Teilchen- und Kernphysik

Teilchen- und Kernphysik Nach den Vorlesungen von Dr. Frank Siegert,IKTP Übertragen von Henning Iseke, Sebastian Schmidt und Marius Walther Wintersemester 2015/2016

Dies ist kein offizielles Skript des Vorlesenden und enthält einige Anpassungen, wie den ausformulierten Text. Dadurch können sich natürlich Fehler eingeschlichen haben und somit erfordert die Durcharbeit des Skriptes immer auch etwas Mitdenken des Lesers. Die Basis für dieses Schriftstück lieferte die Mitschrift der Vorlesung Teilchen- und Kernphysik an der Technischen Universität Dresden von Dr. Siegert. Bilder wurden, wenn nicht anderes vermerkt ist, auf Grundlage der Mitschrift selbst erstellt. Das Titlebild zeigt die Spuren eines Zerfalls des Higgs-Bosons als Simulation. CC-BY-SA 4.0 Lucas Taylor/CERN, http://cds.cern.ch/record/628469. Version: 22. Mai 2016

Inhaltsverzeichnis 1 Was ist Teilchenphysik? 7 1.1 Historischer Abriss................................ 7 1.1.1 Elementarteilchen............................ 7 1.1.2 Wechselwirkungen............................ 7 1.2 Das Standardmodell der Teilchenphysik..................... 8 1.3 Experimentelle Methoden............................. 9 1.3.1 Quellen hochenergetischer Teilchen................... 9 1.4 Nachweis von Teilchen in Detektoren...................... 11 2 Handwerkliche Grundlagen 13 2.1 Natürliche Einheitensysteme........................... 13 2.2 Relativitätstheorie................................. 14 2.3 Nichtrelativisitische Quantenmechanik...................... 15 3 Streu- und Zerfallsprozesse 17 3.1 Klassifikation von Streuprozessen........................ 17 3.2 Wirkungsquerschnitt und Fermis Goldene Regel................. 18 3.3 Differentieller Wirkungsquerschnitt....................... 19 3.4 Beispiele..................................... 20 3.4.1 Klassische Streuung von harten Kugeln................. 20 3.4.2 Rutherford-Streuung........................... 21 3.5 Zerfallsprozesse.................................. 22 4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen 25 4.1 Die Dirac-Gleichung............................... 25 4.1.1 Einführung................................ 25 4.1.2 Eigenschaften der Dirac-Gleichung................... 26 4.1.3 Lösungen der Dirac-Gleichung...................... 27 4.1.4 Antiteilchen: Feynman-Stückelberg-Interpretation........... 28 4.1.5 Helizität.................................. 30 4.2 Wechselwirkungen am Beispiel der Quantenelektrodynamik.......... 31 4.2.1 Lokale Eichsymmetrie in der Dirac-Gleichung............. 31 4.2.2 Das Photonenfeld.......................... 32 4.2.3 Wechselwirkungen und Übergangsmatrixelemente........... 33 3

Inhaltsverzeichnis 4.3 Feynman-Diagramme............................... 33 4.3.1 Feynman-Regeln der QED........................ 34 4.3.2 Beispiele................................. 35 4.3.3 Eigenschaften von Feynman-Diagrammen................ 36 4.4 Auswertung des Betragsquadrats des Matrixelements an einem Beispiel.... 37 5 Das Standardmodell der Teilchenphysik 41 5.1 Zusammenfassung der QED........................... 41 5.2 Die Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik.............. 41 5.2.0 Teilcheninhalt der QED und QCD.................... 44 5.2.1 Confinement und asymptotische Freiheit................. 44 5.2.2 Hadronen und Jets............................ 45 5.2.3 Hadronen-Kollisionen und QCD..................... 45 5.2.4 Experimentelle Bestätigung der QCD.................. 47 5.2.5 SU(3)-Struktur der QCD (revisited)................... 47 5.3 Schwache Wechselwirkung............................ 48 5.3.1 Die Eichbosonen, und................... 49 5.3.2 Die Paritätsverletzung und Händigkeit der schwachen Wechselwirkung 50 5.3.3 Die elektroschwache Vereinheitlichung................. 54 5.4 Der Higgs-Mechanismus............................. 55 5.4.1 Masse-Terme in der Lagrange-Dichte.................. 55 5.4.2 Vorbetrachtung: skalare Felder und spontane Symmetriebrechung... 56 5.4.3 Der Higgs-Mechanismus am Beispiel der............. 57 5.4.4 Der Higgs-Mechanismus im Standardmodell.............. 58 5.4.5 Massen der Fermionen.......................... 60 5.4.6 Eigenschaften des Higgs-Bosons..................... 61 5.4.7 Produktions - und Zerfallsprozesse des Higgs-Bosons.......... 61 5.4.8 Ausgewählte Phänomene der schwachen Wechselwirkung....... 62 5.5 Vakuum-Stabilität................................. 66 6 Teilchenidentifikation in Detektoren 69 6.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie.................... 69 6.1.1 Energieverlust durch Ionisation..................... 69 6.1.2 Elektromagnetischer Schauer....................... 70 6.1.3 Hadronischer Schauer.......................... 71 6.1.4 Cerenkov-Strahlung........................... 71 6.2 Impulsbestimmung im Magnetfeld........................ 72 6.3 Detektorkonzepte am Beispiel von ATLAS................... 72 7 Gebundene Zustände 75 7.1 Vom Wasserstoffatom über Positronium zum Charmonium........... 75 7.1.1 Wasserstoff gegenüber Positronium................... 75 7.1.2 Charmonium als QCD-Bindungszustand................. 76 7.2 Massen der Mesonen............................... 77 4

Inhaltsverzeichnis 8 Modelle der Atomkerne 79 8.1 Eigenschaften der Kerne............................. 79 8.1.1 Ladung und Notation........................... 79 8.1.2 Massen und Bindungsenergien...................... 79 8.1.3 Geometrische Gestalt der Kerne..................... 80 8.1.4 Spin und magnetische Momente..................... 82 8.2 Die semiempirische Massenformel........................ 83 8.3 Tröpfchenmodell................................. 83 8.4 Das Fermi-Gas-Modell.............................. 84 8.5 Das Schalenmodell................................ 85 9 Kernreaktionen & Zerfälle 89 9.1 Allgemeines.................................... 89 9.2 -Zerfall...................................... 90 9.2.1 Kinematik des -Zerfalls......................... 90 9.2.2 Tunnelwahrscheinlichkeit........................ 91 9.3 -Zerfall...................................... 92 9.4 Kernspaltung................................... 95 9.5 Gammastrahlung................................. 98 9.6 Strahlenschutz................................... 100 9.7 Kernfusion.................................... 101 9.7.1 Phasen der Fusion in Sternen....................... 101 9.7.2 Kernfusion im Reaktor.......................... 103 5

1 Was ist Teilchenphysik? Grob gesprochen beschäftigt man sich in der Teilchenphysik mit der Suche nach der fundamentalen Lagrange-Funktion unseres Universums, mit welcher es möglich ist, alle elementaren Teilchen und Wechselwirkungen (Kräfte) zu beschreiben. 1.1 Historischer Abriss 1.1.1 Elementarteilchen Erste Überlegungen zum elementaren Aufbau unserer Welt stellten bereits griechische Philosophen an. Eine Theorie war, dass alles aus Luft bestehe, woraus auch der Grundgedanke der vier Elemente Luft, Wasser, Erde und Feuer entstand, welche für lange Zeit die dominierende Theorie war. Mit verbesserten experimentellen Methoden änderte sich dies Ende des 19. Jahrhunderts mit einer rudimentären Theorie, die alle Materie aus Atomen zusammensetzte. 1 Ebenjene Theorie wurde in den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts von Ernest Rutherford erweitert, welcher mit seinem Streuexperiment nachweisen konnte, dass Atome mindestens zweigeteilt sein müssen: bestehend aus einer hauptsächlich leeren Hülle und einem verhältnismäßig kleinen Kern, welcher allerdings den Hauptteil der Atommasse in sich vereint. In den 30er Jahren wurde mit dem Neutron ein weiterer Bestandteil von Nuklei entdeckt, sowie die Existenz des Neutrinos postuliert. Nach der Entdeckung weiterer Elementarteilchen wurde in den 50er/60er Jahren der bis dahin unsortierte Hadronenzoo durch das Quarkmodell sortiert, dessen Ordnungsprinzipien auf eine innere Struktur hinweisen (s. Abb. 1.1). 1.1.2 Wechselwirkungen Um 1800 ging man davon aus, dass jegliche Wechselwirkungen im Universum auf vier Grundkräfte zurückzuführen sei: Gravitation, Molekül- und Atomkräfte (was auch immer das genau heißen mag), Elektrizität und Magnetismus. Letztere wurden Ende des 19. Jahrhundert zum 1 Was genau genommen keine neue Idee war. Der griechische Begriff atomos, welcher mit unteilbar übersetzt werden kann, wurde bereits im 5. Jahrhundert v. Chr. von Demokrit geprägt. 7

1 Was ist Teilchenphysik? Baryonen Anti-Baryonen Abbildung 1.1: Hadronenzoo. Mesonen Elektromagnetismus vereint. Später wurde auch gezeigt, dass die Wechselwirkungen innerhalb von Atomen und Molekülen auf ebenjenen Elektromagnetismus zurückzuführen ist. Weitere Entwicklungen in der Kernphysik wiesen auf die Existenz einer sogenannten schwachen Kraft und einer Kernkraft hin, wobei letztere auf die starke Wechselwirkung zurückführbar ist. Die vier hervorgehobenen Kräfte bilden nach heutiger Vorstellung die Grundkräfte unseres Universums. 1.2 Das Standardmodell der Teilchenphysik Das Standardmodell erklärt den Aufbau der stabilen Materie, zu Beginn mit den bekannten Elementarteilchen der ersten Generation: Elektron ( ) Up-Quark () Down-Quark () Elektron-Neutrino (, bekannt aus -Zerfall) Jedes dieser Teilchen hat im Standardmodell noch zwei weitere schwerere Brüder aus der zweiten und dritten Generation, welche abgesehen von ihrer Masse identisch zu ihren Partnern der ersten Generation sind. Alle zusammen sind Fermionen, d. h. Spin- -Teilchen und bilden die drei Generationen der Materie. Die vier grundlegenden Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen werden im Standardmodell durch den Austausch von Wechselwirkungsteilchen beschrieben. Dies ermöglicht eine konsistente Beschreibung durch die Quantenfeldtheorie (QFT), sodass kein ad-hoc Potential oder eine ominöse Fernwirkung eingeführt werden muss. Die Wechselwirkungsteilchen sind in Tabelle 1.1 vorerst nur oberflächlich dargestellt. Die bekannten vier Austauschteilchen sind Bosonen, also Spin--Teilchen. Zusätzlich zu ebenjenen Bosonen gibt es noch das Higgs-Boson, das einzig bekannte Spin--Teilchen, welches 8

1.3 Experimentelle Methoden Tabelle 1.1: Überblick über die Wechselwirkungen Elektromagnetismus Austauschteilchen relative Stärke starke Kraft Gluon () Photon () schwache Kraft -Boson ( ) -Boson () Gravitation? eingeführt wurde, um den - und -Bosonen dynamisch Masse zu verleihen. Es wurde in den 1960ern vorhergesagt und 2012 experimentell entdeckt. Der bereits erwähnte Spin oder auch Eigendrehimpuls ist eine Eigenschaft von Elementarteilchen und kann für verschiedene Teilchen die Werte annehmen. Weitere Eigenschaften, welche Elementarteilchen charakterisieren, sind die Ruhemasse sowie seine Parität. Letztere gibt das Verhalten unter Raumspiegelung an und kann die Werte annehmen. Eine andere zu betrachtende Transformation ist die sogenannte Konjugation mit den Eigenwerten. Die Konjugation ist die Transformation eines Teilchens zu seinem Antiteilchen, welches für jedes geladene Teilchen ein Teilchen mit gleicher Masse, aber entgegengesetzter Ladung ist (z. B. ). 1.3 Experimentelle Methoden Die große Problematik der Teilchenphysik ist, dass interessante Elementarteilchen wie z. B. das Higgs-Boson sowohl relativ schwer als auch kurzlebig sind, was ihr Studium sehr schwierig macht. Schwer bedeutet in diesem Zusammenhang, dass sie hochenergetische Prozesse oder Ausgangsteilchen mit bereits hoher Energie benötigen um sie zu beobachten. Der Kurzlebigkeit kann man gut entgegenwirken, in dem man nicht das Teilchen selbst, sondern seine stabilen Zerfallsprodukte in verschiedenen Detektoren nachweist. 1.3.1 Quellen hochenergetischer Teilchen Grob gesprochen gibt es zwei Quellen hochenergetischer Teilchen. Die erste ist die natürliche Bestrahlung aus dem Kosmos, welche hauptsächlich aus Photonen besteht, aber auch sogenannte hadronische Shower enthält, welche sich wie in folgendem Beispiel in Myonen umwandeln: (1.1) 9

1 Was ist Teilchenphysik? Problematisch bei natürlicher Bestrahlung sind die sehr geringen Raten der Teilchenströme sowie die sehr große Streuung, welche es schwierig machen, sie für exakte Experimente im Labor zu benutzen. Praktischer ist es daher, künstliche Bestrahlung aus einem Teilchenbeschleuniger zu nutzen und Teilchenkollisionen kontrolliert in einem Detektor stattfinden zu lassen. Eine gängige Bauweise für Teilchenbeschleuniger ist ein Ringsystem mit kurzer Beschleunigungsstrecke, welche Runde für Runde erneut durchlaufen werden kann und so wiederholte Beschleunigung möglich machet. Den größten Teil solcher Anlagen machen aber nicht die Beschleunigungsstrecken sondern die Magneten aus, welche die Teilchen auf der Kreisbahn halten (siehe dazu Abb. 1.2). Eine wichtige Kenngröße eines Beschleunigers ist seine erreichbare Schwerpunktsenergie, z. B. die Energie eines Protonenstrahls (mit ) welcher auf ein ruhendes Protonentarget geschossen wird: (1.2) Hieran kann man leicht die Ineffizienz eines Beschleunigers erkennen, der Kollisionen mit einem ruhenden Target erzeugt: Beschleunigt man den Protonenstrahl auf TeV, erreicht man nur eine Schwerpunktsenergie von TeV! Besser ist es daher zwei gegenläufig beschleunigte Strahlen in einem sogenannten Speicherring zur Kollision zu bringen. Ablenkung (Dipol) Detektor Fokussierung (Quadrupol) Elektronen-Injektion (vom Beschleuniger) Positronen-Injektion (vom Beschleuniger) Beschleunigungsstrecke (Ausgleich von Strahlungsverlusten) Abbildung 1.2: Speicherring. CC-BY-SA 2.5 Florian DO, https://commons.wikimedia.org/wiki/file:storage_ring_de.svg Eine weitere wichtige Kenngröße ist die (instantane) Luminosität, die angibt, wie häufig Kollisionen stattfinden. Sie ist z. B. notwendig um angeben zu können wie viele Higgs-Bosonen pro Jahr am LHC entstehen. Der Zusammenhang zwischen dem Wirkungsquerschnitt 2, den 2 Wir werden den Wirkungsquerschnitt in Abschnitt 3.2 definieren. 10

1.4 Nachweis von Teilchen in Detektoren man mit einer Wahrscheinlichkeit gleichsetzen kann, einer gegebenen Reaktion und der Zahl der zu erwartenden Ereignisse ist Die Luminosität hängt von Strahl-/Kollisionsparametern ab wobei die zweite Gleichung für einen Strahl mit Gauß-Profil gilt. gibt die Frequenz der Pakete an, die Anzahldichte der Teilchen und die effektive Querschnittsfläche. 1.4 Nachweis von Teilchen in Detektoren Es gibt verschiedene Techniken um Teilchen nachzuweisen für verschiedene Teilchenarten (geladen, ungeladen) und verschiedene Messgrößen (Energie, Ort, Impuls): Spurdetektoren elektromagnetische bzw. hadronische Kalorimeter Myonendetektoren Für beschleunigerbasierte Experimente verwendet man oft Kombinationen verschiedener Detektoren in einem zwiebelförmigen Aufbau. 3 3 Das wird in Abschnitt 6.3 besprochen. 11

2 Handwerkliche Grundlagen 2.1 Natürliche Einheitensysteme Wir wollen nun die Einheiten nicht anhand von Prototypen (wie z. B. dem Urkilogramm, Urmeter etc.), sondern anhand von Naturkonstanten definieren. Die Planck-Einheiten sind beispielsweise eine ganz konsequente Umsetzung dieser Vorgehensweise: kg m s. Für die Teilchenphysik ist jedoch folgende Definition praktischer: kg m s GeV D. h. wir wählen GeV als Energieeinheit und verwenden nicht die Gravitationskonstante. Dies können wir bedenkenlos tun, da die Gravitation gegenüber den anderen Wechselwirkungen vernachlässigbar ist. Jetzt kommt das besondere: Wir wählen und eliminieren so alle Einheiten außer GeV. Das macht die Dimensionsanalyse für die Fehlersuche unmöglich, aber es gehen keine Informationen verloren! Alle Größen werden in Potenzen von GeV angegeben (s. Tab. 2.1)und die Gleichungen vereinfachen sich enorm: Tabelle 2.1: Einheitensysteme im Vergleich kg m s GeV Energie kg m s GeV GeV Impuls kg m s GeV/c GeV Masse kg GeV/c 2 GeV Zeit s (GeV/) -1 GeV Länge m (GeV/) -1 GeV Fläche m (GeV/) -2 GeV Jenseits der drei Grundeinheiten interessieren uns noch weitere z. B. in der Elektrodynamik 13

2 Handwerkliche Grundlagen Wir erweitern also unsere o. g. natürlichen Einheiten um. Aufgrund von erhalten wir die Heaviside-Lorentz-Einheiten. Die Feinstrukturkonstante vereinfacht sich nun folgendermaßen wobei sich beide Male näherungsweise ergibt, da es sich um eine dimensionslose Größe handelt. 2.2 Relativitätstheorie Aus vorherigen Vorlesungen insbesondere der Elektrodynamik erinnern wir uns an die Viererschreibweise: kontravarianter Ortsvektor Lorentz-Transformation speziell für den -Boost gilt: mit kovarianter Ortsvektor mit Metrik Lorentz-invariantes Raumzeit-Intervall 1 Auch wichtig ist der Viererimpuls, der sich aus der Energie des Teilchens mit der Masse und dem Impuls zusammensetzt:. Er lässt sich als kontravarianter Vierervektor transformieren. Für das Skalarprodukt gilt, wobei die invariante Masse ist. Für ein Teilchen ist die Beziehung trivial, aber sie gilt auch für Impulssummen. 1 alle anderen Skalarprodukte analog 14

2.3 Nichtrelativisitische Quantenmechanik Die Mandelstam-Variablen sind wichtig für die typischen -Streuprozesse mit intermediärem Teilchenaustausch (s. Abb. 2.1); alle drei Variablen sind Lorentz-invariant. Abbildung 2.1: Mandelstam-Variablen Als letztes führen wir nun noch Koordinaten mit Bezug zur Beam-Achse ( -Achse) ein: Transversalimpuls Transversalenergie Transversalmasse Rapidität Die Rapidität ist additiv unter Boosts. Pseudo-Rapidität Die beiden letzten sind identisch, falls das Teilchen masselos bzw. näherungsweise masselos ist, was bei hohen Energien der Fall ist. Bei handelt es sich um den Polarwinkel. 2.3 Nichtrelativisitische Quantenmechanik Als weitere Grundlage benötigen wir die zeitabhängige Störungstheorie 2, die wir u. a. zur Berechnung von Zerfallsbreiten benötigen: In die bekannte Hamilton-Funktion fügen wir einen Störungsterm ein, der Übergänge zwischen den sonst asymptotisch freien Zuständen induziert: z. B.. Das führt uns auf Fermis Goldene Regel für die Übergangsrate von Zuständen 3 2 vgl. Kap. 7.3 in Quantenmechanik 1 von Prof. Ketzmerick. 3 i und f für initial und final. 15

2 Handwerkliche Grundlagen wobei das Übergangsmatrixelement und die Zustandsdichte der erreichbaren Zustände im Energiebereich ist. Eine alternative Schreibweise vor der Integration ist wobei die Zahl der Endzustände mit ist. Das nicht-relativistische Phasenraumelement für die Umwandlung ist in in Das letzte Produkt ist das Differential für auslaufende Impulse und der Faktor folgt aus der Normierung. 16

3 Streu- und Zerfallsprozesse Es existieren hauptsächlich drei experimentelle Methoden um Elementarteilchen bzw. Kerne zu untersuchen. Dabei untersuchen wir gebundene Zustände (Energieniveaus, ), Zerfallsprozesse (Lebensdauer/Zerfallsrate, ) und Streuprozesse (Reaktionsrate, Ablenkungsverteilung, ). Die Untersuchung von gebundenen Zuständen ist typischerweise nicht-relativistische Quantenmechanik (s. Kapitel 7) wohingegen es sich bei den beiden anderen typischerweise um relativistische Quantenmechanik handelt (Quantenfeldtheorie). Die beiden letzten lassen sich auf Grundlage der Goldenen Regel von Fermi beschreiben. 3.1 Klassifikation von Streuprozessen Bei der Streuung wird ein Target (von Teilchentyp ) mit einem Strahl (von Teilchen ) beschossen, was zu einer potentiellen Streureaktion führt. Mögliche (beschleunigbare) Strahlteilchen sind Elektronen/Positronen, (Anti-)Protonen, schwere Ionen oder Neutronen. Die Targets sind entweder fest, flüssig oder gasförmig (fixed target) oder auch Teilchenstrahlen (s. Abschnitt 1.3.1, Speicherring) und die Streureaktionen führen entweder zu Änderungen des Teilchentyps oder eben nicht. Nicht zur Änderung führt die elastische Streuung, bei der es nur zur Impulsänderung kommt: Bei der inelastischen Streuung kommt es dagegen zu einer Umwandlungsreaktion oder Anregung und Emission bzw. Umwandlung: Die wichtigste Eigenschaft des Streuprozesses ist die Reaktionsrate: Wie ist diese experimentell messbar und theoretisch berechenbar? 17

3 Streu- und Zerfallsprozesse 3.2 Wirkungsquerschnitt und Fermis Goldene Regel Die Reaktionsrate pro Target-Teilchen hängt von der Zahl der einfallenden Teilchen (Fluss, m s ) und der effektiven Querschnittsfläche der betrachteten Reaktion (Wirkungsquerschnitt ) ab. Zahl der Reaktionen pro Zeiteinheit pro Target-Teilchen Zahl der einlaufenden Teilchen pro Zeiteinheit Experimentell wird nun der Fluss durch die Luminosität des Strahls (s. Abschnitt 1.3.1) und die Reaktionsrate durch die Zahl der Streuereignisse mit Eingangszustand pro Zeiteinheit bestimmt. Daraus erhalten wir den Wirkungsquerschnitt als Messgröße. Theoretisch ist die quantenmechanische Übergangsrate für (z. B. ) durch Fermis Goldene Regel gegeben (s. Abschnitt 2.3). Wir müssen nun Fermis Goldene Regel relativistisch umformulieren. Dafür ändern wir die Normierung der Wellenfunktion und suchen uns eine neues Lorentz-invariantes Matrixelement damit bekommen wir die Übergangsrate LIPS da Für den Wirkungsquerschnitt müssen wir noch auf den Fluss normieren. 18

3.3 Differentieller Wirkungsquerschnitt Abbildung 3.1: 2-2-Stoß Nun kümmern wir uns um den einlaufenden Teilchenfluss. Der Fluss ist, wobei wir auf ein Teilchen pro Einheitsvolumen umnormieren d. h.. Daraus folgt dann ist dabei der Flussfaktor. Nun haben wir den Wirkungsquerschnitt als Lorentz-invariante Beschreibung des Streuprozesses und Messgröße! Noch offen ist die Frage, wie man das Übergangsmatrixelement berechnet. Darauf kommen wir später nochmal zurück (s. Abschnitt 4.3.1). 3.3 Differentieller Wirkungsquerschnitt Der totale Wirkungsquerschnitt ist oft nicht genug, denn ein Detektor misst z. B. nur Impulse in einem bestimmten Raumwinkelbereich d. h. nur in einem eingeschränkten Phasenraum. Für den Vergleich Experiment Theorie ist außerdem die Abhängigkeit des Wirkungsquerschnitts von von großer Bedeutung. Nun werten wir noch die -Funktion aus und projizieren die auf eine relevante Observable (wie z. B. den Raumwinkel eines Teilchens) in ein gegebenes Bezugssystem und erhalten für unser Beispiel: mit 19

3 Streu- und Zerfallsprozesse Auch andere differentielle Wirkungsquerschnitte sind denkbar, wie z. B.: Der Zusammenhang zum totalen Wirkungsquerschnitt ist dabei immer der gleiche: total In dem Beispiel zum 2-2-Stoß (s. Abb. 3.1) wäre der differentielle Wirkungsquerschnitt bzgl. des Raumwinkels folgendermaßen: 3.4 Beispiele 3.4.1 Klassische Streuung von harten Kugeln Kann der Wirkungsquerschnitt als effektive Streufläche verstanden werden? Wir wollen das nun anhand von harten Kugeln als klassisches Beispiel untersuchen: Die kinematische Beschreibung (zunächst in zwei Dimensionen) erfolgt durch den Stoß-Parameter : wobei ist. Der Zusammenhang zwischen Stoßparameter und Ablenkwinkel beim Stoß besteht darin, dass ein einlaufendes Teilchen im Intervall in das Winkelintervall gestreut wird, wobei gilt: Wir wollen nun unsere Betrachtungen auf drei Dimensionen erweitern, was dazu führt, dass wir den Azimuthalwinkel mit einbeziehen müssen. Diesen wollen wir zusammen mit dem Horizontalwinkel zum Raumwinkelelement zusammenfassen und den Zusammenhang zwischen infinitesimaler Querschnittsfläche des einfallenden Strahls und dem Streu-Winkelelement betrachten (schematisch in Abb. 3.2). 20

3.4 Beispiele dσ dɸ b dω θ dθ Abbildung 3.2: Raumwinkelelement. Nach: Introduction to elementary particles, David J. Griffiths Dieser Zusammenhang ist uns allerdings schon durch den differentiellen Wirkungsquerschnitt gegeben; konkret am Beispiel der harten Kugeln gilt: Für den totalen Wirkungsquerschnitt ergibt sich damit: Dieser Wert entspricht genau der Kreisfläche, die ein stoßendes Teilchen von einer harten Kugel mit dem Radius sieht. Man kann also tatsächlich davon sprechen, dass der Wirkungsquerschnitt der effektiven Streufläche entspricht. 3.4.2 Rutherford-Streuung Wir wollen nun das Beispiel diskutieren, welches für die meisten Streuprozesse in der Teilchenund Kernphysik eine große Rolle spielt, nämlich der Streuung eines Teilchens an einem Coulomb-Potential (schematisch in Abb. 3.3). Sei die Hyperbelbahn eines Teilchens im Coulomb-Potential gegeben mit dem Stoßparameter kin 21

3 Streu- und Zerfallsprozesse 2a zentraler Stoß b α-teilchen Atom a α α ϑ a Abbildung 3.3: Rutherford-Streuung. CC-BY-SA 3.0 Cweiske, https://commons.wikimedia. org/wiki/file:rutherford-scattering-atom_de.svg, modifiziert. Daraus folgt für den differentiellen Wirkungsquerschnitt: Bilden wir damit den totalen Wirkungsquerschnitt, so stellen wir fest, dass er unendlich groß ist: Physikalisch entspricht dies der unendlichen Reichweite des Coulomb-Potentials ohne Dämpfung, somit wird jedes Teilchen gestreut. Es gibt noch weitere Prozesse, die als Streuprozesse behandelt werden können, auch wenn man sie erstmal nicht als solche auffassen würde. 3.5 Zerfallsprozesse Der Begriff Zerfall wird im allgemeinen physikalisch in zwei Bedeutungen unterteilt, und zwar: 22

3.5 Zerfallsprozesse der Auflösung gebundener Zustände (z. B. von Kernen, Hadronen, ) oder der spontanen Umwandlung instabiler Elementarteilchen (z. B. -Lepton, Higgs-Boson, top-quark) Zerfallsprozesse kann man sehr praktisch als 1--Streuprozesse betrachten (wie z. B. in Abb. 3.4). -Achse Abbildung 3.4: 1-2-Zerfall Dabei gilt für die Übergangsrate: Die mit markierte Energie ist dabei nicht Lorentz-invariant, sodass man sich die gesamte Zerfallsrate als eine zeitdilatierte Zerfallsrate vorstellen muss. Häufig werden wir Zerfälle im Ruhesystem betrachten, wodurch sich ergibt. Dadurch kann man auch als Breite de Zerfalls verstehen. Für jeden möglichen Zerfallsprozess, welche man auch als Kanal bezeichnet, kann man die sogenannte Partialbreite wie oben angegeben berechnen. Insgesamt ergibt sich also die totale Breite eines Teilchens aus der Summe aller Partialbreiten aller möglichen Zerfallsprozesse ausgehend von : Diese totale Breite eines Teilchens ist eine wichtige Kenngröße, da sie in folgendem Zusammenhang mit der mittleren Lebensdauer steht: Die Zerfallsbreite bzw. Lebensdauer und mögliche Zerfallskanäle instabiler Hadronen und Elementarteilchen sind tabelliert. 1 1 Z. B. zu finden unter http://pdglive.lbl.gov. 23

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen 4.1 Die Dirac-Gleichung 4.1.1 Einführung Aus der Quantenmechanik ist uns die Quantisierung klassischer Größen und ihre entsprechende Beschreibung durch Operatoren bekannt. Für den von uns benötigten Vierer-Impuls gilt also: i i i i i Bei einer nicht-relativistischen --Beziehung ist die Schrödinger-Gleichung die entsprechende Bewegungsgleichung für Wellenfunktionen : i Für relativistische Geschwindigkeiten bricht die Gültigkeit der Schrödinger-Gleichung allerdings zusammen, sodass wir uns eine andere Form überlegen müssen. Ausgangspunkt soll dabei die relativistische Energie-Impuls-Beziehung sein. Diese führt uns auf bzw. in kovarianter Schreibweise In dieser Form nennt man die Gleichung Klein- Gordon-Gleichung. Zusammen mit der Kontinuitätsgleichung mit i und der Lösung für ein freies Teilchen 25

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen ergibt sich daraus Wie man klar erkennen kann, lässt diese Gleichung Lösungen mit negativer Energie und negativer Wahrscheinlichkeitsdichte zu. Während man sich mit Ersterem aus physikalischer Sicht noch anfreunden kann, ergibt eine negative Wahrscheinlichkeitsdichte augenscheinlich keinen Sinn. Der Ansatz von Dirac zur Lösung dieses Problems war es, die Bewegungsgleichung für zu linearisieren, was uns auf die nach ihm benannte Dirac-Gleichung führt: Diese Gleichung muss aber auch gleichzeitig die relativistische Energie-Impuls-Beziehung erfüllen, woraus wir gleich einige Bedingungen an und erhalten: () Diese Bedingungen können nicht erfüllt werden, wenn und normale Zahlen wären. Daher führte Dirac sie als -Matrizen ein. Dementsprechend ist auch ein Objekt mit vier Komponenten T ein sogenannter Dirac-Spinor. 4.1.2 Eigenschaften der Dirac-Gleichung Die explizite Darstellung von und ist beliebig wählbar, solange die obige Algebra () erfüllt ist. Üblicherweise schreibt man mit Pauli-Matrizen: i i In dieser Darstellung lautet das Konjugierte eines solchen Spinors: T 26

4.1 Die Dirac-Gleichung Nehmen wir wieder die Kontinuitätsgleichung zur Dirac-Gleichung hinzu, so sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte jetzt positiv definit ist. Der Hamilton-Operator in der Dirac-Gleichung hat die Form Die Dirac-Gleichung lässt sich alternativ auch kovariant formulieren, wozu wir zunächst die Matrizen umdefinieren: in Dirac-Pauli-Darstellung: Mit Hilfe der Algebra, mit einem Antikommutator, lässt sich das sogar noch einfacher schreiben Wobei der metrische Tensor ist. Dadurch lässt sich die Dirac-Gleichung in kovarianter Form schreiben als In dieser Darstellung lautet das Adjungierte eines Spinors 4.1.3 Lösungen der Dirac-Gleichung Die Dirac-Gleichung für einen Spinor lautet, für welche wir den Ansatz e i 27

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen wählen. Für ein Teilchen in Ruhe vereinfacht sich die Gleichung zu : 4 unabh. Lsg. der diag. Matrix mit mit 1 Der Unterschied zwischen und liegt darin, dass es zwei verschiedene Spin-Eigenzustände zum Spin-Operator mit sind. Dabei handelt es sich um die Eigenzustände also Fermionen mit Spin up oder down. Die Allgemeine Lösung für erhält man entweder durch Boosten oder explizites Lösen und lautet: i i i Erstaunlich ist wieder das Auftreten von Lösungen mit negativer Energie. Dafür werden wir im nächsten Abschitt 4.1.4 versuchen eine Erklärung zu finden. Den Unterschied zwischen und im allgemeinen Fall werden wir ebenfalls untersuchen, allerdings erst im Abscnitt 4.1.5 4.1.4 Antiteilchen: Feynman-Stückelberg-Interpretation Zustände mit negativer Energie werden für die Vollständigkeit und andere wichtige Eigenschaften benötigt. Diese können nicht als unphysikalisch ignoriert werden. Die Meisterleistung von Dirac 28

4.1 Die Dirac-Gleichung bestand darin zu erkennen, dass die Zustände wirklich existieren und die Frage zu beantworten, warum nicht alle Zustände mit positiver Energie in solche mit negativer übergehen um die Energie zu minimieren. Er beantwortet diese Frage mit dem Dirac-See. Dieser besagt, dass alle Zustände mit negativer Energie im Vakuum besetzt sind. Dabei muss natürlich das Pauli-Prinzip für Fermionen beachtet werden. Schematisch ist das in Abbildung 4.1 dargestellt. Abbildung 4.1: Modell von Dirac für Antiteilchen, der Dirac-See (Mitte:, rechts: ). Wird der See, also das Vakuum, mit einer Energie größer angeregt, kann in diesem ein Loch entstehen, das Dirac als Antiteilchen definierte. Als Positron wurde es 1933 von Anderson entdeckt. Durch die Definition des Dirac-Sees kann die Paarproduktion und die Annihilation erklärt werden. Die Erklärung ist jedoch unvollständig, so dass es heute eine moderne Alternativen gibt. Wir betrachten nun die Feynman-Stückelberg-Interpretation. Diese gibt eine Lösung für negative Energien. Sie besagt, dass Teilchen mit negativer Energie sich rückwärts in der Zeit bewegen. Daraus folgt, dass Antiteilchen mit positiver Energie sich vorwärts in der Zeit bewegen. Zur Erinnerun: e i e i Abbildung 4.2: Annihilation von Mathematisch wird dies umgesetzt als der Übergang von den Teilchenspinoren und mit 29

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen einer negativen Energie zu den Antiteilchenspinoren und : i i i i Damit erhalten wir vier unabhängige Lösungen. Diese sind,,. Die Dirac-Gleichung für Anti-Spinoren lautet: Daraus folgen die Lösungen i und i 4.1.5 Helizität Es ist bekannt, dass ruhende bzw. mit dem Impuls bewegte Dirac-Teilchen Eigenzustände von sind. Allgemein gilt: D. h. dass Hamilton-Operator und Spinoperator nicht kompatibel sind. Wir wollen nun untersuchen, ob es eine bessere Observable gibt, die es ermöglicht die entarteten Eigenzustände von zu unterscheiden. Dafür führen wir die Helizität ein: Wie leicht ersichtlicht wird, ist sie die Projektion des Spinoperators auf die normierte Bewegungsrichtung des Teilchens und kommutiert mit. In Abbildung 4.3 ist das skizziert. Die Eigenwerte lauten mit den zugehörigen Eigenzuständen,,, die die Up- und Downzustände beschreiben. Diese werden später durch die Übergangsmatrixelemente zwischen den Quantenzuständen und gegebener Helizität beschrieben. Der Zusammenhang mit dem Chiralitätsoperator wird in der Übung geklärt. Es ist zu beachten, dass die Helizität nicht Lorentz-invariant ist, sie kann durch einen Boost gedreht werden. 30

4.2 Wechselwirkungen am Beispiel der Quantenelektrodynamik Abbildung 4.3: Helizität. 4.2 Wechselwirkungen am Beispiel der Quantenelektrodynamik Bisher haben wir nur die Dirac-Gleichung für freie Teilchen betrachtet. Wir wissen aber, dass Quarks und Leptonen wechselwirken. Dies ist experimentell z. B. bei Photonen-Emission von Elektronen, Paarbildung, Annihilation, zu beobachten. Die Frage ist nun, wie sich dies in unserer relativistischen Quantenmechanik erklären lässt? Dafür betrachten wir zwei Grundlagen: Zu erst die Eichfreiheit der klassischen Elektrodynamik. Das elektrische und das magnetische Feld sind durch Potentiale darstellbar. Beschrieben werden sie durch die Maxwell-Gleichung: Die Eichfreiheit besagt, dass physikalische Gesetze unverändert sind unter den folgenden Transformationen: mit skalarer Funktion Die zweite Grundlage ist die freie Phasenwahl der Quantenmechanik: Objekte werden durch eine Wellenfunktion dargestellt, wobei die physikalischen Gesetze unverändert unter Phasentransformation gelten: e i 4.2.1 Lokale Eichsymmetrie in der Dirac-Gleichung Nun gehen wir einen Schritt weiter als die Quantenmechanik: Die physikalischen Gesetze sollen sogar unter lokaler Phasentransformation invariant bleiben. e i 31

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen Wenn wir das nun aber an der Dirac-Gleichung überprüfen erhalten wir einen Extraterm. i i i Die geforderte Invarianz ist nur durch die Erweiterung der Dirac-Gleichung um einen Wechselwirkungsterm erfüllbar: i i Wir erhalten hier ein neues Feld, das wir als Photon interpretieren werden. Es hat die bekannte Transformationseigenschaft Die Bewegungsgleichung ist also lokal eichinvariant. 4.2.2 Das Photonenfeld Bisher haben wir nur im Wechselwirkungsterm über die lokale Eichinvarianz eingeführt. Nun steht die Frage im Raum, ob sich das Feld auch als (freies) Teilchen interpretieren lässt. Die Antwort darauf ist ja, das Quant der elektromagnetischen Wechselwirkung, das Photon, wird durch beschrieben: d. h. die Maxwellgleichungen in Lorenz-Eichung und ohne. Das Photonenfeld lässt sich darstellen als e i wobei der Polarisationsvektor des elektromagnetischen Feldes ist. Das Photon hat folgende Eigenschaften: e i d. h. sie sind masselos! Der Polarisationsvektor hat naiv vier Freiheitsgerade. Folgen daraus vier Polarisationseinstellungen? Nein, über die Eichbedinungen bleiben nur zwei übrig: z. B. i mit bzw.. i 32

4.3 Feynman-Diagramme 4.2.3 Wechselwirkungen und Übergangsmatrixelemente Die Beziehung zwischen Bewegungsgleichung und Lagrange-Dichte ist i i Aber wie können wir dieses nun berechnen (ohne obskures (Fern-)Potential, sondern als Wechselwirkung von Teilchen)? 4.3 Feynman-Diagramme Die Grundidee bei Feynman-Diagrammen ist, dass wir alle möglichen Diagramm zeichnen, für die und mit bestimmten Bausteinen verbunden werden und daraus die Übergangsmatrixelemente für berechnen. Dann wandeln wir das Diagramm mit einem Kochrezept in eine komplexe Zahl um. Beispiel für ein Kochrezept ist Abbildung 4.4.? mit Baustein (QED) t t Abbildung 4.4: Beispiel für ein Kochrezept Abbildung 4.5: Zusammensetzung eines Matrixelements. 33

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen Das Problem ist nun, dass es beliebig viel Diagramme gibt (wie ansatzweise in Abbildung 4.5 dargestellt), denn schließlich können wir einfach immer mehr und mehr Linien in das Diagramm einzeichnen. Da die komplizierteren Diagramme kaum beitragen, ist das aber kein wirkliches Problem, denn ie Mit jedem zusätzlichen Vertex wird um den Faktor unterdrückt. In diesem Kurs betrachten wir immer nur Diagramme der niedrigsten Ordnung, mit denen der gegebene Prozess noch möglich ist. Für jede Wechselwirkung gibt es eigene Bausteine und Regeln, jedoch betrachten wir erstmal nur die für die QED. 4.3.1 Feynman-Regeln der QED Allgemein bestehen Feynman-Diagramme aus drei Teilen: 1. Der erste Teil ist die äußere Linie. Diese beschreibt einlaufende und auslaufende Teilchen einer Streuung oder eines Zerfalls. Tabelle 4.1: Äußere Linie Art Diagramm Formel einlaufendes Fermion auslaufendes Fermion einlaufendes Antifermion auslaufendes Antifermion einlaufendes Photon auslaufendes Photon 2. Der zweite Teil ist die innere Linie. Diese beschreibt intermediäre Teilchen, sogenannte Propagatoren. 3. Den dritte Teil bilden die Interaktionspunkte. Diese werden als Vertices bezeichnet. Die Berechnung der Übergangsmatrix erfolgt über folgende Formel: i Produkt aller Einzelterme Dabei gilt es auf jeden Fall die Reihenfolge der -Matrizen, der Spinoren und ähnlicher Faktoren zu beachten. Bei der Berechnung geht man jede Fermionenlinie entgegen der Pfeilrichtung entlang. 34

4.3 Feynman-Diagramme Tabelle 4.2: Innere Linie Art Diagramm Formel Photonpropagator Fermion-Propagator i i Tabelle 4.3: Interaktionspunkte Art Diagramm Formel QED-Vertex i e f f 4.3.2 Beispiele Beispiel 1? Abbildung 4.6: Feynman-Diagramm für. Für die erste Fermionlinie, also die des Elektrons, gilt laut Berechnungsvorschrift dann: ie Für die des Myons ergibt sich: ie Und für den Photon-Propagator erhalten wir: i Insgesamt erhalten wir für das Übergangselement folgende Gleichung: i ie i ie 35

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen Beispiel 2? Abbildung 4.7: Feynmandiagramme für. i ie i ie i ie i ie Dabei gilt es zu beachten, dass bei mehreren Diagrammen diese kohärent addiert werden müssen. 4.3.3 Eigenschaften von Feynman-Diagrammen Wir bezeichnen die Diagramme, die den Anfangszustand und den Endzustand anhand minimaler Anzahl von Vertices verbinden, als Diagramme niedrigster Ordnung. Diese weisen also die geringste Potenz von Kopplungskonstanten auf. Ob es sich um ein Teilchen oder ein Antiteilchen handelt, wird über die Richtung der Pfeile im Bezug zur Zeitachse ausgedrückt. Diese zeichnen wir hier immer horizontal. Dahingegen ist die vertikale Achse nicht der räumliche Abstand, sondern ist rein diagrammatischer Natur. An allen Vertices gilt weiterhin die Impuls-, Energie- und Ladungserhaltung. Über die innere Linie können die Terme in den Propagatoren ermittelt werden: 36

4.4 Auswertung des Betragsquadrats des Matrixelements an einem Beispiel Falls ein Zusammenhang zu den Mandelstam-Variablen besteht, also, handelt sich um einen -Kanal. Der ist besonders groß bei Resonanz-Kinematik, d. h. falls. Beispielsweise ist der -Kanal resonant bei und der -Kanal bei (s. Abb. 4.8). Abbildung 4.8: - und -Kanal. Für erlaubte Prozesse der Form sind auch immer solche Prozesse erlaubt, bei denen Teilchen als Antiteilchen auf die andere Seite geschoben werden. Also z. B. oder (s. Abb. 4.9). Dies nennt man Crossing-Symmetrie. Natürlich muss darauf geachtet werden, dass der Prozess kinematisch erlaubt ist. Daraus folgt, dass die entsprechenden Matrixelemente mit entsprechender Impulssubstitution oder -drehung wiederverwendbar sind. Diese Wiederverwendung entspricht einem Tausch von Mandelstam-Variablen im Betragsquadrat des Matrixelements. Abbildung 4.9: Transformation von Feynman-Diagrammen durch Crossing-Symmetrie., :,,,. 4.4 Auswertung des Betragsquadrats des Matrixelements an einem Beispiel Wir betrachten die Elektron-Positron-Annihilation. Das Matrixelement ergibt sich dann zu: ie ie 37

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen (a) Feynman-Diagramm. (b) Kinematik. Abbildung 4.10: Elektronen-Positronen-Annihilation. Die Kinematik lässt sich dann, wie in Abbildung 4.10(b) zu sehen, darstellen. Für die Impulse folgt damit Die Frage, die wir nun betrachten wollen, ist, welchen Spinor wir an dieser Stelle verwenden. Wir erinnern uns, dass es je zwei Lösungen für und gibt, die eine definierte Helizität besitzen: Wir erhalten also vier mögliche Anfangszustände, wie sie in Abbildung 4.11 zu sehen sind. Abbildung 4.11: Mögliche Anfangszustände durch Spinoren und Helizität. Bei vier möglichen Endzuständen erhalten wir also Prozesse. Wenn wir davon ausgehen, dass wir eine unpolarisierte Messung durchführen, müssen wir alle Prozesse messen. Wir bilden dafür die Summe über die Helizitäten der Endzustände und die Mittelung über die Anfangszustände. 38

4.4 Auswertung des Betragsquadrats des Matrixelements an einem Beispiel Für die Berechnung des Matrixelements benötigen wir also die Spinorprodukte des folgenden Typs: Und erhalten mit ultrarelativistischer Näherung e i e i e i e i und e i e i e i e i mit und. Für unsere Kinematik erhalten wir dann: und Wir werten nun das Spinorprodukt aus: Dies müsste nun 16 mal ausgerechnet werden. Ein Beispiel für ein solches Produkt ist 39

4 Relativistische Beschreibung von Wechselwirkungen und daraus erhalten wir -Strom i i -Strom i Wir fassen zusammen: e Ein Beispiel ist 2 Alle anderen Elemente sind im Übrigen null. Für den Vergleich mit dem Experiment betrachten wir den differentiellen Wirkungsquerschnitt (z. B. im Schwerpunktssystem) Der totale Wirkungsquerschnitt ergibt sich schlussendlich als 2 40

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik 5.1 Zusammenfassung der QED Die lokale Eichsymmetrie unter der Transformation e i erreichen wir mit der modifizierten Dirac-Gleichung (minimale Substitution) i i bzw. der Lagrange-Dichte i i Damit haben wir nebenbei auch die Wechselwirkung durch Photonen eingeführt. Das Matrixelement für Streuprozesse/Zerfälle kann mit Hilfe der Feynman-Regeln berechnet werden i Daraus erhalten wir den differentiellen Wirkungsquerschnitt und können uns mit der Phänomenologie von elementaren Prozessen befassen. 5.2 Die Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik Mit der Quantenchromodynamik (QCD) erhalten wir weitere Wechselwirkungen nach dem gleichen (Eich-)Prinzip, aber mit anderen Ladungen: s -Matrizen 41

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Die Trasformationen sind und e i s s Unsere Dirac-Gleichung lautet nun i i s Die Fermionen bekommen nun eine zusätzliche Struktur, die starke Ladung rot grün blau Das gilt für Quarks; tragen keine starke Ladung. Das Austauschteilchen ist nun das Gluon mit den Farbeinstellungen. Es handelt sich um ein Spin-1-Boson mit einem Polarisationsvektor identisch zum Photon. Auch der Propagator ist analog i ebenso wie der QCD-Vertex i s bzw. i s In Abbildung 5.1 sind nochmal alle neuen Elemente für das Feynman-Diagramm dargestellt. (a) Gluon a (b) Gluon-Propagator b (c) QCD-Vertex Abbildung 5.1: Weitere Elemente der Feynman-Diagramme 42

5.2 Die Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik und Abbildung 5.2: Selbstwechselwirkungen der Gluonen Zusätzlich treten noch Selbstwechselwirkungen bei den Gluonen auf, die in Abbildung 5.2 dargestellt sind. Vereinfacht können wir das Vorgehen bei der QCD so zusammenfassen: Bei allen Diagrammen den Farbfluss einzeichnen und über alle Möglichkeiten summieren. Das sieht dann beispielsweise wie in Abbildung 5.3 aus. 1 Ein Prozess ähnlich zu, aber mit drei Farben und anderen elektrischen Ladungen. Hadronen + + Abbildung 5.3: Beispiel für Feynman-Diagramm mit Farbfluss. 1 Zu beachten ist aber, das die Quarks nicht einzeln autreten (vgl. Abschnitt 5.2.1 43

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik 5.2.0 Teilcheninhalt der QED und QCD Fermionen Ladung Teilchen GeV st. Ladung Leptonen el. geladen Elektron Myon Tau-Lepton el. neutral Quarks up-type up r,g,b charme r,g,b top r,g,b down-type down r,g,b strange r,g,b bottom r,g,b Austauschteilchen Theorie Teilchen GeV st. Ladung QED Photon 0 0 QCD Gluon 0 0 acht Kombinationen von 5.2.1 Confinement und asymptotische Freiheit Die Kraft zwischen zwei farb-geladenen Teilchen ist die Anziehung der Gluonen. Diese führt zu einem Farbfeld, das auf einen engen Schlauch komprimiert ist (ein Vergleich der Feldlinienverläufe in QED und QCD ist in Abbildung 5.4 zu sehen). Die potentielle Energie ist hier proportional zur Länge des Schlauchs sodass wir unendlich viel Energie benötigen, um Quarks zu trennen. Theoretisch schaffen wir es zwar sie zu trennen, aber durch die dafür benötigte Energie entstehen sofort neue Teilchen, die sich mit den getrennten Quarks verbinden. Praktisch lässt sich die Trennung also nicht durchführen. Es können daher keine freien Quarks/Gluonen sondern nur farbneutrale Bindungszustände beobachtet werden. 44

5.2 Die Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik (a) (b) Abbildung 5.4: Feld in (a): QED und (b): QCD. Effektiv wird die potentielle Energie durch eine nicht-konstante Kopplungskonstante beschrieben. Die Kraft ist abhängig vom aufgelösten Abstand bzw. vom Energieübertrag bei Beobachtung QCD wobei MeV. Bei hohem Energieübertrag und damit geringem Abstand liegt der Wert der Kopplungskonstanten bei. Das ist der Fall, wenn wir Quarks in hochenergetischen Streureaktionen beobachten. Ist der Übertrag hingegen hoch, liegt der Wert bei. Bei Bindungszuständen (Hadronen) können wir das sehen. 5.2.2 Hadronen und Jets Das Confinement führt dazu, dass wir nur farbneutrale Bindungszustände beobachten, die Hadronen (s. Abb. 5.5). Durch Experimente der Teilchenphysik können wir mit deren Messung auf die Wechselwirkung freier Quarks rückschließen. Denn diese entstehen dort in Form von Bündeln oder auch Jets (s. Abb. 5.6). 5.2.3 Hadronen-Kollisionen und QCD Der Prozess ist uns nun einigermaßen klar, aber was passiert eigentlich beim umgekehrten Prozess? Ist auch beobachtbar? Ja, diese Prozesse, Hadronenkollisionen, werden z. B. am LHC beobachtet. 45

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Abbildung 5.5: Neutrale Bindungszustände (gestrichelte Linien sind Antifarben). Abbildung 5.6: Jets beim Prozess Die Beschreibung der Quarks im Proton erfolgt durch die Partonendichtefunktion (PDF) Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte für Quarks vom Typ ( ), wobei der Impulsbruchteil ist Proton. Ganz naiv könnte man denken, dass wir einfach einen -Peak bei 1 3 erhalten. Das Ganze wird aber etwas komplizierter. Den differentielle Wirkungsquerschnitt erhalten wir durch Faltung mit der Quarkwahrscheinlichkeit: Wie schon erwähnt, ist das mit den etwas komplizierter, denn wir müssen sie messen, da ein Errechnen nicht möglich ist. 2 Für und erhalten wir den erwarteten Peak bei 1 3, aber auch noch eine Verteilung um diesen. Glücklicherweise können wir hier aber das Faktorisierungsprinzip der QCD anwenden, d. h. dass die immer gleich bleiben und nur einmal gemessen werden müssen. 2 Oder es ist einfach nur sehr kompliziert. (?) 46

5.2 Die Starke Wechselwirkung: Quantenchromodynamik 5.2.4 Experimentelle Bestätigung der QCD In Abschnitt 5.2 haben wir schon definiert und haben damit schon eine Möglichkeit die QCD experimentell zu bestätigen. Eine andere, sehr ähnliche Möglichkeit ist der Pionzerfall: theo ev exp ev Daraus erhalten wir für die Anzahl der Farbladungen, was im Einklang mit der QCD steht. Die Gluonen werden indirekt sichtbar als Austauschteilchen mit Spin 1 in der Winkelverteilung von Hadronen beim Prozess Hadronen, als externes Teilchen in 3-Jet-Ereignissen von Tasso und in 4-Jet-Ereignissen als Selbstwechselwirkung der Gluonen. 5.2.5 SU(3)-Struktur der QCD (revisited) Zur Erinnerung: In Abschnitt 5.2 hat uns die Eichtransformation als Grundlage der QCD gedient: e i (5.1) Hier werden -Matrizen auf die drei Spinoren r g b (5.2) angewendet. Die Darstellung erfolgt durch die Gell-Mann-Matrizen (5.3) Wobei die Generatoren der SU(3) sind i i i i i i 47

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik (5.4) Für welche Art von Transformation haben wir nun eigentlich Invarianz gefordert? Wir schauen uns das mal an einem Beispiel an: r g (5.5) Es sind Rotationen oder vielleicht besser Änderungen im Farbraum r g ( ). An jedem QCD-Vertex erfolgt also eine Farbänderung durch (s. Feynman-Regeln), die Gluonen bringen/tragen folglich Farbladungen in verschiedenen Kombinationen: Beispiele sind in Abbildung 5.7 zu finden. (5.6) b b b b r g Abbildung 5.7: Beispiel für Bindungen von entgegengesetz gleichgeladenen Quarks. (?) Ähnlich zum Spin (Pauli-Matrizen) kommutieren die Gell-Mann-Matrizen nicht alle. Zwei kompatible Observablen hier z. B., die dritte Komponente des starken Isospins ( ) und, die Hyperladung ( ). 5.3 Schwache Wechselwirkung Wir wiederholen für die Einführung der schwachen Wechselwirkung den Eichmechanismus, da der Ansatz analog ist. Doch diesmal betrachten wir eine andere Gruppe, nämlich die SU(2) mit den folgenden drei Generatoren: 48

5.3 Schwache Wechselwirkung Dabei steht für die drei Pauli-Matrizen. Nun betrachten wir die Transformation e i Ähnlich zum Spin hat zwei Einstellungen und wird durch die zwei Quantenzahlen und beschrieben. Die erste Quantenzahl steht für den Betrag des schwachen Isospin, also z. B., die zweite Quantenzahl steht für die dritte Komponente des schwache Isospins, z. B.. Wir stellen nun die Frage, ob uns diese Eichgruppe für die Beschreibung des Standardmodells nutzen kann. Dafür betrachten wir nochmal alle fehlenden Teile. Uns fehlen noch die Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung: Diese werden als -Boson und als -Boson bezeichnet. Außerdem müssen die bisher betrachteten Teilchen (Neutrinos, geladene Leptonen und Quarks) Träger der schwachen Ladung sein. Diese schwache Ladung muss nun gefunden und benannt werden. Als Idee gehen wir davon aus, dass die zwei Einstellungen von zwei Teilchen entsprechen: Für das Elektron-Neutrino erhalten wir in der dritten Komponente des schwachen Isospin und für das Elektron. Das gleiche gilt dann auch für alle anderen Paare: Die drei Felder für die Eichinvarianz, und koppeln entsprechend der Pauli-Matrizen und Hieraus ergibt sich eine Kopplung der dritten Komponente des schwachen Isospins mit dem Wert mit -Teilchen. Dabei kommt es zu einer Änderung der elektrischen Ladung, folglich muss das Austauschteilchen elektrisch geladen sein. Aus der Kopplung entsprechend der dritten Pauli-Matrix folgt die Kopplung von gleichen Zuständen, es existiert somit auch ein elektrisch neutrales Austauschteilchen. Diese Betrachtung könnte auf die für uns relevante Eichgruppe von, und hinweisen. Jedoch widersprechen mehrere experimentelle Fakten diesem simplen Bild. 5.3.1 Die Eichbosonen, und Als erstes sehen wir, dass die elektrische Ladung zu den vorgeschlagenen Kopplungen passen (s. Abb. 5.8). 49

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Abbildung 5.8: Elektrische Ladungung zu den vorgeschlagenen Kopplungen. Abbildung 5.9: Schwacher Isospin des Eichbosons. Des Weiteren tragen Eichbosonen selber einen schwachen Isospin. In Abbildung 5.9 ist das für dargestellt. Analoges erhalten wir für und Es hat sich experimentell jedoch gezeigt, dass die Austauschteilchen eine Masse besitzen. In der Weise, wie wir sie bisher eingeführt haben, sind die Eichfelder jedoch masselos. Für die Massen haben sich experimentell folgende Werte ergeben: GeV und GeV Eine manuelle Einführung der Massenterme in die Langrangedichte führt immer zu einer Verletzung der Eichinvarianz. Um dieses Problem zu lösen, benötigt es einen anderen Mechanismus, den Higgs-Mechanismus (s. Abschnitt 5.4). 5.3.2 Die Paritätsverletzung und Händigkeit der schwachen Wechselwirkung Wir betrachten den Paritätsoperator, der die Transformation der Raumspiegelung darstellt. 50

5.3 Schwache Wechselwirkung Da für den Paritätsoperator gilt, hat jeder Zustand einen Paritätseigenwert von oder. Für die Spinoren kann man die Paritätseigenwerte bestimmen. Mit erhält man für Fermionen und für Antifermionen. Für die Eichbosonen ergibt sich ein negativer Eigenwert. Aus diesen Werten kann man dann die sogenannte intrinsische Parität bestimmen. Dafür multipliziert man für zusammengesetzte Systeme die Parität entsprechend des Drehimpulszustandes: Wir stellen uns nun die Frage, ob die Quantenelektrodynamik und die Quantenchromodynamik die Parität erhalten. Man kann mit Hilfe der Vektorkopplung, also, zeigen, dass dies gilt. Die Paritätserhaltung ist auch experimentell beobachtbar, z. B. durch die Existenz oder das Verbot von manchen Zerfällen. Als Beispiel sei hier der Zerfall von und aufgeführt: Die Gesamtparität ergibt sich dann zu was offensichtlich stimmt und einen erlaubten Übergang darstellt. Hier ergibt sich die Gesamtparität zu ein Ergebnis das falsch ist, der Übergang ist also nicht möglich. Lange Zeit wurde angenommen, dass die Natur paritätsinvariant ist d. h. bildlich gesprochen ist Realität und Spiegelbild gleich. 1957 konnte aber erstmals die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung im Experiment nachgewiesen werden: Dabei handelte es sich um den -Zerfall von 60 Co. Das Experiment wurde von C. S. Wu durchgeführt. Im starken Magnetfeld richtet sich das magnetische Moment parallel zum Magnetfeld aus: 51

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Beim Experiment wurde die Elektronenflugrichtung gemessen. Dabei stellte sich heraus, dass die Elektronen öfter entgegengesetzt zum Magnetfeld flogen, auch wenn dieses gedreht war. Das Magnetfeld ist unter der Paritätstransformation unverändert (Axialvektor) und der Elektron-Impuls ist unter dieser umgedreht (Vektor). Daraus folgt, dass die Parität verletzt ist (s. Abb. 5.10(a)). Co (a) (b) Abbildung 5.10: -Zerfall: (a) Paritätsverletzung und (b) Feynman-Diagramm. Die -Kernzerfälle lassen sich über die schwache Wechselwirkung erklären (s. Abb. 5.10(b)), Die somitnicht paritätsinvariant ist. Sie hat auch eine andere Vertexstruktur als die bisher übliche Struktur. Da die Paritätsinvarianz nicht vorliegt, wurde geprüft, ob die schwache Wechselwirkung gegenüber der Ladungskonjugation invariant ist. Doch auch diese Invarianz liegt nicht vor. Die Invarianz gegenüber der Zeitumkehrung liegt bisher vor und konnte noch nicht widerlegt werden. Wir wollen nun schauen, wie wir eine Theorie in der Fermionen-Wechselwirkung bauen können, in der Paritätsverletzung vorliegt. Wir betrachten die möglichen Bausteine von -Matrizen für die Lorentz-invarianten Matrixelemente: Skalar (S) Pseudoskalar (P) Vektor (V) Axialvektor (A) Tensor (T) Wir definieren des Weiteren den Chiralitätsoperator i 52

5.3 Schwache Wechselwirkung Das Experiment hat gezeigt, dass die Kopplung von -Bosonen die folgende Form hat: Um eine solche Kopplung aus einer Eichtheorie zu gewinnen, zieht man den -Teil der Form in die Spinoren hinein. Man kann nun den Dirac-Spinor in einen links- und rechtshändigen Anteil aufspalten: Von diesen Operatoren werden die Projektionseigenschaften erfüllt, also: und Um die Theorie zu vervollständigen, lassen wir die schwache Wechselwirkung nur auf linkshändige Fermionen beziehungsweise rechtshändige Antifermionen wirken. Mit anderen Worten sind linkshändige Fermionen Dubletts, die einen schwachen Isospin von 1 2 haben: Wobei die erste Komponente in der dritten Komponente des schwachen Isospins und die der zweiten Komponente hat. Rechtshändige Fermionen sind Singuletts mit einem schwachen Isospin von 0: Die Neutrinos werden ignoriert, da sie steril sind. Wir haben aber jetzt eine eigenartige Kopplung mit, sie ist imaginär: i i i Die physikalische Kopplung bzw. die Eichbosonen findet man durch Mischung von und : Die und operieren als Leiteroperatoren im schwachen Isospin. Sie sind sinnvoll, da 53

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik und führen uns zu geladenen Eichbosonen: i In den Feynman-Regeln erhalten wir einen geladenen schwachen Vertex mit folgender Berechnungsvorschrift: i Das geht so für alle Isospin-Dupletts. In Abbildung 5.11 ist der entsprechende Feynman-Vertex zu sehen. Was ist nun mit der neutralen Kopplung/dem neutralen Eichboson ( )? Damit haben wir ein kleines Problem, da wir aus dem Experiment wissen, dass das auch an rechtshändige Teilchen koppelt. 5.3.3 Die elektroschwache Vereinheitlichung Die Idee mit der Mischung hat für und gut funktioniert, um physikalische Eichbosonen zu bauen. Machen wir also alles nochmal!? Aber womit kann man das noch mischen? Das scheint ein guter Kandidat zu sein, da es Ähnlichkeiten zu aufweist. Wir erweitern nun die Eichgruppe SU(2) durch die elektromagnetische U(1), die aber leicht modifiziert wird, damit das Photon erst nach der Mischung wieder rauskommt : e i Dabei ist die Hyperladung. Wir haben nun im Vergleich zur QED: Wechselwirkung: Der Übergang zu den physikalischen Eichbosonen erfolgt durch Mischung Das Mischungsverhältnis wird durch den schwachen Mischungswinkel bzw. Weinberg-Winkel angegeben. Da für den Winkel ist, koppelt das hauptsächlich linkshändig 54

5.4 Der Higgs-Mechanismus und das Photon hauptsächlich rechtshändig. Hier fällt der Mischungswinkel vom Himmel, wir werden ihn aber später beim Higgs-Mechanismus nochmal betrachten (Abschnitt 5.4.4). Aber insgesamt war unser Ansatz ein Riesenerfolg, da wir die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung auf eine einheitliche Kopplungskonstante, Ladung bzw. Eichgruppe zurückgeführt haben: mit schwacher Hyperladung bzw. der Elementarladung Jetzt haben wir auch die neutralen Vertices, wobei wir den für schon kennen. Für den -Vertex erhalten wir: i mit und. Falls, dann ist der Vertex rein linkshändig (für Neutrinos, wegen ). Im Allgemeinen ist er aber gemischt, was zur Paritätsverletzung führt. In Abbildung 5.11 sind beide Vertices (nochmal) dargestellt. (a) -Vertex. (b) -Vertex. (c) Photonvertex. Abbildung 5.11: Die neutralen Vertices. 5.4 Der Higgs-Mechanismus 5.4.1 Masse-Terme in der Lagrange-Dichte Der Masseterm geht im entsprechenden Feld quadratisch ein. Für ein Dirac-Fermion ergibt sich zum Beispiel: i 55

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik oder skalar (5.7) Kann man analog auch ein Masseterm für die Eichbosonen hinzufügen, um den experimentellen Beobachtungen zu entsprechen? (5.8) Das verletzt nun aber die zuletzt geforderte Eichinvarianz ( ). Wir müssen also nach einer eichinvarianten Erweiterung von suchen, die solche Terme dynamisch generiert. 5.4.2 Vorbetrachtung: skalare Felder und spontane Symmetriebrechung Die Lagrange-Funktion für ein skalares Feld hat folgende Form: Wir betrachten nun das Potential: Wenn nun ist, können wir diese nicht mehr als Masse interpretieren. Daraus folgt, dass das Potential scheinbar in symmetrisch ist. In der Störungstheorie beziehungsweise in den Feynman-Regeln entwickeln wir die Zustände immer um den Grundzustand (Vakuum), also um das Minimum des Potentials min Wir betrachten das verschobene Feld mit Durch die Wahl des Minimums ( oder ) erhalten wir eine spontane Symmetriebrechung. Dabei handelt es sich weiterhin um das gleiche. Die wahre Symmetrie ist versteckt. Der letzte Term ist konstant und für uns nicht relevant. Wir habe jetzt einen Masseterm für das Feld erhalten, für die Eichbosonen in der Eichtheorie finden wir diesen aber noch nicht. 56

5.4 Der Higgs-Mechanismus 5.4.3 Der Higgs-Mechanismus am Beispiel der Wir benötigen nun ein komplexes skalares Feld: i mit folgendem Potential: Aufgrund der Eichtheorie müssen wir nun die Ableitung in der Lagrange-Dichte ersetzen: i Für das Feld erhalten wir: Higgs Das ist eichinvariant. Wir betrachten nun den Fall, dass kleiner Null ist. Wir erhalten wieder verschobene Felder: i Wie im Vakuumszustand erhalten wir für das Minimum min i Wir erhalten also wieder die spontane Brechung der -Symmetrie: Higgs Der erste Term ist ein massives skalares Boson, welches wir als Higgs-Boson bezeichnen. Der zweite Term ist ein masseloses skalares Boson. Es trägt den Namen Goldstone-Boson. Im Gegensatz zum Higgs-Boson ist es nicht sehr bekannt. Wir werden gleich über diesen Term sprechen. Im letzten Term können wir ein massives Eichboson identifizieren. Es sollte beachtet werden, dass es sich immer noch um die gleiche Lagrange-Dichte handelt. Durch die Brechung von haben wir schließlich den Masseterm für -Eichbosonen erhalten. Wir betrachten nun die Subtilitäten der Gleichung. Für das zusätzliche Teilchen, das Goldstone-Boson, finden wir, dass dieses durch eine Eichtransformation aus der Lagrange-Dichte verschwindet: 3 3 Das Eichboson frisst das Goldstone-Boson und gewinnt dadurch Masse. 57

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Wir erhalten also ein reelles : ist hierbei das Higgs-Feld. Es bleiben zwei Freiheitsgrade über. Dabei handelt es sich um die Masse des Eichbosons und das skalare reelle Feld. Die restlichen Terme der Lagrange-Dichte enthalten Wechselwirkungsterme zwischen den Higgs-Bosonen und Eichbosonen. Die Eichbosonmasse ist proportional zur Stärke der Kopplung und zum Vakuumserwartungswert des Higgs-Feldes. 5.4.4 Der Higgs-Mechanismus im Standardmodell Für die Beschreibung brauchen wir vier neue Freiheitsgrade: einen für das Higgs-Boson und drei für die massiven Eichbosonen. Als minimales Modell erhalten wir ein komplexes schwaches Dublett. i i mit i i Durch die selbe Prozedur wie oben, entsteht in der unitären Eichung Wir erhalten nun folgende Gleichung: i i Den erste Term der Gleichung identifizieren wir als kinetischen Term des Higgs-Feldes. Der zweite gibt uns die Masse der -Bosonen und deren Kopplung an das Higgs-Feld. Im dritten Term finden wir die Masse des -Boson oder des Photon und deren Kopplung an das Feld. Wir betrachten nun den zweiten Term genauer: i 58

5.4 Der Higgs-Mechanismus Wir multiplizieren den zweiten Term nun aus: und erhalten dadurch u. a. zwei neue Wechselwirkungen, die in Abbildung 5.12 als Feynman- Diagramme dargestellt sind. (a) (b) Abbildung 5.12: Wechselwirkungen mit dem Higgs-Boson. Nun betrachten wir den dritten Term der vorangegangenen Gleichung. Dabei wollen wir schauen, welche physikalischen Felder existieren, also welche Masseneigenzustände. Der vordere Teil des Term ergibt Dabei stellt die nicht-diagonale Massenmatrix dar. Wir müssen nun diagonalisieren: Aus den Diagonalelementen erhalten wir und. Wir erhalten dann: 59

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik 5.4.5 Massen der Fermionen Wir betrachten nun den Massenterm der Fermionen in der Dirac-: Wir haben aber in der SU(2) U(1) die linkshändigen und rechtshändigen Singuletts. Der Massenterm ist also nicht invariant unter der SU(2). Einen Ausweg finden wir, indem wir mit Hilfe des Higgs-Dubletts einen Masseterm bauen: Dies wird als Yukawa-Kopplung bezeichnet. Diese Kopplung ist invariant bezüglich der SU(2), aber mit der spontanen gebrochenen Symmetrie erhalten wir: In der letzteren Gleichung ist der erste Term der Masseterm für das Elektron und der zweite Term beschreibt den Vertex. In Abbildung 5.13 ist ein Feynman-Diagramm für die Kopplung von Elektron und Positron an das Higgs-Boson zu sehen. Abbildung 5.13: Kopplung des Higgs-Bosons an Elektron und Positron. Wichtig ist hier, dass die Masse, im Gegensatz zu den Eichbosonen, nicht vorhergesagt wird. Diese wird durch die Yukawa-Kopplung nur richtig gesetzt: 60

5.4 Der Higgs-Mechanismus Das gleiche gilt für die up-type-fermionen mit Hilfe von i 5.4.6 Eigenschaften des Higgs-Bosons Es handelt sich beim Higgs-Boson um ein skalares Teilchen mit Spin 0. Seine Masse wird im Standardmodell nicht vorhergesagt. Dort ergibt sich seine Masse nur zu : Sie ist also ein freier Parameter. Dies hatte zur Folge, dass bei Messungen des Bosons, diese unabhängig von der Masse aufgesetzt werden musste. Gemessen wurde die Masse auf GeV Die Lebensdauer des Higgs-Bosons lässt sich für die gegebene Masse aus den Partialbreiten der Zerfallsprozesse berechnen: MeV Messungen auf einem solchen Niveau sind jedoch noch nicht möglich, da die Detektorauflösung zu schlecht ist. Das Higgs-Boson besitzt des Weiteren keine elektrische oder starke Ladung. Sein schwacher Isospin beträgt 1 2. 5.4.7 Produktions - und Zerfallsprozesse des Higgs-Bosons Die Kopplungsstärke des Bosons an Fermionen beziehungsweise Bosonen ist proportional zu deren Massen. Die dominanten Prozesse sind also die, die schwere Teilchen enthalten. Wir sehen, dass der dominante Produktionsprozess am LHC der ist, bei dem zwei Gluonen zu einem Higgs-Boson fusionieren (Gluonen-Gluonen-Fusion). Das ist kurios, da Gluonen masselos sind. Eine Erklärung soll in der Übung gefunden werden. Ein weiterer wichtiger Produktionsprozess stellt der in Abbildung 5.14(a) dargestellte dar. (a) Vektor-Bosonen-Fusion. (b) Wichtiger Prozess für die Entdeckung. Abbildung 5.14: Beispielhafte (a) Produktions- und (b) Zerfallsprozesse des Higgs-Bosons. Bei den Zerfallsprozessen ist der dominante der Zerfall des Bosons in Bottom- Antibottom- Quark. MeV 61

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Der andere wichtige Prozess ist der Zerfall in zwei Photonen (s. Abb. 5.14(b)), der bei der Entdeckung des Bosons eine wichtige Rolle gespielt hat. 5.4.8 Ausgewählte Phänomene der schwachen Wechselwirkung Neutrinos: Oszillation Neutrinos sind Teilchen, die nur schwach geladen sind. Bisher haben wir sie noch kaum betrachtet. Es gibt drei Neutrino-Generationen, passend zu den drei geladenen Leptonen:,, Bisher können diese nur beobachtet beziehungsweise unterschieden werden, wenn simultan ein geladenes Lepton produziert wird. Dabei sind die Neutrinos die Zustände, die in der schwachen Wechselwirkung mit den Leptonen entstehen, wie beim Proton- oder Neutronzerfall (s. Abb. 5.15). (a) (b) Abbildung 5.15: Proton- und Neutron-Zerfall. Bei experimentellen Untersuchungen von Neutrinos wird oft die Sonne als Quelle genutzt. Die Neutrinos dieser Quelle werden passend als solare Neutrinos bezeichnet. Sie entstehen bei folgender Reaktion: Also die Fusion von zwei Protonen. Die Energie der Neutrinos beträgt dabei weniger als MeV. Alternativ entstehen die Neutrinos auch durch folgende Reaktionen: Dabei ist die Energie der Neutrinos niedriger als MeV. 1998 wurde in der Homestake-Goldmine in South Dakota ein Experiment durchgeführt, um Neutrinos nachzuweisen. Dabei wurde ein 62

5.4 Der Higgs-Mechanismus Behälter verwendet, in dem t enthalten waren. In diesem Behälter sollten die Neutrinos über folgende Reaktion nachgewiesen werden: Die Erwartung aus dem Neutrino-Fluss der Sonne und dem Wirkungsquerschnitt beträgt Ereignisse pro Tag. Es wurden aber nur Ereignisse pro Tag gemessen. Dies wird als das Neutrinoproblem bezeichnet. Ein ähnliches Experiment zum Nachweis der Teilchen wurde 1998 im Super-Kamiokande durchgeführt. Dabei beobachtete man folgende Reaktion: e die in Abbildung 5.16 als Feyman-Diagramm dargestellt ist. Abbildung 5.16: Reaktion der Neutrinos im Wasser (Super-Kamiokande). Die Solarneutrinos waren dabei sichtbar, aber der Fluss war nur halb so groß wie erwartet. Ein weiteres Experiment zur Untersuchung der Neutrinos war das in Sudbury, Kanada. Es wird als Sudbury Neutrino Observatory (SNO) bezeichnet. Es wurden dabei t schweres Wasser verwendet. Dabei war neben der Beobachtung von niederenergetischen Neutrinos vor allem die separate Beobachtung von Elektron-Neutrinos und den anderen beiden Neutrinos möglich. (a) (b) Abbildung 5.17: Feynman-Diagramme von (a) geladenem ( CC ) und (b) neutralem Prozess ( NC ). Anschließend wurden die Raten des geladenen Prozess (CC) und des ungeladenen Prozess (NC) verglichen (s. Abb. 5.17). Die experimentellen Resultate ergaben folgende Raten: cm s cm s 63

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Der Gesamtfluss aus der Sonne sollte laut Vorhersage folgenden Wert haben: cm s Dieses Phänomen, welches in allen Experimenten nachgewiesen werden konnte, kann durch Neutrino-Oszillationen erklärt werden. Die schwach produzierten Zustände, in denen die Neutrinos gemessen werden, sind Mischungen aus physikalischen Zuständen. Das bedeutet, sie sind Masseneigenzustände des freien Hamilton-Operators. Die Zustände lassen sich über die sogenannte PMNS-Matrix berechnen: Für die Zeitentwicklung eines Zustandes, der als produziert wurde: ergibt sich mit der bekannten Zeitentwicklung von : Es gilt: e i Wir erhalten also: e i e i e i Dabei können wir (und die anderen Zustände analog) wie folgt mit darstellen: Die Wahrscheinlichkeit diesen Zustand als zu messen, ergibt sich dann zu: e i e i e i Sie hängt von der Phasendifferenz zwischen zum Zeitpunkt der Messung ab. Diese wiederum hängen von und ab, also von der Masse der Teilchen. Wir erhalten folgende drei Gleichungen: 64

5.4 Der Higgs-Mechanismus Insgesamt erhält man mit. Genauere Messungen finden nicht mehr mit Solarneutrinos statt sondern es werden erdbasierte Neutrinostrahlen verwendet. Mit diesen werden die Beobachtungen durchgeführt beziehungsweise das Verschwinden von Leptonen bestimmten Typs beobachtet. Diese Versuche werden in der Nähe von Kernspaltungs-Kraftwerken durchgeführt (z. B. in der Daya-Bay in China oder in RENO in Südkorea). Alternativ mit längeren Abstand und dedizierten Neutrinostrahlen (z. B. MINOS mit einer Entfernung von km) Zusammengefasst ergeben die Resultate: Neutrinos besitzen also eine Masse. Quarks: schwache Hadronenzerfälle Quarks wechselwirken schwach analog zu den Leptonen mit universeller Kopplung, aber es existiert eine Mischung der Quarks vom Down-Type analog zu den Neutrinos: sodass an jedem -Vertex ein steht mit:. Im Vergleich zu den Neutrinos ist die Mischung aber geringer: Wir können festhalten, dass die schwache Wechselwirkung im Leptonen- sowie im Quarksektor die einzige ist, die Generationen ineinander umwandelt. 65

5 Das Standardmodell der Teilchenphysik Wie können wir die schwache Wechselwirkung von Quarks nun beobachten? Das ist schwierig, da sie hadronisieren bevor sie schwach zerfallen. Daher betrachten wir nun schwache Zerfälle von Hadronen wie zum Beispiel den -Zerfall oder semileptonische -Zerfälle (s. Abb. 5.18). (a) -Zerfall. (b) Semileptonischer -Zerfall. Abbildung 5.18: Beispiele für schwache Zerfälle von Hadronen. Hadronenzerfälle sind sehr vielfältig, eine Übersicht liefert die PDG 4 Viele Eigenschaften der Zerfälle spiegeln sich in Verzweigungsverhältnissen wider: Die CKM-Matrix kann komplexe Einträge enthalten, was auf die CP-Verletzung führt (vgl. Abschnitt 5.3.2) und zu der bisher noch nicht widerlegten CPT-Erhaltung führt. Die CP-Verletzung kann aber nicht mit -Messungen bestimmt werden. 5.5 Vakuum-Stabilität Kommen wir nochmal auf unsere Eingangsüberlegungen zur Stabilität unseres Universums zurück. Mittlerweile haben wir einiges kennen gelernt und können die Überlegungen noch etwas untermauern. Wie lautet nun die Lagrange-Dichte unseres Universums? Das Potential ist jetzt bekannt: Mit der unitären Eichung 4 urlhttp://pdglive.lbl.com. 66

5.5 Vakuum-Stabilität erhalten wir mit und Vakuum.. Es ist also alles gut: Der Grundzustand ist ein stabiles Jedoch zeigen genauere Betrachtungen 5, dass von einer Skala abhängt (exakt analog zu ): mit Yukawa-Kopplung des top-quarks Das Potential hängt vom Vorzeichen von und damit von und ab. 5 Hier sei auf die Higgs-Vorlesung verwiesen. 67

6 Teilchenidentifikation in Detektoren Bisher haben wir Streu- und Zerfallsprozesse verschiedener Teilchen betrachtet. Wir wollen nun diese Teilchen identifizieren und vermessen. Es kommt dabei zur Unterscheidung von stabilen und instabilen Teilchen. Stabile Teilchen sind solche Teilchen, die im Detektor nachgewiesen werden können. Sie haben also eine mittlere freie Weglänge von mm. Dazu zählen. Diese Teilchen müssen mit jeweils angepassten Detektoren nachgewiesen und unterschieden werden. Dabei macht man sich ihre Wechselwirkung mit der Materie zu nutze. Bei instabilen Teilchen handelt es sich um Teilchen, die nur kurzzeitig existieren bis sie sich in andere Teilchen umwandeln. Es werden aber auch intermediäre Propagatoren in Feynman-Diagrammen so bezeichnet. Zu diesen zählen,, -, -, und -Bosonen,,, Zum Nachweis muss man die stabilen Endprodukte betrachten und dann rekonstruieren. Hierfür ist u. a. die invariante Masse entscheidend. 6.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie 6.1.1 Energieverlust durch Ionisation Geladene Teilchen wechselwirken mit Materie durch Ionisation der Atome, also durch elektromagnetische Wechselwirkung mit den Elektronen in der Hülle. Dabei kommt es zum Energieverlust bei den Teilchen. Der spezifische Energieverlust ist gegeben durch die Formel von Bethe-Bloch. Sie wurde 1932 aufgestellt. Dabei handelt es sich bei um die Elektronendichte des Materials, diese ergibt sich aus Mit der atomaren Masseneinheit u kg. beschreibt die Ladung und Geschwindigkeit des Teilchen und ist das mittlere Anregungspotential der Atome: ev 69

6 Teilchenidentifikation in Detektoren Die Größenordnung des Energieverlusts ist abhängig davon, ob es sich um einen Festkörper oder um Gas handelt. Bei Festkörpern ist der Verlust im MeV cm -Bereich und bei Gasen kev cm. Man sieht also, dass der Energieverlust im Vergleich zu den hohen Energien der Teilchen im GeV-Bereich viel geringer ist. Andere Prozesse sind also oft relevanter als der Energieverlust. Durch den relativ geringen Energieverlust lässt sich die Ionisation nutzen, um die Spuren der Teilchen zu messen. Klassisch geschieht bzw. geschah das in Nebel- oder Blasenkammern. Diese Kammern sind mit einem übersättigtem Luft-Alkohol-Gemisch gefüllt. Durch die Ionisation entstehen Kondensationskerne und es wird eine Spur sichtbar. Heutzutage nutzt man stattdessen Halbleiter, die entsprechend dotiert sind. Durch eine Struktur im Halbleiter (Streifen oder Pixel) wird die Ortsauflösung der Teilchenspur erreicht. 6.1.2 Elektromagnetischer Schauer MeV Vor allem für hochenergetische Teilchen dominieren andere Energieverluste neben der Ionisation. Für Elektronen ist das zum Beispiel die Bremsstrahlung am Kern. Produzierte Photonen (auch primäre) können selbst mit dem Kern wechselwirken. Das führt dann zum Prozess der Paarbildung. Beide Prozesse sinde in Abbildung 5.6 dargestellt; sie führen zu einer Kaskade von Elektronen- und Photonenproduktion, dem elektromagnetischen Schauer (s. Abb. 6.2). (a) Bremsstrahlung. (b) Paarbildung. Abbildung 6.1: Teilprozesse eines elektromagnetischen Schauers. Diese finden solange statt bis, danach kommt es nur noch zur Ionisation. Somit wird die Energie (fast) vollständig im Detektor deponiert und ist somit messbar. Die Messunsicherheit ist durch den stochastischen Prozess gegeben. Da die Teilchenzahl proportional zur Energie ist folgt damit: und damit 70

6.1 Wechselwirkung von Teilchen mit Materie Abbildung 6.2: Elektromagnetischer Schauer. 6.1.3 Hadronischer Schauer Hadronen können mit Kernen auch stark wechselwirken, dabei entstehen neue leichtere Hadronen, die wiederum wechselwirken. Wir erhalten wieder eine Kaskade ähnliche wie oben (Kap. 6.1.2): den hadronischen Schauer. Auf Grund der deutlich größeren hadronischen Wechselwirkungslänge werden die Schauer größer und die Kalorimeter müssen daran angepasst werden und größere Ausmaße annehmen. 6.1.4 Cerenkov-Strahlung Falls eine elektrisch geladenes Teilchen in einem Medium schneller ist als das Licht in diesem Medium dann kommt es zu einem Analogon des Überschallknalls: Durch konstruktive Interferenz der bei der Polarisierung der Moleküle entstehenden Photonen werden ebendiese in fester Richtung emittiert: Diese Strahlung, die Cerenkov-Strahlung wird z. B. genutzt, um Elektronen oder Myonen in Neutrinodetektoren nachzuweisen. Die obige Bedingung ist auch für die Teilchenidentifikation nützlich, wenn der Impuls bekannt ist. 71

6 Teilchenidentifikation in Detektoren 6.2 Impulsbestimmung im Magnetfeld Die Spurdetektoren befinden sich in einem starken Magnetfeld parallel zur Strahlachse. Die Lorentz-Kraft bewirkt eine Ablenkung der Teilchen, dabei wird aber nur die Bewegungskomponente senkrecht zum Feld geändert: GeV/c T m Der Gesamtimpuls ergibt sich durch den Winkel zur Strahlachse: Diese trigonometrische Beziehung ist in Abbildung 6.3 skizziert. Abbildung 6.3: Aufteilung des Impulses in longitudinale und transversale Komponente. Die Messung wird für große ungenauer, da die Krümmung geringer wird. 6.3 Detektorkonzepte am Beispiel von ATLAS Die Grundidee des ATLAS-Experiments besteht aus einem abgeschlossenen Detektor rund um die Strahlachse, der (fast) alle stabilen Teilchen in unterschiedlichen Schichten nachweisen kann. Umgesetzt sieht das dann so wie in Abbildung 6.4 aus. Der zwiebelförmige Aufbau nutzt Ionisation, elektromagnetische Schauer, hadronische Schauer und Spurdetektoren, um Teilchen nachzuweisen. Der Nachweis von Neutrinos ist nur indirekt über Energie-Impuls-Erhaltung möglich. Man verwendet dabei den fehlenden transversalen Impuls miss. 72

6.3 Detektorkonzepte am Beispiel von ATLAS Abbildung 6.4: Aufbau des ATLAS-Experiments. CC-BY-NC-SA 2.0 Argonne National Laboratory, https://commons.wikimedia. org/wiki/file:atlas_drawing.jpg 73

7 Gebundene Zustände Neben Streu- und Zerfallsprozessen werden auch die fundamentalen Wechselwirkungen durch gebundene Zustände untersucht. Dabei liefern die Energieniveaus, also die Massen, Rückschlüsse auf Bindungspotentiale und damit auf die Wechselwirkung. Bevor wir später Atomkerne (s. Kap. 8) diskutieren, wollen wir moch zwei Beispiele für wasserstoffatomähnliche Bindungen betrachten. 7.1 Vom Wasserstoffatom über Positronium zum Charmonium 7.1.1 Wasserstoff gegenüber Positronium Für die Beschreibung des Wasserstoffatoms können wir die Schrödinger-Gleichung verwenden. Dabei betrachten wir das Coulomb-Potential Es ergibt sich also: mit reduzierter Masse Als Energieeigenwerte mit der Hauptquantenzahl ergeben sich: Es kommt des Weiteren zur Aufsplittung der entarteten Zustände durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung. Dies ist die Feinstruktur-Aufspaltung. Es gilt: Für die Hyperfeinstruktur, also die Aufspaltung durch die Spin-Spin-Kopplung, gilt: wobei beträgt. 75

7 Gebundene Zustände Das Positronium ist eine Bindungszustand von Elektron und Positron. Auf Grund der Annihilation von Teilchen und Antiteilchen ist es instabil, aber beobachtbar ( s). Wir betrachten nun den Unterschied zum Wasserstoffatom. Für das Positronium ergibt sich folgende reduzierte Masse: Die Energieeigenwerte sind also halbiert. Wir sehen außerdem, dass die Spin-Spin-Kopplung nicht unterdrückt ist, da ist. Die Hyperfeinaufspaltung ist also ähnlich groß wie die Feinaufspaltung. In beiden Fällen erfolgt die Berechnung mit elektromagnetischer Wechselwirkung. Dabei wurden sehr gute Übereinstimmungen mit dem Experiment erzielt. 7.1.2 Charmonium als QCD-Bindungszustand Es ist eine ähnliche Behandlung für stark gebundene Systeme von Quark-Antiquark möglich, dabei vor allem für schwere Quarks (nicht relativistisch). Das Charmonium besteht aus zwei Charm-Quarks. Diese Bindungszustände sind als Resonanzen beobachtbar. Es wird eine ähnliche Spektroskopie wie für das Positronium verwendet. Das QCD-Potential hat zwei Anteile, einen kurz- und einen langreichweitigen Anteil: Dabei ist 4 3 der Farbfaktor aus der QCD und GeV fm. Im Vergleich mit der QED erkennt man große Unterschiede. Für die Bindungsenergie haben wir ev in der QED und MeV in der QCD (zzgl. der Konstituentenmassen). Bei den Bindungsabständen gibt es ähnliche große Unterschiede nm bzw. fm. Die höherliegenden Energieniveaus weichen vom -Verhalten ab, was ein Hinweis auf die Abweichung vom -Potential ist. Die Masse enthält auch die Massen der Konstituentenquarks GeV. Analog zur QED führen Spin-Bahn- und Spin-Spin-Kopplung zur (Hyper-)Feinaufspaltung. 76

7.2 Massen der Mesonen 7.2 Massen der Mesonen Die Quarks in Hadronen sind von einer Gluonenwolke umgeben, die zur Bindungsenergie und damit auch zur Masse beiträgt. Die Konstituentenmasse ist daher viel größer als die Yukawa-Masse: MeV mit MeV MeV MeV MeV MeV MeV Zusätzlich kommt noch die Spin-Spin-Wechselwirkung hinzu: mit wobei ein Fitparameter ist MeV Sind die Quarkspins entgegengesetzt, der Gesamtspin ist 0, dann erhalten wir ein pseudoskalares Meson und die Spin-Spin-Wechselwirkung berechnet sich mit Für das erhalten wir dann mit MeV eine Masse von MeV. Bei gleichgerichteten Quarkspins ( ) erhalten wir Vektormesonen mit der Spin-Spin- Wechselwirkung Beispielsweise hat das mit dann die Masse MeV. 77

8 Modelle der Atomkerne 8.1 Eigenschaften der Kerne 8.1.1 Ladung und Notation Die Zahl der Protonen im Kern wird durch die Ladungszahl angegeben. Dadurch lässt sich auch direkt die Ladung berechnen: Diese Zahl ist auch noch wichtig, da sie die Zahl der Elektronen im neutralen Atom angibt und das chemische Element damit festlegt. Mit der Massenzahl wird die Zahl der Nukleonen (Protonen und Neutronen) im Kern angegeben, wobei mit die Zahl der Neutronen angegeben wird: Dargestellt werden die Zahlen auch zusammen mit dem chemischen Symbol: bzw. Folgende Begriffe ergeben sich nun, wenn eine der Zahlen konstanten gehalten wird: Isotope Kerne mit gleichem Isobare Kerne mit gleichem Isotone Kerne mit gleichem Isomere/Resonanzen Kerne mit gleichem: aber angeregt 8.1.2 Massen und Bindungsenergien Die Massendifferenzen liegen jenseits der naiven Erwartungen: 79

8 Modelle der Atomkerne mit MeV und MeV. Sie entspricht der Bindungsenergie, die positiv definiert ist: Der Kern ist also naiv stabil und kann nicht einfach in seine Konstituenten zerfallen. Auf die Bindungspotentiale und -modelle kommen wir später zurück (Abschnitt 8.3ff.). Wie können wir nun die Massenbestimmung im Experiment durchführen. Eine Möglichkeit ist ein Massenspektrometer mit elektromagnetischen Feldern. Damit ist eine gleichzeitige Messung von Energie und Impuls für die Atome möglich, allerdings nur nicht-relativistisch. Krümmungsradius im -Feld Krümmungsradius im -Feld Wir messen also eine spezifische Ladung für ein festes. Eine andere Möglichkeit ist die Penning-Falle. Das Ion wird durch die Überlegung von homogenem Magnetfeld und elektrischem Quadrupolfeld gespeichert. Im Magnetfeld vollführt es durch die Lorentzkraft eine Kreisbewegung mit der Zyklotronfrequenz : Durch die Absorption von elektromagnetischer Strahlung ist die Vermessung von sehr exakt möglich: Als Referenz für die Messung dient Kohlenstoff 12 C, da es überall vorhanden ist: 12 C-Atom MeV kg 8.1.3 Geometrische Gestalt der Kerne Die Bestimmung der geometrischen Gestalt, also die Abweichung von einer punktförmigen Hypothese, geschieht durch Streuexperimenten. Die punktförmige Hypothese wird durch die Rutherford-Streuung von Elektronen an Kernen beschrieben. Wir erhalten folgenden differenziellen Wirkungsquerschnitt: Rutherford 80

8.1 Eigenschaften der Kerne Wegen der Spineffekte für die relativistische Energie müssen wir den differenziellen Wirkungsquerschnitt etwas modifizieren, damit es zur Mott-Streuung passt: Abweichung von punktförmigen Streuzentren, also Ladungszentren, lassen sich durch eine Modifikation des Formfaktors realisieren. Mott Dabei stellt Abbildung 8.1: Streuung an einer Ladungsverteilung. den Impulsübertrag dar. Für q gilt: Der Zusammenhang zwischen Formfaktor und der Ladungsverteilung ist über die Fouriertransformation gegeben: e i Wir betrachten nun Beispiele für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen. Diese sind in Tabelle 8.1 dargestellt. Ladungsverteilung Tabelle 8.1: Formfaktor Punkt konstant exponentiell e Dipol Gauß e e Gauß hom. Kugel für für mit oszillierend Messungen für 12 C und 40 Ca beziehungsweise 48 Ca lassen sich über eine Kugel mit diffusem Rand realisieren. e 81

8 Modelle der Atomkerne Mit fm und fm. Daraus erhalten wir einen simplen Zusammenhang für den Radius der Atomkerne: mit fm. Dies gilt für eine Vielzahl von Kernen. 8.1.4 Spin und magnetische Momente Der Kernspin setzt sich aus Spins der Nukleonen zusammen: Proton Neutron Wenn A gerade ist, erhalten wir einen ganzzahligen Kernspin, wenn A ungerade ist, erhalten wir einen halbzahligen Kernspin. Experimentell zeigt sich, dass für alle Z gerade und alle N gerade die Kerne einen Spin von 0 haben. Die Erklärung dieses Effekts liegt in den Paarungseffekten innerhalb des Kerns. Aus diesem Grund erhält man generell einen niedrigeren Kernspin. Dies gilt auch für große Kerne. Für das magnetische Dipolmoment gilt allgemein für geladene Teilchen mit Spin: e g ist der Landé-Faktor und ist ungefähr 2 für punktförmige Objekte. Wir betrachten nun das Elektron. Für dieses gilt. Es gilt weiterhin: e Das magnetische Moment des Elektrons ist also etwa so groß wie das Bohrsches-Magneton. Für das Nukleon erhalten wir analog ( ): Dies ist das Kernmagneton. Jedoch ist, da für die innere Struktur folgendes gilt: Für den Kern erhalten wir aufgrund von Paarungseffekten: 82

8.2 Die semiempirische Massenformel 8.2 Die semiempirische Massenformel Eine wichtige offene Frage ist, wie groß ist die Bindungsenergie für verschiedene Kerne. Die Antwort auf diese Frage ist die Grundlage für Kernspaltung, -zerfall, -fusion. Wir werden nun ein umgekehrtes Vorgehen zur bisherigen Teilchenphysik verwenden: Als erstes werden wir die semiempirische Formel für die Parametrisierung von betrachten und uns dann um die Motivation durch Kernmodelle kümmern. Die Formel wurde 1935 von Carl Friedrich von Weizsäcker und 1936 von Hans Bethe aufgestellt und wird Bethe-Weizsäcker-Formel genannt 1 : Volumen Fit der Parameter an gemessenen Massen: MeV MeV MeV MeV MeV MeV gerades, gerades gerades, gerades Oberfläche ungerade, ungerade Coulomb Asymmetrie Paarung Durch diese Formel ist eine gute Beschreibung der Bindungsenergie möglich. Vor allem für große A. Für leichte Kerne erhalten wir teilweise stärkere Abweichungen. Einzelne punktuelle Abweichungen und bei höheren A finden wir sogenannte magische Zahlen, bei denen besonders hohe Bindungsenergien vorliegen. Die Bindungsenergie pro Nukleon ist relativ unabhängig von A bei MeV. Ergebnisse für das Verhältnis: Wir wollen nun die Frage betrachten, ob sich diese fünf Terme aus dem Kernmodell motivieren lassen. 8.3 Tröpfchenmodell Das Modell Tröpfchenmodell basiert auf dem Zusammenhang zwischen Masse und Radius und einer konstanten Dichte. Wir treffen die Annahme, dass sich der Kern wie Flüssig- 1 Achtung: manchmal 83

8 Modelle der Atomkerne keitstropfen, mit kurzreichweitiger Kernkraft zwischen den Nukleonen, verhält. Für das Modell betrachten wir zu erst den Volumen-Term. Jedes dazukommende Nukleon wechselwirkt nur mit seinen Nachbarn. Dadurch erhalten wir einen konstanten Beitrag zur Bindungsenergie proportional zu A. Des weiteren betrachten wir den Oberflächen-Term, also zur Oberfläche. Volumen Oberfläche Coulomb Symmetrie Paarung Abbildung 8.2: Zustandekommen der einzelnen Beiträge in der Bethe-Weizsäcker-Formel. Daniel FR, CC-BY-SA 3.0, modifiziert, https://commons.wikimedia.org/wiki/file:tröpfchenmodell.svg Nukleonen an den Oberflächen haben weniger Nachbarn, sie tragen also weniger zur Bindungsenergie bei. Der Coulomb-Term, wobei für gilt. Durch elektrostatische Abstoßung der Protonen reduziert sich die Bindungsenergie. Die beiden letzten Terme lassen sich durch das Modell nicht erklären, da es sich um Quanteneffekte handelt. Die Terme bzw. deren Ursprung im Tröpfchenmodell sind in Abbildung 8.2 skizziert. 8.4 Das Fermi-Gas-Modell Zu den Fermionen gehören die Protonen und Neutronen. Das bedeutet, dass sie, erklärt durch das Pauli-Prinzip, diskrete Zustände nicht doppelt besetzen können. Wir treffen nun die Annahme, dass Protonen und Neutronen im Kern zwei Fermi-Gase sind. Sie wechselwirken also nicht untereinander, sind aber auf den Kernradius eingesperrt. Wir betrachten nun die Fermi-Gas-Analogie: Die Zahl der Zustände im Volumen V mit dem Impuls lassen sich beschreiben über folgende Formel: Es liegen also zwei Spinzustände, mit jeweils einem Spin von vor. Das minimale Volumen für einen Zustand wird durch beschrieben. Es besteht aus Eigenzuständen im dreidimensionalen Kastenpotential. Der dreidimensionale Impuls beschreibt den Phasenraum im Impulsraum. Für ein kugelsymmetrisches Potential nimmt es die folgende Form an: 84

8.5 Das Schalenmodell Über die Integration erhält man die Zustandssumme bis zum höchsten besetztem Zustand. Dieser entspricht dem sogenannten Fermi-Impuls. Mit Fermi-Energie wird die kinetische Energie des Fermi-Gas bezeichnet. Die Gesamtenergie des Fermi-Gas bei der Temperatur gleich 0 ergibt sich zu: Die kinetische Energie des Kerns, also die Summe aus Protonen- und Neutronengas, ergibt sich zu: kin Wir betrachten erst mal symmetrische Kerne, also Kerne für die gilt. Wir erhalten hierfür kin und pot. Dabei handelt es sich um den Volumenterm. Der Oberflächenterm entsteht bei genauer Zählung der Anzahl der Zustände im Kastenpotential. Dabei müssen Zustände mit abgezogen werden. Wobei und gilt. Wir beziehen nun die Coulomb-Abstoßungsenergie der Protonen ein. Der Potentialtopf für Protonengas ist weniger tief als der der Neutronen. Beide sitzen dabei aber auf der gleichen Fermi-Kante. Der Asymmetrieterm entsteht, wenn wir für die kinetische Energie nicht die Annahme voraussetzen, dass ist. Wir entwickeln nun in : kin Der zweite Summand beschreibt den Asymmetrieterm. Der Koeffizient stimmt nicht mit dem empirischen überein. Dafür müsste man auch Änderungen von der potentiellen Energie mit einbeziehen, die dadurch zustande kommt, dass ist. 8.5 Das Schalenmodell Wir blicken dafür auf die Abweichung von dem berechneten Verhältnis von : Wir sehen, dass bei Z beziehungsweise N von 2, 8, 20, 28, 50, 82 und 126 eine besondere Stabilität vorliegt. 85

8 Modelle der Atomkerne Besonders bei Kernen, bei denen Z und N mit einer dieser Zahlen vorliegt. Diese Zahlen werden als magische Zahlen bezeichnet. Wir schauen nun, ob eine ähnliche Interpretation wie bei Atomen möglich ist. Die Ionisationsenergie hat Diskontinuitäten bei. Dies entspricht den Edelgasen, also abgeschlossenen Schalen mit größeren Abstand. Der folgende Ansatz dient zur Berechnung der Energieniveaus beziehungsweise Schalen. Es handelt sich um das Woods-Saxon-Potential. e Dies kann mit der Ladungsverteilung aus Abschnitt 8.1.3 verglichen werden. Durch lösen der Schrödingergleichung mit dem Zentralpotential erhalten wir die Zustände und Eigenwerte nummeriert mit und. In Tabelle 8.2 sind diese für zwei unterschiedliche Potentiale aufgelistet. Tabelle 8.2: Zustände und Eigenwerte aus der Schrödinger-Gleichung mit Zentralpotential. (a) WS-Potential. 0 1 2 2 3 3 4 4 4 1s 1p 1d 2s 1f 2p 1g 2d 3s Entartung 2 6 10 2 14 6 18 10 2 Zustände mit 2 8 18 20 34 40 58 68 70 (b) Harmonisches Oszillator-Potential. 0 1 2 3 4 5 6 0 1 0, 2 1, 3 0, 2, 4 1, 3, 5 0, 2, 4, 6 2 6 12 20 30 42 56 2 8 20 40 70 112 168 Wir sehen, dass dieser Ansatz nicht funktioniert. Auch die Verwendung eines harmonischen Oszillators als Potential funktioniert nicht. Wir können, nach Betrachtung weiterer Potentiale, sagen, dass ein beliebiges Zentralpotential nicht ausreicht, um die magischen Zahlen zu erklären. Was wir bisher außer Acht gelassen haben, ist die Spin-Bahn-Kopplung. Ähnlich wie für Atome beziehungsweise gebundene Zustände erhalten wir Zusatzterme. Hier ist es der Term, den wir für die Kopplung des Nukleonenspin und des Bahndrehimpuls erhalten. Zentral mit: Wir erhalten eine große Aufspaltung für hohe. Der Term ergibt sich als negativer Wert experimentell. Dadurch kommt es teilweise zum Abtauchen von Energielinien, wie es auch in obiger Abbildung zu sehen ist. Bei großen Lücken erhalten wir somit eine besonders hohe Bindungsenergie. 86

8.5 Das Schalenmodell Damit kann man die nächste magische Zahl vorhersagen, welche bei liegt. Das muss aber noch experimentell bestätigt werden. Auch lässt sich damit analog zu den magischen zahlen das natürliche Vorkommen von Isotopen vorhersagen, z. B. : % % obwohl das empirische umgekehrt erstaunlich stabil ( s), obwohl fern von -Stabilitätslinie (, ) außergewöhnlich hohe Bindungsenergie 2 Protonen und Neutronen füllen die Schalen unabhängig voneinander aber gepaart ( ), sodass der Grundzustand von gg-kerne ( gerade und gerade) immer einen Gesamtdrehimpuls von hat. Das magnetische Dipolmoment des Kerns wird dann durch Spin und Bahn der Nukleonen hervorgerufen. 87

9 Kernreaktionen & Zerfälle 9.1 Allgemeines Um Aussagen über Kernreaktionen und Zerfälle mache zu können muss zunächst einmal deren Massenformel bekannt sein, welche uns deren Kernbindungsenergie liefert. Von dort an kann man sich die Frage stellen, welche Umwandlung von Kernen überhaupt erlaubt sind. Dafür betrachtet man die bei einem Prozess freiwerdende Energie : Anfangszustand Endzustand freiwerdende Energie Für den Zerfall eines schwachen Kerns schreiben wir also Jedoch wird mit nur die Möglichkeit und nicht die Wahrscheinlichkeit festgelegt, die wir in Abschnitt 9.2.2 behandeln werden. Für ein allgemeines Zerfallsgesetz definieren wir uns zunächst eine Zerfallswahrscheinlichkeit, welche im Zeitintervall konstant sein soll: (Annahme: ) const. Die Anzahl der Kerne im betrachteten Ensemble des Stoffes verändert sich mit der obigen Rate, welche sich aus der Zerfallswahrscheinlichkeit ergibt: Dies lässt sich zu folgender Differentialgleichung für den Zerfall umformen deren Lösung das Zerfallsgesetz ergibt: e Die oben eingeführte Größe bezeichnet man als Aktivität, deren Einheit das Becquerel Bq ist. Zerfall s 89

9 Kernreaktionen & Zerfälle Mit dem Zerfallsgesetz lässt sich auch eine mittlere Lebensdauer der Kerne definieren, welche die Zeit angibt, nach der die Zahl der Kerne auf den Anteil 1 e reduziert ist. Für die Kernphysik spielt es häufig eine Rolle zu wissen, nach welcher Zeit die Hälfte aller Kerne zerfallen ist; die sogenannte Halbwertszeit : Wir erinnern uns daran, dass man die mittlere Lebensdauer eines Teilchens auch aus seiner Zerfallsbreite ermitteln kann, also aus seinem Matrixelement und Phasenraum (siehe Kap. 2.3). Dies führt uns zusätzlich auf: 9.2 -Zerfall Die Bindungsenergie im Kern beträgt etwa MeVNukleon. Die Nukleonen können also nicht allein aus dem Kern entweichen. Für gebundene Systeme, vor allem jene mit hoher Bindungsenergie, ist dies jedoch möglich. Dabei ist 4 He besonders günstig, da es doppelt magisch ist: -Zerfall Die -Werte sind typischerweise für hohe positiv, was auch logisch ist da für hohe abnimmt. Wodurch kommen aber nun die verschiedenen Lebensdauer der Kerne bei zustande? 9.2.1 Kinematik des -Zerfalls 1 2 Betrachten wir zunächst die Energiebilanz und die Kinematik dieser Umwandlung im Ruhesystem des Parent-Teilchens. Für die Energiebilanz ergibt sich: kin kin kin Für die Kinematik ergibt sich: kin kin kin 90

9.2 -Zerfall im Ruhesystem: D Aus beiden Betrachtungen ergibt sich: kin Wie wir schnell erkennen trägt für schwere Kerne das -Teilchen den Großteil der Energie. 9.2.2 Tunnelwahrscheinlichkeit Das -Teilchen bewegt sich im mean-field-potential mit zwei Komponenten, dem anziehenden Kernpotential und dem abstoßenden Coulomb-Potential: Ohne das Coulomb-Potential wäre der Kern stabil, mit dem Potential gibt es für manche Kerne mit eine endliche Tunnelwahrscheinlichkeit. Diese möchten wir nun berechnen (nach Gamow 1928). Aus der Quantenmechanik kennen wir die Tunnelwahrscheinlichkeit für eine konstante Barriere der Höhe und der Breite : e mit Um dies in die real vorliegende Barriere zu übertragen teilen wir dieses in infinitesimale konstante Barrierenscheiben und integrieren anschließend über diese. Damit ergibt sich: mit e mit Substitution min Für große Kerne geht min gegen null: mit 91

9 Kernreaktionen & Zerfälle Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist dabei extrem niedrig ( ). Dennoch zerfällt der Kern über den -Zerfall, da die -Teilchen mit einer sehr großen Frequenz gegen die Barriere stoßen : mit Die Tunnelwahrscheinlichkeit muss zudem noch korrigiert werden, da ist: MeV fm Aus der Tunnelwahrscheinlichkeit kann dann mit der Geiger-Nuttall-Regel die Lebensdauer berechnet werden: const. Die -Teilchen gehen typischerweise in den Grundzustand des Tochterkerns über, da der Zerfall eine hohe Q-Abhängigkeit vorweist. Eine höhere Energie würde dazu führen, dass die Coulomb- Barriere leichter überwunden werden könnte. 9.3 -Zerfall Zur Erinnerung, der Asymmetrieterm in der Bethe-Weizsäcker-Formel lautete Es ergeben sich also höhere Bindungsenergien, wenn die Protonenzahl etwa gleich der Neutronenzahl ist. Bei einem hohen Verhältnis erhalten wir den -Zerfall: Ist das Neutronenzahl-Kernladungszahl-Verhältnis hingegen klein so kommt es zum -Zerfall: oder zum Elektroneneinfang: das Elektron kommt dabei aus der Atomhülle. 92

9.3 -Zerfall Wir führen nun eine quantitative Betrachtung durch und untersuchen genauer, welche Abhängigkeit für ein fixes aufweist. mit MeV gg gn ungerade uu MeV Wir unterscheiden Kerne mit gerader Anzahl von Nukleonen und ungerader Anzahl. Die lokalen Minima führen zu quasi-stabilen Nukliden, da der doppelte Betazerfall sehr unwahrscheinlich ist. Wir wollen nun die -Werte der möglichen Reaktionen untersuchen. Dabei ignorieren wir, dass Neutrinos eventuell eine Masse haben. Dabei ist die Anregungsenergie der Atomhülle des Tochterkerns. Abhängig von liegt eine Konkurrenz zwischen dem -Zerfall und dem Elektroncapture vor. Ursprünglich lag keine Beobachtung von Neutrinos oder ihren Antiteilchen vor. Bei einem Zerfall in zwei Teilchen mit fester Energie müsste eine Energieverteilung analog zum -Zerfall entstehen. kin kin Experimentell wurde aber ein kontinuierliches Spektrum nachgewiesen. Dies würde bedeuten, dass die Energie- und Impulserhaltung verletzt wären. Daraufhin wurde von Pauli neue Teilchen postuliert: Die Neutrinos. Durch die Energieverteilung ist eine Massenbestimmung der Neutrinos möglich. Die zugrunde liegende Umwandlung von Nukleonen lässt sich in Abbildung 9.1 erkennen. Quasistabile Isobare zerfallen gegebenenfalls über den doppelten Betazerfall, zum Beispiel: e e Die Feynman-Diagramme für den doppelten Betazerfall (mit und ohne Neutrino) sind in Abbildung 9.2 zu sehen. 93

9 Kernreaktionen & Zerfälle (a) -Zerfall. (b) -Zerfall. Abbildung 9.1: Feynman-Diagramme der -Zerfälle. / Abbildung 9.2: Feynman-Diagramm des (a), (b) (neutrinolosen) doppelten -Zerfalls. 94

9.4 Kernspaltung Diese Zerfallsart ist durch die schwache Kopplung und den verringerten Phasenraum-Faktor im Zerfall zu fünf Teilchen stark unterdrückt. Die typische Lebensdauer beträgt Jahre. Er ist nur zu beobachten, wenn der einzelne Betazerfall nicht erlaubt ist. Noch exotischer ist der neutrinolose doppelte Betazerfall. Dafür müsste das Neutrino sein eigenes Antiteilchen sein. Also ein sogenanntes Majorana-Teilchen. Dies würde eine alternative Erklärung für die Neutrinomassen ergeben. Aber bisher wurde dieser Zerfall noch nicht beobachtet, auch wenn zur Zeit sehr intensiv danach gesucht wird. Zum Beispiel mit dem GERDA-Experiment bei dem u. a. das IKTP in Dresden mitarbeitet. 9.4 Kernspaltung Die Spaltung eines Kerns in zwei leichtere Tochterkerne ist prinzipiell möglich, wenn dabei die Bindungsenergie pro Nukleon ansteigt, was ungefähr für Kerne mit der Fall ist. Allerdings zerfällt nicht jeder Kern automatisch, wenn ein Zerfall einen positiven -Wert aufweist, sondern es existiert ähnlich wie beim -Zerfall eine Barriere, die anziehende Kernkraft, welcher der abstoßenden Coulomb-Kraft gegenübersteht. Effektiv muss ein Tochterkern also durch diese Barriere tunneln: Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist dabei sehr gering, weshalb der Zerfall eines Kerns auch ein eher langsamer Prozess ist. Für die Herleitung der Bedingung für das Verschwinden der Barriere, was eine spontane Spaltung zulassen würde, betrachten wir die Bindungsenergie bei einer Verformung des Kerns bei konstantem Volumen, wie in Abbildung 9.3 dargestellt ist. Abbildung 9.3: Schema des Verlaufs der Kernspaltung. Dabei bleibt das Volumen konstant. Allerdings ändert sich der Oberflächenterm zu: Der Coulomb-Term ändert sich ebenfalls zu: Damit ergibt sich gesamt für die Energiedifferenz: 95

9 Kernreaktionen & Zerfälle Die sich aus dieser Forderung ergebende Bedingung für lautet: Das heißt, dass nur sehr schwere Kerne mit und spontan zerfallen können. Was passiert nun aber mit den Kernen, welche eine Kernladungszahl zwischen und haben (für welche der -Wert schließlich auch positiv ist)? Für diese beträgt, solange sie noch halbwegs schwer sind, wie z. B., die Höhe der Barriere nur einige MeV. Diese Energie können wir dem Kern mittels Neutronenbeschuss (mit Neutroneneinfang) zuführen, welche dieser auf zwei verschiedene Arten aufnimmt. (*i) kinetische Energie der Neutronen trägt zur Anregung des Kerns bei (*ii) bei ungeradem erhöht sich durch den Neutroneneinfang zusätzlich der Paarungsterm Dies führt im Endeffekt zur induzierten Emission. Beispiele für diese wären: gerade Neutronenzahl: Schwellenenergie von : MeV Bindungsenergie bei Neutroneneinfang: MeV Daher sind hier schnelle Neutronen notwendig. Diese haben den Nachteil, dass ihr Wirkungsquerschnitt mit antiproportional zu ihrer Geschwindigkeit ist. ungerade Neutronenzahl: Schwellenenergie von : MeV Bindungsenergie bei Neutroneneinfang: MeV Man sieht, dass hier langsame (thermische) Neutronen genügen, was auch einen positiven Effekt auf die Reaktionsrate hat. Ein hoher Neutronenüberschuss in schweren Kernen führt zu folgenden Effekten: (i) freie Neutronen werden in Spaltung produziert bzw. 96

9.4 Kernspaltung Dies macht auch Kettenreaktionen von induzierten Spaltungen von möglich. (gg. falls abgebremst). (ii) -Zerfälle um den Neutronenüberschuss zu verringern und Zusammengefasst können wir schreiben: Rechnet man die Energiebilanz eines induzierten Spaltungsvorgangs von aus, so sieht man, dass ungefähr MeV an Energie pro Spaltungsvorgang frei werden. Diese teilen sich dabei folgendermaßen auf: MeV kinetische Energie der Kerne MeV -Strahlung (primär + sekundär) MeV kinetische Energie der Neutronen MeV kinetische Energie der Elektronen MeV kinetische Energie der Neutrinos Im Reaktor versucht man die Kettenreaktionen zu steuern um die Kritikalität zu kontrollieren. Diese ist definiert als Multiplikationsfaktor: Neutronen im Schritt der Kettenreaktion Neutronen im Schritt der Kettenreaktionen Anhand dieses Faktors teilt man das Arbeiten der Zerfälle im Reaktor in folgende Fälle: unterkritisch kritisch überkritisch Da die Reaktionen im Reaktor allerdings auf Zeitskalen ablaufen, in welchen man nicht wirklich den Ablauf regeln könnte, sind noch zusätzlich die Neutronen aus Abregungen s zur Steuerung notwendig. Damit wird der Multiplikationsfaktor dann auf einen kleinen Bereich zum Hochfahren der Kettenreaktion eingestellt. bezeichnet dabei den Anteil der verzögerten Neutronen in. Die untere Grenze des obigen Intervalls bezeichnet man dabei als verzögert kritisch und die obere Grenze als prompt kritisch. Für gewöhnlich ist ein Reaktor folgendermaßen aufgebaut: Hauptbestandteile eines Reaktors sind dabei immer: 97

9 Kernreaktionen & Zerfälle Steuerstäbe für Neutronenabsorption Moderator für Neutronenabbremsung Brennstoff, z. B. In natürlich vorkommenden Uran ist der der Anteil des (mit yr) nur % (der restliche Teil besteht aus mit yr). Da die thermischen Neutronen nicht anregen können, muss das Uran auf einen -Anteil von % angereichert werden. Die Leistung eines Reaktors berechnet sich aus aus Spaltungsenergie, Wirkungsquerschnitt 3, Neutronenfluss und der Anzahl an 235 U-Kernen: Spaltung 9.5 Gammastrahlung Gammastrahlung ist die Emission elektromagnetischer Strahlung, also von Photonen. Diese entstehen bei der Abregung von (niedrig) angeregten Kernzuständen. Anregungen der Kerne können in Form von Schwingungen, Vibrationen oder ähnlichem vorliegen. Dabei kommt es zur entsprechenden Erhöhung von. Folgende Kinematik liegt vor:. Die Kerne sind sehr viel schwerer als die Anregungsenergie: Die kinetische Energie geht vorwiegend von Photonen: Aus den Spektroskopie-Peaks erhält man Informationen über die Energieniveaus des Kerns. Die Art des Überganges bestimmt die charakteristische Winkelverteilung. In Abbildung 9.4 sind drei Übergänge schematisch dargestellt. Im ersten Fall ändert sich das externe E-Feld nicht, es erfolgt also keine Abstrahlung. Es liegt ein Monopol vor. Der zweite beschreibt eine Dipol-Abstrahlung. Sie werden als E1-Abstrahlung bezeichnet. Im dritten Fall sieht man eine Quadrupol-Abstrahlung, E2-Abstrahlung genannt. Diese Einteilung kann man für höhere Pole weiter führen. Ein analoges Vorgehen für magnetische Übergänge durch oszillierende 3 Zur Erinnerung: Reaktionen pro Zeiteinheit pro Targetteilchen einlaufende Teilchen pro Zeiteinheit 98

9.5 Gammastrahlung Abbildung 9.4: Schematische Darstellung möglicher Kernübergänge. Tabelle 9.1: Mögliche Übergänge für -Strahlung bei Abregung von Kernen. Übergang Symbol el. Dipol E1 1 el. Quadrupol E2 2 el. Oktupol E3 3 magn. Dipol M1 1 magn. Quadrupol M2 2 magn. Oktupol M3 3 Ströme, führt zu M1, M2 usw. Durch die Drehimpuls-Erhaltung, wobei die Multipolarität beschreibt, erhält man E beziehungsweise M. Die Parität des Photons muss ebenfalls beachtet werden: E oder für M. Dies führt zu den Auswahlregeln aus der Drehimpulserhaltung 4 : Es liegt also eine starke Hierarchie der Übergangswahrscheinlichkeiten vor: ist etwa zwei Größenordnungen gegenüber unterdrückt. ist etwa so wahrscheinlich wie. Prinzipiell mögliche Mischungen von einem Übergang dominiert. Ein Beispiel: Erlaubt sind E2, E4 und M3. Am wahrscheinlichsten wird der E2 auftreten. Es werden eher Kaskaden auftreten als ein hohes. Bei der Abregung sind die Übergänge E2, E4 und M3 möglich, wobei E2 dominiert. 4 Die folgt aus der Dreiecksungleichung 99

9 Kernreaktionen & Zerfälle Für sind dagegen E2, E4, M1, M3 und M5 möglich; dabei dominieren E2 und M1. 9.6 Strahlenschutz Der Strahlenschutz ist notwendig, da bei Kernzerfällen beziehungsweise deren Umwandlung ionisierende Strahlung, die Schaden an Zellen verursachen kann, frei wird. In Tabelle 9.2 ist angegeben welche Reichweite die unterschiedlichen Typen von Strahlung haben und wie sie ionisieren Tabelle 9.2: Typen von ionisierender Strahlung. Typ ionisierend? Reichweite (Luft) Reichweite (Körper) -Strahlung direkt -Strahlung direkt to to -Strahlung Compton/PB schnelle via Lösen von Protonen langsame -Reaktion Die Energiedosis entspricht der absorbierten Ionisationsenergie pro Masse. Die verwendete SI-Einheit ist das Gray. Wichtiger für den Strahlenschutz ist die Äquivalentdosis. Diese berücksichtigt die relative Wirksamkeit der verschiedenen Strahlungstypen. ist der Qualitätsfaktor als relative Wichtung gegenüber der -Strahlung. Die hier verwendete Einheit ist das Sievert. Ein Sievert entspricht einem Gray, die verschiedenen Einheiten sind nur der Unterscheidbarkeit wegen eingeführt worden. Ein paar Größenordnungen können uns ein wenig helfen, die Äquivalentdosis einzuordnen: 5 bis 10 Sievert führen zum Tod, die natürliche Dosisleistung beträgt in Deutschland pro Jahr etwa ein Millisievert plus durch medizinische Untersuchungen. Die Grenzbelastung für Personen die mit ionisierender Strahlung arbeitet, liegt etwa bei 50 Millisievert pro Jahr. Die Grenzwerte variieren aber je nach Land; in Deutschland sind sie in der Strahlenschutzverordnung festgelegt. 100

9.7 Kernfusion 9.7 Kernfusion Wir betrachten dafür nochmal die Bindungsenergie: Die Fusion zweier Kerne ist bedingt durch das Überkommen der Coulomb-Barriere. Die Kerne benötigen also eine hohe initiale kinetische Energie. Coulomb MeV Es gilt Kann durch das Aufheizen der Kerne, die thermische Energie soweit erhöhen, damit die Schwelle überwunden werden kann? therm Für ideales Gas. Um zwei Kerne mit zu verschmelzen, benötigt jeder Kern eine kinetische Energie von etwa MeV. Dies entspricht einer Temperatur von etwa K. Vergleich mit der Sonne: Die Temperatur im Kern der Sonne beträgt etwa K. Diese Temperatur würde nicht ausreichen. Wir müssen aber die Maxwell-Boltzmann-Verteilung beachten. Die Ausläufer der Verteilung bieten genügend Material für die Fusion. 9.7.1 Phasen der Fusion in Sternen Am Anfang der Reaktion steht die Wasserstoff-Verbrennung. Netto ergibt sich: Es existieren vier mögliche Fusionsketten mit verschiedenen Katalysatoren. Bei der PPI ist der Katalysator zwei Wasserstoffatome. Insgesamt ergibt sich also: Dieser Prozess ist vor allem bei Sternen mit niedriger Masse dominant. Beim PPII-Prozess ist der Katalysator. Er läuft folgendermaßen ab: 101

9 Kernreaktionen & Zerfälle benötigt für die Coulomb-Überwindung höhere Energie. Dieser Prozess geschieht vor allem in Sternen mit höherer Masse und Temperatur. Der PPIII-Prozess ergibt sich wie folgt: ist der Katalysator für den CNO-Zyklus. Der Prozess hat folgende Gestalt: Dieser Prozess ist, aufgrund des -Mangels in der ersten Sternengeneration nicht möglich. Die nächste Phase ist die Helium-Verbrennung. Im netto ergibt sich: Mit einem -Wert von MeV je Wasserstoffatom. Diese setzt ein, sobald der Kern nur noch aus besteht. Es kommt zur Kontraktion und einen Temperatur-Anstieg. Die folgende Reaktion ist keine exotherme Reaktion, sie befindet sich im Gleichgewicht. Mit einem Q-Wert von kev. Das Verhältnis beträgt: Wenn die Menge an H e reduziert ist, dann kommt es zum Prozess 102

9.7 Kernfusion Die 12 C-Produktion hängt kritisch von folgenden Prozessen ab: mit MeV mit MeV mit MeV Nur so kann ein signifikanter Anteil von 12 C entstehen. Die weiteren Stufen sehen wie folgt aus und finden nur statt, wenn die Masse und die Temperatur hoch genug sind. Sie laufen bis zu, da es sich bei diesen um das stabilste Element handelt. Die Q-Werte der Reaktionen sind: MeV MeV MeV Gesamt ergibt sich ein Q-Wert von MeV Wir können des Weiteren eine sechste Phase definieren. Wenn der Kern nur noch aus Eisen besteht, findet keine Fusion mehr statt sonder nur noch Massenzunahme. Am Ende steht der Kollaps, falls die Masse größer ist als die Chandrasekhar-Grenze. Durch die Verdampfung der Atomkerne bleiben nur noch Nukleonen übrig. Am Ende kommt es zur Neutronenbildung und es entsteht ein Neutronenstern oder ein Schwarzes Loch. Die äußeren Schichten des Sterns werden in einer Supernova abgestoßen. Die schwereren Elemente entstehen nun durch Neutroneneinfang und -Zerfall. 9.7.2 Kernfusion im Reaktor Es findet folgende Reaktion statt: MeV Es muss ausreichend Wasser vorhanden sein. Des Weiteren wird aus und Neutronen das Tritium hergestellt. 103

9 Kernreaktionen & Zerfälle Zu den Fusionsbedingungen gehört das Überwinden der Coulombbarriere von K. Es wird also ein Plasma benötigt. Die aktuellen Forschungsbedingungen bemühen sich, das Plasma stabil im Reaktor zu halten. Dafür werden zum Beispiel Magnetfelder verwendet. Dabei hält die Lorentz-Kraft die Kerne auf der Bahn. Eine naive Überlegung wäre eine Spule. Eine einfache Spule würde das Plasma in die Z-Richtung entweichen lassen. Eine geschlossen Spule (Torus) hätte das Problem, dass das Magnetfeld nicht mehr homogen wäre und das Plasma senkrecht entweicht. Eine mögliche Lösung stellt eine schraubenförmige Anordnung innerhalb des Torus dar. Damit könnte die Driftrichtung gewechselt werden. (a) Stellarator. (b) Tokamak. Abbildung 9.5: Spulenanordnungen, um das Plasma im Reaktor zu halten. (a): CC-BY, Max- Planck Institut für Plasmaphysik, https://commons.wikimedia.org/wiki/ File:W7X-Spulen_Plasma_blau_gelb.jpg. (b): PD, United States Department of Energy, https://commons.wikimedia.org/wiki/file:tokamak_ fields_lg.png Dafür gibt es zwei Umsetzungen: Der Stellarator besteht aus einer verdrehten Spule. Die verformten Spulen sorgen dafür, dass ein Magnetfeld entsteht, das das Plasma auf der gewünschten Position hält. Als Beispiel aus der aktuellen Forschung kann der Wendelstein 7-X genannt werden. 104

9.7 Kernfusion Im Dezember 2015 konnte das erste Plasma hergestellt werden. Dabei werden vorerst nur Experimente mit normalen Wasserstoff 1 H zur Plasmaeinschließung durchgeführt. Länger gibt es schon den Tokamak. Anstatt der Spulen ist das Plasma verdreht. Dies wird durch eine Stromfluss im Plasma erreicht. Der JET war die erste Umsetzung (1984). Er erreicht bis zu % Fusionsleistung mit der Fusion von 2 H und 3 H. Der ITER ist im Moment im Bau und es ist noch nicht so ganz klar, wann er fertig gestellt wird. 5 Bei diesem Reaktor ist das Ziel eine über %ige Fusionsleistung zu erreichen. In Abbildung 9.5 sind beide Konzept für das Einschließen von Plasma grob dargestellt. 5 Geplant ist das Jahr 2025. 105