Fachbereich Physik Prof. Dr. Rudolf Feile Dipl. Phys. Markus Domschke Sommersemster 2010 26. 30. April 2010 Physik für Bauingenieure Übungsblatt 2 Gruppenübungen 1. Springende Kugeln Die nebenstehende Abbildung zeigt die Momentaufnahme eines Versuchs aus der Vorlesung, bei dem kleine Kugeln durch Stöße in einem Rohr auf unterschiedliche Höhen katapultiert werden. Das Rohr kann nun in Höhenstreifen der Höhe [h:h + dh] 1 cm unterteilt werden. a) Lesen Sie ab, wie viele Kugeln sich jeweils in den Abschnitten h bis h + dh befinden. b) Wieviele Kugeln befinden sich in dem Rohr? c) Was ist die mittlere Höhe der Kugeln? a) Die Tabelle gibt an, wie viele Kugeln sich im jeweiligen Abschnitt befinden Höhe / cm 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 Anzahl h 52 26 14 1 2 b) Um die Anzahl zu erlangen muss über die Höhen summiert werden N 5 Anzahl h 95Kugeln h c) Die mittlere Höhe ist gegeben durch H N 5 1 i Anzahl h h (was für h gewählt wird muss definiert werden; hier wird die Mitte gewählt) h 1 N 5 Anzahl h h i 1 26Kugeln 1,5cm+ 14Kugeln 2,5cm+1Kugeln 3,5cm+2Kugeln 4,5cm] 95Kugeln [52Kugeln 0,5cm+ 1,2cm Für die untere Grenze ergibt sich h low 0,7 cm, für die obere Grenze h up 1,7 cm. Wie groß ist also der Fehler? War die Wahl der Höhe geschickt?
2. Eine Wagenladung Hohlblocksteine Gegeben ist die abgebildete Verteilungsfunktion n(m). n gibt die Anzahl der Steine mit der Masse m im Bereich m und m+dm1 kg an. n(m) / kg -1 a) Geben Sie die abschnittsweise definierte Funktion n(m) an. b) Wieviele Hohlblocksteine umfasst die Wagenladung? 100 c) Was ist die mittlere Masse eines Hohlblocksteins? a) Die abschnittsweise definierte Funktion n(m) ist: 10 15 17 m / kg n 1 (m)0kg 1 n 2 (m) 100kg 1 0kg 1 n 3 (m)100kg 1 + 0kg 1 100kg 1 n 4 (m)0kg 1 1 (m )20kg 2 m 200kg m [,] 17kg 1 (m ) 50kg 2 m+850kg m [,17kg] m m 17kg b) Um die Anzahl zu erlangen muss immer über die Funktion n(m) integriert werden mit N b n(m) dm 17kg N n 2 (m) dm + n 3 (m) dm 20kg 2 m 200kg 1 17kg dm + 50kg 2 m+850kg 1 dm 2 m 2 200kg 1 m + 25kg 2 m 2 + 850kg 1 m 17kg 250 + 100 350Steine a c) Die mittlere Masse ist gegeben durch M 1 N b a m n(m) dm M 1 17kg m n N 2 (m) dm + m n 3 (m) dm 1 20kg 2 m 2 200kg 1 m 17kg dm N + 50kg 2 m 2 + 850kg 1 m dm 1 20 N kg 2 m 3 100kg 1 m 2 + 50 kg 2 m 3 + 425kg 1 m 2 17kg 3 3 1 ( 3333 1 + (1566 350 ) kg 2 ) kg 3 3 14kg 3. Ausdehnung des Eiffelturms Um wieviel länger ist der Eiffelturm (Höhe h 324, 82 m bei 10 C) im Sommer bei Temperaturen von T Sommer 35 C im Vergleich zum Winter mit Temperaturen von T Winter 15 C? Hinweis: Den Ausdehnungskoeffizienten von Stahl liegt beiα1, 3 10 5 K 1.
Man berechnet die Längenänderungen des Eiffelturms mit der Formel h h α(t T 0). Es gilt: h ges α (T Sommer T 0 ) (T Winter T 0 ) α T Sommer T Winter 1,3 10 5 K 1 50K6,5 10 4 h h 0,211m 4. Thermische Ausdehnung der Öresundbrücke Die Öresundbrücke zwischen Dänemark und Schweden ist 7845 m lang (bei 20 C) und aus Spannbeton hergestellt worden. Da sich der Beton bei Temperaturänderungen ausdehnt, bzw. zusammenzieht, mussten auf beiden Seiten der Brücke Ausgleichselemente angebracht werden, die die Temperaturausdehnung ausgleichen. a) Welche Längenänderung müssen die Ausgleichselemente jeweils kompensieren können, wenn der erwartete Temperaturbereich von 50 C im Sommer bis zu 40 C im Winter reichen kann? Die Zufahrtsrampen werden nicht berücksichtigt, der thermische Ausdehnungskoeffizient von Spannbeton istα1 10 6 K 1. b) Welchen Ausdehnungskoeffizient müssen die Stahlseile, mit denen das mittlere Brückenteil aufgehängt ist, haben, damit sich die Fahrbahn mit wechselnder Temperatur nicht krümmt? Die Pfeiler, an denen die Stahlseile befestigt sind, sind aus dem selben Spannbeton hergestellt, wie die Fahrbahn. a) Für die maximale Ausdehnung die die Ausgleichselemente kompensieren müssen, muss gelten: l ges l Sommer + l Winter Man berechne als die beiden Längenänderungen mit der Formel l l Für den Sommer ergibt sich also: l Sommer l Für den Winter folgt analog: α(t T 0 ). α(t Sommer T 0 )1 10 6 K 1 (323,15K 293,15K)3 10 5 l Sommer 0,235m l Winter l α(t Winter T 0 )1 10 6 K 1 (233,15K 293,15K) 6 10 5 l Winter 0,471m Insgesamt ergibt das l ges l Sommer + l Winter 0,235m+0,471m0,706m b) Die Ausdehnung der Fahrbahn und der Brückenpfeiler sind gleich. Daher muss der Ausdehnungskoeffizient der Stahlseile den Wert des Spannbetons haben. Bildlich kann man sich einen massiven Quader aus Spannbeton vorstellen (Fahrbahn und Pfeiler sind die Seitenflächen). Erfährt ein solcher Quader eine Temperaturänderung, dehnt er sich linear in alle Richtungen aus. Insbesondere dehnt er sich auch auf der Diagonalen (also in Richtung des Seils) genau so aus, wie in Richtung der Seitenflächen. Das kann man auch rechnen - wen es interessiert (beachte Skizze): Damit folgt: x x α Beton T bzw. y y α Beton T und l l+ l (x+ x) 2 +(y+ y) 2 l+ l (α Seil T) (x+x (α Beton T)) 2 +(y+ y (α Beton T)) 2 l (1+α Seil T) (x (1+α Beton T)) 2 +(y (1+α Beton T)) 2 l (1+α Seil T) x 2 (1+α Beton T) 2 + y 2 (1+α Beton T) 2 l (1+α Seil T)(1+α Beton T) x 2 + y 2 (1+α Seil T)(1+α Beton T) α Seil α Beton x 2 + y 2 α Seil T
5. Für den USA Aufenthalt Anfang des 18. Jahrhunderts entwickelte Daniel Gabriel Fahrenheit eine Temperaturskala, die noch heute in einigen englischsprachigen Ländern (vor allem dem USA) der hierzulande üblichen Celsius Temperaturskala vorgezogen wird. Die Fahrenheit Temperaturskala lässt sich folgendermaßen in die Celsius Temperaturskala umrechnen: C ( T Fahrenheit 32) 5 F 9 a) Geben Sie die umgekehrte Umrechnungsformel von Grad Celsius in Grad Fahrenheit an. Für den Nullpunkt seiner Temperaturskala (0 F) wählte Fahrenheit die tiefste Temperatur des strengen Winters 1708/1709 in seiner Heimatstadt Danzig. Den anderen Fixpunkt seiner Skala wählte er bei 100 F. b) Berechnen Sie diese Temperaturen in Grad Celsius. Was könnte Fahrenheit für seine 100 F verwendet haben? c) Rechnen Sie die fehlenden Werte aus: / C 20-273,15 250 T Fahrenheit / F 95-12 a) Die Umrechnung erfolgt duch Umstellung der Gleichung b) T Fahrenheit F 1,8 TCelsius C + 32 0 F 17,78 C 100 F37,78 C Fahrenheit wählte die Körpertemperatur eines Menschen als zweiten Fixpunkt (leider hatte er etwas erhöhte Temperatur). Übrigens: Manche Quellen behaupten auch, das Fahrenheit die tiefste Temperatur, die er mit einer Eis-Salz- Kältemischung erzeugen konnte, als 0 F wählte, da diese gerade 17,8 C entspricht. c) Die Tabelle: / C 20 35-273,15 250-24,44 T Fahrenheit / F 68 95-459,67 482-12 A. Dichte von Sand Hausübungen Ein Betonwerk führt Buch über die Dichte der angelieferten LKW-Ladungen Sand. Die Häufigkeitsverteilung wird folgendermaßen beschrieben: n(ρ) n 0 (ρ ) 2 (ρ ρ max ) 2 mit den Parametern 1200 kg,ρ m 3 max 1600 kg und n m 3 0 15 10 5 ( cm3 g )5. a) Skizzieren Sie den Verlauf der Häufigkeitsverteilung (Nullstellen und Maximalwert) im Bereich ρ ρ max. b) Wieviele LKW-Ladungen wurden in die Statistik aufgenommen (wurden geliefert)? c) Was ist die mittlere Dichte des angelieferten Sandes? d) Der Preis einer LKW-Ladung Sand hängt von der Dichte wie folgt ab: P(ρ) P 0 + A 1 (ρ ) mit P 0 20 und A LKW 1 25 LKW cm3 g Was sind die Gesamtausgaben für den Sand? Hinweis: Bei dieser Aufgabe ist auch die korrekte Rechnung mit den Maßeinheiten wichtig.
a) Der Verlauf sieht wie folgt aus: Die Nullstellen der Funktion sind beiρ max und. Das Maximum liegt beiρ 1400 kg m 3. Wichtig: n 0 15 10 5 ( cm3 g )5 15 10 10 ( m3 kg )5 n(ρ) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 ρ [kg/m 3 ] b) Man berechne N n(ρ) dρ n 0 (ρ ) 2 (ρ ρ max ) 2 dρ n 0 (ρ 2 2ρ +ρ 2 min )(ρ2 2ρρ max +ρ 2 max ) dρ. 512 Ladungen c) Die mittlere Dichte errechnet sich analog zur mittleren Masse ρ 1 N 1 N n 0 N. 1,4 10 3 kg m 3 ρn(ρ) dρ n 0 ρ(ρ ) 2 (ρ ρ max ) 2 dρ ρ(ρ 2 2ρ +ρ 2 min )(ρ2 2ρρ max +ρ 2 max ) dρ d) Die Ausgaben werden mit der Formel P(ρ) P 0 + A 1 (ρ ) errrechnet. Ausgaben P(ρ)n(ρ) dρ P0 + A 1 (ρ ) n(ρ) dρ P0 A 1 n(ρ)+a1 ρ n(ρ) dρ ρ max P 0 A 1 n(ρ) dρ+a 1 ρ n(ρ) dρ } {{ } N P 0 A 1 N+ A1 N ρ 12800 uro } {{ } N ρ
B. Thermische Ausdehnung einer Kugel Eine Messingkugel (linearer thermischer Ausdehnungskoeffizientα 19 10 6 K 1 ) hat bei der Temperatur T 1 20 C den Durchmesser d 1 20 mm. a) Auf welche Temperatur T 2 muss die Kugel mindestens erwärmt werden, damit sie in einem Ring mit dem Innendurchmesser d 2 20, 03 mm stecken bleibt? b) Wie hat sich das Kugelvolumen bei der Erwärmung von T 1 auf T 2 relativ verändert ( V V )? a) Es muss die Temperatur errechnet werden, bei der der Durchmesser der Kugel gerade größer als d 2 ist. Für die Ausdehung des Durchmessers gilt die lineare Längenausdehnung d α(t T d 0). Somit folgt: d(t) d 1 α (T T 1 ) Gesucht ist nun die Temperatur T 2 bei der d(t)0,03 m ist. 0,03m d(t 2 ) d 1 α (T 2 T 1 ) T 2 T 1 + d(t 2) d 1 α 98,95 C b) Für das Volumen einer Kugel gilt: V Kugel (T) 4π 3 R(T)3 4π d(t) 3 3 2 Die Volumenänderung errechnet man mit V Kugel (T) V Kugel (T 1 ) 3α(T T 1 ). V Kugel (T 1 )4,189cm 1 und V Kugel (T 2 )0,019cm 1 führen zu V V 0,0045 C. Fremde Temperaturskalen Auf seiner 80-tägigen Reise um die Welt stößt der Brite Phileas Fog in Siam auf ein Dorf, in dem der Siedepunkt von Wasser mit 33ℵbezeichnet wird. Die Körperwärme eines Menschen (37 C) mit 12ℵ. 0 ℵ ist die kälteste Temperatur, die der Dorfälteste jemals erlebt hat. Phileas notiert sich diese Angaben und überträgt sie linear in die Celsiusskala, die er gewohnt ist. a) Geben Sie eine Umrechnungsformel zwischen den Temperaturskalen an. b) Welche Temperatur in Grad Celsius musste der Dorfälteste ertragen? a) Die Umrechnung hat einen linearen Verlauf, das heißt a Tℵ + b C ℵ Verwende die beiden Umrechnungen um die Koeffizienten a, b zu errechnen. (Siedepunkt von Wasser) 100 C C 33ℵ a ℵ + b (Körperwärme eines Menschen) 37 C 12ℵ a C ℵ + b a3 und b 1 Die Umrechnungsformel vonℵ in Grad Celsius ist also: C 3 Tℵ ℵ + 1 b) Mit der Umrechnungsformel aus a) erhält man für die niedrigste Temperatur die der Dorfälteste je erlebt hat C 3 Tℵ ℵ + 13 0ℵ ℵ + 11 T 0ℵ 1 C