Station GPS Aufgabenblätter
Mathematik-Labor Station GPS Liebe Schülerinnen und Schüler! In dieser Station werdet ihr einiges erleben... Ihr begebt euch auf die abenteuerliche Suche nach einem wertvollen portugiesischen Schiffswrack, das seit über 400 Jahren mit Unmengen von Schätzen an Bord auf dem Grunde des Atlantiks liegt und darauf wartet geborgen zu werden. Dabei arbeitet ihr dabei sowohl mit historischen Methoden und bedient euch modernster und genauester Navigationstechnik (GPS). Wenn ihr alle Aufgaben lösen könnt und die GPS-Technik richtig einzusetzen wisst, dann wird der Schatz dank eurer Hilfe geborgen werden können. Selbstverständlich steht euch dann auch ein Anteil zu. Arbeitet bitte die folgenden Aufgaben der Reihe nach durch - bitte keine Aufgaben überspringen! Falls es mit der Zeit knapp wird, dann arbeitet trotzdem der Reihe nach weiter. Notfalls bearbeitet ihr die letzten Aufgaben nicht. Falls ihr nicht wisst, wie ihr an eine Aufgabe herangehen sollt oder bei eurer Bearbeitung stecken bleibt, könnt ihr die Hilfestellungen (kleines Heft) nutzen. Wenn es zur jeweiligen Aufgabe eine Hilfestellung gibt, könnt ihr dies am Symbol am Rand neben der Aufgabe erkennen. Nutzt diese bitte nur, wenn ihr sie auch benötigt! Wenn eine Simulation zu einem Thema vorhanden ist und verwendet werden soll, könnt ihr das am Symbol am Rand neben der Aufgabe erkennen. Das Symbol verweist darauf, dass hier mit einem gegenständlichen Modell gearbeitet werden soll. Die Simulationen und weiterführende Informationen zum Thema eurer Laborstation, findet ihr auf der Internetseite des Mathematik-Labors Mathe ist mehr unter der Adresse www.mathe-labor.de oder www.mathe-ist-mehr.de. Wir wünschen Euch viel Spaß beim Experimentieren und Entdecken! Das Mathematik-Labor-Team 1
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas Am 13. Juli des Jahres 1594 wurde die portugiesische Galeone Las Cinque Chaquas, voll beladen mit Edelsteinen, Gold und Gewürzen von einer Flotte englischer Freibeuter angegriffen. Nach langer Schlacht geriet die Las Cinque Chaquas in Brand und sank schließlich am darauffolgenden Tag südlich der Azoren. Sie nahm all ihre wertvollen Schätzte mit in die Tiefe, wo sie bis heute unentdeckt liegen. Die Las Cinque Chaquas gilt weltweit als eines der wertvollsten Schiffswracks. Der Wert Ihrer Ladung wird umgerechnet mit einer Milliarde US-Dollar beziffert. Eure Gruppe ist an der Suche nach dem Wrack beteiligt. Ihr habt die Aufgabe, die vermutliche Position des Wracks möglichst genau zu ermitteln. An dieser Stelle wird dann ein Tauchroboter nach dem Wrack suchen. Je genauer eure Ergebnisse sind, desto größer wird euer Anteil am Schatz sein. Auftrag 1.1: Ungefähre Positionsbestimmung mittels der alten Seekarte Die letzte Eintragung des Kapitäns im Logbuch ist hier wiedergegeben: Positionsbestimmung am Morgen des 13. Juli a.d. 1594 mittels Peilung - Entfernung vom Nordwestkap der Insel Sao Miguel: 36 Seemeilen - Entfernung zum Leuchtturm der Insel Terceira: 20 Seemeilen - Entfernung vom Südostkap der Insel Pico: 12,5 Seemeilen 1.1.1 Macht auf der Karte die vermutliche Position des Schiffswracks ausfindig und kennzeichnet diese. Material Seekarte der Azoren von 1584 Navigationsbesteck 2.
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas 1.1.2 Kontrolliert euer Ergebnis anhand der Simulation 1. 1.1.3 Wie viele Bezugspunkte benötigt ihr in diesem Beispiel mindestens, um die Position an der sich die Las Cinque Chaquas zum Zeitpunkt der Messung befand eindeutig zu ermitteln? Begründet eure Antwort. 1.1.4 Wie viele Bezugspunkte braucht man im Allgemeinen mindestens, um jede beliebige Position auf einer Karte eindeutig zu bestimmen? Begründet eure Antwort. 1.1.5 Habt ihr nun ausreichend Informationen, um den Tauchroboter auf die Suche zu schicken? Wie teilt ihr den vermutlichen Fundort mit. 3
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas Auftrag 1.2: Eingrenzung des Fundortes präzisiert Euer Ergebnis Um die vermutliche Position des Schiffswracks angeben zu können, müsst ihr die historische Karte auf eine sinnvolle Art einteilen. Benutzt dazu nacheinander die beiden Folien Planquadrate und Koordinatensystem. Material Seekarte der Azoren von 1584 Folie Planquadrate Folie Koordinatensystem. 1.2.1 In welchen Planquadraten liegen die Bezugspunkte (Nordwestkap der Insel Sao Miguel, Südostkap der Insel Pico und Leuchtturm der Insel Terceira), in welchem Planquadrat liegt der vermutliche Fundort. 1.2.2 Wie groß ist ungefähr die Fläche, die der Tauchroboter absuchen müsste, wenn dieser als Anhaltspunkt für seine Suche ein Planquadrat gegeben hat. 4
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas 1.2.3 Gebt nun die Koordinaten der Bezugspunkte (Nordwestkap der Insel Sao Miguel, Südostkap der Insel Pico und Leuchtturm der Insel Terceira) an. 1.2.4 Versucht nun möglichst genau die Koordinaten des vermutlichen Fundortes abzulesen. Gebt dann auch die Koordinaten in ganzen Zahlen an. Schätzt ab, wie groß wohl die Abweichung ist. 1.2.5 Kontrolliert euer Ergebnis anhand der Simulation 2. 1.2.6 Entscheidet Euch nun welche Daten ihr an das Tauchroboter-Team weitergebt. O Planquadrat in dem das Wrack vermutlich liegt O ungefähre Koordinaten der vermutlichen Position 5
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas Auftrag 1.3: Kalibrieren der Karte erste Berechnungen Ihr habt Euch entschieden den vermutlichen Fundort in Form von Koordinaten weiterzugeben. Das war die richtige Entscheidung. Das Tauchroboter-Team benutzt zwar das gleiche Koordinatensystem wie ihr, hat aber eine andere (moderne) Karte. Außerdem wissen sie nicht, wo der Nullpunkt anzulegen ist, damit sie Eure Daten verwenden können. 1.3.1 Berechnet dazu den Abstand des Nullpunktes zu mindestens zwei bekannten Bezugspunkten (Sao Miguel, Pico oder Terceira) und teilt diese Daten dem Tauchroboter-Team mit. 6
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas 1.3.2 Wie wird das Tauchroboter-Team mit euren Daten wohl die Kalibrierung der Karte vornehmen. Beschreibt den Vorgang. 1.3.3 Warum genügt hier die Angabe von zwei Bezugspunkten? 1.3.4 Berechnet nun genau wie in 1.3.1 den Abstand der vermutlichen Position des Schiffswracks vom Nullpunkt. Benutzt dazu die ganzzahligen Koordinaten, die ihr bestimmt habt. 7
Auftrag 1.4: Herleiten der Kreisgleichung Station GPS Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas 1.4.1 Wo befinden sich, geometrisch gesehen, alle Punkte, die vom Nullpunkt genauso weit entfernt sind wie das Schiffswrack. 1.4.2 Schaut euch nochmals die Berechnungen in1.3.1 und 1.3.4 an. Versucht nun mit Hilfe derselben Vorgehensweise eine allgemeine Gleichung aufzustellen, die die Lage aller Punkte beschreibt, welche vom Nullpunkt genau so weit entfernt sind wie das Schiffswrack. Arbeitet dazu mit Simulation 3. 1.4.2 Verallgemeinert nun Eure Gleichung noch weiter. Verändert sie so, dass man als Mittelpunkt einen beliebigen Punkt nehmen kann. Auch hier wird euch Simulation 3 helfen. Verschiebt dazu den Punkt M zu den Koordinaten (2 3). 8
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas Auftrag 1.5: Weitere Berechnungen kontrolliert Euer Ergebnis 1.5.1 Das Tauchroboter-Team bedankt sich für eure gute Arbeit. Bevor der Tauchgang gestartet werden kann, muss das Ergebnis allerdings rechnerisch kontrolliert werden. Benutzt dazu die Formel, die ihr in der letzten Aufgabe hergeleitet habt. 1.5.2 Kontrolliert Eure Ergebnisse mit Simulation 4. 9
Teil 1:Auf der Suche nach der Las Cinque Chaquas Auftrag 1.6: Das Wrack ist gefunden berechnet die Abweichung 1.6.1 Der Tauchroboter war erfolgreich. Er hat das Wrack bei Position (12,4 5,36) entdeckt. Nun geht es darum die Genauigkeit eures Ergebnisses zu prüfen. Wie weit ist der reale Fundort von dem von euch ermittelten Ort entfernt? 1.6.2 Mit Simulation 5 könnt ihr eure Ergebnisse mit dem realen Fundort vergleichen und zusätzlich die Position auf einem Satellitenbild betrachten. 1.6.3 Der Tauchroboter sendet außerdem über eine Boje an der Wasseroberfläche ein Signal aus. Das Signal gibt die über GPS ermittelte Position der Boje an und lautet wie folgt: 37.863056-27.744722 Könnt ihr dieses Signal entziffern? Stellt Vermutungen an. 10 Minuten Pause 10
Teil 2: aber die Erde ist doch rund?! 2.1 Um zu erfahren, was es mit den Koordinaten auf sich hat, schaut euch nun den Film 1 an. 2.1.1 Was passiert mit den Längen sowie Abständen zwischen den Längen und Breitengraden? Vergleicht die Veränderungen vom Äquator zu den Polen. Längengrade Breitengrade Länge Abstand 2.1.2 Welche unterschiedlichen Arten von Koordinaten werden beim Erdmodell verwendet? 2.1.3 Wo befindet sich der Nullpunkt des zweidimensionalen Gradnetzes der Erde? 2.1.4 Wo befindet sich der Nullpunkt des dreidimensionalen Koordinatensystems? 11
Teil 2: aber die Erde ist doch rund?! 2.2 Schaut euch nun das kartesische Koordinatensystem der Erde anhand des Modells 2 einmal genauer an. Material Erdmodell. 2.2.1 Benennt bzw. beschreibt die Orte mit folgenden kartesischen Koordinaten: (Der Erdradius beträgt: r= 6371 km) A (0, 0, 0); B (0, -6371, 0); C (6371,0, 0) 2.2.2 Findet die ungefähren kartesischen Koordinaten folgender Orte: D: Nordpol; E: Südpol; F: Galapagos Inseln 12
Teil 2: aber die Erde ist doch rund?! 2.3 Verwendet nun Simulation 6 um euch näher mit den Koordinaten der Erde zu befassen. 2.3.1 Bestimmt jeweils die Koordinaten von Sizilien und dem Horn von Afrika. Verändert dazu die Regler in der Simulation so, dass der angezeigte Punkt näherungsweise auf der entsprechenden Landmarke zu liegen kommt. Benutzt zuerst die Regler kartesische Koordinaten dann die Regler geografische Koordinaten. Notiert zu jedem Punkt die Koordinaten in folgender Tabelle. kartesische Koordinaten geografische Koordinaten Sizilien Horn von Afrika 2.3.2 Stellt Ihr bei der Bedienung der Simulation Unterschiede fest? Beschreibt diese. 2.3.3 Welchen Zweck haben kartesische Koordinaten? Wann finden geografische Koordinaten Verwendung? 13
Teil 2: aber die Erde ist doch rund?! 2.3.4 Füllt abschließend folgende Tabelle aus, die kartesische Koordinaten mit geografischen Koordinaten vergleicht. gemessene Einheit Anzahl der Werte was wird dargestellt auf zweidimensionaler Karte verwendbar? kartesische Koordinaten geografische Koordinaten 2.3.5 So, gleich geht s endlich weiter mit GPS. Bei diesem Thema geht es um Satelliten im Raum und Orte auf der Erdoberfläche. Welches Koordinatensystem eignet sich hier wohl wofür am besten? Und wie da mit GPS genau funktioniert erfahrt ihr in Teil 3. 14
Teil 3:Hilfe aus dem All 3.1 Film 2 zeigt euch wissenswertes über die Funktionsweise von GPS. 3.1.1 Wie viele Satelliten umfasst das GPS und wie kommt es zu dieser Anzahl? 3.1.2 Jeder Satellit ist mit 3-4 Atomuhren bestückt. Wozu werden diese benötigt. 3.1.3 Wie schnell breiten sich die Satellitensignale aus? 3.1.4 Ein Satellit sendet zum Zeitpunkt t 1 = 16:13:31.28253 Uhr ein Signal aus. Auf der Erde empfängt ihr es zum Zeitpunkt t 2 = 16:13:31.35758 Uhr. Berechnet den Abstand des Satelliten von eurer Position. (Rechnet mit c = 299792458 m/s) 3.1.5 Stellt euch vor wegen einer Ungenauigkeit der Uhr wird der Eingang des Signals eine Millisekunde später gemessen. Wie groß ist dann die Differenz die im Vergleich zur tatsächlichen Strecke berechnet wird. 15
Teil 3:Hilfe aus dem All 3.2 Nehmt nun wieder das Erdmodell aus 2.2 in den Blick. Material Erdmodell mit Satelliten Maßband. 3.2.1 Positioniert die beiliegenden Satelliten an drei beliebigen Stellen und bestimmt ihre kartesischen Koordinaten. Stellt die Koordinaten jeweils in Abhängigkeit vom Erdradius r dar. z.b. Nordpol: (0, 0, 6371) = (0, 0, r) = (0, 0, 1) 3.2.2 Positioniert zwei Satelliten an den Stellen 1 und 4. Welchen Abstand haben die Satelliten zu dem Punkt (6371, 0, 0) = (1, 0, 0)? Bestimmt die Abstände rechnerisch als Vielfache vom Erdradius und überprüft eure Rechnung durch nachmessen. 16
Teil 3:Hilfe aus dem All 3.3 Benutzt zur Betrachtung der Signalausbreitung Simulation 7. 3.3.1 In welcher Form breiten sich die Signale aus. Begründet. 3.3.2 Was entsteht wenn die Signale der Satelliten auf die Erde treffen? 3.3.3 Könnt ihr Gemeinsamkeiten mit der Karte aus Aufgabe 1 erkennen? 3.3.4 Wie viele Satelliten benötigt man um einen Punkt auf der Erde eindeutig beschreiben zu können? 3.3.5 Wo liegen alle gemeinsamen Punkte der Schnittkreise, die ihr in der Simulation finden könnt? 17
Teil 3:Hilfe aus dem All 3.3.6 Die Boje des Tauchroboters, die den Fundort des Wracks markiert, misst folgende Zeiten bis zum Eintreffen der Signale von drei Satelliten. t Sat1 = 0,03397617 ms t Sat2 = 0,04413201 ms t Sat3 = 0,04724797 ms Verifiziert die Position der Boje mit Hilfe der Simulation 7 indem ihr dort die Abstände der Satelliten eintragt. Notiert die kartesischen Koordinaten. B (x, y, z) = 3.3.7 Nutzt Simulation 8 um diesen Punkt in geografische Koordinaten umzuwandeln und notiert diese. B (λ, φ) = 3.3.8 Vergleicht diesen Wert mit dem Signal aus Aufgabe 1.6.2. 10 Minuten Pause 18
Teil 4:Zahltag Eure Belohnung ist nahe! 4 Erfolgsmeldung! Die Las Cinque Chaquas wurde Dank eurer fachkundigen Hilfe geborgen. Nun steht euch der vereinbarte Anteil des Schatzes zu. Dieser Anteil wurde bereits sicher in der Nähe deponiert. Damit auch wirklich niemand außer euch die wertvollen Goldmünzen an sich nehmen kann, wird euch die Stelle, an der ihr fündig werdet auf eine ganz besondere Art mitgeteilt:. 4.1 Berechnet die Koordinaten, indem ihr anwendet, was ihr in dieser Station gelernt habt. Ihr dürft dazu sämtliche Simulationen benutzen. 19
Teil 4:Zahltag Eure Belohnung ist nahe! 4.2 Gebt die Koordinaten in den GPS-Empfänger und macht euch auf den Weg. Material GPS-Empfänger. 20
Mathematik-Labor Mathe-ist-mehr Universität Koblenz-Landau Institut für Mathematik Prof. Dr. Jürgen Roth Fortstraße 7 76829 Landau www.mathe-ist-mehr.de www.mathe-labor.de Zusammengestellt von: Marc-Oliver Konrad und Phillip Papastefanou Betreut von: Dr. Ralf Wagner Veröffentlicht am: 24.08.2011