Fakultät für Mathematik Einladung Weihnachtsvorlesung www.tu-chemnitz.de/mathematik
Im Wichtel-Parlament Politische Machtspiele aus mathematischer Sicht Vladimir Shikhman Technische Universität Chemnitz Fakultät für Mathematik Professur für Wirtschfatsmathematik / 25
WICHTEL Anmutig und schalkhaft sind Nixen und Elfen; Nicht so die Erdgeister, sie dienen und helfen Treuherzig den Menschen. Ich liebte zumeist Die welche man Wichtelmännchen heißt. - Heinrich Heine, 797-856 - Wichtelmännchen sind immer fröhlich und zu jeder Art von Scherzen aufgelegt, die niemandem schaden und immer für Heiterkeit sorgen. Sie beschenken gerne die Menschen und besonders denen, die viel Leid ertragen müssen, erleichtern sie gerne das Leben. Wichtelmännchen arbeiten mindestens zu zweit. Sie sind keine Einzelgänger, aber Familien gründen sie auch nicht. 2 / 25
PARTEIENLANDSCHAFT SCHWARZ ROT MAGENTA GRÜN 3 / 25
WICHTEL-PARLAMENT Parteien Stimmen Prozente SCHWARZ 30 49 % ROT 93 3 % MAGENTA 64 0 % GRÜN 63 0 % Insgesamt: Entscheidung: 630 Stimmen mehr als 35 Stimmen Wie ist die MACHTVERTEILUNG? z.b. Ist ROT dreimal mächtiger als MAGENTA? Aber MAGENTA kann den SCHWARZEN genauso wie ROT helfen... 4 / 25
MACHT Jede Chance, innerhalb einer sozialen Beziehung den eigenen Willen auch gegen Widerstreben durchzusetzen, gleichwie, worauf diese Chance beruht. - Max Weber, 864-920 - Macht entspringt der menschlichen Fähigkeit, nicht nur zu handeln oder etwas zu tun, sondern sich mit anderen zusammenzuschließen und im Einvernehmen mit ihnen zu handeln. - Hannah Arendt, 906-975 - MACHTVERTEILUNG VIA KOALITIONSBILDUNG 5 / 25
KOALITIONEN SCHWARZ Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 R R, M M R, G R, M, G G M, G 3 3 Anzahl von Koalitionen Wie wahrscheinlich sind Koalitionen? Welchen Koalitionen kann SCHWARZ entscheidend helfen? 6 / 25
WAHRSCHEINLICHKEIT DER KOALITIONEN SCHWARZ Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 R R, M M R, G R, M, G G M, G 3 3 Anzahl von Koalitionen Wähle mit gleicher Wahrscheinlichkeit: Anzahl von Koalitionspartnern s aus 0,, 2, 3 /4 s-elementige Koalition s = 0 2 3 /3 /3 7 / 25
WAHRSCHEINLICHKEIT DER KOALITIONEN SCHWARZ Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 R R, M M R, G R, M, G G M, G /4 /2 /2 /4 Warscheinlichkeit von Koalitionen Wähle mit gleicher Wahrscheinlichkeit: Warscheinlichkeit von Koalitionen s aus 0,, 2, 3 /4 s-elementige Koalition s = 0 2 3 /3 /3 8 / 25
ENTSCHEIDENDE KOALITIONEN SCHWARZ Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 R R, M M R, G R, M, G G M, G /4 /2 /2 /4 Warscheinlichkeit von Koalitionen SCHWARZ hilft einer Koalition S entscheidend, falls S verliert alleine weniger als 36 Stimmen S gewinnt mit SCHWARZ mehr als 35 Stimmen 9 / 25
MACHT VON SCHWARZ SCHWARZ Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 R R, M M R, G R, M, G G M, G /4 /2 /2 /4 Warscheinlichkeit von Koalitionen /2 + /2 + /2 + /2 + /2 + /2 = /2 0 / 25
MACHT VON ROT ROT Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 S S, M M S, G S, M, G G M, G /4 /2 /2 /4 Warscheinlichkeit von Koalitionen /2 + /2 = /6 / 25
MACHT VON MAGENTA MAGENTA Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 S S, R R S, G S, R, G G R, G /4 /2 /2 /4 Warscheinlichkeit von Koalitionen /2 + /2 = /6 2 / 25
MACHT VON GRÜN GRÜN Anzahl von Koalitionspartnern 0 2 3 S S, R R S, M S, R, M M R, M /4 /2 /2 /4 Warscheinlichkeit von Koalitionen /2 + /2 = /6 3 / 25
MACHT IM WICHTEL-PARLAMENT Parteien Stimmen Prozente Macht SCHWARZ 30 49 % /2 ROT 93 3 % /6 MAGENTA 64 0 % /6 GRÜN 63 0 % /6 KONSEQUENZEN: Wichtelmännchen sind politisch zweigeteilt in SCHWARZ einerseits und ROT, MAGENTA, GRÜN andererseits ROT, MAGENTA und GRÜN haben die gleiche Macht 4 / 25
SHAPLEY-SHUBIK-INDEX Parteien,..., n, Koalitionen S {,..., n} m i def = S verliert S {i} gewinnt p S (i) = n ( n S p S (i) }{{} Wahrscheinlichkeit ) wähle Kardinalität s aus {0,,..., n } wähle Koalition S mit Kardinalität S = s 5 / 25
SHAPLEY-SHUBIK-INDEX Parteien,..., n, Koalitionen S {,..., n} m i = S verliert S {i} gewinnt p S (i) }{{} Wahrscheinlichkeit p S (i) = n ( n S ) = S )! S!(n S )! S!(n = n (n )! n! Fakultät : k! def = 2 k Binomialkoeffizient : ( n k ) def = n! k!(n k)! 6 / 25
DREIECK VON PASCAL ( n S n ) p S (i) = n S ( n S 2 3 3 4 6 4 hohe Wahrscheinlichkeit für kleine und große Koalitionen Suche nach wenigen eigener Wille : Max Weber Anschluß an viele Einvernehmen : Hannah Arendt ) 7 / 25
ZERSPLITTERUNG I Parteien Stimmen GROSS m klein klein m Insgesamt: Entscheidung: 2m Stimmen mehr als m Stimmen 8 / 25
ZERSPLITTERUNG I Parteien Stimmen Macht GROSS m m m+ klein 2 m(m+) klein m 2 m(m+) Insgesamt: Entscheidung: 2m Stimmen mehr als m Stimmen 9 / 25
ZERSPLITTERUNG I Parteien Stimmen Macht GROSS m m m+ klein 2 m(m+) klein m 2 m(m+) TENDENZ für m : Macht von GROSS = m m+ Macht von {klein,..., klein m } = 2 m(m+) = 2 m+ 0 20 / 25
ZERSPLITTERUNG I Parteien Stimmen Macht GROSS m m m+ klein 2 m(m+) klein m 2 m(m+) TENDENZ für m : Macht von GROSS = m m+ Macht von {klein,..., klein m } = 2 m(m+) = 2 m+ 0 DIKTATUR EINER GROSSEN PARTEI 2 / 25
ZERSPLITTERUNG II Parteien Stimmenanteile GROSS 3 GROSS 2 3 klein 3(n 2) klein n 2 3(n 2) Insgesamt: Entscheidung: Stimmenanteil mehr als 2 der Stimmen 22 / 25
ZERSPLITTERUNG II Parteien Stimmenanteile Macht GROSS 3 GROSS 2 3 klein 3(n 2) klein n 2 3(n 2) n 4(n ) n 4(n ) 2(n ) 2(n ) Insgesamt: Entscheidung: Stimmenanteil mehr als 2 der Stimmen 23 / 25
ZERSPLITTERUNG II Parteien Stimmenanteile Macht GROSS 3 GROSS 2 3 klein 3(n 2) klein n 2 3(n 2) n 4(n ) n 4(n ) 2(n ) 2(n ) TENDENZ für n : Macht von GROSS oder GROSS 2 = n 4(n ) 4 Macht von {klein,..., klein n 2 } = 2(n ) = n 2 2(n ) 2 24 / 25
ZERSPLITTERUNG II Parteien Stimmenanteile Macht GROSS 3 GROSS 2 3 n 4(n ) n 4(n ) TENDENZ für n : klein 3(n 2) klein n 2 3(n 2) Macht von GROSS oder GROSS 2 = 2(n ) 2(n ) n 4(n ) 4 Macht von {klein,..., klein n 2 } = 2(n ) = DIKTATUR VIELER KLEINER PARTEIEN n 2 2(n ) 2 25 / 25