Volailiäsmodelle in der Praxis Hans Bühler Global Quaniaive Research, AG Global Equiies hans.buehler@db.com hp://www.dbquan.com Berlin, May 8h 2003
Übersich Slide 2 Die implizie Volailiässrukur Eigenschafen, Implikaionen Modellierung mi Ein-Fakor-Modellen Dupire, Derman-Kani Eigenschafen und Konsequenzen. Modellierung mi sochasischer Volailiä Prinzipien, Pricing und Hedging Beispiel: Heson, CGMY Vergleich verschiedener Modelle Zusammenfassung
Implied Volailiy Slide 3 Die implizie Volailiä einer Opion wird durch Inversion der Black&Scholes-Formel berechne (gegeben Markpreis, Discounfakor und Forward). Das Black&Scholes-Model ds verwende eine deerminisische Volailiä - demzufolge müssen alle Opionen mi einer gemeinsamen Laufzei die gleiche Volailiä implizieren. Dies is leider nich der Fall: ( r d ) S d S dw
Implizie Volailiä - Nikkei 225 am 15.April 2003 Slide 4 50 45 40 35 30 25 20 15 5% 40% 75% Srike/Spo Mar-10 Sep-07 Mar-05 Mauriy 110% 145% Jun-03 180%
Der Smile Slide 5 Eingenschafen: Die Volailiä seig bei fallendem Srike (Opionen sind eurer). Dieser Smile läß bei längerer Laufzei nach. Seine spezielle Form häng vom Mark ab. Exisier in ausgepräger Form sei 1987. Warum exisier der Smile: Asymmerie in der Riskobewerung von Preisbewegungen. Hisorische Korrelaion zwischen Volailiä und Preisniveau is negaiv. Pus werden zur Kredisicherung eingesez.
Pricing wih a Smile (Dupire Risk Jan 1994) Slide 6 Viele exoische Produke sind Smile-sensiv: Barriers, z.b. up-and-ou call: Converible Bonds Aliplanos Condiional Trigger Swaps ec. 1 {sup S B } T S T K Dies erforder die Abkehr vom klassischen Black&Scholes- Model und den Übergang zu erweieren Modellen
Modellierung - Anforderungen Slide 7 Enwicklung neuer Modelle mi den Zielen den Smile mi einem Model konsisen zu reproduzieren, srukuriere Produke effizien zu preisen und abzusichern. Weiergehende Fragen Sabiliä des Prozesses über die Zei ( Rekalibrierung) Implizie dynamik des Prozesses (Forward-Sared Opions)
Modellierung - Konzepe Slide 8 Ein-Fakor Modelle Dupire: Local volailiy Derman, Kani: Implied Trees Sochasic Volailiy Meron: Jump Diffusion Heson: Square-Roo process Baes: Heson and Meron zusammen Carr, German, Medan, Yor: VG, CGMY, sochasic ime change,...
Ein-Fakor Modelle: Derman Kani - Implied Trees Slide 9 Opionspreise für alle Srikes und Laufzeien sind bekann. Sückweise Konsrukion der Übergangswahrscheinlichkeien im Baum Konsisene Bewerung der Opionen auf dem Baum. Nacheile: Es können nur Opionen auf den Knoen des Baums berechne werden Neukalibraion evenuell nowendig Bei Änderung der numerischen Genaugkei muß neu kalibrier werden Mone-Carlo Mehode per se nich unersüz; generelle Geschwindigkeisprobleme bei Bäumen mi langen Laufzeien.
Ein Fakor-Modelle: Dupire s Local Volailiy Slide 10 Eindimensionale Brownsche Bewegung als reibender Prozess. Die Volailiä häng vom Spo ab: ds ( r d ) S d ( S ) S Für exisier nach Dupire eine geschlossene Formel: dw 2 ( S) T C T, S (r T d S T 2 )S 2 K C K C T, S T, S d T C T, S Wieder: Alle Call-Preise C T,K seien bekann. Exrapolaion nowendig.
Ein-Fakor Modelle: Dupire Slide 11 50 50 45 45 40 40 35 35 30 25 20 15 5% 40% 75% Srike/Spo 110% 145% 180% Jun-03 30 25 20 Mar-10 15 Sep-07 5% Mar-05 Mauriy 40% 75% Srike/Spo Mar-10 Sep-07 Mar-05 Mauriy 110% 145% Jun-03 180% Probleme bei kurzen Laufzeien.
Ein-Fakor Modelle: Voreile von Dupire Slide 12 Theoreisch perfeke Randvereilungen schöne Lösung. Vollsändiger Mark. Keine Kalibraion nowendig, analyische Formel. Konsisene Preise bei Laufzeien über 6m. Srukuriere Produke können effizien mi ein-fakor Finie Difference Sysemen oder Mone-Carlo gepreis werden. Dupire s Modell is per se gu zur Opionsbewerung geeigne.
Ein-Fakor Modelle: Probleme mi Dupire Slide 13 Technische Probleme: Exrapolaion und Inerpolaion kann großen Einfluß auf den Preis von Opionen am Rand der Markvereilung haben. Absicherung: Die Volailiässrukur is nich lokal von den Opionen abhängig - zum Absichern eines Produkes muß eine eine große Anzahl von Markinsrumenen invesier werden (der Mark is nur heoreisch vollsändig). E K Forward Sared Opions: S S T
Ein-Fakor Modelle: Probleme mi Dupire Slide 14 Inkonsisene Dynamik Die Volailiässrukur is nich sabil über die Zei. Today implied volailies Local volailiy implied forward vols 27.5 27.5 25.0 25.0 22.5 22.5 20.0 20.0 17.5 70% 90% 110% 130% 5y 1y9m 1y 3m 17.5 70% 90% 110% 130% 1y in 5y 1y in 1y9m 1y in 1y 1y in 3m
Ein-Fakor Modelle: Local Volailiy Slide 15 50 45 40 35 30 25 20 15 5% 40% 75% Srike/Spo Mar-10 Sep-07 Mar-05 Mauriy 110% 145% Jun-03 180%
Ein-Fakor Modelle: Zusammenfassung Slide 16 Voreile Theoreisch schön. Ein-Fakor implizier schnellere numerische Verfahren Am Bewerungsag konsisen. Nacheile Dynamik nich korrek Neuberechnung erforder Hedging der Volailiässrukur häufige Invesiionen in viele Markinsrumene nowendig. Fehlerhafe Forward-Sar Preise.
Sochasische Volailiä: Moivaion Slide 17 Ein erweieres Model solle Konsisen mi (wesenlichen) Markinsrumenen sein. Effizien berechenbar sein. Ein über die Zei sabiles Verhalen besizen und Forward-Sar Opionen korrek beweren. Bewerung und absicherung srukurierer Produke erlauben. Der Benchmark is Dupire.
Sochasische Volailiä: Konzepe Slide 18 Modelle mi sochasischer Volailiä haben eine Dynamik ds ( r d ) S bei der selbs ein sochasischer Prozess is: d S dw d d dw Andere Varianen verwenden Poissonprozesse. Die Inegranden und werden ypischerweise durch Modellparameer spezifizier. Modelle i.a. nich vollsändig Modellparameer nich eindeuig und müssen geschäz werden.
Sochasische Volailiä: Beispiel Hull & Whie Slide 19 Hull & Whie (1987): Log-Normal Variance: d 2 2 d 2 dw Vol of Vol : konrollier die Variaion der Volailiä Average vol : durchschniliche Volailiä Correlaion zwischen den reibenden Brownschen Bewegungen. Die implizie variable Shor vol 0 is nich beobachbar und wir demnach wir ein Parameer behandel.
Sochasische Volailiä: Beispiel Heson Slide 20 Heson ha 1993 die folgende Dynamik vorgeschlagen: d 2 2 d dw Vol of Vol : konrollier die Variaion der Volailiä Long vol : durchschniliche Langzeivolailiä Reversion speed : Drif zur Long Vol. Correlaion zwischen den reibenden Brownschen Bewegungen. Die implizie variable Shor vol 0 is nich beobachbar und wir demnach wir ein Parameer behandel. Sehr populäres Model.
Sochasische Volailiä: Beispiel JumpDiffusion Slide 21 Meron (1987) ha Sprünge im Preisprozess angenommen: ds ( r d ) S d ATM S dw S dp Der Prozess P is ein kompensierer Poisson-Prozess mi Inensiä und (,)-normalvereilen unabhängigen Sprüngen. Die implizien Randvereilung besizen einen sehr ausgeprägen Smile. Baes ha dieses Modell mi Heson s Ansaz kombinier.
Sochasische Volailiä: Beispiel CGMY Slide 22 Carr, Geman, Medan und Yor (2000): Ein Levy-Prozess mi charakerisischer Funkion T C: Skalierung G und M: Rechs- bzw linksseiiger Abfall der Vereilung (symmerisch bei Gleichhei) Y: Charakerisierung der Akiviä ( v): exptc( Y ) {( M iv) Y M Y ( G iv) Y G Y } Dieses Model wurde aufgrund saisischer Beobachungen enwickel.
Sochasische Volailiä: Konzepe Slide 23 PDE für den Einsaz von numerischen Sandardmehoden Feynman-Kac für FDs, Euler-Diskreisierung für Mone-Carlo. Dadurch können srukuriere Produke bewere werden. Zur Berechnung Europäischer Opionen kann nach Carr & Medan (1999) Fourier-Transfomaion eingesez werden. Schnelle und genaue Berechnung von Europäischen Opionen Erweierbar auf Forward-Sar Vanillas. Erforder die Kennnis der charakerisischen Funkion von X T :=log(s T /S 0 ): T izxt ( z) : E[ e ]
Sochasische Volailiä: Fourier-Pricing Slide 24 Idee: Die charakerisische Funkion des Callpreises (in Abhängigkei vom log-srike k:=log(k)) wird durch ausgedrück: T! ivk rt X T k ( v) : e E[ e ( e e )] dk F( Berechnung des Callpreises durch Fourier-Inversion von : C 1 ikv T, K ( k) : 2 e T ( v) dv T ( ))
Sochasische Volailiä: Fourier-Pricing Slide 25 Problem: Der Preis eines Calls is nich in quadraisch inegrierbar: Call prices wih respec o log-srike 100% 80% Price/Forward*DF 60% 40% 20% 1y 2y 5y 0% -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 log(k/s0)`
Sochasische Volailiä: Fourier-Pricing Slide 26 Lösung: Dampen des Preises ~ k C T, k : e CT, e k Dampened Call prices wih respec o log-srike 50% Alpha 0.5 40% Alpha 1 Alpha 1.5 Price/Fwd*DF 30% 20% 10% 0% -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 log(k/spo)
Sochasische Volailiä: Fourier-Pricing Slide 27 Fuer jedes Model exisier ein so daß der gedampe Call- Preis quadraisch inegrierbar is. Dann gil für die Fourier-Transformiere des modifizieren Preises: ~ T ( v) : e rt 2 T ( v( 1)i) 2vi v(iv) Diese kann mi Sandardverfahren oder einem FFT- Algorihmus inegrier werden. Lezerer kann mehrere Preise auf einmal berechnen.
Sochasische Volailiä: Parameerschäzung Slide 28 Die vorgesellen Modelle sind allesam unvollsändig. Demzufolge müssen die Modellparameer in Abhängigkei von wichigen Markpreisen (P i ) i=1, N geschäz werden. Diese Kalibraion bedeue de faco eine Minimierung von N i1 wobei H i () den Modellpreis der i. Opion uner den Modellparameern, d eine Merik und w einen Vecor von Gewichen bezeichne. F( ) w d[ H i i, P ] i
Sochasische Volailiä: Parameerschäzung Slide 29 Daher die Nowendigkei, Europäische Opionen effizien preisen zu können. In Verbindung mi FFT-Pricing können mehrer Opionen pro Mauriy auf einmal berechne werden. Probleme: Shor Vol is eigenlich eine Variable Gewichung ha hohen Einfluß auf das Ergebnis saubere Zieldefiniion is nowendig. Generische Minimierung kann in einem lokalen Minimum enden.
Sochasische Volailiä: Hedging Slide 30 Modelle sind nich vollsändig, d.h. Auszahlungen können i.a. nich durch Handeln im Sock allein replizier werden. Mahemaisch klar durch die Verwendung weierer sochasischer Prozesse. Theoreisch is die Verwendung einer weieren Opion ausreichend. Prakisch gesehen is ein Modell vermulich nich perfek. Zur Absicherungen müssen mehrere liquide Opionen verwende werden. Die Modellparameer ändern sich mi der Zei.
Sochasische Volailiä: Hedging Slide 31 Der Preis eines srukurieren Produkes p is eine Funkion der Modellparameer, pp(). Hedging Alle Produke, die mi dem Modell bewere werden, bilden ein Porfolio P. i i1,, n Dieses ha Sensiiviäen P bezüglich der Modellparameer. Berechne Vanilla-Porfolio mi den inversen Sensiiviäen, so daß eine (kleine) Änderung eines Modellparameers den Wer des gesamen Porfolios nich änder. Dafür reichen im Prinzip n Opionen, allerdings is deren Auswahl durch prakische Beschränkungen erschwer (Markvolumen, Liquidiä, Invesiionssumme usw).
Die Auswahl eines geeigneen Modells Slide 32 Die Auswahl eines besimmen Modells häng vom Produk und vom Mark ab. Wir Kalibrieren einige Modelle: Kalibraion zu 6m, 1y, 1y6m und 2y Opionen in einer Srike- Range von 60% bis 130% Spo (Gewichung Markpreis). Vergleich mi Dupire und Mark.
Ergebnis der Kalibraion Implied volailiies 6m 30 28 26 24 22 20 18 Slide 33 Volailiy 6m 60% 6m 75% 6m 80% 6m 85% 6m 90% 6m 95% 6m 100% 6m 105% 6m 110% 6m 115% 6m 120% 6m 130% Insrumen 30 28 26 24 22 20 18 Implied volailiies 2y Marke Local Vol Heson CGMY JumpDiff HesonJumpDiff SaionaryHeson 2y 85% 2y 90% 2y 95% 2y 100% 2y 105% 2y 110% 2y 115% 2y 120% 2y 130% Insrumen 2y 80% 2y 75% 2y 60% Volailiy
Dichere Darsellung Errors in implied volailiies of calibraion insrumens 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% -1% -2% -3% -4% -5% Slide 34 2y 90% 2y 100% 2y 110% 2y 120% 2y 80% Implied volailiy / Marke - 1 6m 60% 6m 80% 6m 90% 6m 100% 6m 110% 6m 120% 1y 60% 1y 80% 1y 90% 1y 100% 1y 110% 1y 120% 1y6m 60% 1y6m 80% 1y6m 90% 1y6m 100% 1y6m 110% 1y6m 120% 2y 60% Insrumen Local Vol Heson CGMY JumpDiff HesonJumpDiff SaionaryHeson
Sehr schönes Ergebnis für Heson Slide 35 HesonJumpDiff implied volailiy HesonJumpDiff implied volailiy 35 35 30 30 25 25 20 15 1y6m 10y 5y 2y9m 20 15 1y6m 10y 5y 2y9m 60% 80% 100% 120% 140% 3m 60% 80% 100% 120% 140% 3m Heson: =24.3%, =1.4, =21.9%, =-0.53 Shorvol: s 0 =20.7%
und Heson-JumpDiffusion Slide 36 HesonJumpDiff implied volailiy HesonJumpDiff implied volailiy 35 35 30 30 25 25 20 15 1y6m 10y 5y 2y9m 20 15 1y6m 10y 5y 2y9m 60% 80% 100% 120% 140% 3m 60% 80% 100% 120% 140% 3m Heson: Meron: =24.3%, =1.4, =21.9%, =-0.53 =0.06, =-56,169, =8.53% Shorvol: s 0 =20.7%
Meron und Heson Slide 37 Einige Modelle, insbesondere das Baes Modell, passen sich sehr gu an den Mark an. Die Sprünge unersüzen einen ausdrucksvollen Skew bei kurzen Laufzeien, wohingegen die Mean-Reversion eine langfrisige Sabiliä sicher. Normalerweise wird das einfache Hesonmodel verwende - die prakische Inerpreaion und das Hedging von Jumps sind nich ganz einfach.
Mean-Reversion Slide 38 Heson volailiy pahs - an example of mean reversion 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Apr-03 Apr-04 Apr-05 Apr-06 Apr-07 Apr-08 Apr-09 Apr-10 Apr-11 Apr-12
Problem: Forward volailiy Slide 39 HesonJumpDiff implied volailiy HesonJumpDiff implied volailiy 35 35 30 30 25 25 20 15 1y6m 10y 5y 2y9m 20 15 1y6m 10y 5y 2y9m 60% 80% 100% 120% 140% 3m 60% 80% 100% 120% 140% 3m Skew bleib über die Zei erhalen, wird aber U-förmig...
Sochasische Volailiä: Zusammenfassung Slide 40 Voreile (Heson und Baes): Gue und flexible Anpassung an die implied Surface Einfacher zu Hedgen Eine Ar Skew bleib erhalen Nacheile Der Forward-Skew is U-förmig ˆ [ T1, T2 ]
Sochasische Volailiä: Forward Skew Slide 41 Verbessere Kalibraion Penaly funcions, um besimme Skews auszuschließen Tiefere Kennnis über die Vereilung nowendig. Kalibraion direk auf Forward-Sared Opions Deren Preis is selbs geschäz. Selbs bei Erfolg: Verhalen abeis der Eingabeopionen nich garanier. Sons eine gue Möglichkei. Verbessere Modelle Problem der ShorVol lösen Propagaive Modelle: In Arbei.
Sochasische Volailiä: Forward Skew Slide 42 Sochasic Implied Volailiy (Schönbucher 1998, Con 2002) Wie bei HJM/BGM-Modellen für Zinsraen wird ein Modell für die ganze Oberfläche enworfen. Wie werden srukuriere Produke bewere? Parameer müssen hisorisch geschäz werden (z.b. via PCM). Noch mehr sochasische Fakoren führen zu niedriger Geschwindigkei. Modelle mi Erinnerung Noch nich zufriedensellend gelös.
References Carr and Madan, 1999: Opion valuaion using he FFT. J. Comp. Finance 2-4 Dupire, 1994: Pricing wih a Smile. Risk Magazine 7, 18-20. Derman and Kani, 1994: The volailiy smile and is implied ree. Goldman Sachs Quaniaive Sraegies Research Noes Hull and Whie, 1987: The Pricing of Opions on Asses wih Sochasic Volailiies. J. of Finance 42, 281-300. Heson, 1993: A Closed-Form Soluion for Opions wih Sochasic Volailiy wih Applicaions o Bond and Currency Opions. Rev. Fin. Sudies 6, 327-343 Schobel and Zhu, 1998: Sochasic volailiy wih an Ornsein-Uhlenbeck process: an exension. Working paper Schönbucher,1998: A marke model for sochasic implied volailiy (preprin, from he web) Mos of he opics presened are reviewed in: Equiy derivaives: Theory and applicaions, Wiley 2002 Slide 43