1 Endliche Automaten oder Rabin-Scott-Automaten

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1 3 1 Endliche Automaten oder Rabin-Scott-Automaten Einfache Kenntnisse über Sprachen und Grammatiken und auch über Automaten werden vorausgesetzt. Grundlegende Termini sind eventuell in Standardwerken nachzulesen (z. B. [22] oder [17]). Im folgenden sei Σ ein Alphabet (für uns sind Alphabete grundsätzlich endlich), L Σ eine Sprache, d. h. eine Menge von Wörtern über Σ. In diesem Abschnitt betrachten wir Automaten als Akzeptoren, d. h. wir benutzen sie als endliche Konstrukte, um Sprachen (im allgemeinen unendlich) zu beschreiben. Andere (endliche) Charakterisierungen von Sprachen sind z. B. durch Grammatiken, reguläre Ausdrücke oder algebraische Eigenschaften möglich. Bei Akzeptoren handelt es sich also um Automaten, die bei einer gewissen Eingabe (ein Wort über dem Alphabet Σ) akzeptiert oder nicht akzeptiert ausgeben. Es sind zwar eigentlich Automaten ohne Ausgabe, allerdings kann man sie natürlich auch als Automaten mit Ausgabe (nämlich akzeptiert oder nicht akzeptiert) betrachten. 1.1 Deterministische endliche Automaten Definition 1.1 Ein deterministischer endlicher Automat (Wir wollen ihn kurz mit DEA bezeichnen) A ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, δ, q, E), wobei Σ das nichtleere Eingabealphabet und Z das nichtleere Zustandsalphabet mit Σ Z = sind. q Z ist der Anfangszustand, E Z die Menge der Endzustände. Mit δ bezeichnen wir die Zustandsüberführungsfunktion δ : Z Σ Z. Wir interpretieren einen DEA als endliche Kontrolle, die sich in einem Zustand q Z befindet und eine Folge von Symbolen aus Σ, die auf einem Band geschrieben stehen, liest. In einem Schritt bewegt sich der Lesekopf des Automaten, der augenblicklich über der Zelle des Bandes mit dem Inhalt a Σ steht und sich im Zustand q Z befindet, einen Schritt nach rechts und geht in den Zustand δ(q, a) über. Ist δ(q, a) E, d. h. ein akzeptierender Zustand, so hat der DEA die Zeichenkette, die er bereits gelesen hat, akzeptiert.! "# $ Abbildung 1.1: Interpretation der Definition des endlichen Automaten Um die von einem DEA akzeptierte Sprache, d. h. die Menge aller von ihm akzeptierten Wörter, formal beschreiben zu können, erweitern wir die Zustandsfunktion δ zur Funktion ˆδ : Z Σ Z rekursiv durch folgende Definition. Definition 1.2 Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein DEA, die erweiterte Zustandsfunktion ˆδ : Z Σ Z sei gegeben durch (i) ˆδ(q, ) = q für alle q Z, (ii) ˆδ(q, wa) = δ(ˆδ(q, w), a) für alle q Z, a Σ, w Σ Ich erwähne, dass in der Literatur ˆδ oft auch nur als δ bezeichnet wird. Das ist in der Tatsache begründet, dass für alle q Z und für alle a Σ die Gleichheit ˆδ(q, a) = δ(q, a) gilt, d. h. δ ist eine Einschränkung der Funktion ˆδ auf Z Σ. Jetzt können wir die von dem Automaten akzeptierte Sprache definieren: Definition 1.3 Für einen DEA A = (Z, Σ, δ, q, E) sei die von ihm akzeptierte Sprache T (A) definiert durch T (A) = {w Σ ˆδ(q, w) E}.

2 4 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Beispiel 1.4 Es ist ein DEA A = ({q, q 1, q 2, q 3 }, {, 1}, δ, q, {q 1, q 2 }) gegeben, wobei δ durch folgende Tabelle bestimmt ist: δ q q 1 q 2 q 3 q 1 q 1 q 3 q 3 1 q 2 q 2 q 2 q 3 Wir wollen ˆδ(q, 1) ausrechnen, d. h. den Zustand des Automaten, in dem er sich befindet, nachdem er das Wort 1 eingelesen hat. Wir benutzen dazu die Definition von ˆδ : ˆδ(q, 1) = δ(ˆδ(q, 1), ) = δ(δ(ˆδ(q, ), 1), ) = δ(δ(δ(ˆδ(q, ), ), 1), ) = δ(δ(δ(δ(ˆδ(q, ), ), ), 1), ) = δ(δ(δ(δ(q, ), ), 1), ) = δ(δ(δ(q 1, ), 1), ) = δ(δ(q 1, 1), ) = δ(q 2, ) = q 3 d. h. ˆδ(q, 1) = q 3, und da q 3 / E ist, wird das Wort 1 nicht von A akzeptiert, d. h. 1 / T (A) Wenn wir uns fragen, welche Sprache A akzeptiert, dann stellen wir zuerst / T (A) fest, da q / E gilt. Wir erhalten schließlich T (A) = {w {, 1} w = i 1 j, i, j, i + j 1}. Falls die Transitionsfunktion δ eines DEA in Tabellenform gegeben ist, lässt sich T (A) oft nur umständlich bestimmen. Eine andere Darstellung des DEA ist der Überführungsgraph, bekannt aus der Grundvorlesung. Für den DEA aus Beispiel 1.4 erhalten wir den folgenden Graphen. q q q 2 q,1 Definition 1.5 Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein DEA. Einen Zustand q nennen wir Falle (siehe Grundvorlesung), falls er kein Endzustand ist und wenn δ(q, a) = q für alle a Σ gilt. Falls der Automat also in solch einen Zustand gerät, bleibt er in diesem und kann also keinen akzeptierenden Zustand mehr erreichen. Deshalb wird der DEA oft ohne Fallen angegeben, d. h. dann, dass δ auch als partielle Funktion angegeben werden kann. In der Literatur wird deshalb manchmal zwischen deterministischen endlichen Automaten (DEA) und deterministischen vollständigen endlichen Automaten (DVEA) unterschieden. Wenn wir von einem DEA sprechen, meinen wir stets einen DEA mit totaler Transitionsfunktion δ. Übungsaufgabe 1.1 Sei δ die Überführungsfunktion eines DEA. Zeigen Sie, dass für alle Eingabezeichenketten x und y gilt: ˆδ(q, xy) = ˆδ(δ (q, x), y). (Hinweis: Führen Sie eine Induktion über y durch.) Übungsaufgabe 1.2 Charakterisieren Sie alle Sprachen über dem Alphabet {}, die von endlichen Automaten akzeptiert werden können. (Hinweis: Wie sieht ein DEA über einem Alphabet mit nur einem Buchstaben aus?)

3 1.2 Nichtdeterministische endliche Automaten Nichtdeterministische endliche Automaten Wir erweitern das Konzept des DEA um den Nichtdeterminismus und kommen zur Definition des nichtdeterministischen endlichen Automaten, indem wir die Möglichkeit zulassen, dass der Automat einen Übergang aus mehreren Möglichkeiten raten kann. Definition 1.6 Ein (nichtdeterministischer) endlicher Automat (NEA) A ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, δ, q, E) mit Σ, Z, q und E wie in Definition 1.1 und der Überführungsfunktion δ : Z Σ 2 Z. Wir erweitern auch hier die Überführungsfunktion δ zu einer Funktion ˆδ : Z Σ 2 Z und können schließlich die akzeptierte Wortmenge definieren. Definition 1.7 Für einen NEA A = (Z, Σ, δ, q, E) sei die erweiterte Zustandsfunktion ˆδ : Z Σ 2 Z gegeben durch i) ˆδ(q, ) = {q} für alle q Z, ii) ˆδ(q, wa) = {q Z q Z mit q ˆδ(q, w) und q δ(q, a)} für alle q Z, a Σ, w Σ Definition 1.8 Für einen NEA A = (Z, Σ, δ, q, E) ist die akzeptierte Wortmenge definiert durch T (A) = {w Σ ˆδ(q, w) E }. Beispiel 1.9 Gegeben ist der NEA A = ({q, q 1, q 2 }, {a, b}, δ, q, {q 2 }) mit δ q q 1 q 2 a {q, q 1 } {q 2 } b {q } {q 2 } Der Überführungsgraph hat hier die Gestalt a,b q a q 1 a,b q 2 und es gilt: T (A) = {w Σ w = uax mit u Σ und x Σ}. Bemerkung. Im obigen Beispiel sieht der Graph so aus, als ob δ eine partielle Funktion ist, aber da 2 Z gilt, ist bei nichtdeterministischen endlichen Automaten δ natürlich immer eine totale Funktion. Für weitere Untersuchungen ist es günstig, folgende Bezeichnungen einzuführen: Sei X eine Klasse von Automaten (z. B. X {DEA, NEA}) oder eine Klasse von Grammatiken (z. B. aus der Grundvorlesung X {REG, CF, CS, RE}), dann wollen wir mit L(X) die Menge aller Sprachen bezeichnen, die durch Elemente aus X akzeptiert bzw. generiert werden. Aus den Definitionen 1.1 und 1.6 erhalten wir sofort die Folgerung: Folgerung 1.1 Es gilt L(DEA) L(NEA). Wir können schließlich folgenden Satz aufstellen. Satz 1.11 Es gilt L(DEA) = L(NEA).

4 6 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Beweis. Nach Folgerung 1.1 bleibt nur noch zu zeigen, dass L(NEA) L(DEA) gilt. Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein NEA. Wir konstruieren nun einen äquivalenten DEA A = (Z, Σ, δ, q, E ) durch Z = 2 Z, q = {q }, E = {q Z q E } und δ (q, a) = {p Z q q mit p δ(q, a)} für alle q Z and a Σ. Der deterministische Automat A besitzt also als Zustände alle Teilmengen der Zustandsmenge Z des NEA A, wobei die Transitionsfunktion in A angewendet auf eine Teilmenge von Z bei der Eingabe a die Menge aller Zustände aus Z ergibt, die der NEA von Zuständen aus dieser Teilmenge beim Lesen der Eingabe a erreichen kann. Wir zeigen jetzt durch Induktion über die Länge des Eingabewortes, dass für alle w Σ ˆδ (q, w) = ˆδ(q, w) (1.1) gilt. Induktionsanfang: Für w = erhalten wir ˆδ(q, ) = {q } = q = ˆδ (q, ) gemäß den Definitionen von ˆδ und q. Induktionsschritt: Es sei jetzt w = xa mit x Σ und a Σ. Dann erhalten wir mit der Induktionsannahme ˆδ (q, x) = ˆδ(q, x) und mit den Definitionen der erweiterten Transitionsfunktionen für DEA und NEA sowie mit der Definition von δ ˆδ (q, w) = ˆδ (q, xa) = δ (ˆδ (q, x), a) = δ (ˆδ(q, x), a) = {p Z q ˆδ(q, x) mit p δ(q, a)} = ˆδ(q, xa) = ˆδ(q, w), womit die Induktionsbehauptung und damit (1.1) gezeigt ist. Schließlich wird durch w T (A) ˆδ(q, w) E ˆδ (q, w) E ˆδ (q, w) E w T (A ) T (A) = T (A ) gezeigt, womit der Beweis komplett ist. Wir wollen ein Beispiel betrachten. Beispiel 1.12 Zu dem NEA A aus Beispiel 1.9 konstruieren wir den äquivalenten DEA gemäß obigem Algorithmus. Anstatt alle Teilmengen von Z brauchen wir nur die relevanten betrachten (alle anderen denkt man sich bei jeder Eingabe auf die leere Menge abgebildet): δ {q } {q, q 1 } {q, q 2 } {q, q 1, q 2 } a {q, q 1 } {q, q 1, q 2 } {q, q 1 } {q, q 1, q 2 } b {q } {q, q 2 } {q } {q, q 2 } Wenn wir die neuen Zustände laut Reihenfolge im obigen Tabellenkopf mit p, p 1, p 2, p 3 bezeichen, erhalten wir einen zu A äquivalenten NEA A = ({p, p 1, p 2, p 3 }, {a, b}, δ, p, {p 2, p 3 }) mit

5 1.3 Endliche Automaten mit -Übergängen 7 folgendem Transitionsgraphen. p 1 a a p b a p 3 b b b p 2 a Bemerkung. Betrachten wir die Komplexität von DEA und NEA, so haben wir im Beispiel 1.12: Der NEA zur Erkennung von L benötigt 3 Zustände, wobei der DEA auch nur 4 Zustände benötigt. Verallgemeinern wir allerdings die Sprache L zur Sprache L n mit L n = {w {a, b} w = uav mit u {a, b} und v {a, b} n }, so sieht man leicht, dass ein NEA, der L n akzeptiert, mit n + 2 Zuständen auskommt. Dagegen kann man zeigen (siehe Übungsaufgabe 1.3), dass ein DEA, der L n akzeptiert, mindestens 2 n+1 Zustände benötigt. Übungsaufgabe 1.3 Für ein n 1 sei die Sprache L n {a, b} definiert als Zeigen Sie: L n = {w {a, b} w = uav mit u {a, b} und v {a, b} n 1 }. a) Ein NEA, der L n akzeptiert, kommt mit n + 1 Zuständen aus. b) Ein DEA, der L n akzeptiert, benötigt mindestens 2 n Zustände. 1.3 Endliche Automaten mit -Übergängen In diesem Kapitel erweitern wir das Modell des NEA durch Hinzunahme der Möglichkeit von Zustandsänderungen auf die leere Eingabe, d. h. der Automat kann ohne Lesen der Eingabe seinen Zustand ändern. Es handelt sich quasi um eine Art zusätzlicher Nichtdeterminismus. Definition 1.13 Ein nichtdeterministischer endlicher Automat mit -Übergängen (NEA-) A ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, δ, q, E) mit Σ, Z, q und E wie in Definition 1.1 und der Überführungsfunktion δ : Z (Σ {}) 2 Z. Um für einen NEA- die akzeptierte Sprache definieren zu können, erweitern wir auch hier die Funktion δ zur Funktion ˆδ : Z Σ 2 Z. Dazu benötigen wir allerdings den Begriff der -Hülle eines Zustandes q als die Menge aller Zustände q, die ausgehend von q durch -Übergänge erreicht werden können. Formalisiert sieht das folgendermaßen aus: Definition 1.14 Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein NEA- und q Z ein Zustand. Dann definieren wir eine Folge von Mengen M i für i rekursiv durch: (i) M = {q}, (ii) M i+1 = M i {q Z q M i mit q δ(q, )}. Wenn n = Z ist, dann sei M n die -Hülle des Zustandes q. In Zeichen: -Hülle(q). Wir erweitern den Begriff der -Hülle auf eine Menge P Z von Zuständen durch: -Hülle(P ) = {q Z q P mit q -Hülle(q )}. Definition 1.15 Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein NEA-. Die erweiterte Zustandsfunktion ˆδ : Z Σ 2 Z ist definiert durch:

6 8 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN i) ˆδ(q, ) = -Hülle(q) für alle q Z, ii) ˆδ(q, wa) = -Hülle({q Z q Z mit q ˆδ(q, w) und q δ(q, a)}) für alle q Z, a Σ und w Σ. Jetzt sind wir in der Lage, die von einem NEA- akzeptierte Sprache in gewohnter Manier zu definieren. Definition 1.16 Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein NEA-. Dann ist die akzeptierte Wortmenge T (A) definiert durch T (A) = {w Σ ˆδ(q, w) E }. Beispiel 1.17 Als einfaches Beispiel für einen nichtdeterministischen endlichen Automaten mit -Übergängen betrachten wir den Automaten A = ({q, q 1, q 2 }, {, 1, 2}, δ, q, {q 2 }) mit δ q q 1 q 2 {q } 1 {q 1 } 2 {q 2 } {q 1 } {q 2 } In der graphischen Darstellung sieht der Automat dann so aus: q 1 q 1 Die von A akzeptierte Sprache ist T (A) = { i 1 j 2 k i, j, k }. 2 Nachdem wir die nichtdeterministischen endlichen Automaten mit -Übergängen definiert haben, ergibt sich natürlich die Frage der Beziehung zwischen L(NEA) und L(NEA-). Sie wird von folgendem Satz beantwortet. q 2 Satz 1.18 Es gilt L(NEA) = L(NEA-). Beweis. i) L(NEA) L(NEA-) Trivial gemäß Definition. (Man setzt δ(q, ) = für alle q Z.) ii) L(NEA) L(NEA-) Es ist also zu zeigen, dass für jeden NEA- A = (Z, Σ, δ, q, E) ein äquivalenter NEA A existiert. Dazu definieren wir A = (Z, Σ, δ, q, E ) mit E = { E {q }, falls -Hülle(q ) E, E sonst, und δ (q, a) = ˆδ(q, a) für alle q Z und a Σ. A hat also keine -Übergänge, ist also ein NEA. Zu zeigen ist natürlich noch: T (A) = T (A ), also w T (A) w T (A ). Wir zeigen durch Induktion über die Wortlänge w, dass ˆδ (q, w) = ˆδ(q, w) für alle w Σ, dabei beginnen wir mit w = 1, da für w = die Gleichung nicht erfüllt sein braucht. Induktionsanfang: w = 1 heißt w = a für a Σ: Dann ist also ˆδ (q, a) = ˆδ(q, a) für alle a Σ zu zeigen, was aber nach Definition von δ offensichlich gilt.

7 1.3 Endliche Automaten mit -Übergängen 9 Induktionsschritt: Es sei w > 1, d. h. w = va für ein a Σ, v Σ +. Dann gilt: ˆδ (q, va) = {q Z q Z mit q ˆδ (q, v) und q δ (q, a)}. Nach Induktionsannahme gilt: ˆδ (q, v) = ˆδ(q, v). Damit gilt ˆδ (q, va) = {q Z q Z mit q ˆδ(q, v) und q ˆδ(q, a)} = -Hülle({q Z q Z mit q ˆδ(q, v) und q δ(q, a)}) = ˆδ(q, va), womit der Induktionschritt gezeigt ist. Damit ist obige Aussage bewiesen und es bleibt zu zeigen, dass ˆδ (q, w) E ˆδ(q, w) E gilt. Ist w =, so folgt dies direkt aus der Definition von E : ˆδ (q, ) = {q } und q E ˆδ(q, ) also die -Hülle von q einen Zustand aus E enthält. Gilt w, dann gilt w = va für ein Symbol a. Wenn ˆδ(q, w) E, dann haben wir ˆδ (q, w) E (und sogar den gleichen Zustand aus E ). Gilt umgekehrt, dass ˆδ (q, w) einen Zustand aus E enthält, so enthält ˆδ(q, w) auch einen (wiederum denselben) Zustand aus E. Falls q in ˆδ (q, w), aber nicht in E enthalten ist, dann muss, da ˆδ(q, w) = -Hülle(δ(ˆδ(q, v), a)) ist, der Zustand aus der -Hülle(q ) und aus E auch in ˆδ(q, w) sein. Wir geben jetzt ein Beispiel zur Anwendung der Konstruktion des Beweises zum obigen Satz. Wir nehmen dazu den NEA- aus dem Beispiel Beispiel 1.19 Es sei A also durch folgenden Transitionsgraphen gegeben: q 1 q 1 2 Wir konstruieren den äquivalenten NEA A = (Z, Σ, δ, q, E ), indem wir zuerst δ (q, a) = ˆδ(q, a) für alle q Z und a Σ bestimmen: q 2 δ = ˆδ q q 1 q 2 {q, q 1, q 2 } 1 {q 1, q 2 } {q 1, q 2 } 2 {q 2 } {q 2 } {q 2 } Die Menge der Stopzustände E berechnet sich aus E = E {q } = {q, q 2 }, da -Hülle(q ) = {q, q 1, q 2 } ist, d. h. nicht disjunkt zu E. Also sieht der Transitionsgraph des äquivalenten NEA A zum NEA- A folgendermaßen aus: q,1 1 q 1 1,2 2 q 2,1,2 Folgerung 1.2 Zu jedem NEA- A = (Z, Σ, δ, q, E) kann man einen äquivalenten NEA- A = (Z, Σ, δ, q, {q f }) konstruieren. Beweis. 1. Fall: E = 1.

8 1 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Hier ist nichts zu tun, A erfüllt bereits die Bedingung von A. 2. Fall: E =. Das bedeutet T (A) =, so dass A = ({q, q f }, Σ, δ, q, {q f }) mit δ (q, a) = für alle q Z und a Σ {} den Bedingungen der Folgerung genügt, d. h. A besteht aus zwei diskreten Zuständen: q q f 3. Fall: E > 1. Es sei Z = Z {q f } mit q f definiert: / Z und E = {q f } und die Transitionsfunktion δ wird wie folgt δ (q, a) = δ(q, a) falls q Z \ E und a Σ {} δ (q, a) = δ(q, a) falls q E und a Σ δ (q, ) = δ(q, ) {q f } für q E δ (q f, a) = für a Σ {} Im Bild könnte man es vereinfacht so darstellen:.. q 1.. q n =.. q 1. q f. q n Transitionssysteme Wir betrachten im folgenden eine weitere Verallgemeinerung eines endlichen Automaten, wobei uns der Nachweis der Äquivalenz mit der Klasse der DEA nicht schwerfallen sollte. Definition 1.21 Ein Transitionssystem (TS) ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, δ, Z, E) mit Σ, Z, E wie bei endlichen Automaten; Z ist die Menge von Startzuständen mit Z Z und δ ist die partielle Transitionsfunktion δ : Z Σ 2 Z, wobei der Definitionsbereich von δ endlich ist. Definition 1.22 Ein Transitionssystem (TS) A = (Z, Σ, δ, Z, E) akzeptiert ein Wort w Σ genau dann, wenn es ein r gibt, so dass w = u 1 u 2... u r mit u i Σ gilt und es Zustände q,..., q r Z gibt, so dass gilt i) q Z, ii) q i+1 δ(q i, u i+1 ) für i =,..., r 1 und iii) q r E. Die akzeptierte Sprache T (A) ist wiederum die Menge aller akzeptierter Wörter über dem Alphabet Σ.

9 1.5 Algebraische Abschlusseigenschaften von L(REG) 11 Beispiel 1.23 Gegeben ist ein TS A = ({q, q 1, q 2, q 3 }, {, 1}, δ, {q, q 1 }, {q 3 }), wobei δ aus folgendem Transitionsgraphen für A entnommen werden kann: Man erhält z. B T (A) und 11 / T (A). q q 2 q 1 q f Die Frage nach der Größe der Familie der von TS akzteptierten Sprachen beantwortet der Satz: Satz 1.24 (Myhill) Es gilt L(NEA-) = L(TS). Beweisidee. i) L(NEA-) L(TS) Das gilt per Definition. ii) L(TS) L(NEA-) (nur Idee!) Falls ein TS A = (Z, Σ, δ, Z, E) gegeben ist, konstruieren wir einen äquivalenten NEA- A = (Z, Σ, δ, q, E), indem wir für δ(q, a 1... a n ) für q Z und a i Σ mit i = 1,..., n für n 2 die Funktion δ definieren: δ (q, a 1 ) = {p 1 }, δ (p i, a i+1 ) = {p i+1 } für i = 1,..., n 2 und δ (p n 1, a n ) = δ(q, a 1... a n ), wobei p i / Z für i = 1,..., n 1 gilt. Des weiteren nehmen wir einen neuen Zustand q hinzu, den einzigen Anfangszustand von A und setzen δ (q, ) = Z. Damit ist leicht zu erkennen, dass der so konstruierte Automat A ein NEA- ist und zu A äquivalent ist. Wir wollen die von in diesem Abschnitt betrachteten Automaten akzeptierten Sprachen in folgendem Satz zusammenfassend vergleichen. Der Satz folgt direkt aus den Sätzen 1.11, 1.18, 1.24 und dem Satz aus der Grundvorlesung, dass L(REG) = L(DEA). Satz 1.25 Es gilt L(DEA) = L(NEA) = L(NEA-) = L(TS) = L(REG). 1.5 Algebraische Abschlusseigenschaften von L(REG) Für reguläre Sprachen gelten bestimmte algebraische Abschlusseigenschaften. Einige von ihnen wurden bereits in der Grundvorlesung TI bewiesen, evtl. über generative Grammatiken, andere wurden nur genannt. Wir wollen im folgenden einige Abschlusseigenschaften nennen und einige über Automaten beweisen oder zumindest die Beweisideen aufzeigen, wobei wir uns auf eine Auswahl beschränken und keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben. Satz 1.26 Die Menge L(REG) ist abgeschlossen unter den folgenden Operationen: Konkatenation, -Operation, +-Operation, Vereinigung, Komplementbildung, Durchschnitt, Mengendifferenz, Spiegelbild, Substitution, Homomorphismus, inverser Homomorphismus und Quotientenbildung mit beliebigen Mengen. Beweisideen.

10 12 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Konkatenation. Die gegebenen regulären Sprachen L 1 und L 2 seien durch die NEA- A 1 und A 2, die jeweils genau einen Endzustand besitzen (siehe Folgerung 1.2), akzeptiert. Ein NEA- A, der L 1 L 2 akzeptiert, ist dann gegeben durch den Transitionsgraphen q A 1 A 2 q f wobei A 1 bedeuten soll, dass der Eingangspfeil zum Anfangszustand von A 1 führt und der Ausgangspfeil vom Endzustand von A 1 wegführt, wobei in A der einzige Anfangszustand q und der einzige Endzustand q f sein soll, d. h., alle Zustände von A 1 und A 2 gehen als normale Zustände (kein Anfangs- und kein Endzustand) in A ein. Es ist unschwer zu erkennen, dass der so konstruierte Automat wiederum ein NEA- ist. Wie man auch leicht sieht, ist die akzeptierte Sprache von A das Podukt L 1 L 2, d. h. dieses Produkt ist ebenfalls eine reguläre Sprache. - und +-Operation sowie Vereinigung. Es seien A 1 und A 2 wiederum NEA- mit jeweils genau einem Endzustand, die L 1 bzw. L 2 akzeptieren. Analog zum Beweis für die Konkatenation zeigen folgende Automaten (NEA-) die Abgeschlossenheit gegenüber diesen Operationen und akzeptieren also L 1 : q A 1 L + 1 : q A 1 q f L 1 L 2 : A 1 q A 2 q f Komplement. Es sei L von dem DEA A = (Z, Σ, δ, q, E) akzeptiert. Es ist also L Σ, wobei in Σ alle Symbole notwendig für L sind. Wir betrachten den DEA A = (Z, Σ, δ, q, Z \ E). Er akzeptiert ein Wort w Σ genau dann, wenn ˆδ(q, w) Z \E gilt, d. h., wenn w L ist. Wir möchten noch darauf hinweisen, dass die Totalität von δ auf Z Σ hier unverzichtbar ist. Durchschnitt. Die Abgeschlossenheit der regulären Sprachen gegenüber der Schnittbildung kann günstig über die Gleichheit L 1 L 2 = L 1 L 2 auf die Abgeschlossenheit gegenüber Komplement und Vereinigung zurückgeführt werden. Allerdings kann man sie auch auf direktem Wege durch folgende Konstruktion zeigen, die interessant und hübsch ist: Seien A 1 = (Z 1, Σ, δ 1, q 1, E 1 ) und A 2 = (Z 2, Σ, δ 2, q 2, E 2 ) zwei DEA. Wir definieren einen DEA A = (Z 1 Z 2, Σ, δ, (q 1, q 2 ), E 1 E 2 ) mit δ((q 1, q 2 ), a) = (δ 1 (q 1, a), δ 2 (q 2, a)) für alle (q 1, q 2 ) Z 1 Z 2 und a Σ. Es ist einfach zu zeigen, dass T (A) = T (A 1 ) T (A 2 ) gilt. Differenz. Wir führen die Abgeschlossenheit gegenüber der Differenz mittels der Gleichheit L 1 \ L 2 = L 1 L 2 auf die Abgeschlossenheit gegenüber den Operationen Durchschnitt und Komplementbildung zurück. Spiegelbild. Das Spiegelbild w R eines Wortes w Σ kann man rekursiv definieren durch R = und (va) R = a(v) R für alle v Σ und a Σ.

11 1.5 Algebraische Abschlusseigenschaften von L(REG) 13 Die reguläre Sprache L sei durch den DEA A = (Z, Σ, δ, q, E) akzeptiert. Die Spiegelbildsprache L R = {w R Σ w L} wird dann offensichtlich durch das TS A = (Z, Σ, δ, E, {q }) mit δ (q, a) = {q Z δ(q, a) = q} für E akzeptiert. Für E = ist L =, d. h. auch L R =, dann können wir A = A setzen. Substitution. Es sei A ein NEA- mit genau einem Endzustand. Weiter sei Γ ein Alphabet. Dann ist die Funktion σ : Σ 2 Γ vermöge a σ(a) = R a Γ, wobei R a eine reguläre Menge für a Σ ist, eine Substitution. Einen NEA- A, der σ(t (A)) a akzeptiert, kann man konstruieren, indem man in dem Transitionsgraph jede Kante für ein a Σ durch die Kante R a in gewohnter Manier ersetzt. Homomorphismus. Die Abgeschlossenheit gegenüber dem homomorphen Bild braucht nicht extra nachgewiesen zu werden, da ja jeder Homomorphismus eine Substitution ist. Inverser Homomorphismus. A = (Z, Σ, δ, q, E) sei ein DEA mit T (A) = L und h : U Σ sei ein Homomorphismus. Wir konstruieren einen DEA A, der h 1 (L) akzeptiert, indem er ein Symbol a U liest und A auf h(a) simuliert. Formal sei A = (Z, U, δ, q, E) mit δ (q, a) = ˆδ(q, h(a)). Es ist einfach über Induktion über w zu zeigen, dass gilt: ˆδ (q, w) = ˆδ(q, h(w)) (1.2) Induktionsanfang Für w = haben wir ˆδ (q, ) = q = ˆδ(q, ) = ˆδ(q, h()), also ist die Gleichung (1.2) für w = wahr. Induktionsschritt Induktionsvoraussetzung w = v für ein v U : ˆδ (q, v) = ˆδ(q, h(v)) Induktionsbehauptung w = va für ein v U und ein a U : ˆδ (q, va) = ˆδ(q, h(va)) Induktionsbeweis ˆδ (q, va) = δ (ˆδ (q, v), a) = δ (ˆδ(q, h(v)), a) = ˆδ(ˆδ(q, h(v)), h(a)) = ˆδ(q, h(v)h(a)) = ˆδ(q, h(va)) womit die Induktionsbehauptung und somit die Gleichung (1.2) bewiesen ist. Daher wird w U genau dann von A akzeptiert, wenn h(w) Σ von A akzeptiert wird. Also gilt T (A ) = h 1 (T (A)), womit die Abgeschlossenheit gegenüber der inversen Homomorphismusbildung gezeigt ist. Quotientenbildung mit beliebigen Mengen. Sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein DEA, der die Sprache L 1 akzeptiert. Der Quotient L 1 /L 2 für eine beliebige Sprache L 2 Σ wird dann von einem DEA A = (Z, Σ, δ, q, E ) akzeptiert, wobei E = {q Z v L 2 mit ˆδ(q, v) E} gilt. Dann ist ˆδ(q, w) E v mit ˆδ(q, wv) E. Also ist T (A ) = L 1 /L 2.

12 14 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Bemerkung. Der im Beweis für die Abgeschlossenheit der Quotientenbildung benutzte Automat A unterscheidet sich von allen anderen Konstruktionen im Beweis des Satzes 1.26 durch die Tatsache, dass kein Algorithmus für seine Konstruktion angegeben wurde und auch nicht angegeben werden kann. Ein sehr wichtiger Satz für reguläre Sprachen ist das sogenannte Pumping-Lemma, welches auch über Automaten bewiesen werden kann, was jedoch schon in der Grundvorlesung TI gemacht wurde. Deshalb zitieren wir ihn hier ohne Beweis. Satz 1.27 Es sei L eine reguläre Sprache. Dann gibt es eine Konstante n derart, dass gilt: Für alle z L mit z n gibt es eine Darstellung von z als Produkt z = uvw mit uv n und v, so dass für alle i uv i w L gilt. Dieser Satz ist insbesondere an dieser Stelle erwähnt, da er gemeinsam mit den Abschlusseigenschaften ein gutes Instrumentarium zur Verfügung stellt, um zu zeigen, dass Sprachen nicht regulär sind. Beispiele findet man in der Grundvorlesung TI. Übungsaufgabe 1.4 Gegeben ist ein Homomorphismus h : {, 1} {a, b} durch h() = aa und h(1) = aba. a) Bestimmen Sie h(l 1 ) für L 1 = { i 1 i }. b) Bestimmen Sie h 1 (L 2 ) für L 2 = {ab, ba} {a}. Übungsaufgabe 1.5 Für eine Sprache L sei L ger die Menge der in L enthaltenen Wörter gerader Länge. Beweisen Sie, dass für reguläres L auch L ger regulär ist. Übungsaufgabe 1.6 Für eine Sprache L über dem Alphabet Σ mit a Σ sei L a = {w aw L} und L a = {v va L}. Zeigen Sie, dass für reguläres L auch L a und L a regulär sind. Übungsaufgabe 1.7 Für L Σ sei L/2 die Menge aller Wörter w Σ, so dass es ein Wort x gleicher Länge wie w mit wx L gibt. Es sei ein DEA für L gegeben. Gibt es stets einen DEA für L/2?

13 1.6 Zweiseitige endliche Automaten Zweiseitige endliche Automaten Endlichen Automaten fehlt die Eigenschaft, zählen zu können. Deshalb werden wir in diesem Abschnitt das Konzept des endlichen Automaten in der Hinsicht erweitern, dass wir eine beliebige Bewegung des Automaten auf der Eingabe zulassen. Vielleicht können wir dadurch eine größere Sprachklasse akzeptieren. Dabei betrachten wir der Einfachheit halber deterministische endliche Automaten. Das Akzeptieren eines Wortes soll genau dann erfolgen, wenn der Automat sich nach rechts über die Eingabe bewegt hat und gleichzeitig in einen Endzustand übergegangen ist. Ich möchte darauf aufmerksam machen, dass dieses Kapitel fast vollständig aus [17] stammt. Definition 1.28 Ein zweiseitiger deterministischer endlicher Automat (2DEA) ist ein 5-Tupel (Z, Σ, δ, q, E) mit Σ, Z, q und E wie bei DEA und der Transitionsfunktion δ : Z Σ Z {L, R}. Zur Interpretation: Falls δ(q, a) = (p, L), dann geht A im Zustand q beim Lesen von a in den Zustand p und bewegt seinen Kopf ein Feld nach links. Falls δ(q, a) = (p, R), dann geht A im Zustand q beim Lesen von a in den Zustand p und bewegt seinen Kopf ein Feld nach rechts. Bei den DEA haben wir δ zu ˆδ : Z Σ Z erweitert. Das führt bei zweiseitigen Automaten nicht zu dem erwünschten Erfolg. Deshalb müssen wir augenblickliche Situationsbeschreibungen einführen: Definition 1.29 Ist (Z, Σ, δ, q, E) ein 2DEA, so nennen wir das Tripel k = (u, q, v) Σ Z Σ eine Konfiguration des 2DEA, wenn i) uv das Eingabewort ist, ii) q der gegenwärtige Zustand von A ist und iii) der Lesekopf das erste Symbol von v liest. Gilt für eine Konfiguration k = (u, q, v) v =, so hat sich der Automat über das rechte Bandende hinausbewegt. Um zur akzeptierten Sprache eines solchen Automaten zu gelangen, definieren wir in der Menge der Konfigurationen eine binäre Relation, die sogenannte Überführungsrelation: Definition 1.3 Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein 2DEA, wir definieren eine binäre Relation A in der Menge aller Konfigurationen von A durch 1) (a 1... a i 1, q, a i... a n ) A (a 1... a i 1 a i, p, a i+1... a n ) δ(q, a i ) = (p, R), 2) (a 1... a i 1, q, a i... a n ) A (a 1... a i 2, p, a i 1 a i... a n ) δ(q, a i ) = (p, L) und i > 1. Bemerkungen. 1) Die Forderung i > 1 in der Bedingung 2) in obiger Definition verhindert, dass sich der Automat nach links über das Wort hinausbewegt. 2) Für i = n + 1 (Kopf steht rechts vom Eingabeband) ist keine Bewegung möglich. Definition 1.31 Mit + A und A werden der transitive bzw. transitive und reflexive Abschluss von A bezeichnet. Definition 1.32 Sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein 2DEA, dann ist die von ihm akzeptierte Sprache definiert als T (A) = {w Σ (, q, w) A (w, p, ) für ein p E}. Wir bemerken, dass wir, + bzw. anstatt von A, + A und A verwenden werden, wenn der Automat A aus dem Kontext klar hervorgeht.

14 16 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Beispiel 1.33 Es sei A = ({q, q 1, q 2 }, {, 1}, δ, q, {q, q 1, q 2 }) ein 2DEA mit δ q q 1 q 2 (q, R) (q 1, R) (q, R) 1 (q 1, R) (q 2, L) (q 2, L) Wir betrachten für die Eingabe 111 die Arbeitsweise von A: (, q, 111) (1, q 1, 11) (1, q 1, 11) (1, q 2, 11) (1, q, 11) (11, q 1, 1) (11, q 1, 1) (11, q 1, 1) (11, q 2, 1) (11, q, 1) (111, q 1, ) d. h. (, q, 111) (111, q 1, ) mit q 1 E, also 111 T (A). Für weitere Betrachtungen ist es günstig, das Verhalten eines 2DEA durch folgendes zu beschreiben: die Eingabe, den Pfad, den der Kopf entlangwandert und den jeweiligen Zustand des Automaten zu dem Zeitpunkt, an dem er die Grenze zwischen zwei Bandfeldern überschreitet, wobei wir annehmen, dass der Automat erst den Zustand ändert und dann den Kopf bewegt. Dabei wollen wir die vertikalen Zustandsfolgen, die sich unter der Grenze zweier Bandfelder ergeben, Kreuzungsfolgen nennen. Für den Automaten aus Beispiel 1.33 und der oben betrachteten Eingabe 111 würde sich z. B. folgendes Bild ergeben: Beispiel 1.33 (Fortsetzung) q q 1 q 1 q 2 q q 1 q 1 q 1 q 2 q q 1 Als Kreuzungsfolgen hätten wir hier z. B. die Folgen q, q 1 oder q 1 q 2 q etc. Wir machen folgende Beobachtungen: Falls die Eingabe akzeptiert wird, tritt in einer Kreuzungsfolge kein Zustand mit einer Kopfbewegung in derselben Richtung mehrmals auf, da der Automat sonst wegen seines deterministischen Verhaltens in eine Schleife eintreten würde, aus der er nicht wieder herauskommen würde und also nicht akzeptieren könnte. Wenn eine Grenze zwischen zwei Eingabefeldern das erste Mal überschritten wird, bewegt sich der Kopf nach rechts, die nachstehenden Kreuzungen müssen in alternierenden Richtungen erfolgen. D.h., die ungerade nummerierten Elemente einer Kreuzungsfolge werden mit einer Bewegung nach rechts erreicht, die gerade nummerierten Elemente mit einer Bewegung nach links. Wenn also eine Eingabe akzeptiert wird, müssen alle Kreuzungsfolgen eine ungerade Länge haben. Deshalb folgende Bezeichnung.

15 1.6 Zweiseitige endliche Automaten 17 Definition 1.34 Eine Kreuzungsfolge q q 1... q k heißt gültig, wenn sie von ungerader Länge ist und wenn keine zwei ungerade nummerierten und keine zwei gerade nummerierten Elemente identisch sind. Aus obigen Beobachtungen folgt, dass Kreuzungsfolgen eines 2DEA mit r Zuständen höchstens die Länge 2r besitzen können. Das impliziert, dass die Anzahl der gültigen Kreuzungsfolgen endlich ist. Um den Beweis des Satzes L(NEA) = L(2DEA) vorzubereiten, in dem wir einen NEA A konstruieren wollen, dessen Zustände die gültigen Kreuzungsfolgen des 2DEA A sein sollen, untersuchen wir zuerst Beziehungen zwischen benachbarten Kreuzungsfolgen, um die Überführungsfunktion δ des NEA A definieren zu können. Dazu betrachten wir ein isoliertes Bandsymbol a mit der Kreuzungsfolge q 1 q 2... q k an der linken und mit der Kreuzungsfolge p 1 p 2... p l an der rechten Grenze. Das könnte dann so aussehen: a q 1 q 2.. q i p 1 q i+1 p 2.. q k p k i+1 p k i+2 p k i+3. p l 1 p l Wir überprüfen benachbarte Kreuzungsfolgen auf lokale Konsistenz, indem wir linksmatchende und rechtsmatchende Paare von Kreuzungsfolgen rekursiv definieren wollen. Die zugrundeliegende Idee ist dabei, dass q 1 q 2... q k auf a mit p 1 p 2... p l rechtsmatcht, falls diese Kreuzungsfolgen zusammenpassen, wobei wir annehmen, dass wir ursprünglich a im Zustand q 1 mit einer Rechtsbewegung erreicht haben (Beispiel siehe oben). Entsprechend werden die Folgen linksmatchend genannt, falls sie zusammenpassen und wir annehmen, dass wir a zuerst im Zustand p 1 mit einer Linksbewegung ereicht haben. In jedem Fall ist q 1 q 2... q k die Kreuzungsfolge an der linken Grenze von a und p 1 p 2... p l die Folge an der rechten Grenze von a. i) Die leere Folge ist rechts- und linksmatchend mit der leeren Folge. Wenn wir also niemals das Feld, das a enthält, erreichen, dann ist es konsistent, dass die Grenzen auf keiner der Seiten gekreuzt werden. ii) Wenn q 3... q k mit p 1... p l rechtsmatcht und δ(q 1, a) = (q 2, L) gilt, dann ist q 1... q k rechtsmatchend mit p 1... p l. D.h. wenn das erste Kreuzen der linken Grenze im Zustand q 1 stattfindet und sich der Kopf sofort nach links in den Zustand q 2 bewegt, dann erhalten wir falls danach ein beliebiges konsistentes Verhalten durch einen weiteren linksseitigen Grenzübergang folgt ein konsistentes Folgenpaar mit der ersten Kreuzungsbewegung nach rechts, mit anderen Worten ein rechtsmatchendes Paar. iii) Wenn q 2... q k mit p 1... p l linksmatcht und δ(q 1, a) = (p 1, R) gilt, dann ist q 1... q k rechtsmatchend mit p 1... p l. D.h. wenn die erste Kreuzung der linken Grenze im Zustand q 1 stattfindet und der Kopf sich sofort nach rechts in den Zustand p 1 bewegt, dann erhalten wir wenn diesen beiden Kreuzungen ein beliebiges konsistentes Verhalten folgt, indem eine

16 18 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Kreuzung der rechten Seite erfolgt ein konsistentes Folgenpaar mit der ersten Kreuzungsbewegung von links her, also mit anderen Worten ein rechtsmatchendes Paar. Beachten Sie, dass dieser Fall die Notwendigkeit linksmatchender Folgen begründet, obwohl wir eigentlich nur an rechtsmatchenden Paaren interessiert sind. iv) Wenn q 1... q k mit p 3... p l linksmatcht und δ(p 1, a) = (p 2, R) gilt, dann ist q 1... q k linksmatchend mit p 1... p l. Die Argumentation ist ähnlich zu der für Regel ii). v) Wenn q 2... q k mit p 2... p l rechtsmatcht und δ(p 1, a) = (q 1, L) gilt, dann ist q 1... q k linksmatchend mit p 1... p l. Die Argumentation ist ähnlich zu der für Regel iii). Beispiel 1.35 Wir betrachten den 2DEA M aus Beispiel Für ein Bandfeld mit dem Inhalt 1 erhält man z. B.: Die leere Folge ist mit der leeren Folge linksmatchend, und es gilt δ(q, 1) = (q 1, R). Also ist q rechtsmatchend mit q 1 auf 1 nach Regel (iii). Da δ(q 1, 1) = (q 2, L) gilt, ist q q 2 q rechtsmatchend mit q 1 auf 1 nach Regel (ii). Bemerkung. Die im obigen Beispiel erzeugten rechtsmatchenden Kreuzungsfolgen werden auch durch die akzeptierende Berechnung des Wortes 111 (siehe Beispiel 1.33) bestätigt, da in der Tat diese Folgenpaare links und rechts eines Feldes erscheinen. Man beachte aber, dass dies nicht immer der Fall zu sein braucht, d. h. ein Folgenpaar kann matchen ohne dass es eine akzeptierende Berechnung gibt, in der dieses Paar tatsächlich auftritt; nämlich dann, wenn es unmöglich ist, links und rechts Zeichenketten anzufügen, die die Berechnung in die korrekten Zustände führt. Satz 1.36 Es gilt L(2DEA) = L(NEA). Beweis. Da L(DEA) L(2DEA) per Definition des 2DEA gilt und schon L(DEA) = L(NEA) gezeigt wurde (siehe Satz 1.11, bleibt nur L(2DEA) L(NEA) zu zeigen. Es sei A = (Z, Σ, δ, q, E) ein 2DEA. Wir definieren einen NEA A = (Z, Σ, δ, q, E ) durch: 1) Z besteht aus allen gültigen Kreuzungsfolgen für A. 2) q ist die Kreuzungfolge, die nur aus q besteht. 3) E ist die Menge aller Kreuzungsfolgen der Länge 1, die nur aus einem Zustand aus E bestehen. 4) δ (q, a) = {p p ist eine gültige Kreuzungsfolge, die rechtsmatchend zu q auf der Eingabe a ist}. Die intuitive Idee dabei ist, dass A Stücke der Berechnung von A zusammenfügt, wenn er die Eingabe bearbeitet. Dies wird durch Raten von aufeinanderfolgenden Kreuzungsfolgen bewerkstelligt. Wenn A geraten hat, dass q die Kreuzungsfolge an einer Grenze und a das nächste Eingabesymbol ist, dann kann A jede gültige Kreuzungsfolge raten, die auf Eingabe a mit p rechtsmatcht. Wenn die geratene Berechnung dazu führt, dass A über das rechte Ende der Eingabe hinausgeht und in einen akzeptierenden Zustand übergeht, so akzeptiert A. Wir zeigen nun, dass T (A) = T (A ) gilt. Sei w T (A). Wir betrachten die Kreuzungsfolge, die durch eine akzeptierende Berechnung von A auf w erzeugt wird. Jede Kreuzungsfolge ist rechtsmatchend mit der an der nächsten Grenze, so dass A die richtigen Kreuzungsfolgen (unter anderen Versuchen) raten kann und akzeptiert. Umgekehrt sind für w T (A ) die Kreuzungsfolgen q, q 1,... q n von A zu betrachten, die den Zuständen von A entsprechen, wenn w = a 1 a 2... a n von A abgearbeitet wird. Für jedes i mit i < n ist q i rechtsmatchend mit q i+1 auf a i. Wir können eine akzeptierende Berechnung von A auf der Eingabe w konstruieren, indem wir bestimmen, wann der Kopf seine Richtung ändert. Im einzelnen beweisen wir durch Induktion über i, dass A beim Lesen von a 1 a 2... a i nur dann in den Zustand q i = [q 1... q k ] übergehen kann, wenn

17 1.6 Zweiseitige endliche Automaten 19 1) A, gestartet im Zustand q auf a 1 a 2... a i, sich zuerst von der Position i im Zustand q 1 nach rechts bewegt, und 2) für j = 2, 4,... falls A in Position i im Zustand q j startet sich A schließlich nach rechts von Position i im Zustand q j+1 bewegt (dies impliziert, dass k ungerade sein muss). Induktionsanfang: Es sei i =. Da q = [q ] gilt, ist (1) erfüllt, weil nämlich A seine Berechnungen durch eine Bewegung nach rechts von Position im Zustand q beginnt. Bedingung (2) gilt, ist aber belanglos. Induktionsschritt: Die Induktionsannahme gelte für i 1. Nehmen wir nun an, dass A beim Lesen von a 1 a 2... a n vom Zustand q i 1 = [q 1... q k ] in den Zustand q i = [p 1... p l ] übergehen kann. Da k und l ungerade sind und q i 1 mit q i auf a i rechtsmatcht, muss es ein ungerades j so geben, dass A sich im Zustand q j auf der Eingabe a i nach rechts bewegt. Sei j 1 das kleinste dieser j. Aus der Definition von rechtsmatchend folgt, dass δ(q j1, a 1 ) = (p 1, R) gilt. Damit ist (1) bewiesen. Ebenfalls aus der Definition von rechtsmatchend (Regel (iii)) folgt, dass [q j q k ] linksmatchend mit [p 2... p l ] ist. Nun folgt (2) sofort, falls δ(p j, a i ) = (p j+1, R) für alle geraden j gilt. In dem Fall, dass δ(p j2, a i ) = (q, L) für ein kleinstes gerades j 2 gilt, muss nach der Definition von linksmatchend (Regel (v)) q gleich q j1+1 sein und [q j q k ] rechtsmatchen mit [p j p l ]. Die Argumentation wird dann mit den letzteren Folgen anstelle von q i 1 und q i wiederholt. Nachdem wir die Induktionsannahme für alle i untermauert haben, impliziert die Tatsache, dass q n = [p] für ein p E gilt, dass a 1a 2... a n von A akzeptiert wird. Beispiel 1.37 Wir wollen zu dem 2DEA A = ({q, q 1, q 2 }, {, 1}, δ, q, {q, q 1, q 2 }) mit der Transitionstabelle δ q q 1 q 2 (q, R) (q 1, R) (q, R) 1 (q 1, R) (q 2, L) (q 2, L) aus Beispiel 1.33 nach obigem Algorithmus einen äquivalenten NEA A konstruieren. Da q 2 nur durch eine Linksbewegung erreicht werden kann, und da in q 1 und q 3 nur durch Rechtsbewegungen übergegangen werden kann, müssen alle gerade nummerierten Elemente von gültigen Kreuzungsfolgen gleich q 2 sein. Da alle gültigen Kreuzungsfolgen ungerade Länge haben und weder zwei ungerade nummerierte Zustände noch zwei gerade nummerierte Zustände gleich sein können, gibt es nur vier Kreuzungsfolgen, die von Interesse sind. Diese sind in folgender Tabelle mit ihren rechtsmatchenden Folgen aufgelistet: Gültige rechtsmatchend rechtsmatchend Kreuzungsfolgen mit mit 1 [q ] [q ] [q 1 ] [q 1 ] [q 1 ], [q 1 q 2 q ] [q q 2 q 1 ] [q 1 q 2 q ] [q 1 ] Wir sehen sofort, dass der Zustand [q q 2 q 1 ] aus dem so konstruierten NEA A entfernt werden kann, da es zu ihm keine rechtsmatchende Folgen gibt. Dann ergibt sich für A folgender Transitionsgraph, wobei wir z := [q ], z 1 := [q 1 ] und z 2 := [q 1 q 2 q ] setzen. z 1 z 1 z 3 1

18 2 1 ENDLICHE AUTOMATEN ODER RABIN-SCOTT-AUTOMATEN Daraus können wir die akzeptierte Sprache leicht ablesen: T (A) = T (A ) = {, 1} {1}{, 1}, d. h. die Menge aller Wörter über dem Alphabet {, 1}, die nicht das Teilwort 11 enthalten. Abschließend zu diesem Kapitel sei bemerkt, dass man das Konzept des 2DEA natürlich in gewohnter Art und Weise für zweiseitige nichtdeterministische endliche Automaten erweitern kann. Man kann dann auch erlauben, dass der Kopf des Automaten bei einer Transition stehenbleibt. Die akzeptierte Sprachklasse bleibt jedoch auch mit diesen Erweiterungen die Familie der regulären Mengen.