Beispiel 1.3 (Einige Aufgaben zum Preisindex nach Laspeyres, Paasche u.a.)

Transkript

1 Beispiel 1.3 (Einige Aufgaben zum Preisindex nach Laspeyres, Paasche u.a.) Aufgabe 1 Über das Konsumverhalten eines Haushalts zu vier Gütern (A,B,C,D) liegen folgende Informationen vor: 1 Jahr Preis des Gutes gekaufte Menge des Gutes A B C D A B C D Berechnen Sie folgende Indices für t = 1971 und t =1972 (jeweils zur Basis 1970): 7 a) die Preisindices P tl von Laspeyres und P tp von Paasche, b) den Preisindex P tf := p tl.p tp von Fisher. Aufgabe 2 (ähnlich obiger Aufgabe) Für den Warenkorb eines Einwohners der Stadt S kommen nur drei wichtige Güter, nämlich A, B und C in Betracht, und es liegen folgende Informationen vor: Preis des Gutes gekaufte Menge des Gutes Jahr A B C A B C a) Bestimmen Sie den Laspeyres-Preisindex des Warenkorbs für 1992 auf der Basis von b) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn Gut C statt 10 Geldeinheiten in 1992 sich auf 20 Geldeinheiten verdoppelt? c) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn alle Güter in 1992 sich im Preis verdoppeln; d. h. auf 10, 16 und 20? d) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, falls statt der Basis 1990 die Basis 1991 gewählt wird? Lösung: a) P = 2, b) P = 3 (Ein steigender (sinkender) Preis läßt den Index steigen (sinken).), c) P = 4 (Bei allseits verdoppelten Preisen ist der Index gleichfalls doppelt so hoch.)

2 2 Aufgabe 3 Für einen Vergleich der Lebenshaltungskosten in Deutschland (D) und Belgien (B) benutzen Sie bitte die beiden folgenden typischen Hauhaltsausgabeübersichten. Die belgischen Ausgaben sind bereits über den Wechselkurs in DM umgerechnet. Brot Fleisch Butter Obst & Gemüse Wein Milch Preise D Menge D Preise B Menge B a) Bestimmen Sie für beide Länder den Preisindex nach Laspeyres und Paasche, in dem Sie den Warenkorb des jeweilig anderen Landes als Basis nehmen. b) Beantworten Sie, ob es finanziell besser ist, bei einem Umzug den eigenen Warenkorb beizubehalten oder sich den landesüblichen Eßgewohnheiten anzupassen. c) Können Sie mit entsprechenden Überlegungen dem Bonner Beamten, der nach Berlin umziehen muß, einen geeigneten Ratschlag für die Umstellung von der rheinischen zur Berliner Küche erteilen? Lösung zu 3: a) Es gibt zwei Indexberechnungen, eine mit Basis D und eine mit Basis B: Basis D: Preis-Index (Laspeyres) = Preis-Index (Paasche) = Preis-Index (Fisher ) = für einen deutschen Haushalt ist das Haushalten nach deutschem Schema etwas ungünstiger in Belgien; d.h. 7% (der deutsche Warenkorb nach belgischen Preisen) Basis B: Preis-Index (Laspeyres) = Preis-Index (Paasche) =.9393 Preis-Index (Fisher ) =.9849 für einen belgischen Haushalt ist das Haushalten nach belgischem Schema in Deutschland etwas teuerer als in Belgien, nämlich um 4% (der belgische Warenkorb nach deutschen Preisen) b) folgt aus a) c) Hier ist i.r. kein Ratschlag möglich, denn das Statistische Bundesamt differenziert den Lebenhaltungskostenindex nicht nach Bundesländern. Möglicherweise gibt es aber Überlegungen in den Statistischen Landesämtern, d.h. es kommt also darauf an. Daß auch kleine Regionen eigene Indices haben, dazu siehe Luxemburg im Vergleich zu Deutschland.

3 3 Aufgabe 4 Bewerten und vergleichen Sie über eine Preisindexberechnung die Kostensituation einer Firma, die in den zwei vergangenen Jahren im wesentlichen von den folgenden fünf Grundstoffen abhing: Grundstoff 1 Grundstoff 2 Grundstoff 3 Grundstoff 4 Grundstoff Preise Jahr Menge Jahr Preise Jahr Menge Jahr Lösung zu 4: Indices nach Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) Preis-Index (Laspeyres) = 1.191; (Paasche) = ; (Fisher)= Mengen-Index (Laspeyres) = ; (Paasche) = ; (Fisher)= Indices nach Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) Preis-Index (Laspeyres) = ; (Paasche) = ; (Fisher) = Mengen-Index (Laspeyres) = ; (Paasche) = ; (Fisher)=

4 Aufgabe Betrachten Sie folgende Situation zu den Telefonanschlüssen zweier Dörfer: Telefonanschlüsse Jahr des Dorfes 1 des Dorfes 2 x*=x(1971) x*=x(197) % % % % % % % % a) Errechnen Sie die fehlenden Meßzahlen für die Telefonanschlüsse des Dorfes 1 (Basisjahr: 1971). b) Gehen Sie zu einer neuen, geeigneten Basis über, um die Meßzahlen des Dorfes 1 mit denen des Dorfes 2 vergleichen zu können. c) Für das Dorf 2 haben sich für die Jahre die Meßzahlen 100, 170, 280, 310 und 60 ergeben (Basisjahr: 1971). Geben Sie die beiden vollständigen Meßzahlenreihen für das Dorf 2 an mit Basisjahr 1971 und 197. d) Ermitteln Sie die Anzahl der Telefonanschlüsse des Dorfs 2 von Hinweis: x(n) heißt: die Zahl x mit Basis des Jahres n. 4 Aufgabe 6 In den Jahren 192 bis 194 waren die meistgekauften Zigarettensorten der österreichischen Tabakregie die Sorten 'Austria C', 'Donau' sowie 'Austria III'. Über Preise und abgesetzte Mengen gibt folgende Tabelle Auskunft: Preise Mengen Austria C Donau Austria III a) Bestimmen Sie die Preisindizes nach Paasche und Laspeyres mit 192 als Basisjahr. b) Bestimmen Sie die Umsatzmaßzahl für diese drei Zigarettensorten. c) Bestimmen Sie die Mengenindizes nach Paasche und Laspeyres. d) Diskutieren Sie die Ergebnisse von b) und c) im Zusammenhang. e) Führen Sie eine Preisbereinigung durch 1. mittels des Paasche-Index, 2. mittels des Laspeyres-Index.

5 Aufgabe 7 Im Bundesland S wird der Preisindex für die Lebenshaltung aus verschiedenen Gütern und Preisen aus den Bereichen Nahrung, Kleidung und Wohnung berechnet. Als repräsentativ hat das Statistische Landesamt dafür die folgenden drei Güter angesehen: Brot, Socken und Strom. Die 1990, 1991 und 1992 erworbenen Mengen und Preise sind wie folgt: Gut Menge Preis Menge Preis Menge Preis Brot 100 kg 2 DM/kg 80 kg 3 DM/kg 70 kg 4 DM/kg Socken 10 Paar DM/Paar 12 Paar 4 DM/ Paar 1 Paar 3 DM/Paar Strom 20 kwh 2 DM/kwh 30 kwh 2 DM/kwh 1 kwh 3 DM/kwh a) Bestimmen Sie den Laspeyres-Preisindex und den Paasche-Preisindex für die Lebenshaltung für 1992 auf der Basis von 1990 und erklären Sie die Bedeutung der errechneten Indexzahl. b) Nach Kritik der Fachpresse, der Warenkorb sei nicht geeignet, insbesondere die Berücksichtigung der Socken sei lebensfremd, entschließt sich das Statistische Landesamt statt des Bereichs "Kleidung" den Bereich "Unterhaltung" in den Preisindex aufzunehmen. Dafür wird das Gut "Videokassetten" einbezogen. Für Videos gibt es folgende Beobachtungen: Gut Menge Preis/Stück Menge Preis/Stück Menge Preis/Stück Videos 10 Stück 30 DM 20 Stück 20 DM 30 Stück 10 DM Bestimmen Sie den neuen Laspeyres-Preisindex und den neuen Paasche-Preisindex für die Lebenshaltung für 1992 auf der Basis von c) Wiederholen Sie Aufgabe a) und Aufgabe b) für das neue Basisjahr 1991

6 Lösung zu 7: 0) Üben der Berechnungsformeln, Umbasieren, Eigenschaften Laspeyres-Preisindex: "Der gleiche alte Warenkorb zu beiden Preisen" P(L,t) P(L,t) = i q i0 p it, P(P,t) = q j0 p j0 j 6 i q it p it q jt p j0 j Paasche-Preisindex: "Der gleiche neue Warenkorb zu beiden Preisen" P(P,t) a) Basisjahr 1990 (mit den drei alten Gütern): P(L,1992) = = = P(P,1992) = = = b) Basisjahr 1990 (mit dem neuen Gut, Änderung des Warenkorbs): P(L,1992) = = = P(P,1992) = = = c) Basisjahr 1991 (Umbasieren mit den drei alten Gütern): P(L,1992) = = = P(P,1992) = = = Basisjahr 1991 (Umbasieren mit dem neuen Gut und Änderung des Warenkorbs): P(L,1992) = = = P(P,1992) = = = Aufgabe 8 Im Land El Paradiso besteht der Warenkorb eines Einwohners nur aus zwei Gütern Milch und Honig. Trotz des schönen Landesnamens gibt es beide nicht umsonst, sondern sind mit der Landeswährung zu bezahlen. Die 198 und 1990 erworbenen Mengen und Preise sind wie folgt: Gut Menge Preis Menge Preis Milch 100 l 2 /l 80 l 3 /l Honig 20 kg /kg 30 kg 4 /kg Bestimmen Sie einen Laspeyres-Preisindex für die Lebenshaltung für 1990 auf der Basis von 198 und erklären Sie die Bedeutung der errechneten Indexzahl.

7 7 Aufgabe 9 Zur Bestimmung eines Preisindex für die Lebenshaltung werden die folgenden drei Gütern ausgewählt: N, G und T. Die 1991, 1992 und 1993 betrachteten Mengen und Preise sind wie folgt: Gut Menge Preis Menge Preis Menge Preis N DM DM DM G DM DM DM T DM DM DM a) Bestimmen Sie den Laspeyres-Preisindex und den Paasche-Preisindex für die Lebenshaltung für 1993 auf der Basis von 1991, bzw 1992 und erklären Sie die Bedeutung der errechneten Indexzahl. b) Welcher Preisindex von Laspeyres ergibt sich, wenn der Preis für das Gut T um % steigt und alle übrigen Preise unverändert bleiben und das relative Gewicht des Gutes T im Warenkorb 0.10 (= 10%) ist? (Hinweis: Dieser Teil der Aufgabe ist unabhängig von den obigen Zahlen.) c) Mit welchem relativen Gewicht ist das Gut T im Warenkorb vertreten, wenn Sie folgendes beobachten können: Der Preis des Gutes T sinkt um %, während alle übrigen Preise unverändert bleiben, und für den Laspeyres-Preisindex ergibt sich

8 Lösung: zu 9 a) Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen (Basis 1990): p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist Preis- und Mengenindex Toernquist(Preis)= Toernquist(Menge) = Laspeyres und Paasche Preis-Index Laspeyres(Preis) = Paasche(Preis) = Laspeyres und Paasche Mengen-Index Laspeyres(Menge) = Paasche(Menge) = Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen (Basis 1990): p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist Preis- und Mengenindex Toernquist(Preis)= Toernquist(Menge) = Laspeyres und Paasche Preis-Index Laspeyres(Preis) = Paasche(Preis) = Laspeyres und Paasche Mengen-Index Laspeyres(Menge) = Paasche(Menge) = Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen (Basis 1991): p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist Preis- und Mengenindex Toernquist(Preis)=.9266 Toernquist(Menge) = Laspeyres und Paasche Preis-Index Laspeyres(Preis) =.9269 Paasche(Preis) =.9263 Laspeyres und Paasche Mengen-Index Laspeyres(Menge) = Paasche(Menge) = Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen (Basis 1991): p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist Preis- und Mengenindex Toernquist(Preis)= Toernquist(Menge) = Laspeyres und Paasche Preis-Index Laspeyres(Preis) = Paasche(Preis) = Laspeyres und Paasche Mengen-Index Laspeyres(Menge) = Paasche(Menge) =

9 9 Aufgabe 10 Zur Beurteilung der Molkereiabgabepreise über die schwierigen Jahre vor und nach dem Fall der Berliner Mauer sind die Zahlen zu den drei wichtigsten Produkten der Molkerei Butzenwalk/Brandenburg zusammengestellt: Produkt Preise pro Mengeneinheit Mengeneinheiten Butter 1,0 1,20 1,80 2, Quark 2,00 0,0 1,00 1, Harzer Käse 0,80 0,40 1,20 1, Die Überlegung der Geschäftsleitung zu einer Anfrage des Landrats ist, wie die Preisentwicklung von 1992 durch einen Preisindex nach Laspeyres aussieht. Der Landrat, als Vertreter der kommunalen Eigentümer (drei an Butzenwalk angrenzende Kreise) ist nicht an der obigen Übersicht interessiert, sondern an einer aussagekräftigen Zahl. a) Bestimmen Sie daher den Molkerei-Preisindex nach Laspeyres für 1992 einmal für das Basisjahr 1989 und zum zweiten für das das Basisjahr b) Begründen Sie, weshalb Sie die eine oder die andere Basis verwenden. Lösung zu 10: Bestimmung Preisindex 1992 (Laspeyres, Basis 1989): (q 0 p t ) / (q 0 p 0 ) = [400 2, , ,60] / [400 1, , ,80] = ( ) / ( ) = 2200 / 1800 = 11/9 1,222 Bestimmung Preisindex 1992 (Laspeyres, Basis 1990): (q 0 p t ) / (q 0 p 0 ) = [100 2, , ,60] / [100 1, , ,40] = ( ) / ( ) = 660 / 260 = 33/13 2,38

10 10 Aufgabe 11 Im unruhegeschüttelten Reformstaat Novo-Macedonia ändern sich, wie die folgende Tabelle zweier aufeinander folgenden Monate zeigt, die Preise außerordentlich schnell: Gut des Preise pro Mengeneinheit Mengeneinheiten Warenkorbs Januar Februar Januar Februar A 1,0 1, B 2,00 3, C 10,00 8, D 1,0 2, E 4,0, Die Weltbank wird Novo-Macedonia nur dann einen zugesagten Kredit von $100 Mio. auszahlen, wenn die Inflation unter % pro Monat ist. Um die Bank von der Erfüllung dieser Kondition zu überzeugen, bittet der Vertraute des Ministerpräsidenten daher bei einem Abendessen den Präsidenten des international als unabhängig geachteten Statistischen Landesamt mit einem geeigneten Preisindex an die Öffentlichkeit zu treten. a) Welchen Preisindex wird das Amt publizieren? b) Gibt es überhaupt einen solchen Preisindex, der die Kondition erfüllt? Lösung zu 11: Gut des Menge Januar mit Preis Menge Februar mit Preis Warenkorbs Januar Februar Januar Februar A B C D E Preisindex (Laspeyres): 360 / 328 1,083 Preisindex (Paasche): 3460 / 330 1,033, dieser erfüllt die Bedingung Aufgabe 12 Das Lieblingsgericht des Studenten U besteht aus Currywurst (C) mit Pommes Frites (P) und einer extra Portion Ketchup (K), manchmal auch mit einer doppelten Portion. In den Mensen der von U besuchten Institute ergab sich für eine Woche folgender Verzehr zu folgenden Mengen (in Mengeneinheiten, ME) und Preisen (in DM): C (ME) P C (DM) P (ME) P P (DM) K (ME) P K (DM) Mensa Mensa Mensa Vergleichen Sie die Mensen, indem Sie jeweils einen Preisindex Ihrer Wahl (Laspeyres oder Paasche) -d.h. also insgesamt zwei- mit der Basis Mensa 1 berechnen. (Diese alte Klausuraufgabe ist nicht idiotisch, wie ein Prüfling in seiner Klausur vermerkte.)

11 11 Aufgabe 13 In den Jahren 1970 bis 1972 seien von den folgenden Gütern jeweils die Menge q zum Preis p abgesetzt worden: Butter Mehl Eier Brot p q p q p q p q a) Berechnen Sie für die angegebenen Güter den Preisindex aa) nach Laspeyres für das Jahr 1972 zur Basis 1970 ab) nach Paasche für das Jahr 1972 zur Basis 1971 b) Der Mengenindex L Q 0t nach Laspeyres und der Mengenindex P Q 0t nach Paasche werden wie folgt berechnet, wobei der Subskript i das Gut i bezeichnet (i=1,2,3,4=m) und t die Zeit: m m Σ q t,i p 0,i Σ q t,i p t,i L Q 0t = i=1 i=1, P Q 0t = m Σ q 0,i p 0,i i=1 m Σ q 0,i p t,i i=1 Berechnen Sie für die angegebenen Güter den Mengenindex ba) nach Laspeyres für das Jahr 1971 zur Basis 1970 bb) nach Paasche für das Jahr 1972 zur Basis 1970 m Σ p t,i q t,i i=1 c) Der Umsatzindex U 0,t berechnet sich nach U 0,t = m Σ p 0.i q 0,i i=1 ca) Berechnen Sie den Umsatzindex U für das Jahr 1971 zur Basis cb) Zeigen Sie, daß gilt: L U 01 = L P. 01 P Q 01 Aufgabe 14 Um festzustellen, ob eine Umsatzsteigerung ausschließlich durch Preissteigerungen hervorgerufen wird oder ob auch Mengensteigerungen erfolgt sind, führt man die sogenannte Preisbereinigung des Umsatzes durch. Dazu dividiert man den Umsatz-index durch einen Preisindex. Führen Sie eine solche Preisbereinigung des Umsatzes sowohl mit dem Laspeyres-Preisindex als auch mit dem Paasche-Preisindex durch und vergleichen Sie die Ergeb-nisse mit dem Paasche- bzw. dem Laspeyres-Mengenindex.

12 Aufgabe 17 Die Stadtwerke K versandten an den Haushalt H (so nach M. Missong, Aufgabensammlung zur deskriptiven Statistik, Aufgabe 7.4) folgende Abrechnungen: Preis/m 3, bzw /kwh 12 Menge(m 3, bzw kwh) Gas DM 7 60 m 3 Strom DM kwh a) Errechnen Sie für das Berichtsjahr 1993 die beiden Preis- und Mengen-Indizes nach Paasche und Laspeyres mit 1991 als Basisjahr. b) Welche Energieart ist vergleichsweise billiger geworden? c) Berechnen Sie den Fisherschen Idealindex. Aufgabe 18 Um ihre Kriegsgefangenen gemäß Genfer Konvention am Leben zu erhalten, ernährt die Guerillatruppe im Ort Jelenica die Gefangenen mit trockenem Brot, Wasser und Milchpulver. Die Kosten sind beachtlich, doch die Freilassung (über Vermittlung der UNO) würde dazu führen, daß die Gefangenen in Kürze an anderer Stelle als Kriegs-gegner aufträten. So entscheidet der Guerrilla-Rat, sobald der Lebenshaltungskosten-index (nach Laypeyres, Basisperiode 9.93) für die Gefangenen die Marke 4 überschreitet, d.h. sich vervierfacht hat, werden die Gefangenen für je $00 an die UNO verkauft. Als Anhalt hat die Guerillaführung die folgende Übersicht für die beobachtete bzw vermutete Entwicklung: Preise in Dinar Brot je kg Trinkwasser je Liter Milchpulver je kg Mengen Brot (kg) Trinkwasser (10-Liter Kanister) Milchpulver (kg) Wann erfolgt der Verkauf der Gefangenen?

13 Aufgabe 19 Für die Jahre 1990 bis 1993 werden der Preisindex der Lebenshaltungskosten und der Preisindex für Agrarprodukte im Land D ermittelt: Preisindex der Lebenshaltung Preisindex für Agrarprodukte Hinweis: Das Jahr mit dem Wert 100 bezeichnet jeweils das Basisjahr, worauf sich alle Änderungen beziehen. a)welche Indexreihe zeigt den größten relativen Preisanstieg? b) Nehmen Sie an, Sie sollen die Interessen der Landwirtschaft nun gegenüber der Regierung des Landes D vertreten. Wie würden Sie die Daten verändern, bzw. anders darstellen, um Subventionen besonders notwendig für die Landwirtschaft erscheinen zu lassen?