Mathematik für Information und Kommunikation
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- Richard Busch
- vor 6 Jahren
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1 Mathematik für Information und ommunikation m eispiel des Huffman- lgorithmus Thomas orys und Christian Urff Huffman im lltag MPEG Telefax JPEG MP3 ZIP
2 avid Huffman avid Huffman [9-999] Gliederung.. Interessante spekte des des Huffman-lgorithmus für für den den Mathematikunterricht an an der der Schule.. Grundidee des des Huffman-lgorithmus er erhuffman-lgorithmus exemplarisch an an einem eispiel.. Eigenschaften der der Huffman-Codes.. Huffman und und Telefax
3 Interessante spekte des Huffman-lgorithmus für den Mathematikunterricht an der Schule Heinrich Winter sagt sagt zu zu den den allgemeinen besseres Zielen Verständnis des des Mathematikunterricht: der der modernen Welt Erscheinungen der der Welt Welt um um uns, uns, die die uns uns alle alle Elementarität angehen oder oder angehen sollten, aus aus Natur, Gesellschaft und und ultur, in in einer spezifischen Schulung rt rt wahrnehmen des des algorithmischen und und zu zu enkens verstehen. Fundamentale Prinzipien von von omprimierungsverfahren Schülerinnen und und Schüler sollen Exemplarisch exemplarisch für für moderne Mathematisierungen Strukturen der der Mathematik in in und und Informatik Technik und und Naturwissenschaften erleben eziehungshaltigkeit Grundidee des Huffman-lgorithmus ompressionsverfahren Verlustfreie ompression Verlustbehaftete ompression 3
4 Grundidee des Huffman-lgorithmus Luft weglassen Verlustfreie ompression Grundidee des Huffman-lgorithmus Zusammenfassung Unwichtiges weglassen skda fjlsakd lksdaj lskdaf lsdakj ölsadk jflaskfj sadflk lkdsjf lksdajf ölsakjf ölsakf lksadjflksajfdölsakdjfl sdlkfj sdalökj fldsak fjsaldök jlsadk jfaölskjd flsadkjfaslökjf aölskjfdiejlökajdsfiealkfjaiejlkasjfoiasejlkf saelifjlask jfsalifdjlksdajf ölskaj ldksaj ldsakfjlisafjlkds lkdsajfiejlkdsajfiesf lksadjfaeslksadjisaejflkdsjf lkdsjfilesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjl esajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjl Verlustbehaftete ompression
5 Grundidee des Huffman-lgorithmus Luft weglassen er er Huffman-lgorithmus Huffman-lgorithmus arbeitet arbeitet verlustfrei verlustfrei!!!!!! Verlustfreie ompression Grundidee des Huffman-lgorithmus SCII = = it it Idee: häufig vorkommende Zeichen bekommen einen kürzeren Code, selten vorkommende Zeichen ein ein längeres Codewort z.. z.. = = =....
6 Grundidee des Huffman-lgorithmus Häufig benötigte ücher stellt man in greifbare Nähe (ugenhöhe) Selten benötigte ücher verstaut man weiter oben oder unten Grundidee des Huffman-lgorithmus Morse-Code C E F -- G H I I J L -- M N -- O P --- Q S T Samuel - Morse - U -- V -- W --- X [79-87] Y Z er er Huffman Huffman lgorithmus lgorithmus erzeugt erzeugt systematisch systematisch einen einen optimalen optimalen Code! Code!
7 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Ziel: Ziel: Jedem im im Text Text vorkommenden Zeichen wird wird ein ein inärcode zugewiesen! Wurzel anten Wurzelbaum noten lätter E C er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Text: Häufigkeitsanalyse: uchstaben Häufigkeit 7
8 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Text: Häufigkeitsanalyse: uchstaben Häufigkeit er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Text: Häufigkeitsanalyse: uchstaben Häufigkeit 8
9 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Text: Häufigkeitsanalyse: uchstaben Häufigkeit er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Text: Häufigkeitsanalyse: uchstaben Häufigkeit Huffman-Liste 9
10 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Zusammenführung Huffman-Liste er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Huffman-Liste 3
11 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Huffman-Liste er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Huffman-Liste
12 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Codebaum Codetabelle uchstaben inärcode er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Codebaum Codetabelle uchstaben inärcode
13 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Codebaum Codetabelle uchstaben inärcode er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Codebaum Codetabelle uchstaben inärcode 3
14 er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Codebaum Codetabelle uchstaben inärcode er Huffman-lgorithmus exemplarisch an einem eispiel Codierung des des Textes: uchstaben inärcode Eingabe: Eingabe: Hauptteil: Hauptteil: usgabe: usgabe: Zusammenfassung des des lgorithmus: Häufigkeitstabelle Häufigkeitstabelle.. Erstelle Erstelle die die Huffman-Liste. Huffman-Liste... Wiederhole Wiederhole die die Zusammenführung Zusammenführung der der beiden beiden mit mit der der geringsten geringsten Häufigkeit Häufigkeit beschrifteten beschrifteten äume äume so so lange, lange, bis bis die die Huffman-Liste Huffman-Liste nur nur noch noch aus aus einem einem aum, aum, dem dem Huffman-aum, Huffman-aum, besteht. besteht. Codebaum Codebaum
15 Eigenschaften Huffman-Codes Huffman-Liste In In der der Huffman-Liste zwei zwei haben wir wir und und zu zu einem aum zusammengeführt, wir wir hätten auch und und wählen können. Eigenschaften des Huffman-Codes Codebaum* Codetabelle* uchstaben inärcode
16 Eigenschaften des Huffman-Codes Codierung* des des Textes: uchstaben inärcode Mittlere Mittlere Codewortlänge Codewortlänge 3/,. 3/,. i ie ie Formel Formel liefert liefert den den Erwartungswert Erwartungswert der der Zufallsvaribalen Zufallsvaribalen Codewortlänge. Codewortlänge. er er Huffman-lgorithmus Huffman-lgorithmus minimiert minimiert die die mittlere mittlere Codewortlänge Codewortlänge und und liefert liefert eine eine möglichst möglichst kurze kurze also also eine eine optimalen optimalen Codierung. Codierung. ie ie Huffman-Codewortlänge ist ist ein ein Maß Maß für für die die Entropie Entropie eines eines Textes. Textes. n L = = p i l i Eigenschaften des Huffman-Codes ecodieren wir wir den den Text:
17 Eigenschaften des Huffman-Codes ecodieren wir wir den den Text: Eigenschaften des Huffman-Codes ecodieren wir wir den den Text: 7
18 Eigenschaften des Huffman-Codes ecodieren wir wir den den Text: Eigenschaften des Huffman-Codes ecodieren wir wir den den Text: 8
19 Eigenschaften des Huffman-Codes er er Huffman-Code Huffman-Code ist istpräfixfrei. Vergleich Vergleich mit mit dem dem Telefonsystem: Telefonsystem: as as Telefonnummernsystem ist ist auch auch präfixfrei. präfixfrei. eispiel: eispiel: Wählt Wählt man man,, weiß weiß das das System, System, dass dass man man fertig fertig mit mit wählen wählen ist istund verbindet verbindet einen einen mit mit der der Polizei. Polizei. as as liegt liegt daran, daran, dass dass die die Nummer Nummer nie nie nfangsteil nfangsteil (Präfix) (Präfix) einer einer anderen anderen Nummer, Nummer, z.. z.. gibt gibt es es keine keine Telefonnummer Telefonnummer.. Woran Woran erkennt erkennt man man einen einen präfixfreien präfixfreien Code? Code? Ein Ein Codebaum Codebaum liefert liefert einen einen präfixfreien präfixfreien Code, Code, wenn wenn die die zu zu codierenden codierenden Zeichen Zeichen nur nur in in den den lättern lättern des des aumes aumes stehen. stehen. eim eim Morsecode Morsecode ist ist dies dies beispielsweise beispielsweise nicht nicht der der Fall, Fall, daher daher muss muss nach nach jedem jedem uchstaben uchstaben eine eine kleine kleine Pause Pause mitgeteilt mitgeteilt werden. werden. - E T - - C I N N M präfixfrei präfixfrei Morsecode Morsecode nwendungsbeispiele MPEG Telefax JPEG MP3 ZIP 9
20 78 Pixel pro Zeile Telefax-Codierung Speicherplatzbedarf: *78=.77.8 it (ca.,7 M) Übertragung würde 778 bit/ bit/sec=77sec bzw. min dauern. Zeilen Lauflängencodierung 7w, s, 8w, s, w, 3s, 7w, 3s, 8w, 3s, w, 3s, w, 3s, w, s, w, s, w, 3s, 8w, 3s, 7w Lauflängencodierung (run-length) Häufigkeitsanalyse: s w 8w 7w w s s s s w
21 Telefax Häufigkeitsanalyse Huffman-lgorithmus Telefax-Code: (usschnitt) Codes für Schwarz Codes für Weiß Lauflänge
22 Effizienz der ompression Es lassen sich ompressionsraten von bis zu : erreichen. atenmenge Übertragungsdauer Ohne ompression,7 M min (7 sec) Mit ompression, M sec
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