Versicherungstechnik

Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Dipl.-Math. Rolf Wendt DOOR Aufgabe 49 Versicherungstechnik Übungsblatt 15 Abgabe bis zum Dienstag, dem 02.02.2016 um 10 Uhr im Kasten 19 Technische Änderungen bei Lebensversicherungsverträgen: a) Was versteht man unter technischen Änderungen bei Lebensversicherungsverträgen? b) Was versteht man unter dem Rückkaufswert eines Versicherungsvertrages? c) Erläutern Sie das Prinzip der Beitragsfreistellung. d) Welche Arten der Umwandlung von Lebensversicherungen sind zu unterscheiden? Erläutern Sie diese bitte! a) Im Gegensatz zum VU kann der VN Einzelheiten des Vertrags während der Laufzeit ändern: Rückkauf Beitragsfreistellung Änderung der Versicherungssumme = Leistungs- bzw. Beitragsspektren müssen angepasst werden. b) Der VN hat während der Laufzeit jederzeit das Recht, den Vertrag zu kündigen. VN: keine Beitragszahlungen mehr VU: keine Leistungen mehr Der VN erwartet vom VU die Auszahlung eines bestimmten Geldbetrags für bereits entrichtete Beitragsteile, die für Leistungen in der Zukunft vorgesehen waren. Diesen Betrag nennen wir Rückkaufswert. Klar ist, dass für jeden Zeitpunkt t während der Laufzeit des Vertrages gilt: RK t max{0, t V x (a) }. Das VU darf zudem den im Vertrag vereinbarten begründeten Stornoabschlag einbehalten: Kapitalanlagen müssen evtl. aufgelöst werden eine negative Risikoauslese muss vermieden werden = RK t λ t max{0, t V (a) x } mit 0,8 λ t 0,95. c) VN: keine Beitragszahlungen mehr VU: Reduzierung der künftigen Leistungen Zur Berechnung der zukünftigen Leistungen mittels Thieleschem Gleichungssystem wird der Rückkaufswert als Einmalbeitrag angesehen. Oft wird die Leistung auch linear gekürzt: (L m+1, L n ) = r (L m+1, L n ) Im Allgemeinen entstehen keine neuen Abschlusskosten. d) Die Versicherungssumme wird in der Höhe verändert. Herabsetzung: unproblematisch

Erhöhung: im Allgemeinen nur nach Gesundheitsprüfung, um eine negative Risikoselektion auszuschließen Berechnung der Beitragsspektren: Herabsetzung der VS L auf L: Es sei L L die sich zum Zeitpunkt m ergebende beitragsfreie Versicherungssumme. L > L : Die alte Versicherung wird beitragsfrei gestellt. Für die Differenz L L wird ein neuer Vertrag mit Beginnalter x + m und Versicherungsdauer n m abgeschlossen. L L : Die Versicherung wird beitragsfrei gestellt. Der Teil des Rückkaufswertes, der nicht als Einmalbeitrag für die neue Versicherung benutzt wird, wird dem VN zurückerstattet. Erhöhung der VS L auf L zum Zeitpunkt m (i. A. nur mit neuer Gesundheitsprüfung möglich): Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung des neuen Beitrags: Abschluss einer neuen Versicherung mit VS L L, Laufzeit n m und Eintrittsalter x + m. Für die neue Versicherung fallen keine zusätzlichen γ-stückkosten an. Die beiden Versicherungen werden dann zu einem neuen Vertrag zusammengefasst. Kalkulation einer Versicherung mit VS L (für die ersten m Jahre) und VS L (für die Jahre m+1 bis n), Alter x und Laufzeit n m Vx wäre dafür das notwendige DK und u i b der neue Beitrag. Bisher wurde das DK m V x angespart. VN zahlt m V x m V x als Einmalbeitrag und dann ab dem ZP m den Beitrag u i b. Kalkuliere mit der neuen VS L und dem aktuellen DK m V x als Startkapital also 0 V x+m = m V x eine neue Versicherung mit Alter x + m und Laufzeit n m. (2,5 Punkte) Aufgabe 50 Betrachten Sie bitte die Aufgabe 44 von Übungsblatt 13 erneut: Herr Z. entschließt sich nun 20 Jahre später die Versicherungssumme auf 150 000e zu erhöhen. Im Falle solcher technischen Vertragsänderungen (z. B. bei der Prämienfreistellung oder der Erhöhung/Herabsetzung der Versicherungsdauer/-leistung) seitens eines VN muss in den meisten Fällen eine Neuberechnung der Vertragsdaten durchgeführt werden. Hierbei sind generell mehrere Verfahren anwendbar, die allerdings alle dem versicherungsmathematischen Äquivalenzprinzip unterliegen und dem gleichen Grundsatz folgen: Das aktuelle Deckungskapital darf sich (bis auf einen möglichen Stornoabschlag) durch die Neukalkulation nicht verändern. a) Wie lautet die Äquivalenzgleichung für diesen neuen Vertragszustand unter Verwendung der Methode konstruktiver Beiträge, wenn die Abschlusskosten nur auf die Differenz zwischen der neuen und der alten Prämie veranschlagt werden. Berechnen Sie sodann den Wert der neuen ausreichenden Prämie neu P (a) x. b) Machen Sie das Prinzip des Neuabschlusses (Differenzvertrag) sowohl rechnerisch, als auch in Worten deutlich. (Abschlusskosten werden wie in a) veranschlagt) c) Erläutern Sie bitte kurz das Verfahren Zuzahlung zur Deckungsrückstellung!

d) Angenommen, Herr Z. entschließt sich k Jahre nach Vertragsabschluss, die Prämienzahlungsdauer um 5 Jahre zu verkürzen (nun also insgesamt 25 Jahre statt 30). Erläutern Sie bitte eine mögliche Umsetzung dieser Änderung bei gleichbleibender Prämie! a) Die Äquivalenzgleichung für den neuen Vertragszustand lautet (2,5 Punkte) neu P (a) 55 ä 55, 10 + 20 V (a) 35 = V S neu (A 55, 10 + γ ä 55, 10 ) + 10 α ( neu P (a) 55 P (a) 35 ) Damit ergibt sich neu P (a) x = 7 768,61e. b) Abschluss einer neuen Versicherung für die Differenz V S neu V S mit Beginnalter x+m und Laufzeit n m unter Berücksichtigung, dass keine oder nur geringe α, β und γ-kosten für den Neuvertrag eingerechnet werden. Anschließend erfolgt eine Verschmelzung der beiden Verträge zu einem Vertrag. Rechnerisch muss sich der gleiche Prämienwert wie im vorherigen Aufgabenteil ergeben. Wieder verwenden wir die Bruttoprämienformel: diff P (a) 55 = (V S neu V S) A 55, 10 + γ ä 55, 10 ä 55, 10 α Z 10 0,776545 + 0,0002 8,349095 = 50 000 8,349095 0,4 = 4 989,52e. Probe: 4 989,52e + 2 779,09e = 7 768,61e c) Zuzahlung zur Deckungsrückstellung: Errechne, wie der Beitrag aussehen würde, wenn man von Anfang an die höhere VS gehabt hätte neu 20 V x (a), neu P x (a) Die Differenz von neu 20 V x (a) 20 V x (a) muss der VN als Einmalbeitrag zahlen. Anschließend zahlt er den Beitrag neu P (a) x. d) Dies kann über eine Neuberechnung mit kürzerer Beitragszahlung und 0 V (a) x+k := kv x (a) machen: P (a) x ä 35+k, 25 k + k V (a) x = V S neu A 35+k, 30 k + V S neu γ ä 35+k, 30 k

Aufgabe 51 Der 15-jährige Kevin-Jérôme möchte eine gemischte Kapitalversicherung über 75 Jahre mit Versicherungssumme V S = 100 000 e abschließen. Dazu wurde ihm ein Versicherungsvertrag mit Jahresbeitrag P x (a) = 944,80 e unterbreitet worden. Als besonders lukrativ hat ihm der Versicherungsmakler die hohen Rückkaufswerte der Versicherung angepriesen, die in folgender Tabelle dargestellt werden. t 1 2 3 4 5 RK t 0 415 1068 1755 2478 Als marktüblicher Zinssatz werde 4% angenommen, die Sterbetafeldaten entnehmen Sie bitte dem ersten Programmierübungsblatt. Der Versicherungsmakler kann bei Abschluss eine einmalige Provision P in Höhe von 4 % der Beitragssumme einnehmen. Sollte Kevin-Jérôme den Vertrag vorzeitig kündigen, so sollen nur m% der wirklich gezahlten Beiträge als Provision verdient sein, die Differenz zur Provision P ist als nicht verdiente Provision zurückzuzahlen. a) Wie hoch darf der als verdiente Provision dienende Anteil m% der wirklich gezahlten Beiträge maximal sein, damit bei Storno am Ende des fünften Versicherungsjahres für das Kollektiv kein Schaden entsteht? Setzen Sie bei Ihren Berechnungen bitte überschlagsmäßig als Verwaltungskosten pro Jahr 2,5 der Versicherungssumme (vorschüssig) an. b) Lässt es sich vermeiden, dass das Versicherungsunternehmen vom Versicherungsmakler nicht verdiente Prämien zurückfordern muss, indem die Provision nicht als einmalige Abschlussprovision ausgezahlt wird, sondern auf die ersten 5 Jahre verrentet wird? a) Es gilt: (3 Punkte) hier: t 1 P r t + L (0) j r (j) t t 1 + RK t B (a) j r (j) t + NV P t (I) 4 4 0,04 75 944,80 (1,04) 5 + 250 r 5 j + RK 5 944,80 r 5 j + NV P 5 3448,48 + 250 (1,04) j + 2478 944,80 (1,04) j + NV P 5 ( 1 (1,04) 6 ) 3448,48 + 250 1 1,04 1 944,80 (1,04) j + NV P 5 mit NV P 5 = max{p m P (0) x 3448,48 + 1408,24 + 2478 5322,04 + NV P 5 NV P 5 2012,68 5, 0} ergibt sich:

2834,40 m 944,80 5 2012,68 100 2834,40 2012,68 m 100 944,80 5 m 17,39 Damit das Kollektiv bei Kündigung im 5-ten Jahr keinen Verlust erleidet, dürfen maximal 17,39% der gezahlten Beiträge als Provision verdient sein. (Will man dies generell sicherstellen, so muss die obige Rechnung für t = 1,..., n angestellt werden.) b) Statt einmaliger Provision P jetzt 5 Jahre verrentete Provision P l mit P l ä 15, 5 = P P l = 2834,40 4,6227 613,15 Mit der Gleichung (I) aus a) würde also im Jahr 5 gelten: P l (1,04) j + 250 (1,04) j + RK 5 P x (a) (1,04) j + NV P 5 (613,15 + 250) 5,633 + 2478 944,8 5,633 + NV P 5 2018,07 NV P 5 Die nicht verdiente Prämie im Jahr 5 ist somit mindestens 2018,07, d.h. es kann auf Provisionsrückforderungen nicht verzichtet werden.