Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik Technische Universität München Arcisstraße 2 D 8333 München Email: eat@ei.tum.de Internet: http://www.eat.ei.tum.de Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel Tel.: +49 ()89 289 28358 Fax: +49 ()89 289 28336 Elektrische Antriebe Grundlagen und Anwendungen Übung 3: Dynamisches Betriebsverhalten und Regelung der Gleichstrommaschine
Theorie Zur Wiederholung: Die 5 Grundgleichungen der Gleichstrommaschine. Der Signalflussplan der Gleichstrommaschine. di a U a = R a i a + L a dt + E a (.) E a = k Φ e (.2) M Mi = k Φ e i a (.3) d dt = (M Mi M L ) (.4) Φ e = f (i e ) (.5) U a R a T a i a k M Mi M L E a Φ e k Abbildung.: Signalflussplan der Gleichstrommaschine Das Übertragungsverhalten der Gleichstrommaschine im Laplacebereich gleicht bei konstantem Erregerfluss und M L = einem Trägheitsglied 2. Ordnung, K G g = s 2 + 2D 2 s + (.6) mit den folgenden Kenngrößen. Stationäre Verstärkung: K = k Φ e (.7) Eigenfrequenz: = k Φ e (.8) Lehr sches Dämpfungsmaß: D = R a (.9) 2k Φ e L a. Dynamisches Betriebsverhalten Wird an den Klemmen der Gleichstrommaschine eine Spannung angelegt, die größer als die induzierte Spannung ist, baut sich im Ankerkreis ein Strom auf. Dieser Strom ruft instantan ein proportionales Drehmoment hervor, was der Last entgegenwirkt und den Rotor beschleunigt, also die Drehzahl kontinuierlich erhöht. Der genaue Zusammenhang zwischen den genannten Größen lässt sich in einer Differentialgleichung beschreiben. 2
.. Differentialgleichung der Gleichstrommaschine Als Grundlage dient die Spannungsgleichung des Ankerkreises (.) mit ausgeschriebenem Term E a. U a = R a i a + L a i a + k Φ e (.) Weil ein stationärer Betrieb nicht angenommen werden kann, bleibt der induktive Term erhalten. Der Ankerstrom kann gemäß Gl.(.3) durch das Drehmoment der Maschine ersetzt werden. Für die Ableitung des Stroms im induktiven Term kommt folglich die Ableitung des Drehmoments zum Einsatz. Dabei wird der Erregerfluss in der Ableitung als Konstante behandelt. U a = R a M Mi + L a M Mi + k Φ e (.) k Φ e k Φ e Das Drehmoment M Mi lässt sich nun gemäß Grundgleichung (.5) als Kombination aus Beschleunigungsund Lastmoment beschreiben. M Mi = + M L (.2) U a = R a + R a M L + + L a M L + k Φ e (.3) k Φ e k Φ e k Φ e k Φ e Damit ergibt sich eine lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung zur Beschreibung der Rotordrehzahl und ihrer Abhängigkeit von der Ankerspannung U a und dem Lastmoment M L. + R a L a Die Lösung des homogenen Teils + k2 Φ 2 e = k Φ e U a M L R a M L (.4) + R a L a + k2 Φ 2 e = (.5) erfolgt über den bekannten Ansatz e λt. = e λt = λe λt = λ 2 e λt (.6) Durch das Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich ein quadratisches Polynom = λ 2 e λt + R a L a λe λt + k2 Φ 2 e e λt (.7) = λ 2 + R a L a λ + k2 Φ 2 e (.8) aus dessen Lösung λ, also der Faktor im Exponenten der Lösung bestimmmt werden kann. λ /2 = R a 2L a ± Ra 2 4L 2 a k2 Φ 2 e (.9) Bei dem Ergebnis dieser Lösung sind zwei grundlegende Fälle zu unterscheiden:. R 2 a 4L 2 a k2 Φ2 e entspricht D = Ra 2k Φ e L a oder 4T a T m Die Subtraktion unter der Wurzel ergibt einen positiven Wert. Die Ergebnisse für λ sind damit reell was dazu führt, dass die e-funktion der Lösung einen aperiodisch abklingenden Verlauf über der Zeit hat. 3
2. R 2 a 4L 2 a < k2 Φ2 e entspricht D = Ra 2k Φ e L a < oder 4T a > T m Die Subtraktion unter der Wurzel ergibt einen negativen Wert. Die Ergebnisse für λ sind damit komplex was dazu führt, dass die e-funktion der Lösung mit dem nun komplexen Exponenten eine Schwingung ergibt, deren Frequenz vom Imaginärteil I {λ} und deren Abklingverhalten vom Realteil R {λ} beschrieben wird. (t) = e λ t = e (R{λ }+I{λ })t = e ei{λ }t R{λ }t = (cos(λ t) + i sin(λ t))e R{λ }t (.2) (.2) Weil R {λ} < sein muss, ist die Schwingung immer abklingend. t t Abbildung.2: Lösung der homogenen DGL links: Fall,rechts: Fall 2..2 Vereinfachung zum System. Ordnung Ein im Allgemeinen unerwünschter Effekt bei elektrischen Maschinen ist der durch die Ankerinduktivität verzögerte Stromaufbau, denn er verschlechtert die Dynamik des gesamten Systems. Bei der Gleichstrommaschine führt er bei hohen Drehzahlen zu einem weiteren Nachteil am Kommutator: Wird drehzahlbedingt die für die Stromwendung vorgesehene Zeit kürzer als sich der Strom in der Ankerinduktivität abbauen kann, fließt der am Ende verbleibende Strom nach der Kontaktunterbrechung zwischen Bürste und Kollektorlamelle zwangläufig über die Luft weiter und bildet dort einen Lichtbogen. Dieses sog. Bürstenfeuer bestimmt den Verschleiß des Kommutators maßgeblich mit. Kompensationswicklung Wendepol Φ a Abbildung.3: Maßnahmen zur Verkleinerung der Ankerzeitkonstante 4
Zur Minimierung dieser Effekte werden konstruktive Maßnahmen ergriffen um die Ankerzeitkonstante T a = La R a und damit L a möglichst klein zu halten. Das heißt, dass der Ankerstrom i a möglichst wenig Fluss Φ a erzeugen darf. L a = Ψ a i a = n a Φ a i a (.22) Deshalb werden, wie in Abbildung.3 dargestellt, neben den großen Lufträumen links und rechts des Rotors zur Optimierung Wendepole (rot) und Kompensationswicklungen (blau) integriert, die in Reihe zur Ankerwicklung geschaltet vom gleichen Strom i a durchflossen werden und dabei ein gegenläufiges Feld hervorrufen, das Φ a idealerweise vollständig kompensiert. In Summe entsteht damit aus dem Ankerstrom deutlich weniger Fluss, was zu einer Senkung der Ankerinduktivität und damit der Ankerzeitkonstante führt. Diese übliche Auslegung führt zu 4T a = 4L2 a << La = T Ra 2 k 2 m und damit, wie oben beschrieben, zu Φ2 e einem aperiodischen Einschwingvorgang. Deshalb wird die Gleichstrommaschine häufig unter Vernachlässigung der Ankerzeitkonstante T a = als System erster Ordnung beschrieben. Hierzu wird Gleichung (.4) um T a = La R a erweitert L a + + k2 Φ 2 e = k Φ e U a L a M L R a R a R a R a M L (.23) und um die Terme mit L a im Zähler erleichtert. + k2 Φ 2 e R a = k Φ e R a U a M L (.24) Das Ergebnis ist die lineare inhomogene DGL. Ordnung zur Beschreibung der Gleichstrommaschine unter Vernachlässigung der Ankerzeitkonstante. Der homogene Teil wird über den Ansatz aus Gleichung (.6) gelöst. = λe λt + k2 Φ 2 e R a e λt (.25) λ = k2 Φ 2 e R a (.26) Der homogene Teil beschreibt also ein System, das von der Startdrehzahl beginnend mit der mechanischen Zeitkonstante T m abklingt. h (t) = e t Tm mit: T m = R a k 2 Φ 2 e (.27) Die spezielle (partikuläre) Lösung erhalten wir durch Variation der Konstanten. p (t) = C(t) h = C(t) e t Tm (.28) p (t) = Ċ(t) e t Tm C(t) e t Tm (.29) T m Nach dem Einsetzen in die DGL (.24) erhalten wir C(t) durch einfache Integration. Ċ(t) e t Tm C(t) e t k Tm + Φ 2 2 e T m C(t) e t Tm = k Φ e U a R a R a M L (.3) ( k Φ e Ċ(t) = U a ) M L e t Tm (.3) R a C(t) = k Φ e R a t U a e t Tm dt 5 t M L e t Tm dt (.32)
Die vollständige Lösung der DGL (.24) ergibt sich nach der Addition des partikulären Anteils zum homogenen Anteil. (t) = h + p = e t Tm + C(t) e t Tm (.33) = e t Tm + k Φ t e R a U a e t Tm dt e t Tm t M L e t Tm dt e t Tm (.34) Gleichung.34 beschreibt den allgemeinen Fall für beliebige Ankerspannungs- und Lastmomentverläufe. Sind diese Werte konstant vereinfacht sich die Gleichung. Konstante Ankerspannung und kein Lastmoment: (t) = e t Tm + k Φ t e U a R a e t Tm dt e t Tm t = e t Tm + k Φ e R a T m U a ( e t Tm Konstante Ankerspannung und konstantes Lastmoment: (t) = e t Tm + k Φ t e U a R a = e t Tm + ( Ua k Φ e e t Tm dt e t Tm (.35) ) = e t Tm + U a k Φ e ( e t Tm e t Tm dt e t Tm t M L R am L k 2 Φ 2 e ) ( e t Tm ) ) (.36) e t Tm dt e t Tm (.37) (.38) Unter konstanter Anregung durch U a und M L antwortet die Gleichstrommaschine in der Drehzahl also immer mit einem transienten Ausgleichsvorgang. Dabei ergibt sich ein Übergang von der Anfangsdrehzahl zur stationären Drehzahl = Ua k Φ e bzw. = Ua k Φ e RaM L in Form k 2Φ2 e einer e t Kurve. ( ) w(t) = e t Tm + e t Tm (.39) ) = + ( ) ( e t Tm (.4)..3 Betrieb in Strombegrenzung Im Ankerstellbetieb, wo die Spannung immer so gestellt wird, dass der Nennstrom i N nicht überschritten wird, wird näherungsweise mit konstantem Moment gearbeitet. M Mi = k Φ e i N (.4) Wird auch hier ein konstantes Lastmoment angenommen, bildet sich der Drehzahlverlauf in Form einer Geraden aus. d dt = (M Mi M L ) = (k Φ e i N M L ) (.42) = t (k Φ e i N M L )dt = k Φ e i N M L t (.43) 6
L Last N T N T Last Zeit t Abbildung.4: Zeitverlauf der Drehzahl für T A =..4 Zusammenfassung des Dynamischen Verhaltens In Abbildung.4 ist der auf den letzten Seiten hergeleitete zeitliche Drehzahlverlauf einer Gleichstrommaschine unter Vernachlässigung der Ankerzeitkonstante grafisch aufgetragen. Das zu Beginn (im Ankerstellbereich) konstante Drehmoment führt zu einer konstanten Beschleunigung und damit zu einem linearen Drehzahlanstieg über der Zeit. Beim Erreichen der Nenndrehzahl N ergibt die Summe aus dem Spannungsabfall über dem Widerstand R a i N und der induzierten Spannung E a die maximal verfügbare Spannung U N. Bis zu diesem Zeitpunkt T N ist das Maximalmoment verfügbar. Weil nun aber trotz vorhandener Beschleunigung die Ankerspannung nicht weiter erhöht werden kann, sinkt der Ankerstrom, sodass die Spannungsgleichung des Ankerkreises weiter gilt. Damit fällt aber auch das Motormoment, was zur Folge hat, dass der Motor langsamer beschleunigt, also die Drehzahl langsamer steigt. Das Resultat ist ein zwischen T N und T Last mit e t -Charakteristik ansteigender Drehzahlverlauf, der theoretisch für t die Leerlaufdrehzahl L erreichen würde. Zum Zeitpunkt T Last wird der Motor jedoch sprungartig mit einer Last beaufschlagt, die fortan konstant ist. M Mi M L ergibt damit in der vierten GM-Gleichung (.4) einen negativen Wert, also eine negative Beschleunigung; der Motor wird langsamer, die Drehzahl sinkt und damit auch die induzierte Spannung E a. Durch die nun schwächere induzierte Spannung kann wieder mehr Strom durch den Ankerwiderstand getrieben werden, was das Motormoment M Mi vergrößert und damit den Betrag des negativen Beschleunigungswertes abschwächt - die Kurve fällt flacher. Das Resultat ist auch hier wieder eine Kurve mit e t -Charakteristik, die nun beginnend von der fast erreichten Leerlaufdrehzahl L zur Lastdrehzahl Last hin abfällt, die sie theoretisch bei t erreicht..2 Regelung der Gleichstrommaschine In der technischen Anwendung ist es oft von Bedeutung, dass der Antrieb möglichst exakt bei einer bestimmten Drehzahl arbeitet, die durchaus von der Nenndrehzahl abweichen kann. Um dieser Forderung nachzukommen gibt es zwei verschiedene Wege, die Steuerung und die Regelung. Dazu sei die Gleichstrommaschine, wie in Abbildung.5 dargestellt, ganz allgemein als regelungstechnisches System verstanden, dass von einer Stellgröße u (Bei der Gleichstrommaschine U a ) beeinflusst werden kann. Der Systemausgang ist die in der Anwendung interessante physikalische Größe (im obigen Beispiel ) und wird als Regelgröße y bezeichnet. Die Stellgröße 7
u z System y Abbildung.5: Regelungstechnische Systembeschreibung u beeinflusst also den Systemausgang y nach bestimmten Gesetzmäßigkeiten, die im System beschrieben sind. Neben u gibt es in der Regel weitere den Ausgang beeinflussende Größen, die selbst nicht beeinflussbar und in der Regel unbekannt sind (bei der Gleichstrommaschine z.b. das Lastmoment M L ). Sie werden als Störgrößen z bezeichnet. Wird nun eine bestimmte Ausgangsgröße y (z.b Drehzahl ) erwünscht, wird dieser Sollwert durch die Führungsgröße w dargestellt und ein Konzept benutzt um das System dazu zu bewegen einen Ausgangswert y anzunehmen, der mit der Führungsgröße w möglichst gut übereinstimmt. z w Steuerung u System y Abbildung.6: Steuerung In Abbildung.6 ist das Prinzip der Steuerung dargestellt. Sind die Struktur und die Parameter des Systems ausreichend gut bekannt, so lässt sich in der Steuerung eine Logik (inverses System) hinterlegen, die das System genau mit der Stellgröße u versorgt, die es braucht um am Ausgang y = w zu ergeben. Problematisch ist hierbei nur, dass in der Realität die Parameter niemals mit absoluter Genauigkeit bekannt sind und in der Regel auch über der Zeit, Temperatur usw. variieren. Somit wird sich in der Realität, selbst bei z =, niemals der exakte Sollwert einstellen. Wie nun schon angedeutet, ergibt sich ein noch größeres Problem beim Vorhandensein einer Störgröße z, wie dem Lastmoment M L. Wird die Gleichstrommaschine also mit einer bestimmten Ankerspannung U N angesteuert, damit sich im Leerlauf eine Drehzahl L einstellt, so entsteht unter Störung durch M L eine gewisse Abweichung, weil die Drehzahl lastbedingt abfällt. Aus dieser Abweichung wird im zweiten Ansatz, der Regelung, der sog. Regelfehler e definiert e = w y (.44) und dessen Verlauf von einem Regler nach bestimmten Kriterien bewertet. Aufgrund dieser Bewertung stellt der Regler dann eine Stellgröße u, die y in Richtung von w zwingt und damit den Regelfehler e verkleinert. z w e Regler u System y Abbildung.7: Regelung Weil nun die Stellgröße u danach gebildet wird wie gut der Ausgang mit seinem Sollwert übereinstimmt, ist nur noch ein grobes Wissen über die Parameter des Systems notwendig und es kann auch einer Störgröße entgegengewirkt werden. 8
.2. Grundarten der Regler P-Regler Die einfachste Form der Bewertung des Regelfehlers e nimmt der P-Regler vor, wobei P für proportional steht. Hier ergibt sich u durch den mit dem Faktor k p verstärkten Regelfehler. u = k p e (.45) Ein P-Regler hat im Normalfall keinen nachteiligen Einfluss auf die Systemdynamik, jedoch bringt er einen entscheidenden Nachteil mit sich: Bei Systemen, die für einen dauerhaften Wert y am Ausgang eine dauerhafte Stellgröße u am Eingang benötigen (z.b. sämtliche Trägheitsglieder PT, PT2 usw.) stellt sich mit einem P-Regler eine bleibende Regelabweichung ein. Das heißt y wird w nie erreichen, weil sonst e = wäre und der Regler keine Stellgröße mehr stellen könne, die aber zum Vorhandensein eines y-wertes benötigt wird. Hat das System ein stationäres Übertragungsverhalten G = y u, (.46) so stellt sich mit einem P-Regler die folgende bleibende Regelabweichung ein. e = w y = w G u = w G k p e (.47) e = w + G k p (.48) w,y y e w y Zeit t Abbildung.8: Bleibende Regelabweichung I-Regler / I-Anteil Die Lösung für dieses Problem wäre ein Regler der eine Stellgröße u stellen kann, ohne dafür eine Regelabweichung zu benötigen. Dies wird über den I-Regler realisiert, bei dem I für Integral steht. Er bildet die Stellgröße u aus der Regelabweichung e nach dem folgenden Gesetzt: u = k i t e dt (.49) Es genügt hierbei also, wenn vom Zeitpunkt t aus betrachtet in der Vergangenheit für eine gewisse Zeit eine Regelabweichung vorhanden war; zum Zeitpunkt t und später kann diese durchaus e = betragen. Weil ein I-Regler zum aufbauen einer Stellgröße jedoch immer eine bestimmte Zeit benötigt, ist seine Reaktion verzögert und beeinflusst damit die Dynamik des Systems nachteilig. Ist bereits eine Verzögerung im System selbst vorhanden, wird es in Kombination mit einem I-Regler in 9
aller Regel schwingfähig. Dies passiert, wenn das Integral während des Vorhandenseins einer Regelabweichung einen größeren Wert aufbaut, als er zum Erreichen von y = w notwendig wäre, sodass das System über das Ziel hinaus schießt. Oberhalb ergibt sich dann eine negatives e, durch das der Regler folglich (bei linearen Verhältnissen) einen kleineren Wert aufbauen wird, als er zum Erreichen von y = w notwendig ist. Nach der richtigen Auslegung von k i ist dieser Vorgang stabil, was heißt, dass die Schwingung rasch abklingt und ein konstanter Endwert ohne bleibende Regelabweichung erreicht wird. w,y w y Zeit t Abbildung.9: Einregelvorgang eines I-Reglers Ein I-Regler kommt nur seltenst allein zum Einsatz. Meist bildet er den I-Anteil in einem PI- Regler, welcher bessere dynamische Eigenschaften hat, als der I-Regler allein und dabei keine bleibende Regelabweichung aufweist. Ein PI-Regler bildet seine Stellgröße nach dem folgenden Gesetz. u = k p e + k i t e dt (.5) = k p e + T i t e dt mit: T i = k p k i (.5) D-Anteil Zur Bekämpfung von Stabilitätsproblemen (Schwingung) oder zur speziellen Verbesserung der Dynamik kann ein D-Anteil verwendet werden, der die Stellgröße nach dem folgenden Gesetz bildet. u = k d de dt (.52) Weil er eine zur Geschwindigkeit proportionale Stellgröße bildet, wirkt er als eine Art Dämpfung und nimmt deshalb bei dynamischen Vorgängen Energie aus dem System. Probleme bringt der D-Anteil mit sich, wenn die in der Anwendung rückgemessene Regelgröße y durch die Messung einen bestimmten Rauschanteil bekommt. Dieser wird vom D-Anteil deutlich verstärkt in die Stellgröße überführt und verursacht damit Vibrationen, Geräusche und Verluste..2.2 Umsetzung an der Gleichstrommaschine Wie bereits erwähnt, hat die Gleichstrommaschine zwei Zustandsgrößen, die bei hohem Anspruch an die Systemdynamik beide geregelt werden sollten: Der Strom und die Drehzahl. Dies erfolgt in der Praxis meist über eine kaskadierten Reglerstruktur oder Kaskadenregelung, die im folgenden Abschnitt aufgebaut wird.
Stromregelung Das bei der Stromregelung zu regelnde System wird durch die Spannnungsgleichung des Ankerkreises beschrieben und ist in Abbildung. als Blockschaltbild dargestellt. R a T a U a i a - E a Abbildung.: Blockschaltbild der Spannungsgleichung Es besteht aus einem Trägheitsglied erster Ordnung, kann durch die Stellgröße U a gesteuert werden und wird von der Störgröße E a beeinflusst. Um durch das PT-Glied keine bleibende Regelabweichung zu erhalten und um der Störgröße entgegen zu wirken ist die Verwendung eines PI-Regler zu empfehlen. i a e k p T i U a E a R a - T a i a - Abbildung.: Stromregelkreis der Gleichstrommaschine Die Umsetzung des Stromregelkreises ist in Abbildung. dargestellt. Vom Sollstrom i a, wird der reale Wert i a abgezogen, die Differenz e mit einem PI-Regler bewertet und in die Ankerspannung U a überführt. Das Übertragungsverhalten der gesamten, rückgekoppelten Struktur führt in etwa zu der in Abbildung.9 dargestellten Sprungantwort. Einregelzeit liegt dabei deutlich unterhalb der Ankerzeitkonstante T a, die ohne die Stomregelung die Größenordnung der Zeit widerspiegelt, die bei einer Steuerung vergeht bis aus einer gestellten Spannung das zugehörige Drehmoment entsteht. Drehzahlregelung Das System, das der Drehzahlregelung zugrunde liegt ist zunächst einmal das Strukturbild der Gleichstrommaschine aus Abbildung.. Zur Verbesserung der Dynamik wird nun aber das bereits angesprochene Prinzip der Kaskadenregelung umgesetzt und als Stellgröße nicht U a, sondern i a, die Führungsgröße des Stromregelkreises, verwendet. Wie schon beschrieben wird i a vom unterlagerten Stromregelkreis deutlich schneller in einen Strom und damit in ein Drehmoment übersetzt, als es das bloße Stellen von U a täte. Damit ergibt sich als Regelstrecke für den Drehzahlregler die in Abbildung.2 dargestellte Struktur. Aufgrund des Integrators am Ende der Abbildung und des PI-Stromreglers ist es mit dieser Struktur möglich bei einer Stellgröße i a = einen Wert der Regelgröße dauerhaft einzustellen. Daraus folgt, dass dieses idealisierte 2 System im ungestörten Fall unter Verwendung eines P- Reglers keine bleibende Regelabweichung hat. Die Forderung nach stationärer Genauigkeit unter Last erfordert aber schließlich doch einen PI-Regler, womit sich die in Abbildung.3 Struktur der Drehzahlregelung ergibt. Der Anstieg der Kurve y zum Zeitpunkt des Sprungs ist nicht Null, sondern ändert sich sprunghaft zu einer bestimmten Steigung. 2 Reibung und andere Verluste wurden nicht berücksichtigt.
i a i a k M Mi M L E a k Φ e Abbildung.2: Regelstrecke der Drehzahlregelung w e k p T i i a i a k M Mi M L E a k Φ e Abbildung.3: Struktur der Drehzahlregelung Kaskadenregelung mit EMK-Kompenstion Wie in den letzten zwei Strukturbilder nun ersichtlich wurde, handelt es sich, wenn eine überlagerte Drehzahlregelung vorhanden ist, bei E a nicht um eine unbekannte Störgröße für den Stromregler, da die Drehzahl gemessen wird und aus ihr die induzierte Spannung E a berechnet werden kann. Bekannte Störgrößen können deshalb durch eine entsprechende Vorsteuerung kompensiert werden. Eine solche sog. Störgrößenkompensation hat einen verbessernden Einfluss auf die Dynamik des Systems. Die Gesamtstruktur der Kaskadenregelung mit EMK-Kompensation ist in Abbildung.4 dargestellt. Darin soll ganz klar der Logikteil Regelung vom physikalischen Objekt Gleichstrom- Regelung k p w T i i a k p T i k Φ e U a Gleichstrommaschine R a T a U a ia E a k Φ e k M L M Mi Abbildung.4: Kaskadenregelung mit EMK Kompensation maschine unterschieden werden, denn links sind numerische Berechnungen in einem Mikrocontroller und rechts reale Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen dargestellt. Die Schnittstelle zwischen beiden Systemen bildet in der oberen Mitte die Leistungselektronik, die den digitalen Spannungswert in einen realen überführt und in der unteren Mitte die Sensoren, die bei der Messung die realen Größen Strom und Drehzahl in digitale Werte wandeln. 2
.3 Übersetzungen Sei es das Abrollen zweier Zahnräder, der Kontakt zwischen einem Rad und dem Boden oder das Fortbewegen des Schlittens einer Kugelrollspindel - überall wo Wege und/oder Winkel in fester Relation zueinander stehen handelt es sich um eine Übersetzung. Das Übersetzungsverhältnis z 3 ist dabei wie folgt definiert z = dϕ Ab dϕ An, (.53) wobei jedes ϕ auch durch einen Weg ersetzt werden kann. Damit folgt also für die an- und abtriebsseitigen Geschwindigkeiten: ϕ Ab = z ϕ An (.54) Der Energieerhaltungssatz fordert (bei verlustfreien Übersetzungen) ein inverses Verhältnis für Drehmomente und Kräfte. M Ab = z M An (.55) Dabei kann auch hier das Drehmoment M durch eine Kraft ersetzt werden. Die Projektion von Drehmomenten, Kräften, Winkeln oder Wegen durch ein Getriebe erfolgt also durch einfache Multiplikation, bzw. Division mit dem Übersetzungsverhältnis z. Die Projektion von energiebezognen Größen, wie Trägheiten, Dämpfungen d oder Steifigkeiten c, durch ein Getriebe muss gesondert betrachtet werden. M,Ab = Ab ϕ Ab (.56) M d,ab = d Ab ϕ Ab (.57) M c,ab = c Ab ϕ Ab (.58) Ersetzt man nun die abtriebsseitigen Größen durch ihren Zusammenhang mit der Antriebsseite wird folgender ein quadratischer Zusammenhang ersichtlich. z M,An = Ab z ϕ An (.59) z M d,an = d Ab z ϕ An (.6) z M c,an = c Ab z ϕ An (.6) M,An = z 2 Ab ϕ An (.62) M d,an = z 2 d Ab ϕ An (.63) M c,an = z 2 c Ab ϕ An (.64) Damit lässt sich antriebsseitig ein sogenanntes reduziertes Massenträgheitsmoment, eine reduzierte Dämpfung oder eine reduzierte Steifigkeit verwenden. red,an = z 2 Ab (.65) d red,an = z 2 d Ab (.66) c red,an = z 2 c Ab (.67) 3 Die unüblich Wahl des Formelzeichen soll eine Verwechslung mit dem Strom i vermeiden. 3
2 Übungsaufgaben 2. Aufgabe - RC-Fahrzeug r v r h m A m C m G z g m v, v m M, R G m h, h M t Abbildung 2.: RC Fahrzeug v =, 5 5 kgm 2 h = 8. 5 kgm 2 R =.3 5 kgm 2 G =.5 5 kgm 2 m v =.3kg m h =.8kg m M =.9kg m G =.kg m C =.75kg m A =.39kg r v =.3m r h =, 4m z g =.25 R a =, 65Ω L a =, 5mH k Φ e = 6, 32 3 V s U Akku = 7, 2V i max = 3A Ein RC Modellfahrzeug, das von einem Gleichstrommotor betrieben wird, soll über eine 3 geneigte Schanze springen. Vom Stillstand beginnend betätigt der Fahrer an der Fernsteuerung sprunghaft den Gashahn zur Maximalstellung. Dabei beschränkt die Endstufe den Stom auf i max = 3A. Für die Berechnungen wird angenommen, dass die Ankerzeitkonstante T a = ist.. Welchen Wert hat das motorseitige reduzierte Massenträgheitsmoment red? 2. Bis zu welchem Zeitpunkt t wird mit aktiver Strombegrenzung gefahren? 3. Das Fahrzeug erreicht die Schanze mit 9% seiner maximalen Geschwindigkeit. Zu welchem Zeitpunkt t 2 erreicht das Fahrzeug die Schanze? 4. Die Fahrt auf der Schanze dauert, 2s. Mit welcher Endgeschwindigkeit verlässt das Fahrzeug die Schanze? 5. Welche Umfangsgeschwindigkeit haben die Hinterräder, 2s nach dem Verlassen der Schanze erreicht? 6. Zeichnen sie den gesamten Fahrvorgang qualitativ in das M-- und in das -t-diagramm ein! 4
2.2 Aufgabe 2 - Geregelter Fahrbetrieb Das gleiche Fahrzeug wie in Aufgabe wird nun mit einer Regelung für Strom und Drehzahl versehen. Dabei gibt die Stellung des Gashahns an der Fernsteuerung die Führungsgröße der Kaskadenregelung vor - der maximal ausgelegte Hebel entspricht der Leerlaufdrehzahl l. Die Ankerzeitkonstante T a soll diesmal nicht vernachlässigt werden. Als Regler werden in beiden Fällen P-Regler verwendet und die Strombegrenzung ist durch ein Sättigungsglied im Signal des Sollstroms realisiert. k p =.5 As rad k pi = 2 V A. Zeichnen sie das Strukturbild der geregelten Gleichstrommaschine von bis! (ohne EMK-Kompensation) 2. Welcher stationäre Strom i a stellt sich ein, wenn das Fahrzeug bei maximaler Gasstellung festgehalten wird? 3. Welche bleibenden Regelabweichungen e i und e und welche zugehörigen stationären Werte i a und stellen sich ein, wenn das Fahrzeug in der Ebene fährt? 4. Der P-Regler des Stromregelkreises wird nun durch einen PI-Regler ersetzt. Welche Auswirkung hat das auf die bleibende Regelabweichung des Drehzahlregelkreises e? 5. Verändert sich e auf einem Berg mit der Steigung der Schanze? Wenn ja, zu welchem Wert? 6. Während des Betriebs mit neuem Regler fällt der Stromsensor aus. Bei der Reparatur ist kein originales Ersatzteil mehr vorhanden und es wird ein Sensor mit halber Verstärkung verbaut. Welche bleibende Regelabweichung des Drehzahlregelkreises e stellt sich nun auf dem Berg ein? 5