Entwicklung eines schnellen Projektionsalgorithmus für die Ultraschall-Computertomographie mittels FPGA-Programmierung Diplomarbeit im Fach Physik angefertigt am Forschungszentrum Karlsruhe (FZK) Institut für Prozessdatenverarbeitung und Elektronik (IPE) eingereicht an der Universität Karlsruhe (TH) Fakultät für Physik vorgelegt von cand. phys. Andreas Florian Schmitt Karlsruhe, den 13. November 2008 Referent: Prof. Dr. Hartmut Gemmeke Korreferent: Prof. Dr. Thomas Müller Betreuer: Dr. Nicole Ruiter, Matthias Balzer
Hiermit erkläre ich, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Karlsruhe, den 13. November 2008 (Florian Schmitt)
Danksagung An dieser Stelle möchte ich die Gelegenheit wahrnehmen, mich bei allen, die zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben, zu bedanken. Zuerst danke ich Herrn Prof. Dr. Hartmut Gemmeke für die Möglichkeit, meine Diplomarbeit am Institut für Prozessdatenverarbeitung und Elektronik des Forschungszentrums Karlsruhe durchzuführen und für seine Bereitschaft diese Arbeit zu bewerten. Meinen beiden Betreuern Frau Dr. Nicole Ruiter und Herrn Matthias Balzer danke ich ganz herzlich für ihre große Hilfsbereitschaft und ihre Unterstützung. Beide haben einen ganz maßgeblichen Anteil zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen. Bei Herrn Denis Tcherniakhovski bedanke ich mich für die viele Zeit, die er sich für das Einbinden der Signalverarbeitung in die bestehende Programmierung der FPGAs genommen hat. Herrn Gregor Schwarzenberg danke ich ganz herzlich für seine Hilfsbereitschaft und seine große Geduld bei meinen vielen Fragen zu Matlab. Ein besonderer Dank gilt meinen Eltern. Sie haben mir stets ihr Vertrauen entgegengebracht und waren immer bereit, mich auf meinem Weg zu unterstützen. In schwierigen Zeiten haben sie mich immer ermutigt und ich konnte jederzeit auf ihren Rat und ihre Hilfe zählen. Zum Schluss bedanke ich mich ganz besonders bei meiner lieben Frau Ingrid für ihre große Geduld. Sie hatte immer Verständnis, wenn ich aufgrund meiner Arbeit nur wenig Zeit für sie hatte. Stets hat sie mich unterstützt und mir in schwierigen Phasen neuen Mut gegeben.
Zusammenfassung Am Forschungszentrum Karlsruhe wird derzeit ein 3D-Ultraschall-Computertomograph (USCT) für die Brustkrebsfrüherkennung entwickelt. Durch dieses Verfahren wird es erstmals möglich sein, mit Ultraschall, welcher für die Patientin unschädlich ist, Volumenbilder der weiblichen Brust zu erstellen. Um in kurzer Zeit qualitative Aussagen über ein Objekt, wie z.b. dessen Lage im Tomographen, zu treffen, wäre es nützlich, in Echtzeit Bilder erzeugen zu können. Dies ist bisher noch nicht möglich, da bei einer Messung eine große Datenmenge anfällt, die zuerst auf ein externes Speichermedium geschrieben werden muss, was relativ lange dauert (bisher ca. 1,6 Stunden). Ebenfalls viel Zeit in Anspruch nehmen die für die 3D-Ultraschall-Computertomographie entwickelten Bildrekonstruktionsalgorithmen. Je nach verwendeter Methode kann die Berechnung ca. 10 Minuten aber auch mehrere Monate dauern. Die Verwaltung der Daten direkt nach der Messung geschieht im USCT in einem sogenannten Crate. Dieses besteht aus mehreren Karten, die mit FPGAs (Field Programmable Gate Arrays) bestückt sind. Die vorhandene Hardware lässt sich nutzen, um die Datenverarbeitung direkt während der Messung auf den FPGAs durchzuführen. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde ein Konzept erarbeitet, mit dem eine Echtzeitbildgebung durch die Datenverarbeitung in der vorhandenen Hardware möglich gemacht werden kann. Für die Bildrekonstruktion wurde eine Projektion von Schallgeschwindigkeiten in eine beliebige Ebene gewählt. Dieses Verfahren hat den Vorteil, dass sich alle dafür nötigen Komponenten gut in den FPGAs umsetzen lassen und dass die Erstellung des Bildes nicht viel Zeit in Anspruch nimmt. Um die Schallgeschwindigkeiten berechnen zu können, muss während der Messung die Ankunftszeit des Transmissionspulses bestimmt werden. Das Kernstück des Systems hierfür ist ein in HDL (Hardware Description Language) implementierter Constant Fraction Diskriminator. In einem ersten Schritt wurden alle Komponenten für die Bildrekonstruktion und die Signalverarbeitung in Matlab implementiert. Dadurch wurde es möglich, das komplette Verfahren vorab zu simulieren, zu testen und zu optimieren. Die Ergebnisse aus der Simulation zeigten, dass trotz der zylindrischen Geometrie, welche für die Erzeugung von Projektionsbildern nicht sehr geeignet ist, die Bilder eine ausreichende Qualität haben, sodass die Umrisse der Objekte zu erkennen sind. Auch die Ergebnisse, die der Constant Fraction Discriminator in Verbindung mit der entwickelten Signalvorverarbeitung bei der Bestimmung des Transmissionspulses erzielte, waren sehr zufriedenstellend. Die Bilder, die mit diesem Verfahren erstellt wurden, zeigten einen gute Qualität. Das System der Signalverarbeitung soll nun auch für andere Anwendungen in den Experimenten zur kosmischen Strahlung Auger und Radio angewandt werden. Im zweiten Schritt wurde dann die durch die Erkenntnisse in Matlab weiterentwickelte Signalverarbeitung in HDL implementiert und auf den FPGAs getestet. Die Ergebnisse davon wurden mit Vergleichsberechnungen in Matlab verifiziert. Dabei lag der relative Fehler der Differenz der Triggerzeitpunkte zwischen den beiden Verfahren bei unter 0,4 %. Des weiteren wurde noch eine Lösung für die Bildrekonstruktion innerhalb des Systems entwickelt, die allerdings nicht umgesetzt wurde, da die Ressourcen auf der derzeitigen Hardware dafür nicht ausreichend sind. Auf dem USCT-System der nächsten Generation, was Anfang 2009 fertiggestellt werden soll und welches deutlich höhere Hardware-Ressourcen zur Verfügung stellt, wird sich diese jedoch umsetzen lassen. Allerdings ist es durch die im Rahmen dieser Diplomarbeit entwickelten Komponenten jetzt schon möglich, die Signalverarbeitung in Echtzeit durchzuführen.
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Früherkennung von Brustkrebs......................... 2 1.2 Beitrag dieser Arbeit.............................. 3 2 Ultraschall 5 2.1 Physik der Wellen................................ 5 2.1.1 Herleitung der Wellengleichung.................... 5 2.1.2 Lösungen der Wellengleichung und Bedingungen........... 7 2.1.3 Propagation in Medien......................... 8 2.2 Abstrahlcharakteristik der Sender....................... 10 3 Die Hardware 15 3.1 Der FPGA.................................... 15 3.1.1 Vorteile des FPGA........................... 15 3.1.2 Nachteile des FPGA.......................... 16 3.2 Aktuelles System................................ 16 3.3 System der nächsten Generation........................ 20 4 Methoden 23 4.1 Bildrekonstruktion über Schallgeschwindigkeit................ 23 4.2 Der Constant Fraction Diskriminator (CFD)................. 24 4.3 Der Cascaded Integrator Comb Filter (CIC-Filter).............. 28 4.4 Qualität der Signale.............................. 31 4.5 Bestimmung des Transmissionspulses..................... 31 4.5.1 Erster Ansatz.............................. 36 4.5.2 Zweiter Ansatz............................. 38
VIII INHALTSVERZEICHNIS 4.5.3 Vergleich beider Ansätze........................ 39 5 Umsetzung 41 5.1 Idee und Funktionsprinzip........................... 41 5.2 Umsetzung in Matlab.............................. 42 5.2.1 Simulierte Daten............................ 45 5.2.2 Echte Daten............................... 46 5.3 Umsetzung im FPGA.............................. 47 5.3.1 Hardware der ersten Generation.................... 48 5.3.2 Hardware der zweiten Generation................... 58 6 Resultate 61 6.1 Resultate aus der Umsetzung in Matlab.................... 61 6.1.1 Simulierte Daten............................ 64 6.1.2 Echte Daten............................... 67 6.2 Artefakte.................................... 74 6.3 Signaldetektion in der Hardware........................ 75 7 Diskussion und Ausblick 79 Literaturverzeichnis 86 Abbildungsverzeichnis 91
Kapitel 1 Einleitung Für die Brustkrebsfrüherkennung wird am Institut für Prozessdatenverarbeitung und Elektronik des Forschungszentrums Karlsruhe ein 3D-Ultraschall-Computertomograph entwickelt. Dieser Ultraschall-Computertomograph im Folgenden USCT genannt soll es ermöglichen, frühzeitig und auf eine für die Patientin möglichst unschädliche Art und Weise Brustkrebs zu erkennen. Außerdem soll mit Hilfe des USCT auch eine relativ kostengünstige Diagnose möglich sein. Das Prinzip der Erzeugung von Ultraschall ist gleich wie bei herkömmlichen Ultraschallwandlern. Ein Piezoelement sendet einen Ultraschallpuls aus, der von verschiedenen Empfängern registriert wird. Die Empfänger sind ebenfalls Piezos, die die mechanische Energie des Ultraschalls wieder in eine elektrische Spannung umwandeln. Während allerdings bei herkömmlichen Ultraschallgeräten oftmals die Sender auch als Empfänger genutzt werden, sind beim USCT Sender und Empfänger getrennt. Auf diese Weise kann ein besseres Signal-zu-Rausch-Verhältnis erzielt werden. Sender und Empfänger sind in sogenannten TAS untergebracht, wobei TAS für Transducer Array System steht. Diese TAS sind auf der Wand eines Gefäßes angebracht, das zur Impedanzanpassung mit Wasser gefüllt ist. Auf diese Weise ist es möglich, den Ultraschall, der von den TAS ausgesandt wird, in das Gewebe einzukoppeln. Die Patientin liegt bei der Untersuchung auf dem Bauch. Die Brust hängt frei in das Gefäß hinein und wird nicht deformiert, wie etwa bei der Röntgen- Mammographie oder bei der sonographischen Untersuchung der Brust, was den Vorteil hat, dass etwaige Auffälligkeiten besser zu lokalisieren sind. Die Verwaltung der bei der Messung anfallenden Daten geschieht über ein System mit mehreren Field Programmable Gate Arrays (FPGA), welches auch mit einem externen PC kommunizieren kann. Derzeit wird ein neues System, der 3D-USCT der zweiten Generation, entwickelt. Dieser ist dem 3D-USCT der ersten Generation vom Funktionsprinzip her sehr ähnlich. Allerdings konnte der 3D-USCT der zweiten Generation durch die gewonnenen Erfahrungen mit dem 3D-USCT der ersten Generation, durch weitere Forschung und durch technischen Fortschritt (zum Beispiel auf dem Gebiet der Halbleitertechnologie) im Vergleich zum 3D- USCT der ersten Generation erheblich verbessert werden. Diese kurze Erläuterung zu den verschiedenen USCT-Systemen soll dazu dienen, einen
2 KAPITEL 1. EINLEITUNG groben Überblick zu verschaffen. Eine sehr ausführliche Beschreibung sowohl zum USCT der ersten, als auch zum USCT der zweiten Generation findet sich dann im Kapitel 3. 1.1 Früherkennung von Brustkrebs In Deutschland kommt es jedes Jahr zu ca. 47500 Neuerkrankungen von Brustkrebs. Damit ist das Mammakarzinom die häufigste Krebserkrankung der Frau. Durchschnittlich erkranken daran 10% der Frauen im Laufe ihres Lebens. An den Folgen des Mammakarzinoms verstarben allein im Jahre 2004 insgesamt ca. 18000 Frauen (Quelle: [3]). Für die Brustkrebsfrüherkennung gibt es einige Methoden, deren Wirksamkeit allerdings sehr unterschiedlich ist. Immer noch durchgeführt wird die Palpation (Abtastung) der weiblichen Brust. Ab dem 30. Lebensjahr sollte diese Art der Untersuchung sowohl durch die Patientin selber, als auch durch den Arzt in regelmäßigen Abständen vorgenommen werden. Allerdings ist bei der Palpation die durchschnittliche Größe der Tumore bei der Entdeckung ungefähr zwei Zentimeter. Tumore dieser Größe haben jedoch oft schon Metastasen gebildet. Für die Erkennung von Brustkrebsvorstufen und frühen Tumorstadien ist die Röntgen- Mammographie eine sehr wirksame Methode. Dabei wird die weibliche Brust zwischen zwei Plexiglasplatten komprimiert und üblicherweise sowohl von oben, als auch von der Seite mit Röntgenstrahlung durchleuchtet. Dabei entsteht jeweils ein Projektionsbild der weiblichen Brust. Dieses Verfahren ist allgemein anerkannt und wird für Frauen ab dem 50. Lebensjahr empfohlen. Die von der ionisierenden Strahlung ausgehenden Risiken, wie etwa die Entstehung von Krebs, sind ab dem 40. Lebensjahr geringer als der individuelle Nutzen, der aus der Untersuchung gezogen wird [1]. Für die Erkennung von Brustkrebs wird auch die herkömmliche Sonographie eingesetzt. Allerdings dient sie nur zur Abklärung unklarer Befunde und eignet sich nicht als alleinige Methode. Dies liegt vor allem an der relativ niedrigen Bildqualität, welche einerseits durch die kontinuierliche Abnahme der Schallintensität mit der Eindringtiefe und andererseits durch Interferenzerscheinungen, die ihre Ursache in der Streuung der Ultraschallwellen an Inhomogenitäten im Gewebe haben (Speckle-Effekt), verursacht wird [2]. Bei bestimmten Indikationen ist auch eine Untersuchung über die Magnetresonanztomographie (MRT) sinnvoll. Allerdings muss dabei ein Kontrastmittel verabreicht werden. Die Magnetresonanztomographie hat den Vorteil, dass die Patientin keiner schädlichen Strahlung ausgesetzt wird. Ein weiterer Vorteil ist es, dass man Volumendaten aus der weiblichen Brust erhält, die im Gegensatz zur Röntgen-Mammographie, bei der nur ein Projektionsbild aufgenommen wird, eine bessere räumliche Lokalisierung eines etwaigen Tumors zulassen. Allerdings wird die Magnetresonanztomographie nur sehr selten für die Früherkennung von Brustkrebs angewandt, was hauptsächlich an den relativ hohen Kosten für jede einzelne Untersuchung liegt. Durch die Ultraschall-Computertomographie wird es möglich sein, Brustkrebs auf eine für die Patientinnen unschädliche Art und Weise zu detektieren. Die fehlende Strahlenbelas-
1.2. BEITRAG DIESER ARBEIT 3 tung macht es möglich, eine Mammographie auch bei jungen Frauen durchzuführen. Auch ist ein hoher Anteil an Drüsengewebe im Gegensatz zur Röntgenmammographie bei der Ultraschall-Computertomographie unproblematisch. Die Größe der Strukturen, die mittels der Ultraschall-Computertomographie noch aufgelöst werden können, liegt bei unter einem Millimeter. 1.2 Beitrag dieser Arbeit Für die Ultraschall-Computertomographie gibt es noch keine Möglichkeit, Bilder in einer kurzen Zeit zu erzeugen. Dies ist vor allem dann von Nachteil, wenn von dem zu untersuchenden Objekt nur qualitative Aussagen, wie z.b. die Lage des Objekts innerhalb des USCT, benötigt werden. Aus diesem Grunde wäre es nützlich, dass am Ultraschall- Computertomographen auch in Echtzeit Bilder erzeugt werden können. Da bei einer Messung insgesamt ca. 3,4 Gigabyte an Rohdaten anfallen, lässt sich eine Echtzeitbildgebung allein durch eine Berechnung der Bilder aus den A-Scans 1 an einem externen PC nicht realisieren. Da die Empfänger an FPGAs 2 angeschlossen sind, welche die anfallenden Daten verwalten, ist es möglich, die vorhandene Hardware zu nutzen und die Signalverarbeitung innerhalb des Systems, d.h. auf den FPGAs durchzuführen. Das Ziel der Diplomarbeit war die Erarbeitung eines Konzepts für eine Echtzeitbildgebung am Ultraschall-Computertomographen. Der erste Schritt war die Entwicklung eines Bildrekonstruktionsalgorithmus für den USCT, der für eine Umsetzung in Hardware geeignet ist und mit dem auch eine Bildgenerierung in relativ kurzer Zeit möglich ist. Aufgrund dieser Anforderungen wurde dafür eine Projektion von Schallgeschwindigkeitswerten in eine frei wählbare Ebene verwendet. Dieser Projektionsalgorithmus wurde zuerst in Matlab implementiert und getestet. Im Anschluss daran wurde ein neues Konzept für eine Signalverarbeitung auf den FPGAs entwickelt und ebenfalls zuerst in Matlab umgesetzt. Dadurch konnte das komplette Verfahren für die Echtzeitbildgebung in Matlab simuliert werden. Auf diese Weise war es möglich, den Aufwand der Bildrekonstruktion abzuschätzen und auch zu beurteilen, ob dieses neu entwickelte Verfahren für eine Rekonstruktion von Bildern in ausreichender Qualität geeignet ist. Auch konnten dadurch Rückschlüsse auf die Schwierigkeiten gezogen werden, die sich bei diesem neuen Verfahren ergeben. In einem zweiten Schritt wurde dann das mit Hilfe der Simulation in Matlab optimierte Verfahren für das USCT-System der ersten Generation in HDL 3 umgesetzt. Dabei wurden ausschließlich die Komponenten zur Signalverarbeitung implementiert, da sich aus technischen Gründen beim USCT der ersten Generation die Generierung des Bildes nicht innerhalb des Systems durchführen lässt (siehe Kapitel 3). Mit dem in HDL implementierten Algorithmus wurden die FPGAs des USCT programmiert 1 Amplitudenscan: Am Empfänger anliegender Druck, der, umgewandelt in eine elektrische Spannung, über eine gewisse Zeitspanne gemessen wird. 2 FPGA: Field Programmable Gate Array 3 HDL: Hardware Description Language
4 KAPITEL 1. EINLEITUNG und über Messungen die Funktionsfähigkeit des Algorithmus in der Hardware überprüft. Die Ergebnisse der Messungen wurden mit Hilfe von Vergleichsberechnungen in Matlab verifiziert. Im letzten Schritt wurden Konzepte entwickelt, um auf dem USCT der zweiten Generation eine Echtzeitbildgebung zu ermöglichen. Dabei sollen die Bilder komplett aus dem System heraus erzeugt werden können, d.h. dass außer der Signalverarbeitung auch die Bildrekonstruktion auf den FPGAs stattfinden soll.
Kapitel 2 Ultraschall 2.1 Physik der Wellen 2.1.1 Herleitung der Wellengleichung Die folgende Herleitung der Wellengleichung orientiert sich an der Herleitung von L.D. Landau und E.M. Lifschitz [13]. Zunächst wird die Eulersche Gleichung betrachtet, welche eine Bewegungsgleichung für Flüssigkeiten ist. Sie ist eine Grundgleichung der Hydrodynamik. mit: v t +( v ) v = 1 p (2.1) ρ v: Geschwindigkeitsverteilung des Mediums (Schallschnelle), v = v(x, y, z, t) ρ: Dichte p: Druck x = y : Nabla-Operator z Es wird nun die Annahme getroffen, dass die Geschwindigkeit v klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit c ist. Dies ist bei einer Schallwelle berechtigt, da bei ihr die Schwingungen klein sein sollen. Aufgrund dieser Annahme kann der Term ( v ) v vernachlässigt werden. Außerdem sind deshalb auch die Dichte- und Druckänderungen in der Flüssigkeit klein. Für die Dichte ρ und den Druck p können deshalb die Gleichungen p = p 0 + p und ρ = ρ 0 + ρ (2.2)
6 KAPITEL 2. ULTRASCHALL verwendet werden. Hierbei ist p 0 bzw. ρ 0 der konstante Druck bzw. die konstante Dichte der Flüssigkeit im Gleichgewicht. Die Druck- und Dichteänderungen p und ρ sind, wie oben schon erwähnt, klein, d.h. p p 0 und ρ ρ 0. Mit dieser Näherung ergibt sich unter der Vernachlässigung der Terme in 2. Ordnung von v, p und ρ für die Eulersche Gleichung 2.1 Mit derselben Näherung kann die Kontinuitätsgleichung v t + 1 ρ 0 p =0. (2.3) in die Gleichung ρ t + (ρ v) =0 (2.4) ρ t + ρ 0 v =0 (2.5) umgeformt werden. Mit den Gleichungen 2.3 und 2.5 existieren nun zwei Gleichungen, die die drei unbekannten Funktionen v, p und ρ enthalten. Eine dieser drei unbekannten Funktionen kann eliminiert werden, indem beachtet wird, dass die Bewegung einer Schallwelle in einer (idealen) Flüssigkeit ein adiabatischer Vorgang ist. Es gilt deshalb die Beziehung ( ) p p = ρ 0 S ρ, (2.6) wobei das S unten an der Klammer bedeutet, dass die Entropie S beim Ableiten als Konstante behandelt wird. Damit kann nun in Gleichung 2.5 die Dichteänderung ρ durch die Druckänderung p ersetzt werden, was auf die Gleichung ( ) p p t + ρ 0 v =0 (2.7) ρ 0 S führt. Wie weiter unten zu sehen sein wird, ist es sinnvoll, an dieser Stelle ein Geschwindigkeitspotential φ mit v = φ einzuführen. Mit Hilfe dieses Potentials φ ergibt sich aus Gleichung 2.3 p φ = ρ 0 t. (2.8) Wird dies in 2.7 eingesetzt, so ergibt sich daraus die Gleichung
2.1. PHYSIK DER WELLEN 7 mit dem Laplace-Operator ( ) 2 φ p t φ =0 (2.9) 2 ρ 0 S = 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2. Eine Gleichung der Form 2.9 wird Wellengleichung genannt. Durch Bildung der Zeitableitung von 2.9 ergibt sich eine Wellengleichung für den Druck; das Ergebnis der Ortsableitung ist eine Wellengleichung für die Geschwindigkeit. Wird ( ) p c = ρ 0 S (2.10) gesetzt, so kann die Gleichung 2.9 umgeformt werden in mit der Schallgeschwindigkeit c. φ 1 c 2 2 φ =0 (2.11) t2 2.1.2 Lösungen der Wellengleichung und Bedingungen Im Folgenden wird nur noch eine räumliche Dimension, nämlich die x-achse, betrachtet. Die Lösungen der Gleichung 2.11 haben dann die Form φ(x, t) =f 1 (x ct)+f 2 (x + ct), (2.12) wobei f 1 eine in positive x-richtung und f 2 eine in negative x-richtung laufende Welle repräsentiert. Von besonderer Bedeutung sind monochromatische Wellen, d.h. Wellen, bei denen alle Anteile die gleiche Wellenlänge haben. Sie besitzen die Form: mit: ω: Frequenz k x k = k y : Wellenzahlvektor ( k = ω = 2π ) c λ k z φ(x, t) =R(φ 0 e i(kxx±ωt) ) (2.13)
8 KAPITEL 2. ULTRASCHALL Da hier ausschließlich Schallwellen behandelt werden, wird nur der Realteil (R) der Welle genommen. Monochromatische Wellen sind deshalb von besonderem Interesse, da sich jede beliebige Welle aus der Linearkombination von verschiedenen monochromatischen Wellen, d.h. Wellen mit unterschiedlicher Frequenz ω und unterschiedlichem Wellenzahlvektor k,konstruieren lässt. Die Bedingungen, unter denen die linearisierten Bewegungsgleichungen 2.3 und 2.5 gelten, werden nun noch genauer untersucht. Eine ausführlichere Herleitung dazu findet sich explizit in [13], Kapitel VIII, 63. Es soll nun eine fortschreitende ebene Welle, die sich längs der x-achse mit der Schallgeschwindigkeit c ausbreitet, betrachtet werden. Aus diesem Grund wird φ = f(x ct) gesetzt, womit sich und v = φ x = f (x ct) (2.14) p φ = ρ 0 t = ρ 0cf (x ct). (2.15) ergibt. Ein Vergleich von Gleichung 2.14 und Gleichung 2.15 führt auf die Beziehung v = p ρ 0 c. (2.16) Unter Zuhilfenahme von Gleichung 2.10, die in Gleichung 2.6 eingesetzt wird und somit auf die Beziehung p = c 2 ρ führt, ergibt sich v = cρ ρ 0. (2.17) Die getroffene Annahme war, dass die Dichteänderungen ρ klein sind und somit ρ ρ 0 gilt. Folglich muss ρ ρ 0 1 sein. Daraus ergibt sich als Bedingung für die linearisierten Bewegungsgleichungen v c. (2.18) 2.1.3 Propagation in Medien Beim Auftreffen einer Welle auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien teilt sich die einfallende Welle in zwei Anteile auf. Ein Teil der Welle wird reflektiert und der andere Teil
2.1. PHYSIK DER WELLEN 9 reflektierte Welle einfallende Welle Einfallsebene z α α y β x Grenzfläche gebrochene Welle Abbildung 2.1: Graphik zur Reflexion und Brechung einer Welle an einer Grenzfläche. gebrochen. Der reflektierte Teil bleibt also im gleichen Medium und interferiert mit der einfallenden Welle, während der gebrochene Teil im zweiten Medium propagiert. Es gilt nun zu beachten, dass bei einem solchen Vorgang die Drücke durch die einzelnen Wellen und die Normalkomponenten der Geschwindigkeit gleich sein müssen. Für die nähere Betrachtung der Reflexion bzw. der Brechung sind also diese Randbedingungen der einfallenden, der reflektierten und der gebrochenen Welle von entscheidender Bedeutung. Es wird nun eine monochromatische longitudinale Welle 1 betrachtet, die an der xy-ebene gebrochen werden soll und den Einfallswinkel α zur Flächennormalen besitzt (siehe Abbildung 2.1). Randbedingungen ergeben sich also nur für den Fall z =0, d.h. sie sind nicht abhängig von x, y und der Zeit t. Folglich ändern sich bei der Brechung weder die Komponenten k x und k y des Wellenzahlvektors, noch die Frequenz ω. Was sich ändert ist lediglich k z. Zur Vereinfachung wird nun (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) die yz- 1 Die longitudinale Welle bietet sich an, da nur Schallwellen in flüssigen Medien behandelt werden. Transversale Wellen werden im Folgenden nicht berücksichtigt.
10 KAPITEL 2. ULTRASCHALL Ebene als Einfallsebene festgelegt. Daher ist in einfallender, gebrochener und reflektierter Welle k x =0. Ebenfalls muss für alle drei Wellen die Größe k y = ω sin γ (γ: Winkelzum c Normalenvektor der Grenzfläche) gleich sein, woraus für den Ausfallswinkel α α = α (2.19) folgt. Ebenso muss dann der Winkel β der gebrochenen Welle über folgende Beziehung mit dem Einfallswinkel α zusammenhängen: mit: sin α sin β = c 1 c 2 (2.20) c 1 : c 2 : Schallgeschwindigkeit des Mediums der einfallenden Welle Schallgeschwindigkeit des Mediums der gebrochenen Welle Das Verhältnis des Einfallswinkels α zum Winkel der gebrochenen Welle β ist also abhängig von den Schallgeschwindigkeiten in den verschiedenen Medien. 2.2 Abstrahlcharakteristik der Sender Zunächst wird die in Abschnitt 2.1.1 hergeleitete Wellengleichung (Gleichung 2.11) betrachtet. Eine Welle kann ohne genauere Beschreibung der räumlichen Gestalt allgemein in der Form mit: k: Betrag des Wellenvektors ψ: räumlicher Anteil der Welle φ = ψe ikct (2.21) geschrieben werden. Wird dies in die Wellengleichung 2.11 eingesetzt, so ergibt sich daraus direkt die sogenannte Helmholtz-Gleichung: ψ + k 2 ψ =0 (2.22) Diese Helmholtz-Gleichung kann mit Hilfe des Greenschen Theorems gelöst werden (siehe hierfür z.b. [8], Anhang 2):
2.2. ABSTRAHLCHARAKTERISTIK DER SENDER 11 mit: ψ p = 1 4π ( ( e ikr r ) ψda ( ) ) e ikr ψ da r (2.23) r: Betrag des Ortsvektors A: Fläche über die integriert wird Es wird nun eine ungestörte Kugelwelle betrachtet. Diese besitzt die Form wobei der räumliche Anteil als φ(r,t)= ψ 0 r ei(kr ωt), (2.24) geschrieben werden kann. ψ(r )= ψ 0 r eikr (2.25) Wird dieser Ansatz in Gleichung 2.23 eingesetzt, so ergibt sich daraus für ψ p ψ p = ikψ 0 e ikr e ikr (ˆnˆr ˆnˆr) da. (2.26) 4π r r Diese Gleichung wird Kirchhoffsches Beugungsintegral genannt. Der Vektor ˆn bezeichnet den Normaleneinheitsvektor auf der zu integrierenden Fläche. Eine ausführliche Herleitung von 2.26 findet sich in [8]. Im Folgenden wird die Fraunhofer-Näherung verwendet, d.h. dass die Apertur als klein und die Entfernung R des Beobachtungsschirms als groß angenommen wird. Das Kirchhoffsche Beugungsintegral kann nun umgeschrieben werden, indem aus den Bedingungen für die Fraunhofer-Näherung einige Annahmen getroffen werden. Die Apertur sei gleichmäßig ausgeleuchtet, so wie dies auch bei einem Ultraschallsender näherungsweise der Fall ist. Der Term eikr kann dann als konstant angesehen und deshalb vor das Integral geschrieben r werden. Wird der Koordinatenursprung in den Mittelpunkt der Apertur und die Quelle auf die Koordinatenachse gelegt, so ist ˆnˆr = 1. In guter Näherung kann für kleinere Winkel ˆnˆr 1 gesetzt werden. Des weiteren gilt 1 1. Damit lässt sich die Gleichung 2.26 in die r R Form ψ p = ikψ 0 2π e ikr r R e ikr da (2.27) umschreiben. Für die Phase kann die Näherung r R nicht verwendet werden, da k = 2π eine sehr λ große Zahl ist. Im Folgenden wird der Fall einer rechteckigen Apertur (wie sie auch bei
12 KAPITEL 2. ULTRASCHALL den Ultraschallsendern des USCT vorliegt) betrachtet. Verdeutlicht ist diese Anordnung in Abbildung 2.2. y da x r z R Abbildung 2.2: Graphik zur Fraunhofer-Beugung an einer rechteckigen Öffnung. P (X, Y, Z) Ein Punkt P mit den Koordinaten (X, Y, Z) liege auf dem Beobachtungsschirm. Für die Abstände r und R gelten dann folgende Beziehungen: R = [ X 2 + Y 2 + Z 2] 1 2 (2.28) r = [ (X x) 2 +(Y y) 2 + Z 2] 1 2 (2.29) ] = R [1+ x2 + y 2 1 2 xx + yy 2 R 2 R 2
2.2. ABSTRAHLCHARAKTERISTIK DER SENDER 13 Da nur große R betrachtet werden, ist es möglich, den Term x2 +y 2 R 2 zu vernachlässigen. [ ] 1 xx + yy 2 r = R 1 2 (2.30) R 2 Werden außerdem nur die beiden ersten Terme der Binomialentwicklung berücksichtigt, so kann r als [ ] xx + yy r = R 1 (2.31) R 2 geschrieben werden. Damit lässt sich dann Gleichung 2.27 umformen zu xx+yy ik ψ p = C e R da, (2.32) wobei alle konstanten Terme vor dem Integral zur Konstanten C zusammengefasst wurden. Die Anordnung in Abbildung 2.2 führt für die Gleichung 2.32 dann zu ψ p = C a 2 a 2 e ik xx R dx b 2 b 2 e ik yy R dy (2.33) mit den Seitenlängen a und b der rechteckigen Apertur. Wird die Integration ausgeführt, so ergibt sich ( )( ) sin α sin β ψ p = Cab (2.34) α β mit α = kax 2R und β = kby 2R. Daraus kann dann die Intensitätsverteilung berechnet werden, was zu der Gleichung ( ) 2 ( ) 2 sin α sin β I(X, Y )=I(0) (2.35) α β führt. Weitere Informationen zum Thema Beugung finden sich in [6]. In [12] werden die Schallfelder von verschiedenen Arten von Emittern besprochen. Sehr ausführliche Informationen zum Thema Schall werden in [14] gegeben.
Kapitel 3 Die Hardware 3.1 Der FPGA Unter der Bezeichnung FPGA versteht man eine logische Schaltung, die vom Anwender selbst programmiert werden kann. Die Abkürzung steht für Field Programmable Gate Array, was bedeutet, dass die Programmierung vor Ort stattfindet. Die Programmierung eines FPGAs geschieht normalerweise über eine Hardwarebeschreibungssprache (engl. Hardware Description Language, HDL). Gängige Hardwarebeschreibungssprachen sind z.b. Verilog oder VHDL (VHSIC Hardware Description Language, wobei VHSIC für Very High Speed Integrated Circuit steht). Ein FPGA besteht im wesentlichen aus vielen frei programmierbaren Logikblöcken, in denen elementare Operationen wie AND, OR, NOT und XOR umgesetzt werden können. Die Funktionen werden im FPGA meist als Look-Up Table (LUT) realisiert. Unter einer LUT versteht man einen Speicher, in dem jedem Eingangswert ein gewisser Ausgangswert zugeordnet ist. Der LUT ist normalerweise noch ein Speicherelement nachgeschaltet, was entweder als (flankengesteuertes) Flip-Flop oder als Latch (zustandsgesteuertes Flip-Flop) genutzt werden kann. Die Logikblöcke sind über eine Matrix miteinander verbunden. An den Kreuzungspunkten der Matrix können über die Programmierung Schalter gesetzt werden, um gezielte Verbindungen zwischen verschiedenen Blöcken des FPGA herzustellen. Manche FPGAs enthalten auch schon fest eingebaute Funktionen. Dabei kann die Komplexität von der einfachen Addierstufe über Multipliziereinheiten bis hin zum Controller z.b. für eine Ethernet-Schnittstelle gehen. In vielen FPGAs gibt es auch noch RAM-Blöcke für das Speichern größerer Datenmengen. 3.1.1 Vorteile des FPGA Relativ geringe Entwicklungskosten, z.b. keine Aufwendungen für Masken für die Fotolithographie [7] im Gegensatz zum ASIC (Application Specific Integrated Circuit; Anwendungsspezifische Integrierte Schaltung).