Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 Dienstag Daniel Jost Datum 21/08/2012
Inhaltsverzeichnis 1 Magnetostatik 1 1.1 Feldgleichungen der Magnetostatik..................... 1 1.2 Das Vektorpotential............................... 1 1.3 Biot-Savart.................................... 2 1.4 Das mperesche Gesetz............................ 2 2 Zeitlich veränderliche Felder 3 2.1 Induktionsgesetz................................ 4 2.2 Selbstinduktion................................. 4 2.3 Energie im magnetischen Feld........................ 5 3 Wechselstromkreise und Impedanz 6 3.1 Die Induktivität................................. 6 3.2 Der Ohmsche Widerstand........................... 7 3.3 Der Kondensator................................ 7 3.4 Schwingkreis.................................. 7 4 Kräfte in elektrischen und magnetischen Feldern 8
1 Magnetostatik 1 Magnetostatik Zu Beginn noch ein Mal die Definition 1.1. Maxwellgleichungen: E = ρ ɛ 0 E = B t B = 0 1 E B = µ0 j + c 2 t (1) und die Kraft F = q ( E + v B) (2) 1.1 Feldgleichungen der Magnetostatik Man folgt derselben heuristischen rgumentation wie bei der Elektrostatik. Durch Zeitunabhängigkeit der Stromdichte und der Ladungsdichte entkoppeln sich die entsprechenden Feldgleichungen für elektrische und magnetische Felder. Für die Magnetostatik gilt dann insbesondere: B = 0 B = µ0 j (3) Die Divergenz des Magnetfeldes ist immer Null. Das bedeutet in erster Konsequenz, dass dieses Vektorfeld keine Quellen und Senken besitzt und somit keine magnetischen Monopole existieren. ußerdem lässt sich der Fluss durch eine Oberfläche definieren (Satz von Gauß). Φ m = B d (4) Das bedeutet, dass jedes Wegintegral entlang des magnetischen Feldes verschwindet, also dass insbesondere die Linien des Magnetfeldes mehr oder minder nirgendwo anfangen oder aufhören. Die Linien sind also geschlossen. uf eine Probeladung q mit der Geschwindigkeit v wirkt in einem Magnetfeld B die Kraft F = q v B (5) Zusätzlich formuliert man in der Magnetostatik noch die magnetische Erregung H, die mit H = µ 0 B (6) gegeben ist. 1.2 Das Vektorpotential Im Fall der Elektrostatik war es möglich ein elektrisches Potential Φ zu finden. Magnetische Felder in der Magnetostatik sind jedoch nicht konservativ, die Rotation 1
1 Magnetostatik verschwindet nicht. Man kann sich allerdings mit dem sogenannten Vektorpotential behelfen, das definiert wird als = B (7) Warum, wieso, weshalb man das jetzt wieder macht, wird in epischer Breite in der theoretischen Elektrodynamik abgehandelt. Festhalten sollte man nur, dass dieses Vektorpotential B = 0 erfüllt 1. 1.3 Biot-Savart Wieder die nalogie zur Elektrostatik: Es ist möglich aus einer beliebigen Ladungsverteilung das Potential aus der Poissongleichung zu bestimmen. Für das magnetische Feld findet man ( r) = µ 0 j( r ) 4π r r dv (8) us = B kann man folgern µ 0 j( r ) ( r r ) B( r) = 4π r r 3 dv (9) Klausurrelevant ist lediglich die vereinfachte Variante dieses Monsters für dünne, unendlich lange Drähte, da alles andere zu mehr oder minder schwierigen Integralen führt: µ 0 d r ( r r B( r) = 4π I ) r r 3 (10) 1.4 Das mperesche Gesetz Bezüglich der Klausurrelevanz ist das mperesche Gesetz von besonderer Bedeutung. ufgaben lassen sich entweder mit Biot-Savart oder dem mpereschen Gesetz lösen. Welches von beiden sinnvoller ist, ist abhängig von dem zu Grunde gelegten Problem. Für eine Stromdichte j( r), die eine Querschnittsfläche durchläuft, lässt sich die zweite Maxwellgleichungen der Magnetostatik mit dem Satz von Stokes umformen. Zunächst ergibt sich und dann 1 Vektoranalysis: divrot = 0 Bd = µ0 Bd s = µ0 jd jd (11) 2
2 Zeitlich veränderliche Felder Ein Beispiel: Ein unendlich langer, dünner Leiter wird von einem Strom der Stärke I durchflossen. Zunächst der nsatz des Magnetfeldes. Die Rechte-Hand-Regel gibt für die vorgegeben Stromrichtung B = B eϕ 2. Mit 11 ergibt sich auf der linken Seite das Integral über den Rand eines Kreises mit Radius r. bbildung 1: Bsp.: Unendlich langer, dünner Leiter 2π 0 r dϕ drb(r) = 2πrB(r) 0 Insgesamt erhält man so für die magnetische Feldstärke B(r) = µ 0I 2πr B( r) = µ 0 I 2πr e ϕ Man könnte als Integrationsweg alles mögliche wählen. us der Maxwellgleichung geht allerdings auch hervor, dass man ein von Null verschiedenes Magnetfeld findet, wenn das Integrationsgebiet den Ort nicht beinhaltet, an dem der Strom fließt. 2 Zeitlich veränderliche Felder Bis hierhin wurden zeitlich konstante Felder betrachtet, also insbesondere Fälle, in denen ρ/ t = 0 und j/ t = 0. In der Elektrostatik wurde der Kondensator als technische Realisierung statischer elektrischer Felder besprochen. Ähnliche Überlegungen kann man nun mit Spulen anstellen. 2 kann mit B = µ0 j begründet werden 3
2 Zeitlich veränderliche Felder 2.1 Induktionsgesetz Betrachtet der Maxwellgleichungen, insbesondere mit der Kopplung des elektrischen und magnetischen Feldes durch Differentialgleichungen erster Ordnung. Maxwell formulierte diese Gleichung B E = (12) t nachdem er sich bemühte aus einem Magnetfeld Strom zu erzeugen. Man nennt 12 auch Induktionsgesetz. Betrachtet man nun also eine Spule mit einer Windung, die die Fläche umschließt, so interessiert man sich vielleicht für den expliziten Zusammenhang zwischen elektrischem und Magnetfeld. Integriert man über die Fläche, so findet man für die linke Seite mit dem Satz von Stokes E = E d s einen usdruck für die Spannung in der Spule. Insgesamt also: E = t B d (13) Das Induktionsgesetz in der Form, es bekannter sein dürfte, beinhaltet die totale bleitung vor dem Integral: U ind = d dt B d dφ m = dt Die totale Zeitableitung des Integrals liefert eigentlich noch einen zusätzlichen Term, der einen Beitrag auf der linken Seite erzeugt. Daher spricht man vom effektiven elektrischen Feld. Es spielt für uns hier und heute keine Rolle, weil es ja lediglich um die Rechnung geht, aber wichtig ist, dass das elektrische Feld in diesem Zusammenhang etwas schlampig verwendet wird. Gleichung 14 muss man sich für die Rechnungen merken. Für eine Spule mit N Windungen, ist die Induktionsspannung 2.2 Selbstinduktion U ind = N d dt B d dφ m = N dt Eine qualitative Diskussion lässt sich auch darüber führen, was passiert, wenn man nun den Strom in einer Spule verändert. Tatsächlich findet man, dass die Stromänderung direkt proportional zur Magnetfeldänderung bzw. zum magnetischen Fluss ist, also (14) (15) Φ m = L I (16) 4
2 Zeitlich veränderliche Felder mit der Induktivität L der Spule. Eingesetzt in 14 erhält man die Spannung U ind = L dφ m dt = L di dt Betrachtet man nun beispielsweise eine Spule, die mit einem Widerstand R in Reihe geschaltet und mit einer Spannungsquelle U 0 verbunden ist. Die Differentialgleichung, die diesen ufbau beschreibt, ist (17) U 0 L di dt R I = 0 Die Lösung dieser DGL ist I(t) = U 0 (1 exp[ R ( ) R t]) (18) L Zu beachten sind hier die Vorzeichen: Formal richtig ist es, die Spule als Spannungsquelle zu interpretieren. Daher wird sie positiv gezählt. Das negative Vorzeichen kommt durch Gleichung 17. Deutlich wird das, wenn man die Spannungsquelle aus dem ufbau herausnimmt: Die geladene Spule ist nun in der Tat eine Spannungsquelle. Die DGL wird zu Die Lösung dieser Gleichung ist L di dt R I = 0 L di dt + R I = 0 I(t) = I 0 exp[ ( ) R t] (19) L Das heißt also, dass sich die Spule nach dieser Gleichung durch den Widerstand entlädt. 2.3 Energie im magnetischen Feld Beim Kondensator wird eine elektrisches Feld generiert, das Energie speichert. nalog dazu findet man auch die Energie, die vom Magnetfeld einer Spule gespeichert wird. Das Beispiel, das wir gerade besprochen haben, liefert ein Möglichkeit die Energie zu berechnen.man entlädt die Spule über den Widerstand R. Für die Leistung gilt P(t) = U I = R I 2 Die dabei entstehende Energie ist dann W magn = 0 P(t)dt = 0 dtr I 2 (t) = 1 2 LI2 0 (20) 5
3 Wechselstromkreise und Impedanz 3 Wechselstromkreise und Impedanz Bis jetzt wurde quantifiziert, was eine Änderung der Stromstärke oder des Potentialgefälles für uswirkungen auf elektrische Felder hat. Richtungsänderungen sind natürlich zulässig. Technisch spricht man von Wechselspannungen, die in periodischen Zeitabständen die Polung der Spannungsquelle ändern. Die einfachsten zu diskutierenden Fälle sind sinus- und cosinusförmige Eingangsspannungen, also etwa U(t) = U 0 cos(ωt) Die Kreisfrequenz ω = 2π f ist konstant. Manchmal ist es einfacher die komplexe Schreibweise für die Wechselspannung einzuführen 3, also U(t) = Û exp[iωt] mit der komplexen, zeitunabhängigen mplitude Û. Der Realteil der komplexen Funktion liefert die tatsächliche zeitabhängige Spannung. Ebenso kann man mit dem Strom verfahren, hier ohne Phasenverschiebung: I(t) = Î exp[iωt] Die Diskussion über Wechselstromkreise nutzen wir nun noch ein Mal, um uns mit der Induktivität, der Kapazität und dem ohmschen Widerstand im Hinblick auf ihr Verhalten bei nlegen einer Wechselspannung vertraut zu machen. Bei Gleichstromschaltungen konnte festgestellt werden, dass es bei Durchlaufen eines Widerstands 4 zu einem Spannungsabfall kommt. Bei Wechselspannungen kommt es hingegen zu einer Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Man definiert dann die so genannte Impedanz: Z = U I = Û (21) Î Sie ist gewöhnlich von der Frequenz ω abhängig. 3.1 Die Induktivität Die Induktivität, wie sie vorhin bereits definiert wurde, kann hergestellt werden, indem ein Draht mit vielen Windungen zu einer Spule gewickelt wird und die Enden an Kontakte anschließt. Idealisiert man diesen Versuchsaufbau, indem man annimmt, dass das Magnetfeld, das in der Spule entsteht, nicht mit dem restlichen Stromkreis wechselwirkt, so findet man mit 21 und dem Zusammenhang U(t) = L di(t) dt = LiωÎ exp(iωt) 3 Gauß: exp[i(ωt ϕ)] = cos(ωt ϕ) + i sin(ωt ϕ) 4 In diesem Kontext ist damit nicht nur der ohmsche Widerstand gemeint, sondern auch die Spuleninduktivität und Kondensatorkapazität 6
3 Wechselstromkreise und Impedanz die Impedanz einer Spule Z L = iωl (22) 3.2 Der Ohmsche Widerstand Die gleiche Überlegung wie bei der Spule kann man nun mit einem ohmschen Widerstand mit U(t) = R I(t) anstellen. Die Impedanz ist dann Z R = R (23) also insbesondere reell und unabhängig von ω, das heißt die Spannung durch einen Widerstand ist in Phase mit dem Strom. 3.3 Der Kondensator Die Kapazität eines Kondensators ist natürlich immer noch C = Q/U. Einsetzen in 21 liefert Z C = 1 (24) iωc 3.4 Schwingkreis Betrachtet man nun einen Schwingkreis wie in 2, dann findet man mit den Kirchhoff- bbildung 2: Schwingkreis mit Widerstand R, Kapazität C, Induktivität L schen Regeln eine Differentialgleichung der Form L di dt + Q + RI = 0 (25) C Das entspricht der Differentialgleichung eines gedämpften harmonischen Oszillators. Die Lösung wird in der Übung besprochen. 7
Literatur 4 Kräfte in elektrischen und magnetischen Feldern Betrachtet man noch ein Mal die Kraft aus Gleichung 2, die auf ein Teilchen der Ladung q mit Geschwindigkeit v in einem elektrischen Feld E und einem Magnetfeld B wirkt: F = q( E + v B) Es sei hier angemerkt, dass, nur weil es sich um elektrodynamische Größen handelt, sich automatisch die Physik, die man bereits kennt, nicht von diesen Gleichungen entkoppelt. Für Geschwindigkeiten v << c gilt hier immer noch, dass beispielsweise m a = F uch gilt entgegen weitläufiger Meinungen immer noch der Energieerhaltungssatz. Wenn also noch ein Mal so eine Transferaufgabe wie in der Klausur dran kommt, dann denkt bloß nicht zu kompliziert. Die sind meistens wirklich nett gestellt! Noch eine recht nützliche Formel zur Berechnung der Kraft findet man, wenn man einen geraden Draht der Länge L in einem Magnetfeld betrachtet: F = q v B = I t L t B Wenn der Draht irgendwelche Kurven beschreibt, verwendet man diese Gleichung auch gerne infinitesimal mit d F = I d L B Literatur [1] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands [2] Experimentalphysik 2 - Demtröder 8