Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 1

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1 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 1 Aufgabe 1 a) BWL-Student S hat von seinem Lieblingsonkel geschenkt bekommen mit der Auflage damit etwas Vernünftiges zu machen. Nachdem er von dem Geld einen Sommerurlaub, eine Autoreparatur sowie eine Party anlässlich des Bestehens der Statistik I Klausur finanziert hat, beschließt er von dem Rest Aktien zu kaufen. Sein besonderes Interesse gilt dabei den Unternehmen RWE, Daimler-Chrysler, Deutsche Telekom, VW und Deutsche Bank. Am hat er der Einfachheit halber in jedes dieser Unternehmen den gleichen Betrag investiert. Zu diesem Zeitpunkt wurden folgende Kurse (in ) notiert. RWE Daimler Telekom VW Dt. Bank 41,80 47,90 19,18 51,35 79,10 Am zieht er eine erste Bilanz und stellt zu seinem blanken Entsetzen folgende Kursentwicklungen seiner Aktien fest RWE Daimler Telekom VW Dt. Bank -4,4% +2,3% -50,4% -4,2% -11,1% i) S möchte einen Preisindex für den auf der Basis der von ihm am erworbenen Stückzahlen errechnen. Welchen Wert nimmt der Index an? (3 Punkte)

2 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 2 ii) Wie würde dieser Index aussehen, wenn S nicht in jede Aktie den gleichen Betrag investiert hätte, sondern von jeder Aktie 10 Stück gekauft hätte? (3 Punkte) iii) Wie würde sich der unter i) berechnete Index verändern, wenn S seine Telekom-Aktien bereits am wieder komplett verkauft hätte? (1 Punkt) iv) Wie würde sich der unter i) errechnete Index verändern, wenn die Kurse an den Börsen noch in DM statt in Euro notiert wären (1 = 1,95583 DM)? (2 Punkt)

3 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 3 b) Gegeben seien die folgenden Streuungsdiagramme jeweils zweier Variablen X und Y , , , , A B 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, C i) Welche Aussagen können Sie über die Korrelationskoeffizienten der drei Verteilungen machen? (3 x 2 Punkte)

4 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 4 ii) Im folgenden sehen Sie noch einmal Streuungsdiagramm B. Zeichnen Sie die Regressionsgerade ein (nicht ausrechnen, nur zeichnen) (2 Punkte) 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, iii) Von zwei Variablen X und Y sei bekannt, dass s xy = 10 und = 25 gilt. Wie groß muss s dann mindestens sein? 2 y Hinweis: Nehmen Sie zur Lösung der Aufgabe den Korrelationskoeffizienten zur Hilfe. s 2 x (3 Punkte)

5 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 5 Aufgabe 2 a) Der Fußballregionalligist Rot-Weiß Essen (RWE) hat in den 17 Heimspielen der Saison 2001/2002 folgende Ergebnisse erzielt Gegner Ergebnis* Zuschauer Eintracht Braunschweig 3: Wattenscheid 09 4: Fortuna Düsseldorf 1: SC Verl 3: VfL Osnabrück 0: KFC Uerdingen 0: Dresdner SC 3: SC Paderborn 2: Preußen Münster 1: Holstein Kiel 1: Erzgebirge Aue 1: FC Magdeburg 5: Bayer Leverkusen (A) 1: VfB Lübeck 0: Chemnitzer FC 3: Fortuna Köln 1: Werder Bremen (A) 4: *Hinweis für alle Fußballuninteressierten: Die Tore der Heimmannschaft (hier RWE) stehen an 1. Stelle. i) Stellen Sie für die von RWE erzielten Tore eine Häufigkeitstabelle auf. (2 Punkte) ii) Wie groß war der Anteil der Spiele, bei denen RWE mindestens zwei Tore geschossen hat? (2 Punkte)

6 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 6 iii) Wie groß war der Anteil der Spiele, bei denen RWE mindestens zwei Tore geschossen hat, wenn das Spiel gewonnen wurde? (2 Punkte) iv) Wie viele Tore hat RWE im Schnitt geschossen? (2 Punkte) v) Bestimmen Sie für die Zuschauerzahl den Median. (2 Punkte)

7 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 7 b) Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Kreuzen Sie bitte entsprechend an. Hinweis: Für jedes richtig gesetzte Kreuz gibt es einen Punkt, für jedes falsch gesetzte Kreuz einen Minuspunkt. Ist die Summe aus Plus- und Minuspunkten negativ, wird diese Aufgabe mit null Punkten bewertet. (10 Punkte) Die Steigungskoeffizienten b und d der Regressionsgeraden ŷ = a + bx und xˆ = c + dy ergeben als Summe 1. richtig falsch Ein diskretes Merkmal kann unendlich viele Ausprägungen haben, ein stetiges Merkmal hat immer unendlich viele Ausprägungen. Bei einer klassierten Verteilung mit fünf Klassen liegt das arithmetische Mittel immer in der mittleren (also der dritten) Klasse Der Median heißt auch Zentralwert und 0,5-Quantil Die mit Hilfe der Methode der gleitenden Durchschnitte berechneten trendbereinigten Werte liegen immer auf einer Geraden. Der Laspeyres Preisindex kann als arithmetisches Mittel von Preismesszahlen berechnet werden, während der Paasche Index ein harmonisches Mittel bildet (Formelsammlung S. 45). Nach der Ungleichung von Cauchy (Formel 4.23) gilt x H < x. Daher muss P L auch gelten P < P. Die Summe der Residuen ist im Rahmen einer Kleinst-Quadrate- Schätzung immer gleich null. Bei einer Lineartransformation y = a + bx einer intervallskalierten Variable mit b > 1 nimmt die Varianz immer zu. Flachgewölbte Verteilungen sind meist symmetrisch. Die Lorenzkurve einer Einkommensverteilung mit negativem Gini- Koeffizienten ist monoton steigend.

8 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 8 Aufgabe 3 a) In der nachfolgenden Tabelle sind Erwerbspersonen in der Bundesrepublik Deutschland (X) aufgeführt (in 1000 Personen). Jahr Quartal t Erwerbspersonen 1999 I II III IV I II III IV I II III IV Quelle: Statistisches Bundesamt i) Stellen Sie die Zeitreihe der Erwerbspersonen graphisch dar! (2 Punkte)

9 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 9 ii) Berechnen Sie die gleitenden Durchschnitte 4. Ordnung und die trendbereinigten Werte! (6 Punkte) iii) Mit welchem Wert kann man im 1. Quartal 2002 rechnen? Verwenden Sie für diese Prognose die Methode des exponentiellen Glättens: p p x13 = ax12 + (1 a)x12 mit a = 0,6 und x p = ,97. (1 Punkt)

10 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 10 iv) In der nachfolgenden Tabelle sind die Messziffern der Beschäftigtenzahlen zu verschiedenen Basisperioden angegeben 1 0,9982 1,0092 1,0166 1,0082 1,0122 1,0181 1,0253 1, ,0034 1,0065 1,0130 Vervollständigen Sie die Tabelle! (4 Punkte) b) Die Wachstumszahlen eines Onlineanbieters entwickeln sich nach der folgenden (stetigen) Funktion: 2 t yt = 2t Dabei sei y t die im Zeitpunkt t abgeschlossenen Verträge (in Tausend) und t kennzeichnet die Anzahl der Monate. i) Welche Wachstumsrate ergibt sich nach einem Jahr? (3 Punkte)

11 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 11 ii) Ein Jahr nach der Gründung der Firma liegen dem Geschäftsführer die folgenden Abschlusszahlen vor: t y t Berechnen Sie die Wachstumsfaktoren und -raten dieser Zahlen. Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate? (4 Punkte)

12 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 12 Aufgabe 4 a) Für die Appartements in einem Berliner Stadtbezirk gelten die folgenden Mietpreise x i in Euro (von... bis unter...) x i n i > Hinweis: Gehen Sie bei den folgenden Berechnungen von einem maximalen Mietpreis von 700 Euro aus! i) Stellen Sie die relativen Häufigkeiten in geeigneter Weise graphisch dar! Begründen Sie Ihre Vorgehensweise! (3 + 1 Punkte)

13 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 13 ii) Berechnen Sie näherungsweise den Mittelwert und die Standardabweichung! Warum kann die Berechnung dieser beiden Werte nur approximativ erfolgen? (3 +1 Punkte)

14 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 14 iii) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten für diese Häufigkeitsverteilung! Erläutern Sie kurz, warum es sinnvoll sein kann, diese Größe zu berechnen! (2 + 2 Punkte) iv) Berechnen Sie den Modus und den Median dieser Häufigkeitsverteilung und treffen Sie eine Aussage über die Schiefe dieser Verteilung mit Hilfe der Fechner schen Lageregel! (3 Punkte)

15 Prof. Dr. P. von der Lippe Statistik I NK SS 2002 Seite 15 b) Zum Zweck der Steuerschätzung will ein Beamter der Finanzverwaltung Erkenntnisse über die Einkommensverteilung in seinem Bundesland gewinnen. Aus einer Untersuchung ist ihm jedoch lediglich bekannt, daß die Einkommensbezieher in drei Klassen eingeteilt wurden, wobei die Lorenzkurve in der mittleren Klasse parallel zur Gleichverteilungsgeraden verläuft. Insgesamt entfallen auf diese Klasse 50% der Einkommensempfänger. Weiterhin ist bekannt, daß auf die beiden Klassen, in denen die 60% der Bezieher des höchsten Einkommens enthalten sind, insgesamt 80% der Bezüge entfallen. Vervollständigen Sie die nachfolgende Tabelle: Klasse h i H i q i Q i Steigung Bestimmen Sie das Disparitätsmaß von Gini und zeichnen Sie die Lorenzkurve! (5 Punkte)