Hamilton-Formalismus

KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten Lagrange-Formalismus benutzt man zur Beschreibung dieses Systems und dessen Zeitentwicklung einerseits s verallgemeinerte Koordinaten q = { q a },...,s (IV.1a und andererseits die zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeiten q = { q a },...,s. (IV.1b Zusammen mit der Zeit bilden die generalisierten Koordinaten und Geschwindigkeiten die Argumente der Lagrange-Funktion L ( t, q, q, welche die ganze Information über das System enthält. Mithilfe der Lagrange-Funktion werden noch die verallgemeinerten Impulse definiert; somit ist p a L( t, q, q (IV.1c q a der zur Koordinate q a (t konjugierte Impuls. Im Folgenden werden diese Impulse kollektiv mit p = { p a },...,s (IV.1d bezeichnet. Die Grundidee des Hamilton-Formalismus besteht darin, den Bewegungszustand eines mechanischen Systems zur Zeit t durch die verallgemeinerten Koordinaten q a (t und die dazu konjugierten Impulse p a (t zu charakterisieren, statt durch die Variablen {q a (t}, { q a (t}. Definition: Der von den 2s Variablen {q a } und {p a } aufgespannte Raum Γ heißt Phasenraum des Systems. Dementsprechend werden die {q a } und {p a } für a {1,..., s} gemeinsam Phasenraumkoordinaten genannt. Jedem möglichen Bewegungszustand eines gegebenen Systems wird ein Punkt in dessen Phasenraum Γ zugeordnet, und die Bewegung entspricht einer Phasenraumtrajektorie. Dieses Thema wird in Abschn. IV.3 ausführlicher diskutiert werden. Bemerkung: Der Phasenraum ist im Allgemeinen kein Vektorraum, weil einige Variablen wie z.b. Winkel ihre Werte nur in einem endlichen Intervall annehmen können. Mathematisch ist der Phasenraum eine Mannigfaltigkeit der Dimension 2s.

IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen 75 IV.1.2 Hamilton-Funktion Um die Variablen {q a }, { q a } des Lagrange-Formalismus durch die Koordinaten {q a } und die konjugierten Impulse {p a } zu ersetzen, muss eine Funktion der neuen Variablen definiert werden, welche die gesamte Information über das System enthält, um die Rolle der Lagrange-Funktion zu übernehmen. Definition: Gegeben die Lagrange-Funktion eines System wird seine Hamilton-Funktion definiert durch H ( t, q, p p a q a L ( t, q, q. (IV.2 Auf der rechten Seite dieser Definition sollen die q a als Funktionen ( der Zeit t und der Phasenraumkoordinaten {q b } und {p b } betrachtet werden: q a = q a t, q, p. Das heißt, dass die definierende Beziehung des konjugierten Impulses (IV.1c invertiert werden soll. Wenn dies möglich ist, gilt bei festen { p b },...,s ( H = p b q b L = p a L = 0, q a q a q a d.h. H hängt nicht explizit von q a ab. Laut dem Satz von der Umkehrabbildung sollen die zweiten Ableitungen 2 L/ q a positiv sein, damit Gl. (IV.1c lokal invertierbar sei; vgl. auch Anhang C. Wie oben erwähnt muss die Hamilton-Funktion H die gleiche Information wie die Lagrange- Funktion L enthalten. Dass dies der Fall ist, lässt sich beweisen, indem man L aus H rekonstruieren kann. Sei somit angenommen, dass die Hamilton-Funktion H ( t, q, p bekannt ist. Definiert man zunächst Q a H( t, q, p, so folgt aus Gl. (IV.2 und der Kettenregel Q a = ( p b q b L = q a + p b L wobei q b / = 0 benutzt wurde, entsprechend der Unabhängigkeit der Variablen q b und p a. Unter Verwendung der Beziehung (IV.1c im letzten Term kommt dann Q a = q a. Somit lassen sich die verallgemeinerten Geschwindigkeiten aus der Hamilton-Funktion über q a ( t, q, p = H ( t, q, p wiederfinden. Dann liefert eine einfache Berechnung ( H p a H = p a q a p a q a L = L. Das heißt, die Lagrange-Funktion kann aus der Hamilton-Funktion gemäß (IV.3a L ( t, q, q ( ( p a q a t, q, p H t, q, p (IV.3b rekonstruiert werden, wobei q a durch Gl. (IV.3a gegeben ist.

76 Hamilton-Formalismus Mathematisch ist der Übergang von L zu H ein Beispiel von Legendre (o -Transformation, und der Übergang von H zu L ist die Rücktransformation (inverse Legendre-Transformation. Bemerkung: Vergleicht man Gl. (IV.2 mit Gl. (II.25c, so stimmt die Definition der Hamilton- Funktion mit jener der Noether-Ladung assoziiert mit Invarianz unter Zeittranslationen überein, die als Energie des Systems interpretiert wurde. IV.1.3 Kanonische Bewegungsgleichungen Die Position eine Systems im Phasenraum zu einer gegebenen Zeit t gibt seine verallgemeinerten Koordinaten und konjugierten Impulse zu diesem Zeitpunkt, die ganz natürlich mit {q a (t} und {p a (t} bezeichnet werden. Zur Charakterisierung der Bewegung des Systems sind noch Bewegungsgleichungen erforderlich, welche die Zeitentwicklung von den {q a (t} und {p a (t} bestimmen. Im vorigen Paragraphen wurde schon Gl. (IV.3a gefunden, welche die Zeitableitung der verallgemeinerten Koordinate q a (t durch Größen des Hamilton-Formalismus ausdrückt. Betrachtet man jetzt die Ableitung der Hamilton-Funktion (IV.2 nach der verallgemeinerten Koordinate q a, so ergibt sich ( H = dh = d p b q b L = dq a dq a p b L L. Im letzten Summanden kann L/ durch p b ersetzt werden, so dass dieser Term sich mit dem ersten herauskürzt. Dann ist der zweite Term L/, berechnet entlang der Trajektorie des Systems, laut der Euler Lagrange-Gleichung (II.9 gleich der Zeitableitung von L/ q a. Nach Gl. (IV.1c ist dies auch gleich der Zeitableitung des konjugierten Impulses p a. Somit ergibt sich H ( t, q(t, p(t = dp a(t. Insgesamt gelten die (kanonischen Hamilton schen Gleichungen dq a (t dp a (t = H( t, q(t, p(t = H( t, q(t, p(t für a = 1,..., s. (IV.4 Ein wichtiger Gegensatz zum zweiten Newton schen Gesetz (I.2 oder zu den Euler Lagrange- Gleichungen (II.9, die zweiter Ordnung sind, besteht darin, dass die 2s Hamilton schen Bewegungsgleichungen Differentialgleichungen erster Ordnung sind. Deshalb ist für jede Phasenraumkoordinate eine einzige Anfangsbedingung nötig, um die Lösung der Bewegungsgleichungen, d.h. die Phasenraumtrajektorie, zu bestimmen. Bemerkungen: Die Ableitung der Definition (IV.2 nach der Zeit mithilfe der Produktregel gibt unter Verwendung der Euler Lagrange-Gleichungen (II.9 und der Kettenregel dh ( = dpa q d q a a + p a dl ( L = dq a + L d q a dl q a = L t. Andererseits liefern die Hamilton schen Gleichungen (IV.4 dh = H t + H H q a + ṗ a = H t + ( H ṗa q a + q a ṗ a = t. (o A.-M. Legendre, 1752 1833

IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen 77 Falls die Hamilton-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt ( H/ t = 0, ist sie somit eine Konstante der Bewegung, entsprechend Energieerhaltung im System. Die Hamilton schen Bewegungsgleichungen (IV.4 können aus einem Extremalprinzip, dem schon angetroffenen Hamilton(!-Prinzip (II.8, hergeleitet werden. Demgemäß ist die Wirkung t2 [ ( ( ] S[q, p] p a (t q a t, q(t, p(t H t, q(t, p(t (IV.5 t 1 unter allen Phasenraumtrajektorien mit festen Endpunkten extremal für die physikalisch realisierte Bewegung. IV.1.4 Beispiele IV.1.4 a Eindimensionales System Das einfachste Beispiel ist das eines zeitunabhängigen Systems mit einem einzigen Freiheitsgrad, parametrisiert durch eine verallgemeinerte Koordinate q. Sei L(q, q = m 2 q2 V (q (IV.6a die zugehörige Lagrange-Funktion, mit V dem Potential für die generalisierte Koordinate. Der zu q konjugierte Impuls ist L(q, q p = = m q, (IV.6b q woraus q(t, q, p = p/m folgt. Die Hamilton-Funktion (IV.2 für dieses System lautet H(q, p = p q L(q, q = m q 2 m 2 q2 + V (q = m 2 q2 + V (q. Ersetzt man q durch p/m, so ergibt sich schließlich und H(q, p = p2 2m + V (q. (IV.6c Ausgehend von dieser Hamilton-Funktion lauten die Hamilton schen Gleichungen (IV.4 dq(t = H( q(t, p(t = p(t (IV.6d p m dp(t = H( q(t, p(t q = V ( q(t q. (IV.6e Wird die zweite in der Ableitung der ersten nach der Zeit eingesetzt, so findet man die übliche Bewegungsgleichung wieder. Schließlich prüft man schnell nach, dass die Lagrange-Funktion aus der Hamilton-Funktion rekonstruiert werden kann: H(q, p p H(q, p = p p p m p2 p2 V (q = 2m 2m V (q. IV.1.4 b Harmonischer Oszillator Ein wichtiger Sonderfall der im letzten Paragraphen gefundenen Ergebnisse ist der des eindimensionalen harmonischen Oszillators mit Potential V (q = 1 2 mω2 q 2. Die Hamilton-Funktion ist H(q, p = p2 2m + 1 2 mω2 q 2, (IV.7

78 Hamilton-Formalismus entsprechend den Hamilton schen Bewegungsgleichungen dq(t = p(t m (IV.8a und dp(t = mω 2 q(t. (IV.8b Diese zwei gekoppelten Differentialgleichungen können natürlich kombiniert werden, um die übliche Differentialgleichung zweiter Ordnung m q(t + mω 2 q(t = 0 zu geben. Stattdessen wird hiernach eine geeignete Linearkombination von q(t und p(t eingeführt, um eine einfach lösbare Gleichung erster Ordnung zu erhalten. Sei mω α(t 2 q(t + i p(t. (IV.9a 2mω Die Phasenraumtrajektorie lässt sich durch α(t und die komplexe konjugierte Funktion α(t ausdrücken: 1 [ q(t = α(t + α(t ], p(t = 1 mω [ α(t α(t ]. (IV.9b 2mω i 2 Die Summe aus Gl. (IV.8a, multipliziert mit mω/2, und Gl. (IV.8b multipliziert mit i/ 2mω gibt dα(t = iω α(t. (IV.10 Diese gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung lässt sich sofort lösen: wenn α 0 die Anfangsbedingung bei t = 0 bezeichnet, gilt α(t = α 0 e iωt, (IV.11 woraus q(t und p(t über Gl. (IV.9b folgen. Insbesondere ergibt sich das der Leserin schon bekannte oszillatorische Verhalten von q(t.