Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 22. Juni 2017 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

2 2.4 Indexzahlen Einfache Indexzahlen (Messzahlen) Indizes (Indexzahlen, Indexzeitreihen) dienen z.b. zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung bestimmter Größen und werden häufig in der Wirtschaftsstatistik oder Ökonometrie angewandt. Einfache Indexzahlen beschreiben die Entwicklung einer Maßzahl über die Zeit. Zur besseren Vergleichbarkeit werden Werte so normiert, dass der Wert zur Basiszeit gleich 1 (100%) ist. x t0 : Maßzahl zur Basiszeit t 0, x t : Maßzahl zur Berichtszeit t I t0,t = x t x t0 ( 100) : einfache Indexzahl. Beispiel 2.11 Umsatz einer Firma (in Tausend Euro) Jahr t 0 =: t x t I t0,t Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

3 Umbasierung von Messzahlen Wechsel der Basiszeit: t 0 : alte Basiszeit; t 0 : neue Basiszeit. I t 0,t = x t ( 100) = x 1 x t t x t0 x t0 I t0,t ( 100) = x 1 x t 0 x t 0 t ( 100) = ( 100) 0 I x t0 t0,t x 0 t0 I t0,t 0 I t 0,t = I t0,t( 100) bzw. Eigenschaft ( ) heißt Verkettungseigenschaft. I t 0,t I t 0,t 0 = It 0,t I t0,t 0 ( ). Im Beispiel 2.11 Jahr t 0 = t = t x t I 0,t I 2,t z.b. I 2,6 = = = Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

4 Verkettung von Messzahlen Gegeben seien eine alte Indexreihe I t0,1,..., I t0,s und eine neue I t 0,s,..., I t 0,r. Verschiedene Basiszeiten. Indexreihen überschneiden sich genau im Zeitpunkt s. Beispiel 2.12 Jahr t I 0,t I 5,t I 0,t I 5,t 62, , z.b. 168 = oder 70 = Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

5 Fortführung der alten Reihe und Rückrechnung der neuen Reihe Fortführung der alten Reihe für t > s : Idee: Multipliziere alle Werte I t 0,t der neuen Reihe mit dem gleichen Faktor c, so dass c I t 0,s = I t 0,s ist. c = I t 0,s I t 0,s I t0,t = I t 0,s I t 0,s I t 0,t. Rückrechnung der neuen Reihe für t < s : Idee: Multipliziere alle Werte It0,t der alten Reihe mit dem gleichen Faktor c, so dass c I t0,s = I t 0,s ist. c = I t 0,s I t0,s I t 0,t = I t 0,s I t0,t. I t0,s Anmerkung: Entsteht I aus I durch Umbasieren, so führt die Verkettung von I und I wieder zur ursprünglichen Reihe. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

6 2.4.2 Zusammengesetzte Indexzahlen Verknüpfen gleichartige (einfache) Indexreihen zu einer zusammengesetzten Indexreihe. Beispiele: Umsatz einzelner Firmen Umsatzindex des Industriezweigs; Wert einzelner Aktien Aktienindex einer Branche, einer Region etc. Von besonderem Interesse a) Preisindizes b) Mengenindizes c) Umsatzindizes (Wertindizes) a) Preisindizes Untersuchungsgegenstand: Preisentwicklung eines Warenkorbs bestehend aus n Gütern (repräsentativer Warenkorb). p t0 = (p t0 (1), p t0 (2),..., p t0 (n)) : Preise der Güter zur Basiszeit t 0. p t = (p t (1), p t (2),..., p t (n)) : Preise der Güter zur Berichtszeit t. q = (q(1), q(2),..., q(n)) : verbrauchte Mengen der Güter. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

7 Statistisches Bundesamt Startseite: Statistisches Bundesamt Der folgenden Film zur Inflationsrate und Verbraucherpreisindex stammt vom Statistischen Bundesamt: Film zum Verbrauchspreisindex Die aktuelle Zusammensetzung des Wahrkorbes und die Preisveränderungen der einzelnen Bereiche sind Preiskaleidoskop schön veranschaulicht: PreisKaleidoskop Auch die Daten für die Indexreihen auf den folgenden 3 Folien stammen vom statistischen Bundesamt. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

8 Verbraucherpreisindex insgesamt Verbraucherpreisindex für Deutschland Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

9 Verbraucherpreisindex im Bildungswesen Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

10 Gruppe: Freizeit, Unterhaltung und Kultur Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

11 Grundidee zur Berechnung eines Preisindexes P t0,t = Wert des Warenkorbs zum ZP t Wert des Warenkorbs zum ZP t 0 = q(i)p t (i). q(j)p t0 (j) Kann als gewichtete Summe der einfachen Preisindizes I t0,t(i) = p t(i) für die Einzelgüter ausgedrückt werden: p t0 (i) q(i)p t (i) = q(j)p t0 (j) mit w(i) = q(i)pt 0 (i) q(j)p t0 (j) q(i)p t0 (i) pt(i) p t0 (i) q(j)p t0 (j) Gesamtumsatz zur Basiszeit t 0 ). = w(i)i t0,t(i) (Anteil des Umsatzes von Gut i am Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

12 Änderungen des repräsentativen Warenkorbs Preisänderungen führen zu Nachfrageverschiebungen. Der repräsentative Warenkorb verändert sich mit der Zeit. Man kann zur Berechnung des Preisindex P t0,t sowohl den repräsentativen Warenkorb zur Basiszeit t 0 als auch den Warenkorb zur Berichtszeit t verwenden. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

13 Preisindex nach Laspeyres bzw. Paasche Preisindex nach Laspeyres Berechnung mit repräsentativem Warenkorb zum Basiszeitpunkt t 0. q t0 (i)p t (i) Pt L 0,t = = w(i)i t0,t(i) mit w(i) = qt 0 (i)pt 0 (i). q q t0 (j)p t0 (j) t0 (j)p t0 (j) Preisindex nach Paasche Berechnung mit repr. Warenkorb zum Berichtszeitpunkt t. q t (i)p t (i) Pt P 0,t = = w t (i)i t0,t(i) mit w t (i) = q t (j)p t0 (j) qt(i)pt 0 (i) q t(j)p t0 (j) Darstellbar auch als gewogenes harmonisches Mittel mit auf t bezogenen Preisfaktoren in den Gewichten.. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

14 b) Mengenindizes Grundidee: Preise festhalten und Mengen variieren. Mengenindex nach Laspeyres Berechnung mit Preisen zum Basiszeitpunkt t 0. p t0 (i)q t (i) Qt L 0,t = = w(i) q t(i) q p t0 (j)q t0 (j) t0 (i) mit w(i) = pt 0 (i)qt 0 (i) Mengenindex nach Paasche p t0 (j)q t0 (j) Berechnung mit Preisen zum Berichtszeitpunkt t. p t (i)q t (i) Qt P 0,t = = w t (i) q t(i) q p t (j)q t0 (j) t0 (i) mit w t(i) = pt(i)qt 0 (i) p t(j)q t0 (j) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

15 c) Umsatzindex U t0,t = = Gesamtumsatz zum ZP t Gesamtumsatz zum ZP t 0 = q t (i)p t (i) q t0 (j)p t0 (j) q t (i)p t (i) q t0 (j)p t0 (j) q t0 (i)p t (i) = q t0 (j)p t (j) = Q P t 0,t P L t 0,t bzw. q t (i)p t (i) q t0 (j)p t (j) q t0 (i)p t (i) q t0 (j)p t0 (j) U t0,t = q t (i)p t (i) q t0 (j)p t0 (j) q t (i)p t0 (i) q t (j)p t0 (j) = q t (i)p t (i) q t (j)p t0 (j) q t (i)p t0 (i) q t0 (j)p t0 (j) = P P t 0,t Q L t 0,t. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

16 Beispiel 2.14 Warenart i Periode t p t (1) q t (1) p t (2) q t (2) p t (3) q t (3) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

17 Umbasieren und Verketten bei zusammengesetzten Indexzahlen Bei zusammengesetzten Indexzahlen gilt im Allgemeinen nicht wie bei einfachen Indexzahlen die Verkettungseigenschaft I t 0,t = I t 0,t I t0,t 0 bzw. I t0,t = I t0,t 0 I t 0,t. Man kann zusammengesetzte Indexzahlen nicht einfach so umbasieren. Der Preisindex nach Fisher Pt F 0,t := Pt L 0,t Pt P 0,t besitzt aber die Verkettungseigenschaft. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

18 Verkettung von Laspeyres-Indizes Möglichkeit zur gelegentlichen Anpassung der Gewichte. Verkettungszeitpunkte t 1, t 2,.... Für t k < t t k+1 setzt man I t = P L t k,t c(t k ). Der Verkettungsfaktor wird so gewählt, dass kein Sprung zum Verkettungszeitpunkt t k auftritt. c(t k ) = P L t k,t k c(t k ) = I neu t k! = I alt t k = P L t k 1,t k c(t k 1 ) Rekursive Berechnung, Startwert c(t 0 ) = 1. Beispiel t 0 t 1 t 2 Pt L 0,t 1 1,5 1,8 2 Pt L 1,t 1 1,1 1,2 1,25 Pt L 2,t 1 1,4 I t 1 1,5 1,8 2 2,2 2,4 2,5 3,5 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

19 Alternative Berechnungsform I t = P L t k,t c(t k ) = P L t k,t P L t k 1,t k P L t 1,t 0 = = = q tk (i)p t (i) q tk (i)p tk (i) q tk (i)p t (i) q t0 (i)p t0 (i) q tk 1 (i)p tk (i) q tk 1 (i)p tk 1 (i) q tk 1 (i)p tk (i) q tk (i)p tk (i) q tk (i)p t (i) 1 1 Q q t0 (i)p t0 (i) t P k 1,t k Qt P. 0,t }{{ 1 } =:K(t k ) q t0 (i)p t1 (i) q t0 (i)p t0 (i) q t0 (i)p t1 (i) q t1 (i)p t1 (i) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni

20 Einige wichtige Indizes aus dem Bereich der Wirtschaft Verbraucherpreisindex. Index der Einzelhandelspreise. Index der Großhandelsverkaufspreise. Nominallohn- und Reallohnindizes. Deutscher Aktienindex (DAX). Entsteht durch eine am verketteten Laspeyres-Index orientierte Gewichtung von 30 deutschen Aktien. t , Verkettungstermine t k im Vierteljahresrhythmus. Berechnungsformel: DAX t = q tk (i)p t (i)c t (i) K(t k ) q t0 (i)p t0 (i) qt (i): Grundkapital von Gesellschaft i zum Zeitpunkt t. ct (i): Korrekturfaktor zur Bereinigung marktfremder Einflüsse, wie Dividendenzahlungen oder Kapitalmaßnahmen von Gesellschaft i. K(tk ) - Verkettungsfaktor. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 20. Juni