winkel Vielfaches von 180, weil n+1 gerade ist α = Vielfaches von 180, was aber nicht sein kann! Ergebnis: Es kann bei ungeradem n max. n-1 rw geben! Noch n Witz Warum werden bei BMW neuerdings keine Mathematiker mehr beschäftigt? Die haben allgemein ein Auto mit n Rädern konstruiert und erst danach den Spezialfall n=4 betrachtet... 18

19 Wie oft kann man ein Blatt Papier knicken? 1. Worum geht es? Was denkt ihr, wie oft man ein Blatt Papier, das bis zum Mond reicht in der Mitte knicken kann? Das Gleiche haben wir uns auch gefragt. Zuerst haben wir uns darauf geeinigt, dass wir stets nur in eine Richtung knicken, also nicht einmal nach oben und danach nach rechts. Danach haben wir es in der Praxis mit einem DIN A 4 Blatt ausprobiert. Dabei haben wir es sechs Mal geschafft. Jetzt haben wir uns überlegt, ob man es mit großem Kraftaufwand schafft, das Blatt sieben mal zu knicken. Bei uns hat es nicht geklappt. Wir suchten nach dem Grund und kamen darauf, dass es vielleicht nicht an der angewendeten, oder besser nicht angewendeten, Kraft liegt, sondern an einem anderen Problem. Und genau so ist es. Im folgenden beweisen wir, dass man das Blatt rein mathematisch nur sechs Mal knicken kann. 2. Vereinbarungen: Wenn man vernünftige Berechnungen führen will, muss man ein paar Vereinbarungen treffen: - das Blatt wird immer in der Mitte und nur in eine Richtung geknickt - bei unseren Zeichnungen zeichnen wir den geknickten Teil der Übersicht halber mit Rechtecken anstatt Halbkreisen 19

20 - Bei dem Knick eines Blattes wird das Blatt innen gestaut und außen gedehnt. Der Querschnitt des Blattes ist die Anfangslänge und bleibt immer gleich lang. - Der bereits geknickte Teil eines Blattes wird Verlustmenge genannt. Die Verlustmenge kann nicht erneut geknickt werden. - Der noch ungeknickte Teil wird x genannt. Wenn x 0, dann lässt sich das Blatt nicht mehr knicken (eher würde es reißen). 3. Erste Gedanken: Als Erstes haben wir aufgezeichnet, wie das Blatt ungeknickt und geknickt aussieht:

21 3. 4. Verlustmengenberechnungstabelle: Im zweiten Schritt haben wir uns überlegt, dass bei jedem Knick eine bestimmte Menge Papier verloren geht. Wir haben uns überlegt, wie man diese Verlustmenge berechnen kann. Dazu haben wir folgende Tabelle entwickelt. A B C D 1 Knick Links Rechts Gesamtverlustmenge Um das Blatt 10 Mal zu knicken benötigt man also ein Blatt mit einer Länge von mindestens , wobei die Maßeinheit die gleiche sein muss, wie die Einheit der Dicke d, wobei diese in unserem Beispiel 1 ist. Jetzt ist die ungeknickte Menge x Null. 21

22 5. Tabellenerklärung: Die Tabelle erklärt sich folgendermaßen: A B C D 1 Knick Links Rechts Gesamtverlustmenge d*2 (C2)+(B2) 3 2. (C2)+(B2) (C2)*4 (C3)+(B3) 4 3. (C3)+(B3) (C3)*4 (C4)+(B4) 5 4. (C4)+(B4) (C4)*4 (C5)+(B5) 6 5. (C5)+(B5) (C5)*4 (C6)+(B6) 7 6. (C6)+(B6) (C6)*4 (C7)+(B7) 8 7. (C7)+(B7) (C7)*4 (C8)+(B8) 9 8. (C8)+(B8) (C8)*4 (C9)+(B9) 109. (C9)+(B9) (C9)*4 (C10)+(B10) (C10)+(B10)(C10)*4 (C11)+(B11) Man siehe in der Zeichnung nach dem ersten Knick: Auf der linken Seite ist das Blatt noch ungeknickt, während auf der rechten Seite die geknickte Menge (also die Verlustmenge) genau doppelt so groß ist, wie das Blatt dick ist. Also: d*2. Nach dem zweiten Knick kommt die Verlustmenge, die vorher rechts war auf die linke Seite und die Verlustmenge, die schon vorher links war bleibt dort. Rechts wird die vorherige Verlustmenge vervierfacht. So geht es weiter: Die rechte Verlustmenge (die schon vervierfacht wurde) kommt auf die linke Seite und rechts wird erneut vervierfacht, also schon insgesamt versechzehnfacht. Alles, was links ist bleibt dort und erhält immer das dazu, was vorher rechts war. 22

23 Jetzt haben wir uns weiter überlegt: Knick Links Rechts 1 0 d*2 2 d*2 d*2*4 3 d*2 + d*2*4 d*2*4*4 4 d*2 + d*2*4 + d*2*4*4*4 d*2*4*4 u.s.w. Wenn man nun z.b. beim dritten Knick 2d ausklammert ergibt sich folgendes: Links Rechts Links + Rechts 2d*( ) 2d*(4 2 ) 2d*( ) Also: x = 2d*( ) : 2 x = d*( ) Wenn man dieses Verfahren beim n-ten Knick anwendet, ergibt sich: x = 2d*( n-1 ) : 2 x = d*( n-1 ) Wenn man jetzt herausfinden will wie lang ein Blatt mit der Dicke eins sein muss, um es neun Mal knicken zu können, dann setzt man für n 9 ein und rechnet aus: 2 2*9-1 = 2 17 Jetzt vervollständigt man die Reihe: =

24 Wenn man das nun ausrechnet kommt heraus. Also muss das Blatt lang sein (in der gleichen Einheit wie die Dicke). Wenn die Dicke nicht 1, sondern die übliche Papierdicke von 0,06mm beträgt, multipliziert man das Ergebnis nicht mit 1, sondern mit 0.06, also: *0,06mm=10485,72mm=1,048572m ~ 1,05m Das Blatt muss also ungefähr 1,05 Meter lang sein. Dieses Verfahren ist sehr aufwändig, da man für die Lösung immer die Summe einer ganzen Zahlenreihe ausrechnen muss. Deshalb haben wir versucht eine einfachere Formel zu finden. Unser Beispiel zeigt, dass man nach dem neunten Knick bei einer Dicke von 1 eine Länge von = braucht. Wir haben herausgefunden, dass man die Summe von in Blöcke aufteilen kann, nämlich ; ; ; usw. Da 2 1 das Doppelte von 2 0 ist gilt: 2 1 = 2/3 * ( ) Da 2 3 das Doppelte von 2 2 ist gilt: 2 3 = 2/3 * ( ) u.s.w. 2/3* ( ) + 2/3 * ( ) /3 * ( ) = /3* ( ) = Jetzt muss man das Binärsystem ins Spiel bringen: Mit einer Ziffer im Binärsystem kann man maximal = 2 0 darstellen, denn 1 2 = 1. 24

25 Mit zwei Ziffern im Binärsystem kann man maximal = darstellen, denn 11 2 = 3. Mit drei Ziffern im Binärsystem kann man maximal = darstellen, denn = 7, u.s.w. Übertragen in unser Problem heißt das: = Also gilt: 2/3* ( ) = 2/3* (2 18-1) Wenn man dies nun verallgemeinert ergibt sich: Verlustmenge = 2/3 * (2 2n 1) 6. Bedeutung der Verlustmenge: Man kann ein Blatt nur so oft knicken, solang die Verlustmenge kleiner als die Länge des Papiers ist. Während man ein DIN A 4 Blatt nach unserer Formel (und in Wirklichkeit) noch locker 6 Mal knicken kann, braucht man für 9 Knicke schon etwa 1 m (siehe oben). Dann geht die Länge schnell in die Höhe: Ein Blatt Papier mit einer Länge von 1 km (= mm) kann man nur zwölf Mal knicken und ein Blatt Papier, das so lang ist wie die Entfernung Erde Mond (ca km) kann man nur 21 Mal knicken. 25

26 Die Zahlentreppe Wir haben uns damit beschäftigt, wie man aus vier nebeneinander stehenden Zahlen eine neue Zahlenreihe bekommt: Vier beliebige Zahlen bilden unsere Startreihe. Nun gehen wir eine Stufe runter. Dazu muss man die 1. und 2. Zahl voneinander subtrahieren und die Differenz unter die erste Zahl schreiben. Jetzt muss man das Gleiche mit der zweiten und dritten Zahl, mit der dritten und vierten und mit der vierten und ersten Zahl machen. Zum Beispiel: Start Stufe Das kann man nun solange wiederholen, wie man möchte. In unserem Beispiel sieht das so aus: Überraschung Start Stufe Stufe Stufe Stufe Die letzte Reihe besteht vier gleichen Zahlen! Ist das immer so? 26

27 Wir haben das Ganze mit anderen Startzahlen wiederholt: Oder: In der Tat landet man immer bei vier gleichen Zahlen. Ist das Zufall oder passiert das wirklich immer? Wenn man noch eine Stufe tiefer geht, dann besteht die letzte Reihe sogar nur aus Nullen. Wir schauen genauer hin: Wenn man sich die Beispiele anschaut sieht man, dass die größte Zahl einer Reihe immer kleiner wird. Das ist so, weil durch die Differenzen die Zahlen der nächsten Reihe immer kleiner werden. Wir haben aber auch Beispiele gefunden, wo die größte Zahl nicht immer kleiner wird. Was passiert zum Beispiel im folgenden Fall, wenn Nullen am Start stehen? Hier steht wie in der ersten Reihe auch in der zweiten Reihe die 86 als größte Zahl. Aber es dauert einfach eine Stufe mehr, 27

28 bis die größte Zahl kleiner wird. In der nächsten Reihe ist die größte Zahl jetzt 41 und die ist kleiner als 86: Bei zwei Nullen dauert es noch eine Stufe länger. Bei drei Nullen landet man nach vier Stufen bei vier Nullen, wenn vier Nullen da sind verändern sich die Zahlen nicht mehr weil nur noch Nullen am Start sind Ähnlich ist es, wenn zwei gleiche Zahlen in einer Reihe stehen: Man erhält eine Null und damit geht es genauso weiter wie in dem letzten Beispiel: 28

29 In diesem Beispiel stehen die zwei gleichen Zahlen nicht nebeneinander, was aber auch nichts macht. Verallgemeinerung Wir haben uns nun überlegt, was passiert, wenn man mit 2, 3, 5, 6,...Startzahlen beginnt. Wenn man es mit 2 Zahlen macht, dann kommen direkt zwei gleiche Zahlen heraus. Wie man an dem Beispiel (hier unterhalb) erkennen kann Bei drei Zahlen wird es spannender, wie das folgende Beispiel zeigt:

30 Die Zahlen werden immer kleiner und es sieht so aus, als ob man wieder bei lauter Nullen landet. Wir machen weiter: Wir landen bei zwei gleichen Zahlen und einer Null. Die dritte und die sechste Zeile zeigen, dass man keine Chance hat, bei drei gleichen Zahlen zu enden. Das ist bei drei Startzahlen immer so, außer wenn man mit drei gleichen Zahlen anfängt. Aber das ist uninteressant und macht keinen Spaß. Mit fünf Zahlen sieht es ähnlich aus:

31 Bei fünf Zahlen wiederholen sich nach vielen Stufen wieder die Zahlen. In diesem Beispiel waren das 14 Stufen. Am Ende waren immer drei Nullen und zwei Einsen da. Auch bei sechs Zahlen landet man nicht bei einer Reihe gleicher Zahlen. Oder vielleicht doch? Versucht es doch selber mal! Noch n Witz: "Die Ehe des Professors soll sehr unglücklich sein, habe ich gehört!" "Wundert mich nicht. Er ist Mathematiker, und sie unberechenbar." 31