FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: , Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Tragen Sie zunächst für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) sowohl auf das Deckblatt der Teilklausur als auch auf das Deckblatt der Lösungsbogen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 2. Es können insgesamt 100 erreicht werden. Bei Erreichen von 50 n ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 3. Für beide Klausurteile ist die Benutzung von Taschenrechnern nur gestattet, wenn das betreffende Modell nicht programmierbar ist, keine Texte oder Formeln speichern kann, nicht drahtlos mit anderen Geräten kommunizieren kann, über keine alphanumerische Tastatur verfügt, kein grafisches Display (z.b. zur Darstellung von Funktionsgraphen) besitzt. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbogen und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden. 5. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 6. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

3 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik Datum Termin: Prüfer: , Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

4 Vertiefung der Statistik Aufgabe (8 ) (3 ) Bitte entscheiden Sie, ob es sich bei folgenden Aussagen um eine uneingeschränkte Zufallsauswahl handelt. - Ziehung der Lottozahlen - Von den Studenten einer Vorlesung sollen 12 Personen in die Stichprobe gelangen, davon 8 Männer und 4 Frauen. - Untersucht wird das Meinungsbild der Bewohner einer bestimmten Stadt. Dazu werden zu einer bestimmten Tageszeit 100 Personen vor dem Bahnhof befragt. 1.2 (5 ) Gegeben sind 9 unabhängig identisch N(0,1)-standardnormalverteilte Stichprobenvariablen X 1,...,X 9 mit den Realisationen: Geben Sie den Erwartungswert der Stichprobenfunktion 9 n=1 X2 n an. - Geben Sie die Varianz der Stichprobenfunktion 9 n=1 X2 n an. - Geben Sie die Standardabweichung der Stichprobenfunktion 9 n=1 X2 n auf 2 Nachkommastellen gerundet an. - Geben Sie für die Stichprobenfunktion 9 n=1 X2 n die Zahl der Freiheitsgrade an. - Geben Sie das 50%-Quantil der Realisationen an.

5 Vertiefung der Statistik Aufgabe 2 (15 ) Ein Unternehmen untersucht die persönlichen Umsätze ihrer Verkäufer bezüglich eines neu eingeführten Produktes innerhalb eines bestimmten Zeitraumes. Betrachtet wird dabei die Abhängigkeit der Umsätze Y (in Euro) von der Anzahl der Verkaufsgespräche X. Im Rahmen der Untersuchung werden N = 400 Verkäufer überprüft. Es ergaben sich folgende Werte. 2.1 x = 8 s x = 0.8 ȳ = 400 s y = 80 s xy = Ĉov(x, y) = 6 (1 Punkt) Geben Sie den Korrelationskoeffizienten zwischen Umsatz und Anzahl der Verkaufsgespräche an. 2.2 (1 Punkt) Sie möchten überprüfen, ob der Korrelationskoeffizient einen Wert kleiner als 0.4 annimmt. Geben Sie die Nullhypothese an. 2.3 (6 ) Zugrundegelegt wird die Nullhypothese H 0 : ρ 0.7 zum Signifikanzniveau von α = Geben Sie das Quantil und die Realisation der geeigneten Teststatistik an. Wird die Hypothese H 0 abgelehnt? Begründen Sie kurz Ihre Entscheidung. 2.4 (3 ) Berechnen Sie die Schätzungen für die Parameter α und β der Regressionsgeraden und geben Sie die durch die Schätzungen bestimmten Regressionsgerade an. 2.5 (1 Punkt) Ein Verkäufer führte 6 Verkaufsgespräche. Mit welchem Umsatz ist zu rechnen? 2.6 (3 ) Bestimmen Sie das zweiseitige 99%-Konfidenzintervall zur Vorhersage des Umsatzes eines Verkäufers mit x 0 = 9 und ˆσ = Verwenden Sie anstelle des t-quantils als Näherung das entsprechende z-quantil der Standardnormalverteilung. Geben Sie das Quantil separat an.

6 Vertiefung der Statistik Aufgabe 3 (8 ) Betrachtet werden die drei Gütekriterien eines Messinstrumentes: - Objektivität: Verschiedene Interviewer erhalten mit demselben Messinstrument das gleiche Ergebnis. - Reliabilität: Das Messinstrument ist zuverlässig, d.h. eine Wiederholung der Messung führt unter denselben Bedingungen zum ähnlichen Ergebnis. - Validität: Das Messinstrument ist gültig, d.h. das Messinstrument misst tatsächlich das, was gemessen werden soll. Tragen Sie in den folgenden Text die Begriffe objektiv, nicht objektiv, reliabel, nicht reliabel, valide, nicht valide in der richtigen Reihenfolge ein (s. Lösungsbogen). Es müssen nicht alle Begriffe vorkommen, Doppelnennungen sind möglich. Wenn verschiedene Professoren dieselbe Bachelorarbeit gleich beurteilen, dann ist das Urteil (1). Geben verschiedene Professoren zu verschiedenen Zeitpunkten über dieselbe Bachelorarbeit das gleiche Urteil ab, dann sind die Urteile sowohl (2), wie auch (3). Sind erhebliche Zweifel daran berechtigt und nachgewiesen, dass der Professor nicht das beurteilt, was er zu beurteilen vorgibt, dann ist das Urteil (4), das Urteil kann aber (5) oder (6) sein. Ein Professor, der zu verschiedenen Zeitpunkten dieselbe Bachelorarbeit unterschiedlich beurteilt, gibt ein Urteil ab, das (7) ist. Wenn ein Urteil gültig ist, so bezeichnet man dieses Urteil auch als (8).

7 Vertiefung der Statistik Aufgabe 4 (16 ) Ein Unternehmen untersucht die Produktivität eines bestimmten Produktes in Abhängigkeit verschiedener Materialien und Produktionsmethoden. Dabei werden beide Faktoren getrennt voneinander betrachtet. Erhoben wird die Anzahl der produzierten Stücke. 4.1 (2 ) Betrachtet werden zunächst die Produktionsmethoden. Vervollständigen Sie folgenden Output (s. Lösungsbogen). Anzahl Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Quadratsumm e 478,800 [ 1 ] ONEWAY ANOVA Gesamt 1274, df [ 2 ] 25 Mittel der Quadrate 119,700 [ 3 ] F [ 4 ] Signifikanz, (1 ) Wieviele Produktionsmethoden werden untersucht und wieviele Beobachtungen liegen der Untersuchung zugrunde? 4.3 (2 ) Bestimmen Sie anhand des Outputs in 4.1 das Bestimmtheitsmaß und interpretieren Sie kurz den Wert.

8 Vertiefung der Statistik (4 ) Mittels eines zweiten Datensatzes wird nun das Material betrachtet. Kreuzen Sie im Output an (s. Lösungsbogen), welche Mittelwertsunterschiede zum Niveau 0.01 bzw signifikant sind. Mehrfachvergleiche Anzahl Bonferroni (I) Material 1 (J) Material 2 Mittlere Differenz (I-J) -2,833 Standardfehle r 1,810 Signifikanz, ,333 1,810, ,833 1,810, ,500 1,810, ,333 1,810, ,500 1,810,025 Mehrfachvergleiche 4.5 Anzahl Bonferroni Geben Sie mittels der Residualstreuung Unterschiede den Schätzer signifikant für σ 2 an. (I) Material 1 Anzahl Zwischen den Gruppen 3 Innerhalb der Gruppen (J) Material 1 2 Quadratsumm e 215, , : ja nein [ ] [ ] ONEWAY ANOVA [ ] [ ] [ ] df[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Gesamt 362, [ ] [ ] 0.01: ja nein Mittel der Quadrate [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 107,722 [ ] [ ] 9,833 [ ] [ ] [ ] [ ] F 10,955 (1 ) Signifikanz,001

9 Vertiefung der Statistik (1 ) Geben Sie das für den zweiten Datensatz zum Signifikanzniveau 0.05 verwendete f-quantil der Varianzanalyse an. 4.7 (1 ) Wie lautet der prognostizierte Wert der produzierten Stückzahl, wenn bekannt ist, dass mit dem zweiten Material produziert wird? Anzahl N ONEWAY deskriptive Statistiken Mittelwert 70,33 73,17 78,67 Standardabwe ichung 3,983 3,061 2,066 Standardfehle r 1,626 1,249,843 Gesamt 18 74,06 4,621 1, (2 ) Geben Sie die prozentuale Fehlerreduktion an und interpretieren Sie kurz den Wert.

10 Vertiefung der Statistik Aufgabe 5 (3 ) Zeigen Sie, dass für das Fehlermodell der klassischen Testtheorie mit X = T + ɛ, und der Annahme Cov(T, ɛ) = 0, bei Betrachtung von Parallel-Tests gilt: rel = Cov(X 1, X 2 ) Var(X1 )Var(X 2 ) = Var(T ) Var(X), wobei X 1 = T + ɛ 1, X 2 = T + ɛ 2 ist. Weiter wird angenommen, dass die Fehler unkorreliert sind.

11 Klausur: Kurs Vertiefung der Statistik Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. H. Singer Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Datum: Unterschrift des Prüfers: 8

12 Aufgabe (8 ) (3 ) uneingeschränkte Zufallsauswahl ja nein Ziehung der Lottozahlen Von den Studenten einer Vorlesung sollen 12 Personen in die Stichprobe gelangen, davon 8 Männer und 4 Frauen. Untersucht wird das Meinungsbild der Bewohner einer bestimmten Stadt. Dazu werden zu einer bestimmten Tageszeit 100 Personen vor dem Bahnhof befragt. 9

13 1.2 (5 ) Erwartungswert von 9 n=1 X2 n Varianz von 9 n=1 X2 n Standardabweichung von 9 n=1 X2 n Anzahl Freiheitsgrade 50%-Quantil 10

14 Aufgabe 2 (15 ) 2.1 Korrelationskoeffizient(Umsatz,Anzahl) (1 Punkt) 2.2 Nullhypothese H 0 (1 Punkt) 2.3 Quantil (1 Punkt) Realisation der Prüfgröße (2 ) Ablehnung von H 0, ja oder nein? (1 Punkt) Begründung (2 ) 11

15 2.4 ˆα (1 Punkt) ˆβ (1 Punkt) Regressionsgerade (1 Punkt) 2.5 Umsatz (1 Punkt) 2.6 Quantil (1 Punkt) KI (2 ) 12

16 Aufgabe 3 (8 )

17 Aufgabe 4 (16 ) 4.1 (2 ) Anzahl Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Quadratsumm e 478,800 [ 1 ] ONEWAY ANOVA Gesamt 1274, df [ 2 ] 25 Mittel der Quadrate 119,700 [ 3 ] F [ 4 ] Signifikanz,016 [1] [2] [3] [4] 4.2 Anzahl Produktionsmethoden (1 Punkt) N (1 Punkt) 14

18 4.3 Bestimmtheitsmaß (1 Punkt) Interpretation (1 Punkt) 15

19 4.4 (4 ) Mehrfachvergleiche Anzahl Bonferroni (I) Material 1 (J) Material 2 Mittlere Differenz (I-J) -2,833 Standardfehle r 1,810 Signifikanz, ,333 1,810, ,833 1,810, ,500 1,810, ,333 1,810, ,500 1,810,025 Anzahl Bonferroni (I) Material (J) Material Mehrfachvergleiche Unterschiede signifikant 0.05: ja nein 0.01: ja nein [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 16

20 4.5 σ 2 (1 Punkt) 4.6 f-quantil (1 Punkt) 4.7 prognostizierte Stückzahl (2 ) 4.8 Fehlerreduktion (1 Punkt) Interpretation (1 Punkt) 17

21 Aufgabe 5 (3 ) 18

22 19

23 20

24 21

25 22

26 23

27 24

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29 26

30 27

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34 31

35 32