Aufgaben aus dem Aufgabenpool. Analysis A_ Die Abbildung zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion f. a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für 5 f(x)dx. ( ) Die Funktion F ist die in IR definierte Stammfunktion von f mit F() 0. b) Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von F an der Stelle x an. ( ) b c) Zeigen Sie, dass F(b) f(x)dx mit b IR gilt. ( ) A_ a) Durch Abschätzen der Anzahl der Quadrate in der Grafik ergibt sich: 5 f(x)dx 9 0,5,. b) F 0,5 c) Aufgrund F 0 ergibt sich: b f(x)dx F(b) F() F(b). Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet.
A_ Gegeben sind die Funktionen f a mit f a(x) a x (x a), wobei xir und air, a 0 gilt. a) Geben Sie die Nullstellen der Funktionen f a an. a 0 ( ) 8 b) Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den f a(x) dx gilt. (4 ) A_ a) x 0; x a b) a a a 4 f a(x) dx ( a x a x) dx a x a x a 0 0 0 6 4 8 4 a ; a 6 ; a, da a 0 6 Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 4 4
. Analytische Geometrie/Lineare Algebra.. Analytische Geometrie G_ Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGH. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: D(0 0 ), E( 0 0), F( 0) und H(0 0 0). a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punktes A an. b) Der Punkt P liegt auf der Kante FB des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P. ( ) ( ) G_ a) b) Die Skalierung ist durch die eingezeichneten Punkte gegeben und muss nicht gesondert erfolgen. A( 0 ) Mit P( x ) folgt HP x. Aus x folgt x, da x 0. P( ) Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 5
G_ Gegeben sind die Ebene E: x y z 6 sowie die Punkte P( 0 ) und Q(5 6). a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft. ( ) b) Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F. ( ) G_ a) 5 4 PQ OQ OP 0 6 4 PQ und der Normalenvektor der Ebene E sind kollinear. b) Ist M der Mittelpunkt der Strecke PQ, so gilt: 6 OM OP OQ. 8 4 Da die Ebene F nach der Angabe in a) parallel zu E ist, gibt es einen Wert von d mit F:xyz d. Da M in der Ebene F liegt, folgt aus 4 d für d der Wert 5. Damit ergibt sich F:x y z 5. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 6
.. Lineare Algebra LA_ Ein Fixvektor v einer Matrix M ist ein Vektor, für den gilt: Mv v mit v 0. a) Untersuchen Sie, ob es Werte für a und b gibt, sodass für die Matrix 0,7 0, 0, N a 0,5 0,5 und den Vektor b 0, 0, 00 w 70 die Bedingungen I und II gelten: 0 I Der Vektor w ist ein Fixvektor der Matrix N. II Die quadratische Matrix N ist stochastisch, d. h. alle Elemente sind nichtnegative reelle Zahlen und die Spaltensummen sind jeweils gleich eins. ( ) b) Die Vektoren x und y mit x y 0 sind Fixvektoren einer Matrix L. Zeigen Sie, dass auch der Vektor z x y ein Fixvektor von L ist. ( ) LA_ a) Bedingung I: 00 00 N w 00 a 50 70 00 b 0 0 Aus 00 a 50 70 und 00 b 0 0 folgt a 0, und b 0,. Bedingung II: 0,7 0, 0, Die Matrix 0, 0,5 0,5 ist eine stochastische Matrix, da alle Elemente 0, 0, 0, nichtnegative reelle Zahlen sind und alle Spaltensummen ergeben. b) Einsetzen von z x y in den Term L z liefert L z L (x y) Lx L y x y z. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 7
LA_ Eine Anzahl von Objekten verteilt sich auf zwei Zustände A und B. a In den Verteilungsvektoren gibt a den Anteil der Objekte im Zustand A an und b den Anteil der b Objekte im Zustand B. a) In einem ersten System wird der Übergang von einer Verteilung zu der folgenden durch 0,8 0, 6 eine Übergangsmatrix M beschrieben. 0, 0,4 Bestimmen Sie die Matrix, die zwei Übergänge zusammenfasst. b) In einem zweiten System wird der Übergang von einer Verteilung zu der folgenden durch eine Übergangsmatrix N beschrieben. 0,5 Die Anfangsverteilung ist. 0,5 Die nebenstehende Abbildung stellt die Entwicklung des Anteils im Zustand A für die ersten zehn Übergänge dar. 0,8 0,8 Begründen Sie, dass N die 0, 0, zugehörige Übergangsmatrix sein kann. ( ) ( ) LA_ a) 0,8 0, 6 0,8 0, 6 0,76 0,7 MM 0, 0,4 0, 0,4 0,4 0,8 b) 0,8 0,8 0,5 0,8 N liefert im ersten Übergang. 0, 0, 0,5 0, 0,8 Der Vektor ist Fixvektor der Matrix N. 0, 0,8 0,8 0,8 0,8 Begründung z.b.:. 0, 0, 0, 0, Damit liefert N in jedem weiteren Übergang die dargestellten Anteile im Zustand A. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 8
. Stochastik S_ Ein Basketballspieler wirft 0 Freiwürfe. Die Anzahl seiner Treffer wird mit k bezeichnet und durch die Zufallsgröße X beschrieben. Die Zufallsgröße X wird als binomialverteilt mit der Trefferwahrscheinlichkeit p 0,8 angenommen. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt. a) Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Basketballspieler mindestens 8-mal trifft. ( ) b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen, kleiner als ist. ( ) 000 000 S_ a) Für P(X 8) P(X 8) P(X 9) P(X 0) ergibt sich z. B. 0,0 0,7 0, 0,68. b) 0 P(X 0) 0, 0 0 0 04 0, 0,00000004 0 und 0 0 0 0 0 Es gilt also: 0,. 000 000 0,00000 000 000 Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 9
S_ Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl (Z) oder zum zweiten Mal Wappen (W) oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: { ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW }. a) Begründen Sie, dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist. ( ) b) Die Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von X. ( ) S_ a) P(ZZ) ; P(ZWZ) 4 8 Die Ergebnisse des Zufallsexperiments weisen also nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit auf, daher handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment. b) P(X ) P(ZZ) P(WW) Damit gilt P(X ) P(X ) und es folgt E(X),5. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet. 0
Aufgaben aus dem Aufgabenpool. Analysis A_ Für jeden Wert von a (air, a 0) ist die Funktion f a gegeben durch f a(x) a e (x IR). Die Tangente an den Graphen von f a im Punkt f a ( ) wird mit t a bezeichnet. a) Weisen Sie nach, dass für jeden Wert von a die Tangente t a durch die Gleichung a a y a e x a e beschrieben werden kann. ( ) b) Für jeden Wert von a schließen die Tangente t a und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von a. ax ( ) A_ a) Die Gleichung der Tangente t a lautet b) m f ( ) a e a Für x gilt: a a a y t a(x) m x b. a a t ( ) f ( ) a e ( ) b a e. a a a Damit ist b a e und t a(x) a e x a e. a Mit A g h und g sowie h a e a folgt A a e. Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet.
. Analytische Geometrie G_ Gegeben sind die Punkte A( 4) und B( 4 0 6). a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes C so, dass gilt: CA AB. ( ) b) Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten: I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal. II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt. Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. ( ) G_ a) 4 x Mit AB 0 und CA y folgt 6 4 4 z C( 0). b) Da AB gilt, hat jede zu g senkrechte Gerade durch B von A den Abstand. Aus v 0 erhält man z. B. Richtungsvektor. Gleichung einer möglichen Geraden: v als einen möglichen 0 4 x 0 r 6 0 Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet.
. Stochastik S_ Eine Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und dem Stichprobenumfang n. a) Berechnen Sie für p 0,4 die Wahrscheinlichkeit P(X ). ( ) b) Zeigen Sie, dass für jeden Wert von p gilt: P(X 0) P(X ) P(X ). ( ) S_ a) P(X ) P(X ) 0,4 0,6 0,84 b) P(X 0) P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X 0) P(X ) P(X 0) P(X ) (P(X 0) P(X ) P(X )) Sachlich richtige Alternativen werden mit entsprechender Punktzahl unter Berücksichtigung der verbindlichen bewertet.