PHYSIK Kräfte Kräfte Überlagerungen Zerlegungen Datei Nr. 90 riedrich W. Buckel Juli 00 Internatsgymnasium Schloß Torgelow
Inhalt Kräfte sind Vektoren. Überlagerung zweier gleich großer Kräfte. Zerlegung in zwei gleich große Kräfte 4.3 Überlagerung verschieden großer Kräfte 6.4 Zerlegung in vorgegebene ichtungen 9.5 Zerlegung in vorgegebene Komponenten 0 Physikalische Beispiele. Die schiefe Ebene. Lampenprobleme: Ausleger und Seile.3 Das schwingende adenpendel 5.4 Das Kreispendel 6.5 Kurvenfahrt 8 Hinweise: Im folgenden wird ständig die Trigonometrie verwendet. Daher eignen sich viele Aufgaben auch als Übungsaufgaben für trigonometrische Anwendungen
MECHANIK 90 Kräfte. Kräfte sind Vektoren. Überlagerung zweier gleich großer Kräfte Diese Überschrift besagt, daß man mit Kräften rechnen kann und dabei die egeln der Vektorrechnung zu beachten hat. WISSEN: Kräfte werden sowohl durch ihren Betrag, als auch durch ihre ichtung festgelegt. Diese Doppeleigenschaft hat zur olge, daß man die Überlagerung zweier (bzw. mehrerer) Kräfte nach den egeln der Vektoraddition durchführen kann. Die Maßeinheit für Kräfte ist in der egel Newton (N). Schreibt man also = 6 N, dann ist dies lediglich die Angabe des Betrages der Kraft, oder der Stärke der Kraft. Um die Vektoreigenschaft einer Kraft zu erkennen, lassen wir an einem punktförmigen Körper zwei Kräfte der Stärke 6 N angreifen. Nur der ahnungslose Laie wird dann meinen, daß insgesamt N auf den Körper wirken. Man nennt die insgesamt wirkende Kraft die resultierende Kraft, und deren ichtung und Betrag hängt davon ab, in welche ichtung die beiden Einzelkräfte wirken, und welchen Winkel sie zueinander bilden. Sehen wir uns einige Beispiele an. () und (die Pfeile sollen andeuten, daß jetzt auch die ichtung der Kraft beachtet wird, nicht nur ihre Stärke) sollen in dieselbe ichtung zeigen: m Als Maßstab wurde für N cm verwendet. Die resultierende Kraft zeigt in dieselbe ichtung wie und, ihr Betrag ist daher N. (Nur in diesem all kann man die Beträge addieren: 6 N + 6 N = N ). () Nun sollen und die entgegengesetzte ichtung haben: m Dadurch heben sich ihre Wirkungen auf, und auf die Masse m wirkt letztendlich keine Kraft mehr. Die resultierende Kraft hat den Betrag 0. Jetzt gilt: = = 0 N. Trotzdem schreibt man vektoriell: = +!
MECHANIK 90 Kräfte (3) Nun sollen und rechtwinklig zueinander sein: Man bildet ein Parallelogramm aus und, das in diesem all zu einem Quadrat wird. Die resultierende Kraft ist die Diagonale. Mit Hilfe der Trigonometrie berechnet man: =45 = + sin = = = 8,49N sin45 der mittels Pythagoras: = + = 36+ 36 N= 36 N = 6 N= 8,49N (4) Nun lassen wir die beiden Kräfte mit 0 einwirken: = + Damit entsteht ein Parallelogramm, das durch die Diagonale in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegt wird, d.h. hat denselben Betrag wie und.
MECHANIK 90 Kräfte 3 (5) Nun verwenden wir = 00 zwischen und und = = 6N Zuerst die graphische Lösung: A B C Die Berechnung der resultierenden Kraft sieht dann so aus: Weil = liegt eine aute vor. Die beiden Diagonalen zerlegen diese aute in vier rechtwinklige Dreiecke. Im Dreieck ABC gilt: AC cos = = = = cos = N cos50 = 7,7N AB
MECHANIK 90 Kräfte 4 Beispiel : Lösung:. Zerlegung in zwei gleich große Kräfte Zwei gleich große Kräfte greifen unter einem Winkel von 40 an einem Massenpunkt an. Ihre resultierende Kraftwirkung hat die Stärke 50 N. Wir groß sind die beiden ursprünglichen Kräfte? Wir wollen die Lösung zuerst graphisch durchführen. Dazu konstruiert man eine aute und macht die Diagonale 5 cm lang ( cm 0 N ): A B E C Konstruktionsbeschreibung: D Zeichne zwei Halbgeraden, die einen Winkel von 40 einschließen und deren Winkelhalbierende (rot). Diese soll zur Diagonalen der Länge 5 cm werden. Also zeichnet man durch den Punkt D die Parallelen zu den Halbgeraden. Diese schneiden die beiden Halbgeraden in B und C. Der hier daneben gezeichnete Pfeil AB stellt die Kraft dar. Man zeichnet nun die zweite Diagonale BC ein, so daß man das rechtwinklige Teildreieck ABE erhält. Darin kann man so berechnen: 50 N 5 N cos = = = = = = 73,N cos cos70 cos70
MECHANIK 90 Kräfte 5 Beispiel : Lösung: Zwei gleich große Kräfte greifen der Stärke 40 N greifen an einem Massenpunkt an. Ihre resultierende Kraftwirkung hat die Stärke 50 N. Berechne den Winkel zwischen den beiden ursprünglichen Kräften. Wir wollen die Lösung zuerst graphisch durchführen. Dazu beginnt man Mit den beiden Diagonalen. Die Vertikale AD (esultierende) machen wir 5 cm lang ( cm 0 N ), diese wird halbiert (E) und dazu zeichnen wir die Mittelsenkrechte ein. A B E C D Nun zeichnet man den Kreis um A mit adius 4 cm (40 N). Dieser schneidet die gestrichelte horizontale Mittelsenkrechte in B und C. Damit hat man = AB und = AC. Die echnung läuft wie gehabt im rechtwinkligen Teildreieck ABE: 5 N cos und 0,6 = = = 5,3 =. 40N
MECHANIK 90 Kräfte 6.3 Überlagerung verschieden großer Kräfte. all: echtwinklige Überlagerung Beispiel: Es sei = 3 N und = 5 N Dann gilt nach Pythagoras: = + = + = 9N + 5N = 34 N 5,83N Den Winkel zur Angabe, in welche ichtung (gemessen von aus) die resultierende Kraft wirkt, berechnet man am besten aus den beiden gegebenen rößen und. Dann benötigt man die Tangensfunktion: 5 tan 59 = =. 3. all: Nichtrechtwinklige Überlagerung A Beispiel: Es sei = 3 N und = 5 N γ und γ= 0 Nun ist das Dreieck nicht mehr rechtwinklig, also kann auch der Satz des Pythagoras nicht mehr verwendet werden. Dafür nimmt man seine Verallgemeinerung für das beliebige Dreieck, also den Kosinussatz. Er gestattet die Berechnung einer Seite, wenn man die beiden anderen kennt und den von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel. Hier kennen wir und. Beide rößen kommen als Strecken im Kräfteparallelogramm zweimal vor. Aus γ kann man β= 80 γ= 60 berechnen. Damit lautet der Kosinussatz im Dreieck ABC so: = + cosβ Man sieht deutlich, daß diese ormel wie der Satz des Pythagoras beginnt, aber ein Korrekturglied mit dem doppelten Produkt und dem Kosinus hat, welches ausgleicht, daß der Winkel nun doch nicht 90 hat. B β C Mit Zahlen: = 9 N + 5 N 30 N cos60 = 9 N 4,36 N
MECHANIK 90 Kräfte 7 Nun fehlt zur vollständigen Angabe der Winkel, den mit (oder Wir haben also schon wieder eine geometrische Aufgabe vor uns. ) bildet. Kennt man in einem Dreieck zwei Seiten und den egenwinkel einer dieser Seiten, dann hilft uns der Sinussatz weiter. Er heißt hier so: sin sinβ sinβ 5 N sin60 = = = 4,36N sin 83,3 Beispiel: Überlagerung von 3 Kräften Die Kräfte, und 3 schließen die Winkel 50 und 00 ein und haben die Beträge 4 N, 6 N und 8 N. Berechne die esultierende. A β 3 D B 4 C S E Zunächst sei die Konstruktion erklärt:. Schritt: Konstruiere aus und das Parallelogramm ABCE. Die Diagonale AE zeigt dann die esultierende Kraft 4 = + an.. Schritt: Konstruiere aus 3 und 4 das Parallelogramm AEDS. Die Diagonale AS zeigt dann die esultierende Kraft = 4 + 3 = + + 3 an.
MECHANIK 90 Kräfte 8 Und nun zur echnung. A 3 D Im Dreieck ABE kennt man die Seiten AB ( ) und BE ( ) sowie den eingeschlossenen Winkel: γ= 80 = 30 Also läßt sich mit dem Kosinussatz die dritte Seite AE ( 4 ) berechnen: B γ 4 β δ 4 = + cosγ Dies ergibt 4 = 9, N. Jetzt wird es strategisch schwerer. Wir müssen eine E δ eihe von Winkeln berechnen um weiter zu kommen. C 3 ε S Zuerst rechnen wir mit dem Sinussatz im Dreieck ABE den Teilwinkel aus: sin sin γ sin γ = sin = = 30,3 4 4 Damit erhält man den zweiten Teilwinkel: = = 50 30,3 = 9,7 Nun wechseln wir ins Parallelogramm AESD über. Dieses hat an der Ecke A den Winkel δ =β+ = 9,7. Damit erhält man an der Ecke E den für die weitere Berechnung wichtigen Winkel δ = 80 δ = 60,3 Berechnung der resultierenden Kraft, d.h. der Strecke AS im Dreieck AES: Wir kennen die Strecken AE ( 4 ) und ES ( 3 ) und den eingeschlossenen Winkel δ, also liefert der Kosinussatz dessen egenseite AS ( ): = 4 + 3 4 3 δ cos Dies ergibt = 8,6 N Nun noch die ichtung von. Dazu kann man beispielsweise den Winkel ε bei S berechnen. Der liegt auch zwischen 3 und bei A. Sinussatz im Dreieck AES: Ergebnis: sin sin sin 9, 8,6 ε = 4 sin ε = = 4 ε= 66,8. sin60,3
MECHANIK 90 Kräfte 9 Beispiel: Lösung..4 Zerlegung in vorgegebene ichtungen Es sei = 5 N gegeben. Diese Kraft soll in zwei sich überlagernde Komponenten zerlegt werden, die mit die Winkel = 70 und β= 50 bilden. Zuerst die konstruktive Lösung. Man zeichnet einen Vektorpfeil von z.b. mit der Länge 5 cm (d.h. Maßstab: N cm) und zeichnet dann Halbgeraden mit den Winkeln = 70 und β= 50 ein. Durch die Spitze von zeichnet man dann die Parallelen zu diesen Halbgeraden. So erhält man das gesuchte Kräfteparallelogramm. Die beiden gesuchten Kräfte wurden mit Strichpunkten daneben gezeichnet. A B γ β β C Zunächst berechnet man den dritten Winkel im Dreieck ABC: γ= 80 β= 60. Nun kennen wir im Dreieck ABC zwei Winkel und eine egenseite, also kann man jede andere Seite mit dem Sinussatz berechnen: Berechnung der Seite AB. Dazu braucht man den egenwinkel β und das egenpaar AC ( ) und γ : AB AC AC sinβ = AB = sinβ sin γ sin γ Berechnung der Seite BC. d.h. sinβ 5N sin50 = = 4,4N sin γ sin60 Dazu braucht man den egenwinkel und das egenpaar AC ( ) und γ : BC AC AC sin = BC = sin sin γ sin γ d.h. sin 5N sin70 = = 5,4N sin γ sin 60
MECHANIK 90 Kräfte 0 Beispiel:.5 Zerlegung in vorgegebene Komponenten Es sei = 5 N gegeben. Diese Kraft soll in zwei sich überlagernde Komponenten = 4,4 N und = 5,4 N zerlegt werden. Welche Winkel bilden diese Kräfte mit? Lösung. A B γ β β C Dies ist dasselbe Beispiel wie auf der Seite zuvor, nur sollen jetzt die Winkel berechnet werden. Dies ist wieder ein all für den Kosinussatz, denn wir kennen jetzt im Teildreieck ABC alle drei Seiten: Da wir suchen, verwenden wir diese ormel: = + cos cos = + + 4,4 + 5 5,4 cos= = = 69,8 4,45 Auf der Seite vorher hatten wir = 70. Doch die Werte für und sind gerundet, und so haben wir auch hier diese kleine Abweichung. Den Winkel β rechnet man nun mit dem Sinussatz aus, dies geht schneller als mit dem Kosinussatz: sinβ sin sin = sinβ= β= 49,9 50. Damit sind die gesuchten Winkel gefunden.
MECHANIK 90 Kräfte. Die schiefe Ebene. Physikalische Beispiele N H Auf einen Körper, der auf einer schiefen Ebene liegt (in uhe) oder in Bewegung ist, wirkt in der egel nur die Erdanziehungskraft, die ravitationskraft, die sich uns als ewichtskraft (oder auch ) äußert. Doch diese Kraft könnte nur dann in ihrer ichtung wirken, wenn darunter keine Unterlage wäre. Die schiefe Ebene verhindert dies und sorgt dafür, daß sich zwei andere Wirkungen herausbilden. Zum einen ist eine Abwärtsbewegung möglich, zum anderen wird der Körper gegen die Unterlage gedrückt. Um die röße dieser beiden Kraftwirkungen, die beide von der ewichtskraft ausgehen, zu berechnen, zerlegt man die ewichtskraft wie gezeigt in zwei Komponenten. Die erste Komponente H heißt Hangabtriebskraft. Sie verursacht einen Bewegung abwärts (falls die bremsende eibungskraft dies zuläßt). Die zweite Komponente N heißt Normalkraft. (Dieser Begriff kommt aus der Mathematik, wo normal auch senkrecht bedeuten kann). Die Normalkraft drückt den Körper senkrecht gegen die Unterlage, was die eibung verursacht. Der Neigungswinkel der Ebene tritt bei der Zerlegung noch einmal auf. Das Kräfteparallelogramm wird zum echteck, so daß wir mit der Trigonometrie diese ormeln erhalten: Hangabtriebskraft: H N sin= H H = sin Normalkraft: cos= N N = cos H
MECHANIK 90 Kräfte. Lampenprobleme: Ausleger und Seilaufhängung Um eine Lampe an einer Hauswand aufzuhängen kann man sich eines sogenannten Auslegers bedienen. Diese sind auf mehrere Arten denkbar. Zwei sollen vorgestellt werden: Der Typ (links) benötigt eine horizontale Stange und ein Seil, das von schräg oben her den Zug abfängt und auf die Hauswand überträgt. Der Typ (rechts) benötigt eine schräge Stange und ein Seil, das den Zug abfängt und auf die Hauswand überträgt Wenden wir uns ausführlicher dem. Typ zu und zeichnen Kräfte ein: Die ewichtskraft wirkt über zwei Komponenten: ist eine Zugkraft, die über das Seil an die Hauswand übertragen wird. Hier gilt: cos= = cos ist eine Druckkraft, die über die Stange auf das Haus übertragen wird. Hier gilt: = = tan tan
MECHANIK 90 Kräfte 3 Wenden wir uns nun dem. Typ zu und zeichnen Kräfte ein: Die ewichtskraft wirkt sich nun völlig anders aus. ist eine Zugkraft, die über das Seil an die Hauswand übertragen wird. Hier gilt: = = tan tan ist eine Druckkraft, die über die schräge Stange auf die Hauswand übertragen wird Hier gilt: cos= = cos rüher hat man Straßenlaternen mit zwei Seilen an zwei Häusern aufgehängt: Wir wollen nun untersuchen, wie stark sich das Lampengewicht auf die Seile auswirkt, und wie dies von der Durchhängung der Lampe abhängt.
MECHANIK 90 Kräfte 4 Dazu nun eine Skizze mit den Kräften. h e ehen wir der eihe nach vor: Die ewichtskraft der Lampe kommt nicht zur Auswirkung, weil die Seile eine gleich große egenkraft erzeugen. Dies geschieht über die beiden Komponenten und. Aus Symmetriegründen sind beide Seilkräfte gleich große (wir wollen dies so haben! ) und daher ist das Kräfteparallelogramm eine aute, das durch die beiden Diagonalen in 4 gleich kongruente rechtwinklige Dreiecke zerlegt wird. Beginnen wir zuerst mit der Berechnung des Winkels h h Zwischen den Häusern: tan =... e = e = Den kennen wir nun also! Nun eines der rechtwinkligen Dreiecke Es gilt sin = = sin und weil als egenkraft zu gleich groß ist (und meistens eben gegeben ist): = = sin
MECHANIK 90 Kräfte 5.3 Das schwingende adenpendel Eine punktförmige Masse hänge an einer masselosen Schnur (dies alles ist nötig, um mit unseren idealisierten Physikformeln rechnen zu können!) und wird um einen bestimmten Winkel ausgelenkt. Läßt man es los, schwingt es zurück bis zum Tiefpunkt und lenkt dann nach der anderen Seite aus. In jeder Phase dieser Schwingung ist die ewichtskraft für zweierlei verantwortlich: Zum einen spannt es die Schnur (das tut die Seilkraft S ) und zum andern sorgt sie dafür, daß das Pendel abwärts beschleunigt und aufwärts gebremst wird. Diese Kraft heißt ückstellkraft oder auch rücktreibende Kraft r Da r und S zueinander senkrecht wirken, wird das Kräfteparallelogramm zum echteck und es liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor. Daher können wir einfache Trigonometrie anwenden: ϕ L r ϕ S Seilkraft: ückstellkraft: ϕ= = ϕ cos S cos S ϕ = = ϕ sin r r sin
MECHANIK 90 Kräfte 6.4 Das Kreispendel Jetzt wird es sehr interessant, denn wir werden lernen, daß es zwei ganz verschiedene Betrachtungsweisen gibt, wenn man ein im Kreis schwingendes adenpendel betrachtet.. Überlegung: Wir denken uns in den Massenpunkt hineinversetzt und spüren die Einwirkung zweier Kräfte: Zum einen die nach unten ziehende ewichtskraft. Und mit ihr überlagert die Zentrifugalkraft Z, denn wir führen ja eine Kreisbewegung durch. ϕ r L ϕ Z Z Beide Kräfte überlagern sich zu einer resultierenden Kraftwirkung. Diese esultierende wirkt nun als esamtkraft auf die kreisende Masse und spannt somit die Schnur. Weil ewichtskraft und Zentrifugalkraft zueinander senkrecht wirken, wird das Kräfteparallelogramm zum echteck mit zwei rechtwinkligen Teildreiecken, so daß wir wieder einfache Trigonometrie anwenden können: Z sinϕ= und cosϕ= Z Viel interessanter ist hier der Zusammenhang zwischen und Z : Z tanϕ = mv Verwenden wir die ormeln Z = und = mg, dann folgt r mv v tanϕ= bzw. tanϕ= r mg rg Damit lassen sich nun mehrere Aufgaben berechnen, was hier nicht zum Thema gehört.
MECHANIK 90 Kräfte 7. Überlegung: Wir schauen uns von außen das kreisende Pendel an und suchen nach Ursachen. Zunächst einmal wirkt, nachdem das Pendel in seiner Kreisbahn angestoßen worden ist, außer der ewichtskraft keine weitere Kraft auf den Körper. (Die vorhin zitierte Zentripetalkraft spürt ja nur der Mitfahrer als Ursache der dauernden ichtungsänderung). Also muß die ewichtskraft (wie bei der schiefen Ebene) Ursache für zwei Wirkungen sein. ϕ Z ϕ Z S. Wirkung: Wir sehen ein straff gespanntes Seil, also wirkt auf dieses Seil eine Kraft, die Seilkraft. S. Wirkung: Wer die Kreisbewegung gelernt hat, sollte wissen, daß ein Körper genau dann eine Kreisbewegung ausführt, wenn ständig senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung eine konstante Kraft Z wirkt. Sie heißt adialkraft oder Zentipetalkraft. (Sie ist dem Betrag nach gleich groß wie die für den Mitfahrer spürbare Zentrifugalkraft.) Daraus ergibt sich die in der Abbildung dargestellte Zerlegung der ewichtskraft. Da wieder zwei rechtwinklige Dreieck vorliegen, können wir so rechnen: Zentripetalkraft: Seilkraft: tanϕ= Z Z = tanϕ cosϕ= = S cosϕ S Man lerne daraus: Die verschiedenen Standpunkte des mitfahrenden Beobachters bzw. des außen stehenden Beobachters führen zu unterschiedlichen Sichtweisen.
MECHANIK 90 Kräfte 8.5 Die Kurvenfahrt Wir nehmen die Position des außen stehenden Beobachters ein. Er weiß, daß (abgesehen von einer möglichen Antriebskraft) nur die ewichtskraft wirkt. Diese äußert sich jedoch in zwei Komponenten: Die Zentripetalkraft wirkt senkrecht zur ahrtrichtung und ist Ursache der Kreisbewegung. Z N Die Normalkraft drückt das ahrzeug senkrecht gegen die ahrbahn und sorgt somit für die notwendige eibung, damit die Kurvenfahrt überhaupt möglich wird. Da die resultierende ewichtskraft senkrecht zur Zentripetalkraft wirkt, liegen zwei rechtwinklige Dreiecke vor, so daß die Trigonometrie dies liefert: Zentripetalkraft: Normalkraft: Z tan= Z = tan cos= N = N cos