Anleitung zum Java - Applet

Anleitung zum Java - Applet Stetige Verteilungen Visualisierung von Wahrscheinlichkeit und Zufallsstreubereich bearbeitet von: WS 2004 / 2005 E/TI 7 betreut von: Prof. Dr. Wilhelm Kleppmann

Inhaltsverzeichnis 1 VORWORT... 3 2 GRAPHISCHE BENUTZEROBERFLÄCHE... 4 2.1 MENÜLEISTE... 5 2.1.1 Menüeintrag Datei... 5 2.1.2 Menüeintrag Verteilungsfunktionen... 5 2.1.3 Menüeintrag?... 5 2.2 TOOLBAR... 6 2.3 EIN- UND AUSGABEBEREICH... 7 2.3.1 Ein- und Ausgabebereich bei Normalverteilung... 8 2.3.2 Ein- und Ausgabebereich bei der t-verteilung... 9 2.3.3 Ein- und Ausgabebereich bei der Chi-Quadrat-Verteilung... 9 2.3.4 Ein- und Ausgabebereich bei der F-Verteilung... 10 2.4 GRAPHISCHER BEREICH... 11 3 HINWEISE ZUR GENAUIGKEIT... 13 Seite 2

1 Vorwort Ziel dieser Studienarbeit war die Entwicklung eines Java Applets zum Thema Stetige Verteilungen Visualisierung von Wahrscheinlichkeit und Zufallsstreubereich. Dieses Applet ermöglicht es den Studierenden, das in Vorlesungen erworbene theoretische Wissen mit Bildern anzureichern und durch selbstständiges Experimentieren Zusammenhänge zu entdecken. Im Java Applet wurden vier stetige Verteilungsfunktionen integriert, zwischen denen der Anwender umschalten kann. Bei jeder Verteilungsart können jeweils sämtliche Parameter verändert werden, die so entstandene Verteilungsfunktion wird unmittelbar im Ausgabebereich dargestellt. Gleichzeitig wird für einen frei definierbaren Bereich die Wahrscheinlichkeit berechnet und dargestellt. Es lassen sich sowohl die Grenzen im Ausgabebereich verschieben, als auch Rückwärts passende Werte für eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit berechnen. Hinweis: Falls Sie dieses Java Applet nicht starten können, liegt dies vielleicht daran, dass auf ihrem PC keine Java Virtual Machine (JVM) installiert ist. Diese JVM können Sie sich bei http://java.sun.com/j2se/1.5.0/download.html kostenlos downloaden (Aktuelle Version 1.5.0_01, Stand Januar 2005). Wählen Sie hierfür die Java Runtime Environment (JRE) für Ihr Betriebssystem aus. Seite 3

2 Graphische Benutzeroberfläche Legende: (wird im Weiteren näher erläutert) 1 Menüleiste (siehe dazu 2.1) - Enthält verschiedene Menüpunkte 2 Toolbar (siehe dazu 2.2) - Erlaubt schnelle Umschaltung zwischen den Verteilungsfunktionen 3 Ein- und Ausgabebereich (siehe dazu 2.3) - Veränderung der Eingabeparameter - Anzeige der berechneten Wahrscheinlichkeiten 4 Graphischer Bereich (siehe dazu 2.4) - Anzeige der Verteilungsfunktion - Graphische Darstellung der Wahrscheinlichkeit als Fläche - Veränderung der Integrationsgrenzen Seite 4

2.1 Menüleiste In der Menüleiste befinden sich die wichtigsten Optionen des Applets. Sie enthält drei Hauptgruppen: - Datei - Verteilungsfunktionen -? 2.1.1 Menüeintrag Datei Im Menüeintrag Datei befindet sich der Unterpunkt Beenden, über ihn kann das Applet beendet werden. Hinweis: Durch den Shortcut STR + B kann das Applet ebenfalls beendet werden. 2.1.2 Menüeintrag Verteilungsfunktionen Der Menüeintrag Verteilungsfunktionen erlaubt die Auswahl einer der vier stetigen Verteilungsfunktionen: Normalverteilung, t-verteilung, Chi- Quadrat-Verteilung und F-Verteilung. Die ausgewählte Verteilungsfunktion wird im Eingabe- und Zeichenbereich dargestellt und ist mit einem Haken markiert. Hinweis: Jeder Verteilungsfunktion ist ein Shortcut zugewiesen. Die Tasten wurden entsprechend der Verteilungen gewählt: - Normalverteilung: STR + N - t-vereilung: STR + T - Chi-Quadrat-Verteilung: STR + C - F-Verteilung: STR + F 2.1.3 Menüeintrag? Der Menüeintrag? enthält Informationen über das Applet, und den Verweis auf diese Hilfe. Hinweis: Durch den Shortcut STR + H kann ebenfalls die Hilfe angezeigt werden. Seite 5

2.2 Toolbar Direkt unterhalb der Menüleiste befindet sich die Toolbar. An ihr können die verschiedenen Verteilungsfunktionen schnell ausgewählt werden. Die Icons entsprechen (von links nach rechts) den Verteilungen: Normalverteilung, t-verteilung, Chi-Quadrat-Verteilung und F-Verteilung. Anmerkung: Die derzeit aktive Verteilung wird dunkler dargestellt als die anderen (hier Normalverteilung). Seite 6

2.3 Ein- und Ausgabebereich Der Ein- und Ausgabebereich unterscheidet sich je nach dargestellter Verteilungsfunktion, diese werden im Folgenden nun einzeln beschrieben. Einige Elemente tauchen öfters auf und sollen hier vorweg erklärt werden. Alle Parameter sind als Ein- und Ausgabekombination zusammengefasst. So können berechnete Werte angezeigt, diese aber für Rückwärtsberechnungen auch verändert werden. Eine Änderung des jeweiligen Wertes kann auf zweierlei Weise stattfinden: o durch direkte Eingabe des entsprechenden Zahlenwertes in die Eingabefelder und anschließender Bestätigung durch <Enter> o durch Verschieben des Schiebereglers mit der Maus Hinweis: Das jeweils andere Element wird zusammen mit der graphischen Darstellung automatisch aktualisiert. Hinweis: Um die Eingabe wichtiger Zahlen zu erleichtern, ist der Einstellbereich der Schieberegler eingeschränkt. Es können jedoch alle für die jeweilige Verteilung gültigen Werte über die Eingabefelder eingegeben werden. Hinweis: Sollen mehrere Werte durch Zahleneingabe verändert werden, sollte nach jeder Eingabe <Enter> betätigt werden. Um die Art der Integrationsgrenzen festzulegen, steht eine Drop-Down-Liste zur Verfügung. Hinweis: Je nach Einstellung können andere Eingabeparameter deaktiviert (nicht verwendbar) sein. Seite 7

2.3.1 Ein- und Ausgabebereich bei Normalverteilung Bei Normalverteilung können folgende Größen verändert, bzw. eingestellt werden: - Mittelwert - Standardabweichung (Standardabweichung > 0) - Obergrenze des (Integrations-)Bereichs - Untergrenze des (Integrations-)Bereichs - Skalierungsart: hier kann zwischen automatischer und fester Skalierung umgeschaltet werden. Bei automatischer Skalierung liegt das Integral immer in der Mitte des Darstellungsbereiches, und die Kurve ist in Y-Richtung auf maximale Darstellung skaliert. Bei fixer Skalierung ist dies nicht mehr gegeben, und es werden die letzten automatisch berechneten Werte verwendet. - Integral = Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im dargestellten Bereich (0 < Integral < 1) - Art der Bereichsgrenzen Seite 8

2.3.2 Ein- und Ausgabebereich bei der t-verteilung Bei der t-verteilung können folgende Größen verändert, bzw. eingestellt werden: - t-wert (obere bzw. untere Integrationsgrenze, bei zwischen symmetrisch) - Freiheitsgrad (1 Freiheitsgrad) - Integral = Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im dargestellten Bereich (0 < Integral < 1) - Art der Bereichsgrenzen 2.3.3 Ein- und Ausgabebereich bei der Chi-Quadrat-Verteilung Bei der Chi-Quadrat-Verteilung können folgende Größen verändert, bzw. eingestellt werden: - Chi-Quadrat-Wert (obere bzw. untere Integrationsgrenze) (0 Chi-Quadrat-Wert) - Freiheitsgrad (1 Freiheitsgrad 100) - Integral = Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im dargestellten Bereich (0 < Integral < 1) - Art der Bereichsgrenzen Seite 9

2.3.4 Ein- und Ausgabebereich bei der F-Verteilung Bei der F-Verteilung können folgende Größen verändert, bzw. eingestellt werden: - F-Wert (obere bzw. untere Integrationsgrenze) (0 F-Wert) - Freiheitsgrad 1 (für Varianz im Zähler) (1 Freiheitsgrad 100) - Freiheitsgrad 2 (für Varianz im Nenner) (1 Freiheitsgrad 100) - Integral = Fläche unter der Kurve = Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im dargestellten Bereich (0 < Integral < 1) - Art der Bereichsgrenzen Seite 10

2.4 Graphischer Bereich Der graphische Bereich ist bei allen vier Verteilungsarten ähnlich, aber im Detail nicht genau gleich. Die Unterschiede beziehen sich im Wesentlichen auf die Achsenbeschriftungen. Da sie aber für die Bedienung ohne belang sind, soll hier nicht näher darauf eingegangen werden. Hinweis: Bei Normalverteilung ist der graphische Bereich in zwei Abschnitte unterteilt, der untere zeigt immer die standardisierte Darstellung (Mittelwert 0 und Standardabweichung 1!. Er ist an der Einblendung standardisiert zu erkennen. Die Form der Verteilung ist identisch, nur die Skalierung der Achsen unterscheidet sich. Seite 11

Verschiebung der Integrationsgrenzen per Drag & Drop Die Integrationsgrenzen lassen sich nicht nur im Eingabebereich verändern, sondern auch direkt im Darstellungsbereich durch Drag & Drop. Dazu muss der Cursor nur auf die blau dargestellte Integrationsgrenze bewegt werden und nun kann die Grenze mit gedrückter Maustaste verschoben werden. Ebenso lässt sich der Integrationsbereich als Block (fester Abstand zwischen den Grenzen) verschieben. Dazu muss mit dem Ziehen nur im grün markierten Integrationsbereich begonnen werden. Hinweis: Das Verschieben des Integrals als Block ist nur bei Normalverteilung und Grenzenart zwischen möglich! Seite 12

3 Hinweise zur Genauigkeit Die Berechnung der Integrale erfolgt mit Hilfe einer vorgefertigten statistischen Funktion, die in dieses Applet integriert wurde. Durch die dort verwendete Näherung für das Integral kommt es zu Ungenauigkeiten in der Berechnung. Bei der Normalverteilung und bei der t-verteilung liegt diese Ungenauigkeit unter der Darstellungsgenauigkeit. Bei der Chi-Quadrat- und bei der F-Verteilung können bei ungünstigen Kombinationen (sehr großes oder sehr kleines Integral in Verbindung mit großen und kleinen Freiheitsgraden) Ungenauigkeiten in den Nachkommastellen der angezeigten Werte auftreten. Die hier berechneten Werte sollten daher nicht als Ersatz für eine statistische Tabelle verwendet werden. Hinweis: Bei der Chi-Quadrat- und der F-Verteilung kann es in Verbindung mit der inversen Berechnung vorkommen, dass der eingegebene Integralwert nicht genau erreicht wird. Das Applet stellt dann den Wert dar, der zu den dargestellten Eingabeparametern gehört. Seite 13