, Samuel Hetterich, Felicia Raßmann Goethe-Universität Frankfurt, Institut für Mathematik 21.Juni 2013
Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte? Spielregeln Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben. Die Länder müssen zusammenhängend sein.
Wieviele Farben braucht man zum Färben einer Landkarte? Spielregeln Länder mit einer gemeinsamen Grenze bekommen unterschiedliche Farben. Die Länder müssen zusammenhängend sein.
Bei all diesen Karten genügen vier Farben: Funktioniert das immer?
Die Vier-Farben-Vermutung Vermutung [Guthrie 1852] Vier Farben genügen!
Die Vier-Farben-Vermutung Vermutung [Guthrie 1852] Vier Farben genügen! Das können wir glauben. Aber können wir es auch beweisen? Vielleicht haben wir eine Landkarte, die mehr Farben braucht, nur noch nicht gefunden?
Warum Beweise? Vermutung [Euler 1769] Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a 4 + b 4 + c 4 = d 4.
Warum Beweise? Vermutung [Euler 1769] Es gibt keine ganzen Zahlen a, b, c, d > 0, so dass a 4 + b 4 + c 4 = d 4. Gegenbeispiel [Elkies 1986] 2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4
Formalisierung des Problems Die Landkarte wird in einen planaren Graphen verwandelt.
Sechs-Farben-Satz Sechs Farben genügen.
Sechs-Farben-Satz Sechs Farben genügen. Die Eulersche Polyederformel Für einen (zusammenhängenden) planaren Graphen mit gilt immer: v = Anzahl der Knoten e = Anzahl der Kanten f = Anzahl der Flächen v e + f = 2 Kante Fläche Knoten
Die Eulersche Polyederformel Die Eulersche Polyederformel v e + f = 2 Beispiele: f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 v = 3 e = 3 f = 2 3 3 + 2 = 2 v = 4 e = 5 f = 3 4 5 + 3 = 2
Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweisidee: Induktion.
Beweis der Eulerschen Polyederformel Beweisidee: Induktion. Operation 1 Lösche eine Kante und ihren Endknoten, der keine weitere Kante berührt. Operation 1 v = 4 e = 4 f = 2 4 4 + 2 = 2 v = 3 e = 3 f = 2 3 3 + 2 = 2 Ein Knoten und eine Kante verschwinden; v e + f bleibt gleich.
Operation 2 Lösche eine Kante, die auf einem Kreis liegt. Operation 2 v = 3 e = 3 f = 2 3 3 + 2 = 2 v = 3 e = 2 f = 1 3 2 + 1 = 2 Eine Kante und eine Fläche verschwinden; v e + f bleibt gleich.
Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn.
Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e
Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e Außerdem wissen wir 3f 2e f 2 3 e
Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e Außerdem wissen wir 3f 2e f 2 3 e Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann 2 = v e + f 1 3 e e + 2 3 e = 0
Korollar Es gibt immer einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Beweis durch Widerspruch. Wenn jeder Knoten mindestens sechs Nachbarn hätte, wäre 6v 2e v 1 3 e Außerdem wissen wir 3f 2e f 2 3 e Zusammen mit der Eulerschen Polyederformel wäre dann Widerspruch! 2 = v e + f 1 3 e e + 2 3 e = 0
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Wie färbt man jetzt? Finde einen Knoten mit weniger als 6 Nachbarn. Entferne ihn...... bis nur noch 6 Knoten übrig sind. Dann füge die Knoten in umgekehrter Reihenfolge wieder hinzu.
Genügen vier Farben wirklich? 1852 - Guthrie: die Grafschaften von England Vermutung. 1878 - Cayley: Problem wird der London Math Society vorgestellt. 1879/80 - Kempe/Tait legen vermeintliche Beweise vor. 1890/91 - die zwei fehlerhaften Beweise widerlegt. 1890 - Heawood: Beweis des Fünf-Farben-Satzes.
Genügen vier Farben wirklich? 1960/70er - Heesch: Idee eines Computerbeweises. 1976 - Appel, Haken: Erster Computerbeweis. 1996 - Robertson, Sanders, Seymour, Thomas: Stark vereinfachter Computerbeweis. Weitgehend anerkannt. 2005 - Gonthier, Werner: Formaler Beweis des Satzes mit einem Beweisassistenten.
Genügen vier Farben wirklich? Bis heute kein analytischer Beweis. Lektüre: R. Wilson: Four colors suffice (2002).