Dr.-Ing. Tatjana Lange Fachhochschle für Technik nd Wirtschaft Fachbereich Elektrotechnik AUFGABENSAMMLUNG ZUM LEHRGEBIET AUTOMATISIERUNGSTECHNIK bzw. KONTINUIERLICHE SYSTEME. Differentialgleichngen Afgabe.: Für das dargestellte RC-Netzwerk ist die Antwort des Systems af die Eingansspannng (t) 0 σ(t) [-e -(t/t ² ) ] mittels Implszerlegng z berechnen (Anfangsbedingngen0): R R 2 (t) x(t) C Afgabe.2: Die Gewichtsfnktion eines RC-Gleides latet G(t) (/T)e -(/T) (t) Berechnen Sie über das Faltngsintegral den Verlaf der Übergangsfnktion h(t). Afgabe.3: Die Differentialgleichng eines Gleichstrommotors latet: 8n + 48/5 n + 8/5 n Berechnen Sie a) seine Gewichtsfnktion b) die freie Bewegng n(t), wenn n(-0) 25 U/s n(-0) 0 Afgabe.4: Gegeben ist folgendes Netzwerk mit Trennverstärker: V R R 2 x C C 2
a) Stellen Sie die Differentialgleichng af. b) Berechnen Sie die Übergangsfnktion. Afgabe.5: Gegeben ist folgendes nbelastetes elektrische Netzwerk: R R 2 x C Bestimmen Sie a) die Differentialgleichng b) die Übergangsfnktion c) die Gewichtsfnktion Afgabe.6: Ein kybernetisches System. Ordnng wird drch folgende DGL beschrieben: ax + bx, Eingangsgröße x Asgangsgröße Erlätern Sie die Begriffe dynamisches statisches Verhalten Übergangs-/ stationäres Verhalten an den Verläfen von x(t), wenn a) ( t) 0 σ ( t) b) ( t) [ 0 sin( ωt)] σ ( t) mit ω a / b Afgabe.7: Ermitteln Sie die DLG folgender Systeme: a) mechanisches Feder-Dämpfngssystem ohne Masse: F F Eingangsgröße [N] x Asgangsgröße [cm] ] [ c Federkonstante [N/cm] x d Dämpfngskonstante [Ns/cm].. d Hinweis: F C c x ; F d d x b) elektrisches RC-Netzwerk c) elektrisches RL-Netzwerk R C x L R R 2 x
d) vermaschtes RC-Netzwerk C R R 2 x Afgabe.8: Ermitteln Sie für Afgabe.7b die Übergangsfnktion drch Lösng der afgestellten DGL mittels Variation der Konstanten. Afgabe.9: a) An einem Motor kann Drehmoment M als Eingangsgröße, die Winkelgeschwindigkeit ω (t) als Asgangsgröße betrachtet werden. Die Differentialgleichng latet dann: θ ω + L M (Momentengleichng) mit θ Trägheitsmoment des Läfers nd der Last L mechanischer Belastngswiderstand - b) Bestimmen Sie die Gewichtsfnktion g2(t) des Motors, wenn als Asgangsgröße der Drehwinkel der Welle ϕ (t) betrachtet wird, wobei gilt: ω ϕ c) Wie verläft die Übergangsfnktion, wenn der Drehwinkel als Asgangsgröße betrachtet wird? 2. Zstandsbeschreibng Afgabe 2.: Werden die Zstandsvariablen direkt dem System entnommen, kann af Grndlage der nabhängigen Energiespeicher entschieden werden, welche nd wie viel physikalische Größen als Zstandsvariable z wählen sind. Bestimmen Sie die erforderlichen Zstandsvariablen für folgende Systeme: a) b) L L R R C x L 2 x c) L R L 2 R 2 x d) xs F e C m C 2
Afgabe 2.2: In vielen Systemen können neben den Ableitngen der Asgangsgröße ach die der Eingangsgröße aftreten. Stellen Sie für die angegebene elektrische Schaltng die Systemgleichng über die Differentialgleichng af. L C R x R 2 Afgabe 2.3: Stellen Sie die Systemgleichng in Matrixform af nd zeichnen Sie den Signalflssgraf nd das Signalflssbild: q (t) C R C C 2 q 2 (t) C2 x R R 2 R 2 T R C T 2 R 2 C 2 Afgabe 2.4: Gegeben ist folgendes Netzwerk: R 2 C 2 (t) x(t) (t) 0 für t 0 (t) 0 für t<0 q(t) C (t) q(0) 0 /2 a) Stellen Sie die Systemgleichng af. b) Berechnen Sie q(t) nd x(t) über die Bewegngsgleichng c) Skizzieren Sie x frei nd x erzw. Afgabe 2.5: Gegeben ist folgendes Netzwerk mit Trennverstärker: R 2 V R (t) C 2 C x(t) a) Stellen Sie die Systemgleichng af. b) Berechnen Sie die Übergangsfnktion as der Systemgleichng.
Afgabe 2.6: Gegeben ist folgendes Netzwerk: R 2 R (t) C 2 C x(t) Stellen Sie die Systemgleichng af. Afgabe 2.7: Gegeben ist folgender Signalflssgraph: - b 2 c q 2 q x q 2 q b c 2 a) Stellen Sie die Systemgleichng af. b) Für welchen Vektoren b ist das System nicht vollständig steerbar? c) Wie wirkt sich die nicht vollständige Steerbarkeit af das System as, wenn q(0) 0 b b (t) δ(t) b 2 2b d) Zeichnen Sie das Blockschaltbild nd berechnen Sie G(p) für b b c b 2 2b c 2 0 e) Disktieren Sie die nicht vollständige Beobachtbarkeit nd ihre Aswirkngen {in Analogie z den Afgaben b) d)} Afgabe 2.8: Stellen Sie die Systemgleichng eines T D2 -T 3 -Gliedes af nd zeichnen Sie das dazgehörige Blockschaltbild nd den Signalflssgraphen. 3. Linearisierng einer nichtlinearen Kennlinie Afgabe 3.: Die statische Kennlinie eines Stellventils wrde vom Hersteller wie folgt angegeben: U/U max 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9.0 X/X max 0 0.5 0.28 0.4 0.53 0.63 0.72 0.8 0.87 0.94.0 U Q x
a) Stellen Sie das Blockschaltbild des Systems dar. b) Zeichnen Sie die statische Kennlinie. c) In welchem Bereich ist die Kennlinie annähernd linear? Legen Sie den Arbeitspnkt in die Mitte dieses Bereiches. Bestimmen Sie den Übergangsfaktor der liniearisierten Kennlinie: q K (q nd sind die Änderngen m den Arbeitspnkt) Afgabe 3.2: a) Linearisieren Sie die Gleichng eines pnematischen Verstärkers p - Asgangsdrck p ph f ( l ) 2 + 4l p H - Hilfsdrck l - Düsenprallplattenabstand (Eingang) im Arbeitspnkt l 0 0.5 p 0 0.5 p H f(l 0 ) b) Bestimmen Sie die maximal zlässige Assteerng m den Arbeitspnkt, wenn gefordert wird, dass p p 0.05 p 0 0. 025 lin p H ( ˆ 5% Fehler) p P H l c) Zeichnen Sie die Kennlinie p / ph f ( l ) 4. Freqenzgang Übergangsfnktion (ÜF) Afgabe 4.: Was versteht man nter dem Freqenzgang? Wie erhält man die Darstellng von Amplitden- nd Phasenfreqenzgang im Bodediagramm, wenn gegeben ist: G ) G ( ) G ( )... G ( j ) Afgabe 4.2: ( 2 n ω Stellen Sie den Amplitden- nd Phasenfreqenzgang im Bodediagramm dar. 0 a) G ( ) 2 ( + s) + s b) G( ) 0.s ( + 0.5s) ( + 0.0s) Afgabe 4.3:
Was ist eine Ortskrve? Zeichnen Sie den prinzipiellen Verlaf der Ortskrven folgender Freqenzgänge: a) G ( ) d) G ( ) + T j ω T T b) G( ) e) G ( ) + T T ( j T ) I + ω! c) G ( ) ( + T )( + ) Afgabe 4.4: T 2 Berechnen Sie die Übergangsfnktion für nachfolgendes Nezwerk: R (t) c x(t) a) as der Differentialgleichng b) as der Schaltng mittels Widerstandsoperatoren Afgabe 4.5: Besprechnen Sie die Sprngantwort für das in Afgabe 4.4. dargestellte Netzwerk mit Hilfe der Übergangsfnktion nd der Korrespondenztabelle. Afgabe 4.6: Gegeben ist die Gewichtsfnktion eines Systems: t 2t g( t) 3e e a) Berechnen Sie die Übergangsfnktion G ( ). b) Berechnen Sie die Rampenantwort des Systems (mit (t) at) c) Stellen Sie die Übergangsfnktion im PN-Bild dar. Afgabe 4.7: a) Ermitteln Sie die Freqenzganggleichng für den gegebenen Amplitdenfreqenzgang eines Phasenminimmsystems (ein Phasenminimmsystem ist ein System mit eindetigem Zsammenhang zwischen Amplitden- nd Phasenfreqenzgang): 20logM G ( j)m M M M 40 db - M M + -M 20 db 0 M M M 0 db 5 0 50 00 ω -20 db [s - ] b) Skizzieren Sie die dazgehörige Phasenkennlinie.
Afgabe 4.8: Berechnen Sie die Freqenzgänge der Netzwerke: a) R V R 2 (t) C C 2 x(t) b) Afgabe 4.9: R R 2 C C 2 (t) x(t) Gegeben ist folgendes Netzwerk: C V C 2 R R 2 x T R C T 2 R 2 C 2 a) Die Differentialgleichng des Netzwerkes latet: T T 2 x + (T + T 2 )x + T T 2 x Berechnen Sie die Übergangsfnktion (Darstellng im PN-Bild) b) Berechnen Sie x(t), wenn x (-0) x(-0) 0 nd (t) 200V σ(t) c) Wie latet die Freqenzganggleichng? (Darstellng im Bodediagramm nd als Ortskrve) Afgabe 4.0: Gegeben ist folgendes Netzwerk: L R 2 x R Berechnen Sie: a) die Übertragngsfnktion (ÜF) as der Differentialgleichng; b) die ÜF as der Schaltng (symbolische Methode); c) die Gewichtsfnktion über die ÜF; d) die Übergangsfnktion über die ÜF.
Afgabe 4.: Bestimmen Sie das Bodediagramm nd davon abgeleitet die Ortskrve für: 0 a) G ( ) 2 ( + 2s)( + 0.5s) 0.( + TD ) b) G( ) mit T D > T > T 2 ( + T )( + ) Afgabe 4.2: T Berechnen Sie den Freqenzgang nd bestimmen Sie das Bodediagramm sowie die Ortskrve für: a) die Reihenschaltng von G( ) j ω s G2 ( ) + 0.s G3 ( ) 0.( + 0s) b) die Parallelschaltng von G( ) + s G2 ( ) j ω 2s Afgabe 4.3: Gemessen wrde folgende Ortskrve: Im{G()} Skizzieren Sie den angenäherten des Bodediagramms. Re{G()} ω Afgabe 4.4: Formen Sie folgende Blockschaltbilder m. Berechnen Sie G(p). a) G G 2 a b c G 3 x I. Verschiebng von b nach a II. Verschiebng von b nach c
b) G 3 G G 3 a b c x I. Verschiebng von b nach a II. Verschiebng von a nach c c) G 4 G 3 I. Verschiebng von b nach a II. Verschiebng von a nach b G G 2 x a b c d) G 4 G 3 I. Verschiebng von b nach a nd von c nach d II. Verschiebng von b nach c G G 2 a b c d x 5. Stabilitätsanalyse Afgabe 5.: a) Berechnen Sie mit Hilfe des Hrwitz-Kriterims für den dargestellten die maximale Verstärkng K R, bei der das System gerade noch stabil arbeitet. x G S ( + p2s)( + p3s p 2 s 2 ) G + s G R K R G R -w b) Wenden Sie für den gleichen Kreis das Nyqist-Kriterim an. c) Zeichnen Sie den qalitativen Krvenverlaf der offenen Kette für K R < K krit. ; K R K krit. ; K R > K krit. d) Skizzieren Sie den Verlaf der Übergangsfnktion des Kreises für die drei nter (c) genannten Fälle.
Afgabe 5.2: Die offene Kette einer Schichtdickenregelng für Papiermaschinen latet: pt G e t 0 ( p) 3 2 p 0 s( + p 0 s) Berechnen Sie die kritische Totzeit über das Nyqist-Verfahren nd erlätern Sie das Ergebnis anhand der Ortskrve nd des Bodediagramms. Afgabe 5.3: Geben Sie die Wrzelortskrve (Nichols-Diagramm) qalitativ an für: K + pt () für T D D > T a) G 0 b) G + 0 pt + pt (2) für T D < T K c) R + pt () T D 2 < T < T D G 0 2 d) G0 ( + pt ) ( + pt )( + pt2 ) (2) T 2 < T D < T (3) T D < T 2 < T Afgabe 5.4: Von der offenen Kette eines Regelkreises sind bekannt:.25s G S p s( + p s) ; V G R R + p 0.2s a) Zeichnen Sie das PN-Bild von G 0 G S G R. b) Zeichnen Sie das Nichols-Diagramm mit Asymptoten nd den Astrittspnkten as der reellen Achse. c) Ermitteln Sie V krit. as dem Nichols-Diagramm. 6. Regelkreis Afgabe 6.: Geben Sie für die angegebene Gegenkopplng folgende Übertragngsfnktionen an: U(p) Z (p) Z 2 G G 2 X(p) G 3 X ( p) X ( p) a) für Z Z 2 0 c) W ( p) Z( p) X ( p) X ( p) b) für Z 2 U 0 d) Z( p) U ( p) e) Wie berechnet sich X(p), wenn Z, Z 2 nd W 0 sind? für Z U 0 für Z Z 2 0
Afgabe 6.2: Eine T -Strecke nd ein P-Regler (G R (p) K R ) werden zm Regelkreis geschaltet. Z(p) X(p) G s G R -W(p) a) Wie latet die ÜF der Strecke, der offenen Kette G 0 nd des Kreises G W (p) bzw. G Z (p)? (Darstellng im PN-Bild) b) Wie latet die Freqenzganggleichng? Stellen Sie diese im Bodediagramm dar. c) Welches statische Verhalten hat der Regelkreis bei sprngförmigen Eingangssignalen? d) Skizzieren Sie die Übergangsfnktion nd die Gewichtsfnktion des Kreises für den Führngseingang. e) Berechnen Sie x(t) für w(t) e -5t σ(t) nd skizzieren Sie diese Fnktion. Afgabe 6.3: U ( p) Berechnen Sie die Übergangsfnktion G ( p ) der Anordnng: E( p) E(p) U(p) G V G R a) allgemein p ms () G b) mit G RV ( p) nd V (p) K V 2 + p ms (2) G V (p) K V 0 (3) G 0 ( p) V + p 0. ms c) mit G R ( p) nd (), (2), (3) wie in Afg. 6.3b + p ms Berechnen Sie in allen Fällen h(t) nd zeichnen Sie die Freqenzgänge im Bodediagramm. Welche Reglertypen werden in b() nd c() realisiert? Disktieren Sie die Änderngen, die in (2) nd (3) gegenüber () aftreten. Afgabe 6.4: Gegeben ist folgender Regelkries: G s X(p) G R -W(p)
Gescht ist: a) die Führngsübertragngsfnktion (ein Pol liegt bei p -4s - ) b) die Übergangsfnktion (Skizze) c) die bleibende Regelabweichng für () w(t) w 0 σ(t) (2) w(t) w t d) den Regelgrad (Regelfaktor) Wiederholen Sie die Rechnngen a) nd c) für einen I-Regler. Afgabe 6.5: Gegeben ist die Übergangsfnktion der Regelstrecke eines Systems: G 3.2 ( p) S ( + pt )( + pt2 )( + pt3 )( + pt4 ) mit T 500 ms T 2 25 ms T 3 5 ms T 4.25 ms Für ein konstantes Überschwingen von h 5% ( ˆ a) sind die Wirkngen des Einsatzes der Reglertypen P-Regler PD-Regler PI-Regler PID-Regler hinsichtlich des Verhaltens von e B nd T m im Bodediagramm z nterschen. Afgabe 6.6: Die offene Kette eines Regelkreises 0 G0 ( p) ( + p s)( + p 0.s) ist mit Hilfe eines Reihenkorrektrgliedes so z verändern, dass folgende Güteforderngen erfüllt werden: a) e * B 8% (bei Sprng) b) T * m T m c) h * 4% ( ˆ a2). Konstrieren Sie anhand der Güteforderngen den Amplitdenfreqenzgang * G ( j ) (den gewünschten Freqenzgangverlaf). Afgabe 6.7: 0 ω 2. Zeichnen Sie die gegebene offene Kette G ( j ) nd ermitteln Sie die 0 ω notwendige Korrektr. 3. Wählen Sie ein geeignetes Korrektrnetzwerk nd bemessen Sie die Baelemente (Kondensator µf vorhanden). 4. Wie groß mss die Verstärkng der offenen Kette eingestellt werden? Gegeben ist nachfolgende Regelstrecke: 2 G S ( p) ( p + 3)( p + 7)( p + ) An G S (p) ist mittels PN-Bild ein PD-Regler so z bemessen, dass h 0% eingehalten wird. a) Wie laten die dazgehörigen Regelparameter?
b) Welche Werte erhält man für T m nd e B? Afgabe 6.8: Gegeben ist die Regelstrecke 0 tp G0 ( p) e ( + p 0s)( + p 4.3s) a) Wählen Sie mögliche Regler für ein gewünschtes Überschwingen von h 0% as. b) Bemessen Sie mit Hilfe beiliegender Tafel einen I-Regler nd überprüfen Sie die Kennwerte T m nd e B ( h 0 0%) c) Bemessen Sie mit Hilfe beiliegender Tafel einen PI-Regler für h 0 0% nd h 0 50%. Überprüfen nd vergleichen Sie die Kennwerte e B, T m, e m nd γ S, wenn die Störng mit Z( p) p( + p 20s) beschreibbar ist. d) Skizzieren Sie h(t) (mit PI-Regler) e) Skizzieren Sie das Bodediagramm (mit I- nd PI-Regler). f) Kann die Reglerbemessng im Bodediagramm drchgeführt werden?