Coupon Collector s Problem

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Busso Siegel
vor 6 Jahren
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1 08. Jänner 2008

2 Inhaltsverzeichnis 1 Sammeln ohne Tauschvorgang 2

4 Definition T i weitere Anzahl der Coupons die nötig sind, um einen i-ten Sticker in mein Album einzukleben, den ich noch nicht besitze

5 Definition T i R weitere Anzahl der Coupons die nötig sind, um einen i-ten Sticker in mein Album einzukleben, den ich noch nicht besitze Anzahl der Coupons, die nötig sind, bis mein Album vollständig ist

6 Definition T i R weitere Anzahl der Coupons die nötig sind, um einen i-ten Sticker in mein Album einzukleben, den ich noch nicht besitze Anzahl der Coupons, die nötig sind, bis mein Album vollständig ist E(T i ) = n n i + 1

7 Definition T i R weitere Anzahl der Coupons die nötig sind, um einen i-ten Sticker in mein Album einzukleben, den ich noch nicht besitze Anzahl der Coupons, die nötig sind, bis mein Album vollständig ist E(T i ) = E(R) = n n n i + 1 n i=1 1 i

9 Fußball WM 2006 n = 598

10 Fußball WM 2006 n = 598 E(R) = i=1 1 i = 4169, Sticker

11 Fußball WM 2006 n = 598 E(R) = i=1 1 i = 4169, Sticker 1 Sticker kostet 10 Cent Kosten betragen 417 Euro

13 Definition A w n die ersten w Coupons füllen mein Album nicht aus

14 Definition A w n Ci w die ersten w Coupons füllen mein Album nicht aus der i-te Coupon war nicht in meinen w Stickern enthalten

15 Definition A w n Ci w die ersten w Coupons füllen mein Album nicht aus der i-te Coupon war nicht in meinen w Stickern enthalten P Ci w i S j ( ) n j w = mit S j = j, S j {1,..., n} n

16 Definition A w n Ci w die ersten w Coupons füllen mein Album nicht aus der i-te Coupon war nicht in meinen w Stickern enthalten P Ci w i S j ( ) n j w = mit S j = j, S j {1,..., n} n P(A w n ) = n i=1 ( ( n )( 1) i+1 1 i ) w i n

18 Definition W...Anzahl der Sticker, die benötigt werden, um alle n verschiedenen Coupons zu erhalten.

19 Definition W...Anzahl der Sticker, die benötigt werden, um alle n verschiedenen Coupons zu erhalten. P(W w) = 1 P(A w n )

20 Definition W...Anzahl der Sticker, die benötigt werden, um alle n verschiedenen Coupons zu erhalten. P(W w) = 1 P(A w n ) = n i=0 ( ( n )( 1) i 1 i ) w i n

21 Definition W...Anzahl der Sticker, die benötigt werden, um alle n verschiedenen Coupons zu erhalten. P(W w) = 1 P(A w n ) = n i=0 ( ( n )( 1) i 1 i ) w i n Fußball WM 2006 P(W E(R)) = P(W 4169, 04) = 0,

23 P(W = w) = P(W w) P(W w 1)

24 P(W = w) = P(W w) P(W w 1) P(W = w) = 1 n w 1 n 1 ( n 1 i i=0 ) ( 1) i (n i 1) w 1

25 Funktion f (x) = P(W = x)

28 Inhaltsverzeichnis 1 Sammeln ohne Tauschvorgang 2

30 Sammler A, Sammler B

31 Sammler A, Sammler B Packungen zu je fünf gleichverteilten Coupons werden erworben

32 Sammler A, Sammler B Packungen zu je fünf gleichverteilten Coupons werden erworben Voraussetzungen für Tauschvorgang: Nur noch nicht verwendete Coupons können dem anderen zum Tausch angeboten werden. Es wird nur dann getauscht, wenn beide einen Sticker zum Tauschen haben.

33 Sammler A, Sammler B Packungen zu je fünf gleichverteilten Coupons werden erworben Voraussetzungen für Tauschvorgang: Nur noch nicht verwendete Coupons können dem anderen zum Tausch angeboten werden. Es wird nur dann getauscht, wenn beide einen Sticker zum Tauschen haben. Sammler A oder B besitzt ein volles Album kein Tauschen mehr möglich

35 Der Sammler, der als erster sein Album fertigstellte, musste im Durchschnitt 501, 2 Packungen kaufen.

36 Der Sammler, der als erster sein Album fertigstellte, musste im Durchschnitt 501, 2 Packungen kaufen. Der Sammler, der als zweiter alle 598 verschiedenen Coupons besaß, musste im Durchschnitt 663, 9 Packungen erwerben.

37 Der Sammler, der als erster sein Album fertigstellte, musste im Durchschnitt 501, 2 Packungen kaufen. Der Sammler, der als zweiter alle 598 verschiedenen Coupons besaß, musste im Durchschnitt 663, 9 Packungen erwerben. Der Durchschnitt beider Sammler lag bei 582, 6 Packungen.

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