11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik 11.1 Absolute und relative Häufigkeit Im Deutschunterricht der 2b ergibt sich die Frage, wer von den Schülerinnen und Schülern gerne liest. 8 Mädchen und 12 Buben zeigen auf. Da sieht man es wieder, Buben sind einfach schlauer., sagt Paul Kuddelmuddel. Du meinst also, lesen macht schlau. Da hast du sicher Recht. Aber wenn es wirklich danach ginge, wären in eurer Klasse Mädchen und Buben gleich schlau, antwortet Pauls Deutschlehrer. Warum? 12 sind doch wohl mehr als 8!, regt Paul sich auf. Schlauberger, darauf alleine kommt es doch nicht an, lachen Mädchen und Buben gemeinsam. Worauf denn sonst? fragt Paul erstaunt. In diesem Kapitel lernst du 1. was absolute, relative und prozentuelle Häufigkeiten sind, 2. wie man sie grafisch darstellt und warum man grafische Darstellungen kritisch betrachten sollte, 3. wie man mit Hilfe von relativen Häufigkeiten Chancen abschätzt. Pauls Frage ist gar nicht schwer zu beantworten. Um herauszufinden, ob in Pauls Klasse Mädchen oder Burschen lieber lesen, reicht es nicht, nur die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Buben, die gern lesen, anzugeben. Man nennt diese Werte die absolute Häufigkeit. Entscheidend ist auch, wie viele Mädchen bzw. wie viele Buben gefragt worden sind. Auf diese Zahlen müssen die Meldungen 8 und 12 bezogen werden. Daraus erhält man die so genannte relative Häufigkeit.
11.1 Absolute und relative Häufigkeit 259 Mädchen absolute relative Häufigkeit Häufigkeit 8 lese gern 8 10 = 0, 8 2 lese nicht gern 2 10 = 0, 2 gesamt 10 1 Buben absolute relative Häufigkeit Häufigkeit 12 lese gern 12 15 = 0, 8 3 lese nicht gern 3 15 = 0, 2 gesamt 15 1 Für Mädchen und Buben ist in der 2b die relative Häufigkeit jener, die gern lesen, gleich groß. In dieser Klasse gibt es also hinsichtlich dieser Frage keinen Unterschied zwischen Mädchen und Burschen. 1160 Sara überlegt, ob man die Frage Lesen Mädchen oder Buben der 2b lieber?, nicht auch durch eine Prozentangabe klären könnte. Wenn dir nicht mehr einfällt, wie man mit Prozenten rechnet, schau in Kapitel 10.1 nach! a) Berechne wie viel Prozent (1) der befragten Mädchen, (2) der befragten Buben der 2b gerne lesen! b) Schließe aus a): Wie hängen relative Häufigkeit und die entsprechende Prozentangabe man nennt sie die prozentuelle Häufigkeit zusammen? Absolute und relative Häufigkeit Absolute Häufigkeit: Man erhält sie durch Auszählen der Werte. Relative Häufigkeit: Die absolute Häufigkeit wird auf die Gesamtanzahl bezogen. absolute Häufigkeit relative Häufigkeit = Gesamtanzahl Die Summe der relativen Häufigkeiten ergibt 1. prozentuelle Häufigkeit = relative Häufigkeit 100 1160 a) 80% der Mädchen, 80% der Buben b) prozentuelle Häufigkeit = relative Häufigkeit 100 1161 Die Antwort hängt von der Anzahl der Teilnehmer/innen am Schikurs ab. 1161 Valentin erzählt: Am letzten Schikurs gab es 17 Kinder, die lieber Snowboarden als Schifahren wollten. Sind das viele oder wenige Kinder? Erkläre, wovon hängt die Antwort abhängt!
260 11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik 1163 a) 5731 b) Kandidatin 1: 0,536; Kandidat 2: 0,161; Kandidatin 3: 0,301; ungültig: 0,002 1164 a) Es hängt davon ab, wie viele Mädchen jeweils insgesamt die Schulstufe besuchen. b) 2. Klassen: r = 0,2, 3. Klassen r 0, 24 Der Basketballkurs ist 1162 Bei der Klassensprecher/innenwahl wird zum Auszählen der Stimmen an der Tafel eine Strichliste angelegt. Fülle die Tabelle aus! Christopher 4 Miriam 5 Ramtin 9 Sophie 6 absolute relative prozentuelle Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit 4 24 5 24 9 24 6 24 0, 167 16,7% 0, 208 20,8% = 0, 375 37,5% = 0, 25 25,0% gesamt 24 1 100% 1163 Bei der Bürgermeisterwahl eines Ortes erhalten die 3 Kandidat/innen folgende Stimmen: Kandidatin 1: 3069, Kandidat 2: 925, Kandidatin 3: 1724 Stimmen. Außerdem wurden 13 ungültige Stimmen abgegeben. a) Wie viele Stimmen wurden bei dieser Wahl insgesamt abgegeben? b) Fasse das Wahlergebnis in einer Tabelle zusammen, in der absolute, relative und prozentuelle Stimmanteile angegeben sind! In manchen Gemeinden Österreichs wird der/die Bürgermeister/in in einer so genannten Direktwahl gewählt. Das heißt, die Wählenden geben ihrem/r bevorzugten Kandidaten/in direkt die Stimme. Wo das nicht so ist, (z. B. in Wien) können die Wählenden nur für eine Partei stimmen. Jene Partei mit den meisten Stimmen stellt dann den/die Bürgermeister/in. 1164 Melanie und ihre Freundin Celina, die bereits in die 3. Klasse geht, spielen beide Basketball. Der Kurs wird für die 2. und 3. Klassen der Schulen gemeinsam veranstaltet. 13 Mädchen aus den 2. Klassen und 17 Mädchen aus den 3. Klassen nehmen daran teil. Basketball ist eben bei den Mädchen aus der 3. Klasse beliebter als bei den Mädchen aus der 2. Klasse, meint Celina. Melanie entgegnet, dass das so nicht unbedingt stimmen müsse. a) Erkläre, warum Melanie Recht hat. b) In welcher Schulstufe ist der Basketballkurs beliebter, wenn 65 Mädchen die 2. Klassen besuchen und 71 Mädchen die 3. Klassen?
11.1 Absolute und relative Häufigkeit 261 1165 Unter der Überschrift Radunfälle hier kracht s am häufigsten fand sich in einem Wiener Bezirksjournal folgende Grafik: Quelle: Bezirksjournal Wien Nord, 2006 Woche 27, S.9 a) Entnimm aus der Grafik: In welchen Bezirken war die Anzahl der Radfahrunfälle in absoluten Zahlen am größten? Nenne die ersten drei! In welchen Bezirken war die Anzahl der Radfahrunfälle in absoluten Zahlen am kleinsten? Nenne die letzten drei! b) Welche Schlüsse lassen sich aus der Grafik ziehen? (1) Sind die Radfahrer im 17. und 18. Bezirk am geschicktesten und im 21. und 22. Bezirk an ungeschicktesten? (2) Wovon hängt die Anzahl der Radunfälle in einem Bezirk ab? (3) Wie kann die hohe Anzahl von 43 im 1. Bezirk erklärt werden? Der erste Bezirk ist sowohl flächenmäßig als auch einwohnermäßig ein kleiner Bezirk. 1166 Was hältst du von folgender Zeitungsmeldung: Fußballer haben unter Sportlern ein besonders hohes Unfallrisiko. Das ergab eine Ärztestudie. Von 158 Unfällen beim Sport gingen 125 auf das Konto von Fußballern, 23 von Handballern und 10 von Turnern. Sind die angegebenen Zahlen eine Begründung für die Behauptung, dass Fußballer ein besonders hohes Risiko haben? 1165 a) Die ersten drei: 22., 21., und 10. Bezirk; Die letzten drei (von unten her): 18., 17. und 8. Bezirk b) (1) Nein, dort fahren weniger Leute mit dem Rad. (2) Die Anzahl der Radunfälle hängt wesentlich davon ab, wie viele Personen mit dem Rad unterwegs sind. Das ist abhängig von der Größe, aber auch der Beliebtheit des Bezirks bei Radfahrern. In der Grafik sind aber nur absolute Häufigkeiten angegeben. (3) Im 1. Bezirk sind viele dort tätige Personen (Studenten, Angestellte,... ) mit dem Rad unterwegs, das Verkehrsaufkommen im 1. Bezirk ist generell hoch, das erhöht das Unfallrisiko. 1166 Nein, vermutlich gibt es
11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik Ma th ef it 262 Wiederholung: Mittelwert 1167 a) 84,23 e, teurer im Geschäft A, billiger in den anderen b) A: 15,67 e teurer; B: 9,23 e billiger; C: 2,23 e billiger; D: 4,23 e billiger c) Abverkauf, Eröffnungsangebote, Wirkung von Angebot und Nachfrage 1168 (1) Mittelwert: 30; überdurchschnittlich: Bewerbe Kraulen und Brustschwimmen (2) Brustschwimmen: 0,37; Kraulen: 0,46; Rückenschwimmen: 0,18 1169 (1) Mittelwert: 26; überdurchschnittlich: nur Bewerb Kraulen (2) Brustschwimmen: 0,31; Kraulen: 0,42; Rückenschwimmen: 0,27 1170 wegen der Rundung Der Mittelwert gibt die durchschnittliche Größe der Einzelwerte an. Er wird berechnet, indem man die Summe der Einzelwerte durch die Anzahl der Einzelwerte dividiert. 1167 Inlineskates eines bestimmten Herstellers werden in vier Geschäften zu vier unterschiedlichen Preisen angeboten: a) Berechne den Durchschnittspreis und gib Geschäft A 99,90 e an, in welchem Geschäft man über/unter dem Geschäft B 75 e Durchschnittspreis kauft! Geschäft C 82 e b) Wie groß ist jeweils die Abweichung des Geschäft D 80 e Preises im Geschäft vom durchschnittlichen Preis? c ) Warum kann es zu solchen Preisunterschieden kommen? 1168 An einem Schwimmwettkampf nehmen 90 Burschen teil. 33 starten im Bewerb Brustschwimmen, 41 im Bewerb Kraulen und 16 im Bewerb Rückenschwimmen. In welchem Bewerb starten überdurchschnittlich viele Teilnehmer, in welchem Bewerb unterdurchschnittlich viele Teilnehmer? Beantworte die Frage (1) durch Berechnen des Mittelwerts und Vergleichen mit den Starterzahlen in den einzelnen Bewerben, (2) durch Berechnen der relativen Häufigkeiten! Tipp 11.1 Wären die Teilnehmer gleichmäßig auf die drei Bewerbe aufgeteilt, müssten die relativen Häufigkeiten für alle drei Bewerbe 13 betragen. Ist die relative Häufigkeit für einen Bewerb kleiner als 31, dann hat der Bewerb unterdurchschnittlich viele Teilnehmer. Ist die relative Häufigkeit für einen Bewerb großer als 13, dann hat der Bewerb überdurchschnittlich viele Teilnehmer. 1169 Wie Aufgabe 1168 für einen Schwimmwettkampf der Mädchen mit 78 Teilnehmerinnen. 24 starten im Bewerb Brustschwimmen, 33 im Bewerb Kraulen und 21 im Bewerb Rückenschwimmen. 1170 Addiere die auf Hundertstel gerundeten relativen Häufigkeiten aus Aufgabe 1168. Warum ergibt sich als Summe nicht genau 1?
11.2 Grafische Darstellung von Häufigkeiten Einsatz des Computers 263 11.2 Grafische Darstellung von Häufigkeiten Einsatz des Computers In der 1. Klasse hast du Balken- und Streckendiagramme zur Darstellung von Daten kennengelernt (siehe 1, S. 39 und 243ff.). Sie eignen sich besonders zur Darstellung von absoluten Häufigkeiten. Zur Darstellung von relativen Häufigkeiten eignen sich vor allem Kreisdiagramme, die du im Kapitel 10.1 kennengelernt hast. Für die Buben der 2. Klassen einer Schule werden 3 Sportkurse angeboten. Die Tabelle zeigt die Anmeldezahlen: absolute relative Häufigkeit Häufigkeit Basketball 8 0,14 Fußball 14 0,25 Leichtathletik 10 0,18 kein Kurs 24 0,43 Summe 56 1,00 Darstellung der absoluten Häufigkeiten durch ein Balkendiagramm: 30 25 20 15 10 5 0 BB FB LA k.k. Darstellung der relativen Häufigkeiten durch ein Kreisdiagramm: BB Die Summe der relativen k.k. Häufigkeiten ist 1 und entspricht der Fläche des ganzen FB Kreises (bzw. dem Winkel LA 360 ). 1 100 = 0, 01 wird daher durch einen Kreissektor mit dem Zentriwinkel 360 ř = 3, 6ř dargestellt. 25 100 = 0, 25 werden durch einen Kreissektor mit dem Zentriwinkel 3, 6ř 25 = 90ř dargestellt. 14 100 = 0, 25 werden durch einen Kreissektor mit dem Zentriwinkel 3, 6ř 14 = 50, 4ř 50ř dargestellt. 100
11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik Ma th ef it 264 1171 a) Note 2; b) Note 1: 0,2; Note 2: 0,4; Note 3: 0,24; Note 4: 0,08; Note 5: 0,08 1172 a) 75 000 b) 62 500 1171 Das Ergebnis des letzten BiologieTests der 2c: a) Welche Note wurde am häufigsten erreicht? b) Schätze die relativen Häufigkeiten für die einzelnen Noten aus dem Kreisdiagramm! Note: 5 Note: 1 Note: 4 Note: 3 Note: 2 1172 Bei einer Fernsehshow erhalten die Kandidat/innen durch Anrufe (oder SMS) 0,3 Stimmen vom Fernsehpu0,1 blikum. Die Auswertung ergab folgende Stimmenver0,25 teilung, neben den Balken stehen die relativen Häu0,35 figkeiten: Wie viele Stimmen fielen a) auf Kandidat 1, b) auf Kandidat 3, wenn insgesamt 250 000 Stimmabgaben eingegangen sind? Kandidat 1 Kandidatin 2 Kandidat 3 Kandidatin 4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Die folgenden Aufgaben 1173 bis 1180 eigenen sich sehr gut zur Bearbeitung mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel. Grundlegende Informationen zum Umgang mit Excel findest du in 1, 10.3 auf S. 251ff. Ausführliche Informationen zum Erstellen von Kreisdiagrammen mit Excel stehen in diesem Buch auf Seite 240. 1173 In einer Musikschule fiel die Wahl der Schülerinnen und Schüler auf folgende Instrumente: absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Gitarre 12 0,48 Klavier 6 0,24 Geige 3 0,12 Querflöte 4 0,16 25 1,00 Instrument Summe a) Ergänze die relativen Häufigkeiten in der Tabelle! b) Stelle die absoluten Häufigkeiten in einem Balkendiagramm dar! c ) Stelle die relativen Häufigkeiten in einem Kreisdiagramm dar!
11.2 Grafische Darstellung von Häufigkeiten Einsatz des Computers Ma th ef it 265 1174 Lege eine Tabelle wie in 1173 a) an, wenn in einer Musikschule folgende Meldungen vorliegen: Gitarre: 20, Klavier: 17, Geige: 8, Querflöte: 3. Stelle anschließend die absoluten Häufigkeiten in einem Balkendiagramm und die relativen Häufigkeiten in einem Kreisdiagramm dar! 1174 relative Häufigkeiten: G: 0,42; K: 0,35; Geige: 0,17; Qu: 0,06 1175 Beim Finalspiel eines Fußballturniers waren 310 der Zuschau- 1175 Fans der Heimmannschaft: 0,62; Fans der Gäste: 0,3; neutral: 0,08 1176 Meinungsumfrage zum Bau ei- 1176 a) dafür: 0,67; dagegen: 0,25; egal: 0,08 b) dafür: 0,21; dagegen: 0,65; egal: 0,14; Ursachen: Standort der Umfrage, z. B. Befragung von Anrainern der neuen Straße versus Befragung von Leuten die im Stau auf der alten Straße stehen; Zufall als Ursache! 1177 b) 6. Schulstufe: zum Zahnarzt: 0,24; zum Kieferorthopäden: 0,18; Z. und K.: 0,08; keine weitere U.: 0,5 7. Schulstufe: zum Zahnarzt: 0,25; zum Kieferorthopäden: er/innen Fans der Heimmannschaft, 150 Zuschauer/innen waren Fans der Gäste und die restlichen 40 Zuschauer/innen waren neutral. Berechne die relativen Häufigkeiten und stelle die Aufteilung der Zuschauer/innen in einem Kreisdiagramm dar! ner neuen Straße: Von 540 befragten Personen gaben 361 Personen an, dass sie für den Bau der neuen Straße seien, 136 Personen gaben an, dagegen zu sein und 43 Personen sagten, es sei ihnen egal. a) Berechne die relativen Häufigkeiten und stelle sie grafisch mit einem Kreisdiagramm dar! b) Eine zweite Meinungsumfrage zum selben Thema lieferte folgendes Ergebnis: Von 300 befragten Personen waren 62 dafür, 195 dagegen, der Rest der befragten Personen gab egal an. Berechne auch für diese Umfrage die relativen Häufigkeiten! Welche Ursachen für den großen Unterschied zwischen den beiden Umfrageergebnissen könnte es geben? Überlege dazu auch, wo man die Umfrage durchführen müsste, um besonders viele Gegner des Straßenbaus zu erwischen! 1177 Die zahnärztlichen Reihenuntersuchung in der 6. Schulstufe einer Schule ergab folgendes Ergebnis: 22 Kinder sollen möglichst schnell zum Zahnarzt, 16 Kinder sollen zum Kieferorthopäden, 7 Kindern wurde sowohl ein Termin beim Zahnarzt als auch beim Kieferorthopäden empfohlen, bei 45 Kindern gab es keinen Anlass zu weiteren Untersuchungen. a) Stelle das Untersuchungsergebnis in einem Stabdiagramm grafisch dar! b) Die gleiche Untersuchung in der 7. Schulstufe der gleichen Schule ergab: 20 Kinder zum Zahnarzt, 13 Kinder zum Kieferorthopäden, 8 Kinder zu beiden, bei 39 Kindern kein Anlass zu weiteren Untersuchungen. Berechne die relativen Häufigkeiten für beide Schulstufen! Kann man daraus zu einer eindeutigen Antwort auf die Frage, in welcher Schulstufe die Zähne besser gepflegt sind, kommen?
11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik Ma th ef it 266 Der Wiener Arzt Karl Landsteiner (1868 1943) entdeckte, dass sich das menschliche Blut hinsichtlich der Oberfläche der roten Blutkörperchen unterscheidet. Daraus ergibt sich eine Einteilung des menschlichen Blutes in vier Hauptblutgruppen. Sie werden mit A, B, AB und 0 bezeichnet. Landsteiner erhielt für seine enorm wichtige Entdeckung denke z. B. an die Bluttransfusion 1930 den Nobelpreis für Medizin. 1178 Blutgruppen: Die Blutgruppenverteilung ist abhängig von den geografischen Regionen; das Rote Kreuz gibt für Österreich folgende Werte an (www.roteskreuz.at): Von 100 Menschen haben 41 die Blutgruppe A, 15 haben die Blutgruppe B, 7 die Blutgruppe AB und 37 haben die Blutgruppe 0. a) Stelle die Blutgruppenverteilung in Österreich durch ein Kreisdiagramm grafisch dar! b) Welche Blutgruppe hast du? Wie kann man das herausfinden? Legt eine Tabelle für eure Klasse an! Berechnet die relativen Häufigkeiten und vergleicht mit den Werten für Österreich! 1179 Gruppenarbeit Mülltrennung Bildet Gruppen zu 4 bis 6 Personen und führt in eurem Verwandten- bzw. Bekanntenkreis eine Umfrage zum Thema Nehmen Sie beim Wegwerfen von Abfällen auf die Mülltrennung Rücksicht? durch. Gebt 5 Antwortmöglichkeiten vor: Immer, meistens, mal so mal so, kaum, nie. Jede/r von euch sollte 5 10 Personen befragen. a) Fügt die Ergebnisse zusammen und stellt das Gesamtergebnis der Umfrage in einer Tabelle dar! b) Stellt das Umfrageergebnis grafisch sowohl durch ein Balkendiagramm als auch ein Kreisdiagramm dar! 1180 Führt folgende Umfrage in eurer Klasse durch: Wie wird der Schulweg überwiegend zurückgelegt? Überlegt welche Kategorien ihr dafür vorgeben solltet, z. B. mit dem Bus, zu Fuß, mit dem Rad,... Gebt das Umfrageergebnis mit absoluten und relativen Häufigkeiten an! Stellt die gewonnenen Daten auch grafisch dar!
11.2 Grafische Darstellung von Häufigkeiten Einsatz des Computers 267 Vorsicht Falle! Grafische Darstellungen können durch die Wahl der Darstellungsform den Sachverhalt verzerrt wiedergeben! Schau daher eine Grafik immer genau an, bevor du daraus Schlüsse ziehst! Versuche es gleich mit Aufgabe 1181! 1181 Eine Ware kostet im Geschäft A 100 e und im Geschäft B 105 e. Vergleiche die beiden Darstellungen des Sachverhalts! Beide Diagramme sind richtig! Wodurch wird der Unterschied zwischen den beiden Darstellungen erzeugt? Welches Diagramm wird Geschäft A, welches Diagramm wird Geschäft B bevorzugen? 106 104 102 100 98 96 Geschäft A Preisvergleich 1 Geschäft B 100 80 60 40 20 0 Geschäft A Preisvergleich 2 Geschäft B 1182 Alex hat bei einem Denksportwettbewerb 81 Punkte erreicht, Karim 75. Zeichne (1) ein Balkendiagramm, das den Unterschied in der Punkteanzahl herausstreicht, (2) ein Balkendiagramm, das den Eindruck vermittelt, beide hätten etwa gleich viele Punkte erreicht! Tipp 11.2 Hinweis zur Bearbeitung mit Excel: Ein Klick mit der rechten Maustaste auf eine Koordinatenachse öffnet ein Fenster, in dem du Achsen formatieren wählen kannst. Unter dem Punkt Achsenoptionen kannst du den Anfangs- und den Endwert festlegen (Minimum bzw. Maximum). Damit lassen sich rasch unterschiedlich skalierte Diagramme zu einem Sachverhalt darstellen. 1181 Der Unterschied wird durch die unterschiedliche Skalierung auf der y-achse erzeugt. Geschäft A wird das Diagramm Preisvergleich 1 bevorzugen, Geschäft B das Diagramm Preisvergleich 2. 1183 Sana hat beim 100m-Lauf die Zeit von 12 Sekunden erreicht, Anja benötigte 11,7 Sekunden und Kathi 12,4 Sekunden. Zeichne (1) ein Balkendiagramm, das die Zeitunterschiede herausstreicht, (2) ein Balkendiagramm, das den Eindruck vermittelt, alle drei wären etwa gleich schnell gelaufen!
268 11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik 1184 Es handelt sich um eine unvernünftige Interpretation, denn die Anzahl der Raubüberfälle ist von 508 auf 515 angestiegen und das ist im Vergleich zum Grundwert (508) keine starke Zunahme! 1185 a) Beginn der Kurve zum gewünschten Zeitpunkt (Verkürzen der x-achse), entsprechende Skalierung der y-achse b) die erste 1184 Aus der PISA-Aufgabensammlung: RAUBÜBERFÄLLE Ein Fernsehreporter zeigte folgende Grafik und sagte: Der Graph zeigt, dass die Anzahl der Raubüberfälle von 1998 bis 1999 stark zugenommen hat. Hältst du die Aussage des Reporters für eine vernünftige Interpretation des Diagramms? Begründe deine Antwort. 1185 Vor 6 Jahren hat Partei A die Regierung übernommen. In den letzten 6 Jahr nach Re- Arbeitsgierungsantritt losenrate Jahren, während der Regierungszeit von 0 3,0 % Partei A, hat sich die Arbeitslosenrate 1 4,0 % so entwickelt, wie in der Tabelle dargestellt. 2 7,0 % 3 6,5 % Die gesamte Information findest du in 4 5,0 % der linken Abbildung. 5 4,5 % Für die Partei A ist es aber günstiger den Blick nur auf die letzten vier Jahre 6 3,5 % zu lenken und sie verwendet daher die rechtsstehende Abbildung für ihre Propaganda. Prozent 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Entwicklung der Arbeitslosenrate während der Regierungszeit von Partei A 0 1 2 3 4 5 6 7 Jahre Und noch besser sieht es für Partei A aus, wenn die y-achse anders skaliert wird: a) Erkläre anhand der drei Kurvendiagramme, welche Möglichkeiten es gibt einen Sachverhalt wie gewünscht darzustellen! Dabei muss die Darstellung aber richtig bleiben! Entwicklung der Arbeitslosenrate in den letzten 4 Jahren - Version 1 Prozent 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Prozent 0 1 2 3 4 5 Jahre 8 7 6 5 4 3 Entwicklung der Arbeitslosenrate in den letzten 4 Jahren - Version 2 0 1 2 3 4 5 Jahre b) Partei B möchte bei der bevorstehenden Wahl gewinnen. Welche der drei Darstellungen wird Partei B favorisieren?
11.3 Prognosen auf Basis von relativen Häufigkeiten 269 1186 Zahlen und Daten können auch durch Figuren dargestellt werden. Eine einfache Möglichkeit dazu ist das Rechteck. Sara findet in einer Lokalzeitung folgende Meldung: Die Grundstückspreise am Westrand einer Stadt sind doppelt so hoch wie am Ostrand derselben Stadt. Bezahlt man im Osten der Stadt im Schnitt 150 e für 1 m 2, so muss man am Westrand mit durchschnittlich 300 e pro m 2 rechnen: Wie beurteilst du die grafische Darstellung? Miss dazu die Seitenlängen der beiden Rechtecke und überlege: Wie verändert sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn man sowohl die Länge als auch die Breite des Rechtecks verdoppelt? 11.3 Prognosen auf Basis von relativen Häufigkeiten 1187 Ein Hüttenwirt hat über längere Zeit hinweg festgestellt, dass 7 von 10 Wanderern auf seiner Berghütte Rast machen, bevor sie den Gipfelweg in Angriff nehmen. Ein sonniger Feiertag steht bevor, der Wirt rechnet mit mindestens a) 150 b) 200 Gipfelstürmern an diesem Tag. Wie viele Gäste kann er voraussichtlich in seiner Hütte erwarten? 1188 Bei einem jährlich ausgetragenen Reitturnier rechnen die Veranstalter mit rund 500 Zuschauer/innen. In den Vorjahren konsumierte rund ein Drittel der Zuschauer/innen im nahegelegenen Restaurant. Nur wenn voraussichtlich mehr als 100 Zuschauer/innen ins Restaurant kommen, will die Chefin für diesen Tag einen zusätzlichen Kellner beschäftigen. Nun ist Regenwetter angesagt, das reduziert die Zuschauerzahl erfahrungsgemäß auf die Hälfte. Sollte die Restaurantbesitzerin für diesen Tag einen zusätzlichen Kellner einstellen? 1186 Werden Länge und Breite eines Rechtecks verdoppelt, ergibt sich ein gegenüber dem ursprünglichen Rechteck viermal so großer Flächeninhalt. Die Darstellung ist daher für den vorliegenden Sachverhalt ungeeignet! 1187 a) 105 b) 140 1188 Nein, man muss mit ca. 85 Gästen (Rechenergebnis 83, 3) rechnen. 1189 Eine Umfrage unter 2400 Maturant/innen eines Landes hat ergeben, dass 180 von ihnen Mathematik, 125 Physik und 153 Chemie studieren möchten. Mit etwa wie vielen Studienanfänger/innen ist in diesen Fächern zu rechnen, wenn voraussichtlich 72 000 Schüler/innen maturieren werden? Welche Voraussetzung muss hier stillschweigend gemacht werden, um die Frage beantworten zu können? 1189 Mathematik: 5400, Physik: 3750, Chemie: 4590; Verteilungen in der Gesamtheit
11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik Ma th ef it 270 1190 a) 1000 Jogger, 2624 Runner, 1376 Racer b) 1191 ein gelbes Los; relativer Anteil der Gewinnlose bei gelb: 18 relativer Anteil der Gewinnlose bei 1 grün: 10 1192 A. Bei dem Beutel mit den 10 Murmeln. 1193 a) b) 16 Von 6 möglichen Augenzahlen, die gewürfelt werden können, ist nur eine nämlich der Sechser die gewünschte. 1190 Bei einer Laufveranstaltung starten die jugendlichen Teilnehmer/in- nen in die Kategorien Jogger, Runner und Racer. 1 Monat vor der Laufveranstaltung haben sich 250 Jogger, 656 Runner und 344 Racer angemeldet. a) Mit wie vielen Läufern und Läuferinnen in den einzelnen Kategorien muss das Organisationsteam rechnen, wenn es hofft, dass am Veranstaltungstag insgesamt 5000 Teilnehmer/innen am Start sein werden und die bereits eingegangenen Anmeldungen als Grundlage herangezogen werden? b) Stelle die relativen Anteile der einzelnen Kategorien in einem Balkendiagramm dar! 1191 Bei einem Schulfest wird eine Tombola veranstaltet. Es werden grüne und gelbe Lose verkauft. Von den insgesamt 250 grünen Losen sind 25 Gewinnlose. Von den 160 gelben Losen sind 20 Gewinnlose. Welches Los würdest du eher kaufen, wenn die Gewinne bei beiden Losfarben gleich sind? 1192 Folgende Aufgabe stammt aus der TIMSS-Aufgabensammlung: In jedem dieser Beutel gibt es nur eine rote Murmel. Du sollst ohne hinzusehen aus einem der Beutel eine Murmel herausnehmen. Bei welchem Beutel ist die Chance am größten, dass du die rote Murmel ziehst? A. Bei dem Beutel mit den 10 Murmeln. B. Bei dem Beutel mit den 100 Murmeln. C. Bei dem Beutel mit den 1000 Murmeln. D. Die Chance ist bei allen Beuteln gleich. 1193 Beim Spiel Mensch ärgere dich nicht jammern manche, dass der Sechser nie kommt. a) Bildet Gruppen und macht einen Versuch mit einem normalen Würfel: Würfelt 10-mal und notiert, wie oft der Sechser und wie oft etwas anderes als Sechs gefallen ist. Wiederholt den Versuch, würfelt aber diesmal insgesamt 30-mal und zählt wieder, wie oft der Sechser kommt. Schreibt die Ergebnisse der einzelnen Gruppen an die Tafel. Vergleicht eure Ergebnisse untereinander! b) Wie groß schätzt du die Chance ein, dass bei einmaligem Würfeln ein Sechser fällt? Erkläre, wie du zu deiner Einschätzung kommst!
11.4 Rückblick und Exercises 271 1194 Die Aufgabe JAHRMARKT stammt aus der PISA-Aufgabensammlung: Ein Spiel bei einem Jahrmarktstand beginnt mit dem Drehen eines Glücksrades. Wenn der Zeiger auf einer geraden Zahl stehen bleibt, dann darf der Spieler eine Murmel aus einem Sack ziehen. Das Glücksrad und der Sack mit Murmeln sind in der nebenstehenden Abbildung dargestellt. Preise werden vergeben, wenn eine schwarze Murmel gezogen wird. Susanne spielt das Spiel einmal. Wie wahrscheinlich ist es, dass Susanne einen Preis gewinnt? A Unmöglich B Nicht sehr wahrscheinlich C Ungefähr zu 50% wahrscheinlich D Sehr wahrscheinlich E Sicher 11.4 Rückblick und Exercises 11.4.1 Wiederholung 1195 Ergänze den Lückentext und die Tabelle! Die relative Häufigkeit erhält man, wenn man die absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl der Werte dividiert. Die relative Häufigkeit multipliziert mit 100 ergibt die prozentuelle Häufigkeit. absolute relative prozentuelle Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit 1194 B, nicht sehr wahrscheinlich (nämlich 25 %) 1 100 3 33% 1 75 4 25% 1 60 5 20% 13 65 60 22% gesamt: 300 1 100%
272 11 Absolut und relativ: Was ist da der Unterschied? Statistik 1197 a) Nein b) Nina, ca. 10 % c) Stephanie und Tarek d) Stephanie: ca. 160 Stimmen, Nina: ca. 40 Stimmen, Tarek: ca. 140 Stimmen, Jakob: ca. 60 Stimmen 1198 a) Von den rosa Losen. b) Egal, denn bei beiden Farben gibt es 25 ungerade Lose. 1199 a) 26 b) Die Summe der Einzelwerte wird durch die Anzahl der Einzelwerte dividiert. 1200 a) Wahl des Anfangspunktes der Koordinatenachsen, Wahl der Einheitsstrecke auf den Koordinatenachsen, Breite der Balken; b) 1196 Stelle die absoluten Häufigkeiten aus Aufgabe 1195 in einem Balkendiagramm und die relativen Häufigkeiten in einem Kreisdiagramm dar! 1197 Bei der Wahl des Schulsprechers ergab sich folgende Stimmaufteilung auf die vier Kandidat/innen Jakob Stephanie, Nina, Tarek und Jakob. Stephanie Beantworte durch Ablesen aus Tarek dem Kreisdiagramm: Nina a) Hat es einer der Kandidat/innen geschafft die absolute Stimmenmehrheit (= mehr als die Hälfte aller abgegebenen Stimmen) zu erreichen? b) Welche/r Kandidat/in hat die wenigsten Stimmen erreicht? Wie viel Prozent der Stimmen sind das ungefähr? c) Zwischen den beiden Kandidat/innen mit den meisten Stimmen wird eine Stichwahl stattfinden. Welche beiden Kandidate/innen sind das? d) Insgesamt wurden bei dieser Wahl rund 400 Stimmen abgegeben. Wie viele Stimmen entfielen ungefähr auf die einzelnen Kandidat/innen? 1198 Bei einem Gewinnspiel gibt es blaue Lose mit den Nummern 1 bis 49 und rosa Lose mit den Nummern 50 bis 100. a) Du gewinnst, wenn du ein Los mit einer geraden Nummer ziehst. Möchtest du lieber von den blauen oder von den rosa Losen ziehen? b) Ändert sich deine Wahl, wenn die Gewinnlose jene mit den ungeraden Nummern wären? Was ist dann besser: Blau, Rosa oder ist es egal, welche der beiden Farben man wählt? 1199 a) Berechne den Mittelwert der Zahlen 12, 16, 23, 35, 44! b) Beschreibe in eigenen Worten, wie bei der Berechnung des Mittelwerts vorzugehen ist! 1200 a) Erkläre, welche Möglichkeiten es gibt, einen Sachverhalt mit Hilfe eines Balkendiagramms wie gewünscht darzustellen! b) Erfinde selbst ein Beispiel und zeichne zwei verschiedene Balkendiagramme dazu! 1201 Folgende Aufgabe stammt aus der TIMSS-Aufgabensammlung: In einem Beutel mit Karten sind 1 6 grün, 1 12 gelb, 1 2 weiß und 1 4 blau. Jemand zieht ohne hinzusehen eine Karte aus dem Beutel. Welche Farbe hat die Karte am wahrscheinlichsten? (1) Weiß (2) Blau (3) Grün (4) Gelb
11.4 Rückblick und Exercises Ma th ef it 273 11.4.2 Exercises vocabulary Mittelwert mean absolute Häufigkeit absolute frequency relative Häufigkeit relative frequency zeichnen to plot Kreisdiagramm pie chart Balkendiagramm bar chart gerade Zahl even number ungerade Zahl odd number 1202 Kevin took a maths test and got 43 points out of 48. His two-year older brother also took a maths test, he got 92 points out of 100. Who did better at the test? 1203 Election results complete the chart! 1204 In a box there are small absolute frequency relative frequency 3307 0,46 2108 0,29 1805 0,25 7220 1,00 party A numbered balls, with numbers from party B 1 to 11. You have to take a ball without being able to see its num- party C ber. Which rule do you prefer? total Why? You win, if you get a ball with an even number. You win, if you get a ball with an odd number. 1205 Class 2c: favourite sports of boys and girls: skiing tennis football handball gymnastics 8 6 5 2 3 1202 Kevin s brother 1204 An odd number, because there are more odd numbers than even numbers from 1 to 11. 1205 skiing: 0,33; tennis: 0,25; soccer: 0,21; handball: 0,08; gymnastics: 0,13 a) Calculate the relative frequency! b) Plot a pie chart! 1206 These are the results of Sara s attempts at the long jump: 3,70 m; 3,95 m; 3,20 m; 3,80 m; 3,75 m a) Calculate the mean! b) How many results are better than the mean? 1206 a) 3,68 c) 4