Name, Vorname Matrikelnummer Modulklausur 31821 Multivariate Verfahren Datum Punkte Note Termin: 28. März 2014, 9.00-11.00 Uhr Erstprüfer: Univ.-Prof. Dr. H. Singer
Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur 31821 1. Füllen Sie zunächst den Kopf des Deckblatts aus! 2. Es können insgesamt 100 Punkte erreicht werden. Bei Erreichen von 50 Punkten ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 3. Zugelassen ist Kurseinheit 1 des Moduls 31821 (Kursnr. 00883) mit farblichen Markierungen, kleinen Aufklebern und/oder textbezogenen Anmerkungen. Neben Schreibgeräten dürfen die vom Prüfungsamt zugelassenen Taschenrechner verwendet werden, das sind insbesondere Casio fx86 Texas Instruments TI 30 X II Sharp EL 531 in mehreren Varianten, bspw. Casio fx86 DE Plus, Texas Instruments TI 30 X II S, Texas Instruments TI 30 X II B, Sharp EL-531 XG, Sharp EL-W531 XGPK. Entscheidend ist, dass der Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen. 5. Wenn Sie die einzelnen Blätter der Klausur voneinander trennen, vermerken Sie auf jedem Blatt Ihre Matrikelnummer. Legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
Aufgabe 1 (15 Punkte) Kennzeichnen Sie die folgenden Aussagen zur Faktorenanalyse mit R für richtig oder F für falsch. Das Schätzen der Parameterwerte heißt bei der Maximum-Likelihood- Faktorenanalyse Identifikationsproblem. Bei der Hauptkomponentenanalyse werden Komponenten gesucht, die senkrecht aufeinander stehen. Der Screeplot ist ein graphisches Hilfsmittel, mit dem die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren/Komponenten festgelegt werden kann. Die Faktorrotation dient zum Auffinden von besser interpretierbaren Faktoren, auf die einige Variablen hoch und andere niedrig laden. Je schwächer die Variablen korreliert sind, desto besser eignet sich die Faktorenanalyse zur Beschreibung der Daten. Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 3 Punkte vergeben. Für jede falsche Kennzeichnung werden 3 Punkte abgezogen. Nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0 Punkte. 1
Aufgabe 2 (20 Punkte) Eine Möbelkette möchte untersuchen, ob der Faktor Ladengröße einen Einfluss auf den Umsatz (in Te) im Geschäft hat. Es wird eine Varianzanalyse mit SPSS durchgeführt, wobei drei Gruppen á 6 Läden (kleine, mittlere und große Ladenfläche) untersucht werden. Leider sind einige wichtige Informationen unleserlich. a) Bestimmen Sie die Schätzer für den Gesamterwartungswert des Umsatzes, die Erwartungswerte in den einzelnen Gruppen und die drei Effekte! (7 P.) b) Bestimmen Sie die Quadratsummen SQE, SQT und SQR! Verwenden Sie dazu die in Aufgabenteil a) geschätzten Effekte und ij y2 ij = 12 236 016. (6 P.) c) Prüfen Sie H 0 : α klein = α mittel = α groß = 0 mit dem entsprechenden statistischen Test! Kann die Nullhypothese zum Niveau 5% abgelehnt werden? (7 P.) Hinweis: Sollten Sie aus Teilaufgabe b) kein Ergebnis haben, so verwenden Sie bitte SQE = 300 000 und SQR = 3 000 000. 2
Aufgabe 3 (35 Punkte) Betrachten Sie den SPSS-Output auf der nächsten Seite. Es wurden 200 bivariate Datenpunkte analysiert. a) Auf den unteren beiden Grafiken sehen Sie die Daten univariat als Histogramm aufgetragen sowie jeweils eine Normalverteilungskurve. Sprechen die Grafiken für oder gegen eine univariate Normalverteilung der beiden Variablen? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P.) b) Gehen Sie von einer bivariaten Normalverteilung der Daten aus. Geben Sie die Maximum-Likelihood-Schätzer für die Verteilungsparameter an (gerundet auf zwei Nachkommastellen)! (6 P.) c) Bestimmen Sie zur Erzeugung weiterer Zufallszahlen die Cholesky-Wurzel der Kovarianzmatrix. Nehmen Sie an, dass z 1 = 0.51 und z 2 = 0.23 zwei Realisierungen von unabhängigen, standard-normalverteilten Zufallszahlen sind. Generieren sie daraus eine bivariate Zufallszahl, die dieselbe Verteilung wie die mit SPSS analysierten Daten hat! (12 P.) d) Betrachten Sie wieder den SPSS-Output. Ist die Korrelation zum 5%-Niveau signifikant von 0 verschieden? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P.) e) Wenn die Variable 1 einen hohen Wert annimmt, ist dann die Variable 2 eher groß oder eher klein? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P.) [ ] 1 f) Testen Sie zum 5%-Niveau, ob die Daten einen Erwartungswert von µ 0 = haben! 0.9 Verwenden Sie dabei S 1 = [ 2.1 0.7 0.7 0.5 ]. (11 P.) 3
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Aufgabe 4 (30 Punkte) Ein Schokolade-Hersteller untersucht seine Konkurrenzprodukte. Zu diesem Zweck hat er 15 verschiedene Sorten im Bezug auf Geschmack, Konsistenz und Preis getestet. Die Daten sowie die damit durchgeführte Clusteranalyse finden Sie auf den nächsten Seiten. a) Berechnen Sie die L 2 -Distanz und die City-Block-Metrik der Objekte 1 und 2! (6 P.) b) Zeigen Sie, dass die die Rotationsmatrix 0 1 0 B = 1 0 0 0 0 1 eine orthogonale Matrix ist, indem Sie die Determinante bestimmen und B = B 1 zeigen. (6 P.) c) Rotieren Sie die ersten beiden Datenpunkte mit der Rotationsmatrix B und zeigen Sie, dass der City-Block-Abstand sich durch die Rotation nicht geändert hat! (7 P.) d) Welche Objekte wurden bei der SPSS-Clusteranalyse zuerst zusammengefasst? Wenn Sie eine 3-Cluster-Lösung wählen, wieviele Objekte sind dann im kleinsten Cluster (das mit den wenigsten Objekten)? Geben Sie den Indexwert der Fusionierung für die 3-Cluster-Lösung an! (6 P.) e) Ist das Cluster, das aus den Objekten 2 und 5 besteht (C A = {2, 5}), homogener oder inhomogener als das Cluster, das aus den Objekten 12 und 15 besteht (C B = {12, 15})? (2 P.) f) Angenommen, Objekt 2 und 5 bilden ein Cluster. Wenn Sie die quadrierte euklidische Distanz und die Complete-Linkage-Methode verwenden, wird dann zuerst Objekt 13 oder Objekt 14 zu diesem Cluster hinzugefügt? (3 P.) Hinweis: Die Lösung dieser Aufgabe können Sie nicht dem Dendrogramm entnehmen. 5
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