Physica-Lehrbuch
Physica-Lehrbuch Bannier, Christina E. Vertragstheorie Eine Einführung mit finanzökonomischen Beispielen und Anwendungen 2005, XVI, 218 S. Duller, Christine Einführung in die Statistik mit EXCEL und SPSS Ein anwendungsorientiertes Lehr- und Arbeitsbuch 2006, XII, 279 S. Farmer, Karl Wendner, Ronald Wachstum und Außenhandel Eine Einführung in die Gleichgewichtstheorie der Wachstumsund Außenhandelsdynamik 2. Aufl. 1999, XVIII, 423 S. Fink, Andreas Schneidereit, Gabriele Voß, Stefan Grundlagen der Wirtschaftsinformatik 2. Aufl. 2005, XVIII, 316 S. Göcke, Matthias Köhler, Thomas Außenwirtschaft Ein Lern- und Übungsbuch 2002, XIII, 359 S. Graf, Gerhard Grundlagen der Volkswirtschaftslehre 2. Aufl. 2002, XIV, 335 S. Graf, Gerhard Grundlagen der Finanzwissenschaft 2. Aufl. 2005, XII, 334 S. Hax, Herbert Investitionstheorie 5. Aufl., korrigierter Nachdruck 1993, 208 S. Heiduk, Günter S. Außenwirtschaft Theorie, Empirie und Politik der interdependenten Weltwirtschaft 2005, XII, 429 S. Heno, Rudolf Jahresabschluss nach Handelsrecht, Steuerrecht und internationalen Standards (IAS/IFRS) 4. Aufl. 2004, XIX, 535 S. Hofmann, Ulrich Netzwerk-Ökonomie 2001, X, 242 S. Huch, Burkhard u. a. Rechnungswesen-orientiertes Controlling Ein Leitfaden für Studium und Praxis 4. Aufl. 2004, XX, 510 S. Kistner, Klaus-Peter Produktions- und Kostentheorie 2. Aufl. 1993, XII, 293 S. Kistner, Klaus-Peter Optimierungsmethoden Einführung in die Unternehmensforschung für Wirtschaftswissenschaftler 3. Aufl. 2003, XII, 293 S. Kistner, Klaus-Peter Steven, Marion Produktionsplanung 3. Aufl. 2001, XIII, 372 S. Kistner, Klaus-Peter Steven, Marion Betriebswirtschaftslehre im Grundstudium Band 1: Produktion, Absatz, Finanzierung 4. Aufl. 2002, XIV, 510 S. Band 2: Buchführung, Kostenrechnung, Bilanzen 1997, XVI, 451 S. König, Rolf Wosnitza, Michael Betriebswirtschaftliche Steuerplanungsund Steuerwirkungslehre 2004, XIV, 288 S. Kortmann, Walter Mikroökonomik Anwendungsbezogene Grundlagen 4. Aufl. 2006, XVIII, 674 S. Marti, Kurt Gröger, Detlef Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung 2000, VII, 206 S. Marti, Kurt Gröger, Detlef Grundkurs Mathematik für Ingenieure, Naturund Wirtschaftswissenschaftler 2. Aufl. 2003, X, 267 S. Michaelis, Peter Ökonomische Instrumente in der Umweltpolitik Eine anwendungsorientierte Einführung 1996, XII, 190 S. Nissen, Hans-Peter Einführung in die makroökonomische Theorie 1999, XVI, 341 S. Nissen, Hans-Peter Das Europäische System Volkswirtschaftlicher Gesamtrechnungen 5. Aufl. 2004, XVI, 362 S. Risse, Joachim Buchführung und Bilanz für Einsteiger 2. Aufl. 2004, VIII, 296 S. Schäfer, Henry Unternehmensfinanzen Grundzüge in Theorie und Management 2. Aufl. 2002, XVIII, 522 S. Schäfer, Henry Unternehmensinvestitionen Grundzüge in Theorie und Management 2. Aufl. 2005, XVI, 439 S. Schüler, Mirja Einführung in das betriebliche Rechnungswesen Buchführung für Industrieund Handelsbetriebe 2006, XII, 216 S. Sesselmeier, Werner Blauermel, Gregor Arbeitsmarkttheorien 2. Aufl. 1998, XIV, 308 S. Steven, Marion Hierarchische Produktionsplanung 2. Aufl. 1994, X, 262 S. Steven, Marion Kistner, Klaus-Peter Übungsbuch zur Betriebswirtschaftslehre im Grundstudium 2000, XVIII, 423 S. Swoboda, Peter Betriebliche Finanzierung 3. Aufl. 1994, 305 S. Tomann, Horst Volkswirtschaftslehre Eine Einführung in das ökonomische Denken 2005, XII, 186 S. Weigand, Christoph Statistik mit und ohne Zufall Eine anwendungsorientierte Einführung 2006, XIII, 421 S. Weise, Peter u. a. Neue Mikroökonomie 5. Aufl. 2005, XI, 645 S. Zweifel, Peter Heller, Robert H. Internationaler Handel Theorie und Empirie 3. Aufl. 1997, XXII, 418 S.
Christoph Weigand Statistik mit und ohne Zufall Eine anwendungsorientierte Einführung Mit 118 Abbildungen und 10 Tabellen Physica-Verlag Ein Unternehmen von Springer
Professor Dr. Christoph Weigand Fachhochschule Aachen Eupener Straße 70 52066 Aachen E-mail: weigand@fh-aachen.de ISBN-10 3-7908-1693-0 Physica-Verlag Heidelberg ISBN-13 978-3-7908-1693-8 Physica-Verlag Heidelberg Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Physica-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Physica-Verlag Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Erich Kirchner Herstellung: Helmut Petri Druck: Strauss Offsetdruck SPIN 11664888 2246/3153 5 4 3 2 1 0 Gedruckt auf säurefreiem Papier
Vorwort Im täglichen Leben, erst recht im ökonomischen Bereich, müssen ständig Entscheidungen getroffen werden, um bestimmte Ziele zu erreichen oder Bedürfnisse befriedigen zu können. Dabei besteht die Schwierigkeit, dass man bei der Entscheidungsfindung nur unvollständige Informationen zur Verfügung hat. Die Launen und Verhaltensweisen von Menschen, Naturereignisse wie auch Katastrophen, kurz, die Zukunft ist nie exakt vorhersehbar. Trotzdem ist man bestrebt, so gut es eben geht, Informationen über einen Sachverhalt zu gewinnen. Aus diesem Grund wohl wird schon seit Jahrtausenden (z.b. 4.Buch Moses Numeri ) Statistik betrieben, wenn auch in einfacher Form. Vor 100 Jahren begann sich die Statistik dank der Fortschritte in der Wahrscheinlichkeitsrechnung rasant zu entwickeln und ist heute fester Bestandteil jeder Naturund Sozialwissenschaft, sowohl in der Lehre, als auch in den Anwendungen. Zudem werden wir im Alltag und Beruf ständig mit Zahlen überhäuft. Ich habe gehört, dass Tortendiagramme zu 80% dick machen und zu 34% Haarausfall auslösen! Ja, aber das ist nur bei Torten aus der Zeitung oder dem Fernsehen so. Diese hier ist aus dem Radio! Ob wir wollen oder nicht, wir befinden uns sehr oft in der Rolle des Statistikkonsumenten, d.h wir sollen und müssen verstehen, was Zeitungen, Rundfunk, Fernsehen, Reports, etc. im privaten wie auch beruflichen Umfeld mitteilen. Leider werden dabei je nach Interessenlage gelegentlich auch
VI Vorwort Manipulationen und Täuschungen vorgenommen. Daher ist es in der heutigen Zeit schon fast überlebenswichtig, gute Statistikkenntnisse zu besitzen. Neben der Rolle des Konsumenten müssen wir zunehmend auch die Rolle des Statistikproduzenten beherrschen. Der inzwischen weitverbreitete Einsatz von Computern und die sich daraus ergebenden immensen Datenmengen verstärken diesen Trend. Sogenannte komplizierte, höhere Verfahren, die noch vor 20 Jahren nur von Spezialisten zeitaufwendig programmierbar waren, können heute mit einem PC und Software, die zum üblichen Standard gehört, bequem, fast spielerisch durchgeführt werden. Dies setzt allerdings voraus, dass man die Konzepte der statistischen Methoden gut kennt. Diese zu vermitteln, ist das schlichte Anliegen des vorliegenden Buches. Es richtet sich an den Einsteiger und versucht mit einfachen Vorkenntnissen, d.h. mit der üblichen Schulmathematik auszukommen. Einfach heißt, dass keine besonderen Kenntnisse oder Fähigkeiten in der Differentialund Integralrechnung oder Linearen Algebra vorausgesetzt werden. Ein einführendes Statistikbuch zu schreiben, ist ein Balanceakt zwischen anschaulicher Vereinfachung und gebotener mathematischer Präzision. Die Tatsache, dass vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und induktiven Statistik Formeln gebraucht werden, deren Beweise von hohem mathematischen Niveau sind, deren Anwendung aber sehr einfach und schemenhaft erfolgen kann, verführt dazu, Statistik nur noch als eine Sammlung von wundersamen Rezepturen und Black-Boxen zu präsentieren. So besteht allerdings die Gefahr, den Leser lediglich zu einer verständnislosen Anwendung von Black- Boxen zu dressieren, was in der Regel nur zu Unsinn führen kann. Dabei kann man sich zudem noch von (eigentlich in erfreulicher Weise) recht bedienungsfreundlichen Statikprogrammen verleiten lassen. Ein anwendungsorientiertes Statistik-Buch sollte daher nicht nur eine Apotheke mit möglichst vielen Heilmittelchen sein, sondern zusätzlich den Leser zu einer Art Arzt ausbilden, d.h. zu einer Person, welche Probleme erkennt, die richtige Diagnose zu stellen weiß, und dann zielgerichtet in die Apotheke greifen kann. Daher steht im Vordergrund, dass der anwendungsorientierte Leser, der sich zwangsläufig an der Schnittstelle zwischen realem Problem und Modell befindet, auch bewerten kann, ob die notwendigen Voraussetzungen für ein statistisches Verfahren gegeben sind. Aufgrund meiner Lehrtätigkeit habe ich den Eindruck gewonnen, dass bestimmte Themen, die im Grunde einfach sind und von Mathematikern als trivial bezeichnet werden, nennenswert vielen Studierenden dennoch große Probleme bereiten können. Leider werden diese Themen in der Literatur oft nur knapp oder gar nicht besprochen. Daher geht das vorliegende Buch auch auf scheinbar einfache Themen ausführlich ein um sicherzustellen, dass sich auch der aus den oben genannten Gründen zur Statistik gezwungene, weniger begabte Leser zumindest das Basiswissen aneignen kann. Zudem findet aber auch der begabte oder faszinierte Leser eine Reihe von weitergehenden Themen mit Herleitungen. Das Buch ist so konzipiert, dass
Vorwort VII man beim ersten Lesen durch die wichtigsten Themen navigiert wird und man mathematische Beweise bei Bedarf im Anhang nachlesen kann. Das Buch verfolgt nicht das Ziel, ein Kompendium oder Nachschlagewerk der Statistik sein zu wollen. Dazu kann man heutzutage das Internet nutzen und mit ein Paar Klicks fündig werden. Stattdessen möchte diese Lektüre der Verständlichkeit Vorrang gegenüber einer Themenvielfalt gewähren. Bei der Auswahl der Themen stand deren praktische Relevanz im Mittelpunkt. In der Deskriptiven Statistik werden wir manches Thema mit mehr Formalismus behandeln, als es vielleicht unbedingt notwendig wäre. Diese Vorgehensweise erweist sich allerdings beim Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung als sehr nützlich, wo wir diesen Formalismus brauchen und dann schon mit ihm vertraut sind. Zudem hilft er, die Dinge auf den Punkt zu bringen. In der Literatur wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung üblicherweise auf Ereignissystemen aufbauend eingeführt. Darauf wird hier bewusst verzichtet, da dieser Ansatz nur schlüssig und vorteilhaft ist, wenn er auch wirklich mathematisch fundiert, also im Rahmen der sogenannten Maßtheorie, erfolgen würde. Dies ist aber dem anwendungsorientierten Leser nicht zumutbar. Für konstruktive Anregungen und Unterstützung gilt mein Dank in besonderer Weise meiner Kollegin Frau Prof. Dr. Gisela Maercker, Herrn Tobias Förtsch und, stellvertretend für die zahlreich helfenden Mitarbeiter des Springer- und Physica-Verlags, Frau Lilith Braun, Frau Gabriele Keidel und Herrn Frank Holzwarth, welche eine professionelle und reibungslose Veröffentlichung des Manuskriptes ermöglicht haben. Der Autor freut sich über weitere Hinweise und Verbesserungsvorschläge (z. B. per e-mail weigand@fhaachen.de) seitens der Leser. Aachen, im Januar 2006 Christoph Weigand
Inhaltsverzeichnis Teil I Deskriptive Statistik 1 Grundlagen... 3 1.1 Objekte, Merkmale, Grundgesamtheit...................... 4 1.2 Urliste... 5 1.3 Teilgesamtheit... 6 1.4 Merkmalstypen... 7 1.5 Datenerhebung.......................................... 7 2 Empirische Verteilungen... 9 2.1 Univariate Verteilungen diskreter Merkmale................. 9 2.2 Univariate Verteilungen stetiger Merkmale.................. 21 2.3 Univariate Verteilungen klassifizierter Merkmale............. 23 2.4 Bivariate Verteilungen diskreter Merkmale.................. 32 2.5 Bivariate Verteilungen stetiger Merkmale................... 36 2.6 Bivariate Verteilungen klassifizierter Merkmale.............. 38 2.7 BedingteVerteilungen... 39 3 Lageparameter... 53 3.1 Modus... 54 3.2 Median... 56 3.3 Quantile............................................... 60 3.4 Arithmetisches Mittel.................................... 62 3.5 Bedingte Mittelwerte und deren Aggregation............... 65 3.6 Harmonisches Mittel..................................... 68 3.7 Geometrisches Mittel.................................... 72
X Inhaltsverzeichnis 4 Streuungsmaße... 75 4.1 Range... 75 4.2 Mittlere Abweichung..................................... 76 4.3 VarianzundStandardabweichung... 78 5 Weitere Eigenschaften von Lageparametern und Streuungsmaßen... 83 5.1 Lineare Transformationen................................ 83 5.2 Addition von Variablen.................................. 86 5.3 Optimalitätseigenschaften... 87 5.4 UngleichungvonTschebyscheff... 89 6 Empirische Korrelation und Kovarianz... 91 6.1 Ausgangssituation und Überblick... 91 6.2 EmpirischeKovarianz... 93 6.3 Empirische Korrelation nach Bravais Pearson............... 98 6.4 RangkorrelationnachSpearman...103 6.5 WeitereEigenschaften...106 7 Deskriptive Regressionsrechnung...111 7.1 Lineare Regression...112 7.2 Multiple lineare Regression............................... 119 7.3 Nichtlineare einfache Regression...124 8 Indizes...131 8.1 Wertindex...132 8.2 Preisindex...133 8.3 Mengenindex...134 8.4 Zusammenhang zwischen Wert-, Preis- und Mengenindizes.... 136 8.5 Subindizes.............................................. 137 8.6 IndizesinderPraxis...140 8.7 Verknüpfung...145 8.8 Umbasierung...146 8.9 Preisbereinigung...148 8.10 Kaufkraftparität...149
Inhaltsverzeichnis XI Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 9 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung...155 9.1 Wahrscheinlichkeit...156 9.2 DiskreteZufallsvariablen...159 9.3 StetigeZufallsvariablen...162 9.4 BedingteWahrscheinlichkeit...169 9.5 Unabhängigkeit...173 9.6 KovarianzundKorrelation...174 9.7 Weitere Eigenschaften zu Erwartungswert und Varianz....... 176 10 Spezielle Verteilungen...181 10.1 Stichprobe vom Umfang n =1...181 10.2 Normalverteilung...184 10.3 Binomialverteilung und Bernoullikette..................... 191 10.4 Hypergeometrische Verteilung............................. 197 10.5 Geometrische Verteilung.................................. 201 10.6 Poisson-Verteilung...206 10.7 Exponentialverteilung...209 10.8 Gleichverteilung(stetige)...214 10.9 Stichprobenverteilungen...216 11 Zentraler Grenzwertsatz...221 11.1 Approximative Verteilung des arithmetischen Mittels......... 225 11.2 Approximation der Binomialverteilung..................... 228 Teil III Induktive Statistik 12 Stichproben...237 12.1 Allgemeines...237 12.2 Grundkonzepte.......................................... 239 12.3 ReineZufallsauswahl...243 12.4 GeschichteteStichprobe...246 12.5 Klumpenstichprobe...247 12.6 Stichproben bei unendlicher Grundgesamtheit............... 249 12.7 Bivariate Stichprobe..................................... 250
XII Inhaltsverzeichnis 13 Schätzverfahren...253 13.1 Überblick und Grundbegriffe.............................. 253 13.2 Punktschätzer...257 13.3 Konfidenzintervallverfahren für den Erwartungswert bei bekanntervarianz...262 13.4 Konfidenzintervallverfahren für den Erwartungswert bei unbekanntervarianz...266 13.5 Konfidenzintervallverfahren für einen Anteil oder eine Wahrscheinlichkeit p...270 13.6 Einseitige Konfidenzintervalle............................. 279 14 Statistische Testverfahren...283 14.1 Grundbegriffe........................................... 283 14.2 Signifikanztests und Alternativtests........................ 287 14.3 GebrauchvonSignifikanztests...291 14.4 Hypothesen-Typen...................................... 294 15 Signifikanztests...299 15.1 Test für den Erwartungswert bei bekannter Varianz (Gauß-Test)299 15.2 Test für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz (t-test) 307 15.3 Test für zwei Erwartungswerte bei einer Grundgesamtheit.... 310 15.4 Test für Erwartungswerte bei zwei Grundgesamtheiten....... 313 15.5 Test für eine Wahrscheinlichkeit oder einen Anteil p...319 15.6 Testen hypothetischer Wahrscheinlichkeiten (Anpassungstest). 321 15.7 Test auf Gleichheit von Verteilungen in verschiedenen Grundgesamtheiten (Homogenitätstest)...327 15.8 Test auf Gleichheit von Verteilungen in einer Grundgesamtheit (Homogenitätstest)...334 15.9 Unabhängigkeitstest...335 16 Regressionsanalyse...343 16.1 Allgemeines Modell...................................... 343 16.2 Lineare Regressionsanalyse............................... 346 16.3 Nicht-Lineare und Multiple Regressionsanalyse.............. 352 17 Alternativtests...353 17.1 Alternativtest für den Erwartungswert bei bekannter Varianz (Gauß-Test)...354 17.2 Annahme- und Endkontrolle (Acceptance Sampling)......... 361
Inhaltsverzeichnis XIII 17.3 Kostenoptimales Acceptance Sampling..................... 366 A Anmerkungen zur Prozentrechnung...375 B Mengenlehre...377 C Summenzeichen...379 D Kombinatorik...381 D.1 Fakultät...381 D.2 Binomialkoeffizient...382 D.3 VariationmitWiederholungen...382 E Herleitungen...383 F Tabellen...397 F.1 Quantile der F -Verteilung...398 F.2 Quantile der χ 2 -Verteilung...410 F.3 Quantile der Student t-verteilung...411 F.4 Kumulierte Standardnormalverteilung Φ(x)...412 Literatur...413 Index...415