Fachbezogene Mathematik

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1 Was Sie in diesem Dokument finden 1. Wichtige Einheiten Papier... 3 Genormte Endformate... 3 Nutzen- und Bogenberechnung mit DIN-Formaten... 3 Nutzenberechnung ohne Vorgabe der Nutzenstellung und Laufrichtung Satzspiegel und Ränder... 5 Seitenverhältnisse Manuskript- und Satzumfang Pixelauflösung und Bildgröße... 7 Umwandlung von Einheiten... 7 Scanning-Auflösung Bilddaten... 9 Daten- und Farbtiefe... 9 Bilddatenmenge... 9 Bilddateigröße und Speicherplatzbedarf Datenkompression Kompressionsfaktor und Kompressionsrate Video- und Audiodaten Videodaten Audiodaten Seite 1

2 1. Wichtige Einheiten Seite 2

3 2. Papier Genormte Endformate Ausgangspunkt ist das genormte Format DIN 1 A0. Dieses Format entspricht der Größe 841 mm x 1189 mm und hat das Seitenverhältnis 1: 2 = 1: 1, Diese Fläche entspricht ungefähr 1 m², genau sind es nämlich 0, m². Aus diesem Grund sind bei Formatumrechnungen immer geringe Abweichungen bzw. Rundungsdifferenzen zu berücksichtigen. Jedes aus DIN A0 abgeleitete Format weist immer das gleiche Seitenverhältnis zwischen Länge und Breite auf. Länge ist die schmale Seite des Bogens Breite ist die größere Seite des Bogens. Die weiteren Formate entstehen dadurch, dass die Breite jeweils halbiert wird und sich damit ein neues Format im gleichen Seitenverhältnis ergibt. Wir betrachten nachfolgend überwiegend die sog. A- Reihe. Die B- und C-Reihe ist für Sonderformate, Umschläge usw. relevant. Nachstehend die Formatklassen der A-Reihe: Formatklasse Länge mm Breite mm Fläche cm² gerundet ,49 cm² ,00 cm² ,75 cm² 5.000,00 cm² ,87 cm² 2.500,00 cm² ,94 cm² 1.250,00 cm² ,97 cm² 625,00 cm² ,17 cm² 312,00 cm² ,59 cm² 156,00 cm² ,79 cm² 78,00 cm² Nutzen- und Bogenberechnung mit DIN-Formaten Nutzenberechnung bei DIN-Formaten Masseberechnung/Grammatur bei DIN- Formaten nn = 2 FFFF FFFF n FN FB mm = mm AA0 2 FF m mao F beliebige Anzahl Formatklassennummer des Nutzens Formatklassennummer des Bogens Masse eines Bogens/Blatts Masse des A0-Bogens Formatklassennummer des Bogens/Blatts 1 DIN EN ISO 216, DIN Seite 3

4 Nutzenberechnung ohne Vorgabe der Nutzenstellung und Laufrichtung Formel für liegende Nutzen Breitseite des Druckobjekts parallel zu Breitseite des Bogens NNNNNNNNNNNN jjjj SSSSSSSSSS = BBBBBBBBBBBBännnnnn NNNNNNNNNNNNNNännnnnn BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN Bei S/W-Druck: NNuutttttttt jjjj BBBBBBBBBB = NNNNNNNNNNNN jjjj SSSSSSSSSS 2 Formel für stehende Nutzen Längsseite des Druckobjekts parallel zu Breitseite des Bogens NNNNNNNNNNNN jjjj SSSSSSSSSS = BBBBBBBBBBBBännnnnn NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB NNNNNNNNNNNNllännnnnn Bei S/W-Druck: NNNNNNNNNNNN jjjj BBBBBBBBBB = NNNNNNNNNNNN jjjj SSSSSSSSSS 2 Nutzenberechnung mit Vorgabe der Laufrichtung Schmalbahn 13 cm x 18 cm SB 13 cm x 18 cm 13 cm x 18 cm M 13 cm x 18 cm Breitbahn 43 cm x 61 cm BB 43 cm x 61 cm 43 cm M x 61 cm 43 cm x 61 cm Formel unter Berücksichtigung der Laufrichtung NNNNNNNNNNNN jjjj SSSSSSSSSS = BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB NNNNNNNNNNNNNNännnnnn BBBBBBBBBBBBännnnnn NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN Greiferrand, Kontrollelemente und Beschnitt Bei S/W-Druck (Schön-/Widerdruck, also Vorder- und Rückseite) NNNNNNNNNNNN jjjj BBBBBBBBBB = NNNNNNNNNNNN jjjj SSSSSSSSSS 2 Berechnung des Bogenformats BBBBBBBBBBBBännnnnn = BBBBBBBBBBBBännnnnn NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN + ZZZZZZZZhllllll BBBBBBBBBBBBännnnnn BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB = BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB NNNNNNNNNNNNNNännnnnn NNNNNNNNNNNNNNännnnnn + ZZZZZZZZhllllll BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Die abgerundeten Quotienten einsetzen: Seite 4

5 Papiergewicht in g je Bogen Zur Ermittlung der Papierkosten, die oft in Gewichtsangabe vorliegen (wie z.b. Preis je kg oder Preis je 100 kg), muss die Bogenanzahl in das Gewicht umgerechnet werden: PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPhtt gg jjjj BBBBBBBBBB = PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPhtt gg jjjj BBBBBBBBBB = BBBBBBBBBBBBännnnnn cccc BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB cccc GGGGGGGGGGGGGGGGGG cccc 2 BBBBBBBBBBBBännnnnn mm BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB mm GGGGGGGGGGGGGGGGGG gg/mm2 1mm 2 Papierpreis gesamt Bei Papierpreis in je kg 3. Satzspiegel und Ränder Seitenverhältnisse DIN-Formate PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP gggggggggggg iiii = Bei Papierpreis in je 100 kg PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP gggggggggggg iiii = PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPhtt gg jjjj BBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBhll gg PPPPPPPPPP/kkkk PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPhtt gg jjjj BBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBhll PPPPPPPPPP 100/kkkk gg Das Seitenverhältnis der DIN-Formate kann auch auf andere Formate übertragen werden. Seitenverhältnis DIN Formate Berechnung der Breite (Höhe) SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll = 1: 2 1: 1,414 0,707 SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll = LLännnnnn BBBBBBBBBBBB = 1 2 0,707 BBBBBBBBBBBB = BBBBBBBBBBBB = LLännnnnn 1 2 LLännnnnn SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll = LLännnnnn 2 LLännnnnn 1,414 oder mit dem Kehrwert des Seitenverhältnisses 0,707: BBBBBBBBBBBB LLännnnnn 0,707 Berechnung der Länge LLännnnnn = BBBBBBBBBBBB SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll LLännnnnn = BBBBBBBBBBBB 2 BBBBBBBBBBBB 1,414 BBBBBBBBBBBB 0,707 Seite 5

6 Andere Formate Diese Berechnungen können sinngemäß auch auf andere Formate übertragen werden. Bestimmen Sie zunächst das Seitenverhältnis nach der Maßgabe Länge zu Breite 2 und rechnen Sie eine Zahl aus. Mit dieser Methode sind Sie unabhängig von Hoch- oder Querformat. Seitenverhältnis Berechnung der Breite Berechnung der Länge SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll = LLännnnnn BBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBB = LLännnnnn SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll LLännnnnn = BBBBBBBBBBBB SSSSSSSSSSSSSSSSSShällllllllll Proportionale Formatänderungen Proportionale Formatänderungen sind dadurch gekennzeichnet, dass Längen- und Breitenverhältnisse proportional bestehen bleiben. Grafisch verläuft die Formatänderung (Skalierung) über die Diagonale. Ausgangspunkt für die Berechnung bildet der Lehrsatz des Pythagoras aa 2 + bb 2 = cc 2 uuuuuu ddddddddddddh cc = aa 2 + bb 2 Diese Formel bezieht sich auf das rechtwinklige Dreieck, das rot umrandet in der Skalierungsgrafik liegt. Die Skalierungsdiagonale ist aus dem Wert für c ermittelbar, was im Kapitel 5 Pixelauflösung und Bildgröße ebenfalls noch eine Rolle spielen wird. Die Formeln dazu lauten: Ausgangsverhältnis LLännnnnn nnnnnn BBBBBBBBBBBB nnnnnn = LLännnnnn aaaaaa BBBBBBBBBBBB aaaaaa Die Auflösung erfolgt nach der jeweils gesuchten Größe 3 Bestimmung der Länge Bestimmung der Breite LLännnnnn nnnnnn = LLännnnnn aaaaaa BBBBBBBBBBBB nnnnnn BBBBBBBBBBBB aaaaaa BBBBBBBBBBBB nnnnnn = BBBBBBBBBBBB aaaaaa LLännnnnn nnnnnn LLännnnnn aaaaaa 2 Es kann auch genau umgekehrt berechnet werden, dann müssen allerdings die Formeln für die Breiten- und Längenberechnung genau umgedreht werden. 3 Wenn man die Formeln nicht parat hat, hilft hier auch der Dreisatz schnell weiter. Seite 6

7 4. Manuskript- und Satzumfang Manuskript-/Werksumfang Durchschnittsmethode MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM = ZZZZZZZZheeee ZZZZZZZZZZ ZZZZZZZZZZZZ SSSSSSSSSS Auszählung von beispielsweise 10 Zeilen SSSSSSSSSSSS ZZZZZZZZheeee ZZZZZZZZZZ = AAAAAAAAAAAAähllllll ZZZZZZZZheeee AAAAAAAAhll dddddd aaaaaaaaaaaaähllllllll ZZZZZZZZZZZZ Dieses Ergebnis kann dann in die o.g. Formel eingesetzt werden. Satzumfang bei einspaltigem Satz Da die Formel in der Darstellung zu breit würde, hier die tabellarische Form: Zeichenumfang der Textdatei : Zeichen pro Zeile = Zwischensumme Anzahl Zeilen + Anzahl der Kapitelanfänge Anzahl der Zeilen für Kapitelanfänge = Anzahl der Zeilen - aufgerundet : Zeilen je Seite + Seiten für Titelei = Anzahl Seiten - aufgerundet 5. Pixelauflösung und Bildgröße Umwandlung von Einheiten Strecke cm Strecke inch Auflösung 1/cm Auflösung 1/inch SSSSSSSSSSSSSS cccc = SSSSSSSSSSSSSS iiiiiih 2,54 SSSSSSSSSSSSSS cccc SSSSSSSSSSSSSS iiiiiih = cccc 2,54 iiiiiih 1 AAAAAAAAössssssss cccc = AAAAAAAAössssssss 1 iiiiiih cccc 2,54 iiiiiih AAAAAAAAössssssss cccc iiiiiih 1 iiiiiih = AAAAAAAAössssssss 1 cccc 2,54 cccc iiiiiih oooooooo AAAAAAAAössssssss/iiiiiih 2,54 cccc/iiiiiih Seite 7

8 Alle Zusammenhänge SS pp = SS LLLL ff vv Sp SLE Seitenlänge (Länge oder Breite/Höhe) in Pixel Seitenlänge (Länge oder Breite/Höhe) einer Längeneinheit fv Pixelauflösung. Einheit von fv ist der Kehrwert der Einheit SLE SS LLLL = SS PP ff vv ff vv = SS PP SS LLLL Scanning-Auflösung Scanning-Auflösung ff SSSS = SS PP SS LLLL fsc Sp SLE Scanning-Auflösung, Pixelauflösung Seitenlänge, Zielbreite in Pixel Breite der Vorlage in cm Qualitätsfaktor Der Qualitätsfaktor (Sampling-Faktor) beträgt normalerweise 2. Bei geringeren Ansprüchen kann dieser auf etwa 1,4 reduziert werden. Soll eine Reserve für mögliche, spätere Skalierungen berücksichtigt werden, kann der Qualitätsfaktor > 2 eingesetzt werden. Grundbegriffe zur Vergrößerung und Verkleinerung Maßstab Berechnung entweder mit Dreisatz oder Verhältnisgleichung, die Vorlage entspricht 100%. ff SSSS = RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR 1 LLLL QQQQQQQQQQQQätttttttttttttttt MMMMßssssssss % 100 % Seite 8

9 6. Bilddaten Daten- und Farbtiefe Bit-Tabelle Formeln Datentiefe Bittiefe d Bit Anzahl Farben Farbtiefe C FFFFFFFFFFFFFFFFFF CC = 2 dd DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD GGGGGGGGGGGG dd = DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD KKKKKKKKKK AAAAAAAAhll KKKKKKällll C d Farbtiefe, Anzahl Farben Datentiefe, Bittiefe Bilddatenmenge Bit Byte Binary digit ist die kleinste Informationseinheit der EDV. Sie entspricht einer Stelle im Binärsystem (z.b ). Byte ist eine Gruppe von acht Bits, entspricht also einer 8-stelligen Binärzahl siehe Beispiel oben. 1 Byte = 8 Bit Rechnen mit Byte Datenmengen und Datengrößen werden im Vielfachen des Byte angegeben. Bei den Vorsätzen Kilo (für oder 10 3 ), Mega (für oder 10 6 ), Giga usw. gibt es inzwischen zwei Rechenwege, nämlich den normkonformen Weg auf Basis des binären Vielfachen traditionellen Weg auf Basis des dezimalen Vielfachen Es wird angestrebt, den normkonformen Rechenweg durchzusetzen. Es werden aber beide Möglichkeiten dargestellt. Seite 9

10 Tabelle: binäre und dezimale Byte-Vielfache Normkonforme Berechnung binäres Vielfaches Traditionelle Berechnung dezimales Vielfaches Bezeichung Symbol Vielfaches Bezeichnung Symbol Vielfaches Kibibyte KiB 2 10 = Kilobyte kb 10 3 = Mebibyte MiB 2 20 = Megabyte MB 10 6 = Gibibyte GiB 2 30 = Gigabyte GB 10 9 = Tebibyte TiB 2 40 = Terabyte TB = Pebibyte PiB 2 50 = Petabyte PB = Bei der Umwandlung von dezimalen Byte-Vielfachen (rechter Tabellenteil) in das nächstkleinere oder nächstgrößere wird mit dem Faktor oder Divisor gerechnet, bei der Umwandlung binärer Vielfacher mit dem Faktor Formeln BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB KKKKBB = LLännnnnn PPPPPPPPPP BBBBBBBBBBBB PPPPPPPPPP DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD bbbbbb 8 bbbbbb/bbbbbbbb BBBBBBBB/KKKKKK BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB MMMMMM = LLännnnnn PPPPPPPPPP BBBBBBBBBBBB PPPPPPPPPP DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD bbbbbb 8 bbbbbb/bbbbbbbb BBBBBBee/MMMMMM Auch hier ist die Ableitung aus dem Dreisatz wiederum möglich. Rechnen mit Bildauflösung Formeln KKKKKK = LLännnnnn LLLL BBBBBBBBBBBB LLLL AAAAAAAAössssssss2 1/LLLL 2 DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD bbbbbb 8 bbbbbb/bbbbbbbb BBBBBBBB/KKKKKK MMMMMM = LLännnnnn LLLL BBBBBBBBBBBB LLLL AAAAAAAAössssssss2 1/LLLL 2 DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD bbbbbb 8 bbbbbb/bbbbbbbb BBBBBBBB/MMMMMM Bilddateigröße und Speicherplatzbedarf Die Bilddatei enthält die Nutzdaten (Body, Payload) und einen entsprechenden Dateikopf (Header) mit Informationen über Datenformat, Bildgröße, Auflösung, Farbmodus, Erstellungsdaten usw. Außerdem können sog. ICC-Profile (TIFF) eingebettet sein, die für die unterschiedlichen Farbräume auch unterschiedlich groß sind. Die Dateigröße besteht also aus den Nutzdaten (Bilddatenmenge usw.), dem Dateikopf und ggf. eingebetteten Profilen. Speicherplatzbedarf AAAAAAAAhll ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZheeeeeeeeee ZZZZ = DDDDDDDDDDDDDDößee LLLL GGGGößee ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZheeeeeeeeee KKKKKK Dieser Wert ist immer auf die nächsthöhere volle Dezimalstelle aufzurunden. SSSSSSSSSSheeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee LLLL = GGGGößee ZZZZ AAAAAAAAhll ZZZZ Seite 10

11 7. Datenkompression Kompressionsfaktor und Kompressionsrate Der Kompressionsfaktor ist der Quotient aus komprimierter und unkomprimierter Datenmenge. Diese kann numerisch, prozentual oder in der Form 1:x (z.b. 1:5) angegeben werden. Zusätzlich gibt es noch die Kompressionsrate, bei der das Kompressionsverhältnis als Kehrwert des Kompressionsfaktors in der Form x:1 (z.b. 5:1) angegeben wird. Kompressionsfaktor numerisch Kompressionsfaktor Prozentual Kompressionsfaktor Quotient Kompressionsrate KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK = KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK iiii % = DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD kkkkkkkkkkkkkkkkeerrrr DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu 100 KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK = 1 DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk KKKKmmpppppppppppppppppppppppppp = DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 1 8. Video- und Audiodaten Videodaten Neben der Datenmenge ist natürlich die Geschwindigkeit relevant. Die Größe des Datenstroms, also die Datenmenge pro Sekunde Aufnahme- oder Abspieldauer wird in Bit pro Sekunde oder einem dezimalen Vielfachen, also Kilobit oder Megabit pro Sekunde angegeben. Bit pro Sekunde Bit/s Kilobit pro Sekunden Kbit/s Megabit pro Sekunden Mbit/s Bei digitalen Videos setzt sich der Datenstrom zusammen aus: Bildgröße (Framegröße, Frame-Size), also Breite mal Höhe 4 in Pixel Datentiefe (Farbtiefe d) in bit Anzahl der Bilder pro Sekunde (Bildfrequenz, Frame-Rate) 1/s Datenrate Video RR DD = bb pp h pp ff FF dd RD Datenrate bit/s bp Framebreite in Pixel hp Framehöhe in Pixel ff Frame-Rate (Bildfrequenz) 1/s d Datentiefe (Farbtiefe) bit 4 Im digitalen Bereich werden die Seiten meist mit Breite und Höhe angegeben, deshalb sind hier für diesen Abschnitt diese Bezeichnungen übernommen. Seite 11

12 Datenrate Video komprimiert Videodaten werden in der Regel komprimiert. Wir berechnen nachfolgend alle Möglichkeiten bei angegebenen Kompressionsfaktoren bzw. Kompressionsrate. RR DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD = RR DD uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK Datenmenge Video Wenn die Datenrate angegeben ist, kann die Datenmenge eines Videos ganz schnell berechnet werden: DD = RR DD tt Umwandlung von bit in Byte BBBBBBBB = DDDDDDDDDDDDDDDDDDDD BBBBBB 8 bbbbbb/bbbbbbbb Audiodaten Bei Audiodaten sind folgende Größen von Bedeutung: Sampling-Frequenz (Sampling-Rate), Einheit in Hertz (Hz = 1/s) oder Kilohertz (khz), gibt an, wie oft ein Signal pro Sekunde gemessen wurde. Signalauflösung (Auflösung) ist die Datentiefe (Bittiefe), also die Anzahl der für die Codierung eines Messwerts zur Verfügung stehenden Bits. Die Angabe erfolgt normalerweise pro Kanal Anzahl der Kanäle Datenrate Audio RR DD = ff ss dd kk RD Datenrate bit/s fs Sampling-Frequenz Hz = 1/s d Signalauflösung Datentiefe bit k Anzahl Kanäle Datenmenge Audio Auch hier ein kurzer Weg durch Multiplikation der Datenrate mit der Abspieldauer in Sekunden: DD = RR DD tt Seite 12