Labor Technische Optik

Labor Physik und Photonik Labor Technische Optik Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer Abb. 1. von Fa. Möller & Wedel.doc Stand: 10.10.013

Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer Inhalt...1 Inhalt... 1. Grundlagen... 1.1 FRAUNHOFERsche Beugung am Gitter... 1. Auflösungsvermögen des Gitters...3 1.3 Dispersion des Gitters...4 1.4 Dispersion eines Glasprismas...5. Arbeitsprogramm... 10.1 Vorbereitung des Spektrometers... 10. Messung der Gitterkonstanten... 10.3 Untersuchung des Auflösungsvermögens... 11.4 Messung der effektiven Gitterkonstanten... 11.5 Messung der Wasserstofflinien... 11 Literatur... 1 Was Sie schon immer wissen wollten Elementarwellen, HUYGENS-FRESNEL-Prinzip, FRAUNHOFER-Beugung, Beugungsgitter, Gitterkonstante, Interferenzen, Auflösungsvermögen, RAYLEIGH-Kriterium, Gitterspektrometer, Winkeldispersion, lineare Dispersion, Spektrallinien, BOHRsches Atommodell 1. Grundlagen 1.1 FRAUNHOFERsche Beugung am Gitter Die Lichtbeugung kommt als Folge der Wellennatur des Lichtes zustande. Jeder Punkt, der von einer Welle erfasst wird, ist Ausgangspunkt von neuen Elementarwellen (HUYGENS- FRESNELsches Prinzip). Dadurch dringen die Wellen auch in den geometrischen Schattenraum ein. Die geradlinige Ausbreitung des Lichts, wie man dies in der geometrischen Optik annimmt, ist nur eine Näherung für den Fall, dass die Öffnungsweite b, durch die das Licht läuft, groß ist gegenüber der Wellenlänge. J 0 J J M b a Abb.. Strahlenverlauf am gedrehten Gitter

3 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer Ein ebenes optisches Beugungsgitter ist eine Vielzahl von streng äquidistanten parallelen Beugungsspalten (Strichgitter). Der Abstand der Beugungsspalte wird als Gitterkonstante a bezeichnet Wird ein Gitter beleuchtet, so gehen von allen Beugungsspalten Elementarwellen aus, die an den jeweiligen Beobachtungspunkten miteinander interferieren. Falls man mit parallelem Licht beleuchtet (Lichtquelle im Unendlichen) und im Unendlichen beobachtet (Fernrohr), wird die Beugungserscheinung des Gitters (FRAUNHOFERsche Beugung) besonders einfach und übersichtlich. Die Maxima erfüllen die Gittergleichung ml sin J - sin J0 =, m Î (1) a Steht das Gitter senkrecht zur Lichteinfallsrichtung J 0 = 0 und wird in Richtung J beobachtet, dann erhält man Verstärkung durch Interferenz, wenn ml = a sin J ist, wobei m eine ganze Zahl ist und als Beugungsordnung bezeichnet wird. Bei bekannter Gitterkonstante a lässt sich also experimentell die Wellenlänge bestimmen und umgekehrt. Für kleine Messwinkel J = J - J0 << 1 folgt mit cos J @ 1 aus (1) M ml sin( J0 + JM). - sin J0 = cos J0 sin JM =, m Î () a oder mit der Abkürzung a eff a cos 0 ml sin J M =, m Î (3) aeff Die Größe a eff nennt man effektive Gitterkonstante. M Abb.3: Beugungsbilder von Gittern verschiedener Gitterkonstanten N - Anzahl Linien pro mm 1. Auflösungsvermögen des Gitters Zwei Spektrallinien 1 und sind bei sehr engem Beleuchtungsspalt des Kollimators noch unterscheidbar (auflösbar), wenn das Beugungsmaximum der Linie mit dem 1. Minimum der Linie 1 zusammenfällt (RAYLEIGH-Kriterium).

4 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer ( DJ) min I l 1 l Abb. 4. RAYLEIGH-Kriterium J Das Auflösungsvermögen A eines Spektralapparates ist umso größer, je kleiner der Abstand l - l der Wellenlängen ist, die noch getrennt nachweisbar sind. 1 Definition: Es seien 1 und zwei benachbarte Wellenlängen, deren Beugungsmaxima gleicher Ordnung gerade noch als zwei Beugungsmaxima erkannt werden. Dann heißt der Quotient min { l1, l} A : = (4) l - l 1 das Auflösungsvermögen des optischen Systems. Anstelle A schreibt man l/ D l. Für einen Gitterspektralapparat ergibt sich, falls der Spalt seines Kollimators beliebig klein ist, é l ù ê ú ëdl û Gitter = m Dabei ist m die Beugungsordnung und N die Anzahl der beleuchteten Gitterstriche, deren Beugungswellen sich am Beobachtungsort überlagern. N (5) 1.3 Dispersion des Gitters Der Beugungswinkel J eines Beugungsmaximums wächst mit der Wellenlänge des Lichtes. Definition: Die Änderung des Beugungswinkels mit der Wellenlänge D W dj = (6) dl heißt Winkeldispersion. Aus (6) folgt nach Differentiation d sin sin 0 cos J m m 0 D J - J + = J W = = (7) d l a a cos J l cos J Insbesondere für 0 = 0 gilt

5 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer tan D = J J W für J 1 l @ l << (8) In der Regel wird das Beugungsbild mit einem ebenen Detektor (z. B. Mattscheibe, fotographische Platte, Diodenarray,...) aufgenommen. Definition: Änderung des Ablenkung x mit der Wellenlänge heißt lineare Dispersion. D L dx = (9) dl Es sei P = (x, y, z) ein Punkt auf dem ebenen Detektor im (sehr großen) Abstand z > 0 vom Gitter, dann ist x tan J = z x = z tan J @ zj, J << 1 (10) und mit (9) folgt dz ( tan J) z z sin J - sin J0 DL = = D W = (11) dl 3 cos J l cos J Insbesondere für J 0 = 0 gilt z tan z DL = J J, J 1 l cos J @ l << (1) Realisieren wir den sehr großen Abstand zwischen Gitter und Detektor durch eine Sammellinse, in deren Brennebene sich der ebene Detektor befindet. Aus x tan J = x = f tan J @ f J, J << 1 f (13) folgt mit (1) f f sin J0 - sin J DL = D W = (14) 3 cos J l cos J Insbesondere für 0 = 0 gilt f f tan J f DL = D, 1 W = @ J J << (15) cos J l cos J l 1.4 Dispersion eines Glasprismas 1.4.1 Theorie Der Brechungsindex n ist der Quotient zwischen den Lichtgeschwindigkeiten in den beiden angrenzenden Medien 1 n = v (16) v Ist n größer 1, bedeutet dies, daß die Lichtwelle beim Durchgang durch die Grenzfläche gebrochen wird. Das Snelliusgesetz zeigt den Zusammenhang zwischen Einfallswinkel dem Ausfallswinkel und der Brechzahl n des angrenzenden Mediums.

6 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer sin a n = (17) sin b Es gibt eine Beziehung zwischen dem Brechungsindex und der Wellenlänge des Lichts. Um diese Beziehung herzuleiten, brauchen wir ein physikalisches Modell. Im Festkörper gibt es Elektronen, die harmonische Schwingungen im Potential der Atomrümpfe ausführen können. Die einfallende Welle kann als äußere Anregung der lokalen Oszillatoren betrachtet werden. Da bei bestimmten Frequenzen Resonanzerscheinungen auftreten können und diese Resonanz zu starker Absorption führen kann, ist das Modell nur weit außerhalb der Resonanzfrequenzen anwendbar. Die Amplitude der Elektronenschwingungen ist proportional der Polarisation der schwingenden Teilchen h. Die Lösung der DGL ergibt: P = h q h 1 Nq fh mh wh - w + i w m h i w t E e -Kreisfrequenz des einfallenden Lichtes, h - Resonanzfrequenz, f h - Kraftkonstante, m h - Teilchenmasse, N h - Teilchenzahl pro Volumen Die gesamte Polarisation ergibt sich durch Summation über h. Mit P = ( e -1) e 0 E (19) n = e vereinfacht sich die Formel 18, wobei der Brechungsindex n als komplexe Größe eingesetzt wird. Der Imaginärteil bestimmt die Absorption im Medium. Zur Bestimmung der Dispersionskurve ist nur der Realteil relevant. n = 1 + å 0 q h 1 Nq f m e w w w h h 0 h - + i m h Unter der Annahme, daß weit von der Absorptionswellenlänge gemessen wird, ergibt sich für den Realteil (18) (0) Nq q h llh n ( l) = 1+ å 4p cmhe0 l - lh (1) Angenommen das Material besitze nur eine Absorptionsstelle und es sei >>, dann lässt sich die Gleichung 1 in eine Potenzreihe mit 1 / entwickeln æ 4 ö Nq 1 1 l1 Nq 1 1l æ ö æ ö 1 1 1 ( ) 1 1 1 l l n l = + = +... + + + 4p cm1e0 4 çè ø æ ö ç è ø 1 1 0çèç ø 1 - l p cme l l ç çè l ø Die Funktion hat folgende Struktur () ( ) A n l = A0 + +... mita 0, A > l 0 (3)

7 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer 1.4. Winkel am Prisma Abb. 5: Winkeldefinitionen am gleichschenkligen Prisma Um mit einem Prisma die Brechzahl n zu ermitteln, müssen die Prismenwinkel bekannt sein. Man benutzt ein gleichschenkliges Prisma. Die Flächen I und II des Prismas schneiden sich an der brechenden Kante und schliessen den brechenden Winkel ein Weiter gilt: j - j = Dj 1 g = 180 -Dj a b 1 1 d + g = g = Setzt man die Beziehungen in das Brechungsgesetz ein, dann erhalten wir d + g sin n = g sin (4) (5) (6)

8 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer 1.4.3 Messung des brechenden Winkels Mit der Software GonioWin kann der Winkel wie folgt gemessen werden: Das Prisma wird mit der Spitze, die einschließt, ungefähr auf das vordere Kollimatorfernrohr ausgerichtet (siehe Abb.6). Abb. 6: Orientierung des Prismas zur Messung des brechenden Winkels Das einfallende Licht wird dann von beiden Prismenoberflächen reflektiert. Bei arretiertem Prisma werden nun die Richtungen der beiden reflektierten Strahlen und mit dem Fernrohr ausgemessen und mit der Gleichung 4 berechnet. 1.4.4 Messung des minimalen Ablenkwinkels und der Brechzahl n Zunächst werden die zu messenden Wellenlängen in das Programm GonioWin geladen. Man kann dazu eine vorgefertigte Liste Liste1 laden oder eine eigene Liste mit Doubleclick erzeugen. Danach wird die Glassorte N-SF10, der vorher gemessene Prismenwinkel, der Luftdruck, die Luftfeuchtigkeit und die Temperatur in das Formular eingetragen. Um den minimalen Ablenkwinkel zu messen, wird zuerst der Nullpunkt (Spaltbild direkt ohne Brechung) gesetzt. Der minimale Ablenkwinkel kann nur bestimmt werden, wenn der Strahlengang symmetrisch verläuft. Dies ist der Fall, wenn man einen Teil des Lichtes auf der 3. Oberfläche des Prismas reflektieren lässt. Das Prisma wird mit der Grundseite nach links auf den Drehtisch aufgelegt.

9 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer Außerdem muss die vordere Fläche des Prismas (Fläche ) senkrecht zur optischen Achse ausgerichtet sein (siehe Abb. 7). Abb. 7: Orientierung des Prismas zur Messung des minimalen Ablenkwinkels Nun sucht man das gebrochene Spaltbild auf der linken Seite. Danach wird der Tisch des Prismas nach rechts gedreht und mit dem Fernrohr nachgeführt, bis das Bild trotz gleichsinniger Drehung des Tisches in der Richtung umkehrt. Der Winkel des Umkehrpunktes ist der gesuchte minimale Ablenkwinkel. Durch Drücken des OK-Buttons wird der minimale Ablenkwinkel ausgerechnet und in die Tabelle übertragen. Aus den gemessenen Winkeln von 1.4.3 und 1.4.4 kann mit Gleichung 6 die Brechzahl errechnet werden. Das Programm GonioWin zeigt nach der Bestimmung des minimalen Ablenkwinkels den Wert der Brechzahl automatisch an. Das obige Verfahren wird für die verschiedenen Wellenlängen wiederholt und die Ergebnisse in einer sog. Dispersionskurve d.h. Brechzahl n als Funktion der Wellenlänge dargestellt. Als Lichtquelle bietet sich die Helium-Spektrallampe an mit den folgenden Emissionslinien: Wellenlänge [nm] Farbe Intensität 667,8 Rot Stark 587,6 Gelb Stark 501,8 Grün Stark 49, Blaugrün Mittel 471,3 Blaugrün Mittel 447,1 Blau Mittel In 1. Näherung lässt sich die Dispersionskurve mit der Gleichung 3 darstellen. Mit Excel trägt man n² über 1/ ² in einem Diagramm auf und kann so auf einfache Art und Weise die Konstanten A 0 und A mit einer linearen Regressionskurve ermitteln.

10 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer. Arbeitsprogramm.1 Vorbereitung des Spektrometers a) Skizzieren Sie den prinzipiellen Aufbau eines Gitterspektrometers zur Beobachtung von FRAUNHOFERschen Beugungserscheinungen. b) Beim Justieren des Gerätes ist darauf zu achten, dass 1. die waagrechten Linien der Fadenkreuze im Okular der Kollimationsfernrohre parallel zur Drehebene verlaufen. Zunächst muß der Prismentisch mit einer -fachen Libelle mit Hilfe der Justierschrauben zum Kippen des Prismentisches waagrecht ausgerichtet werden. Um das Fadenkreuz parallel zur Drehachse auszurichten, wird ein auf dem Prismentisch stehendes Prisma so ausgerichtet, dass die Planfläche der Optik das vom Autokollimator erzeugte Fadenkreuz in den Doppelfaden des Okularfadenkreuzes zurückreflektiert. Wenn das Fadenkreuz des Autokollimators nicht parallel zur Drehebene verläuft, erhält man durch Drehen des Schwenkarmes eine Höhenverschiebung zwischen dem am Prisma reflektierten Autokollimationsfadenkreuzes und dem Okulardoppelfadenkreuz. Dies lässt sich durch Bewegen des Schwenkarmes und durch entsprechendes Verdrehen des Autokollimators in seiner Halterung korrigieren. Um nun noch das Fadenkreuz des Kollimators parallel zur Drehachse auszurichten, lässt man einfach den beleuchteten Kollimator in den Autokollimator hineinschauen und verdreht den Kollimator so in seiner Halterung, dass die horizontalen Linien der beiden Fadenkreuze parallel zueinander liegen.. Die Zielachse des Autokollimationsfernrohres parallel zur Drehebene verläuft. Damit der Kollimator in seiner Zielachse auch parallel zur Drehebene liegt, ist er auszurichten und an seiner Justierschraube zur Neigungsverstellung so einzustelllen, dass das Fadenkreuz des Kollimators im Doppelfadenkreuz des Okulars vom Autokollimator abgebildet wird. Abb.8: Messaufbau. Messung der Gitterkonstanten a) Messen Sie bei drei Gittern (Strichanzahl pro Längeneinheit) mit Hilfe der Natrium D-Linie (Doppellinie mit 589.0 nm und 589.6 nm) die Gitterkonstante. Beobachten Sie auch Doppellinien im grünen und roten Spektralbereich? Wie kommen diese zustande?

11 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer b) Führen Sie für die Messungen zwei verschiedene Fehlerbetrachtungen durch und ermitteln Sie den mittleren Fehler des Mittelwerts und den Größtfehler der Gitterkonstanten c) Welche Winkeldispersion ((d )/(d )) in der ersten Beugungsordnung (d. h. Beugungswinkelzunahme für D = 1 nm) haben die drei Gitter bei = 589 nm und gerader Beleuchtung des Gitters?.3 Untersuchung des Auflösungsvermögens a) Welche Winkeldispersion d / d in der ersten Beugungsordnung (d. h. Beugungswinkelzunahme für D = 1 nm) haben die drei Gitter bei = 589 nm und bei gerader Beleuchtung des Gitters? b) Ermitteln Sie für die drei Gitter bei der Beugungsordnung m=1 die lineare Dispersion d / d des Gitterspektrometers, d.h. den Abstand Δx in der Brennebene des Fernrohrs für die Wellenlängendifferenz D = 1 nm. Die Fernrohrbrennweite ist f = 300mm. c) Schätzen Sie das Auflösungsvermögen mittels (5) für jedes der drei Gitter ab. d) Mit welchem Gitter kann man die Doppellinie in der 1. Beugungsordnung noch als zwei Einzellinien beobachten? Bestätigen Sie dies experimentell..4 Messung der Dispersion eines Glasprismas a) Messen Sie den brechenden Winkel und den minmalen Ablenkwinkel mit der Software GonioWin und ermitteln Sie daraus die Brechzahl n bei den Wellenlängen der Emissionslinien einer Helium-Spektrallampe (Siehe obige Tabelle) b) Tragen Sie Ihre Messwerte in ein Diagramm n über Wellenlänge auf. c) Ermitteln Sie mithilfe eines Diagramms n² über 1/ ² die Konstanten A 0 und A der Näherungsformel 3 mit einer linearen Regression..5 Messung der Wasserstofflinien 1. Messen Sie die Wellenlängen des Wasserstoffspektrums im sichtbaren Bereich mit dem Gitter mit höherem Auflösungsvermögen.. Nach dem BOHRschen Atommodell sind die Wellenlängen ( l =D E / c0h ) der Spektrallinien des H-Atoms: 1 æ 1 1 ö = Ry - l ç çè n n ø 1 mit RYDBERG-Konstante R y = 109678cm -1 die Hauptquantenzahlen n 1, n sind natürliche Zahlen. Bestimmen Sie die Wellenlängen der im sichtbaren Bereich liegenden Wasserstofflinien aus obiger Formel für n 1 = (BALMER-Serie) und vergleichen Sie diese mit Ihren experimentell gemessenen Werten. (7)

1 Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer Abb.9: Termschema des Wasserstoffatoms Literatur 1. F. Pedrotti, et. al., Optik für Ingenieure, Springer 00, ISBN 3-540-6779-, Kapitel 16 und 17.