Anleitung zum Applet

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1 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) 1 Anleitung zum Applet Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) bearbeitet von: Armin Heiter WS 2007/2008 IN betreut von: Prof. Dr. Wilhelm Kleppmann

2 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) 2 Inhaltsverzeichnis 1 VORWORT BENUTZEROBERFLÄCHE LEGENDE MENÜLEISTE Menüeintrag Datei Menüeintrag Grafikauswahl Menüeintrag Ansicht Menüeintrag? TOOLBAR EINGABE- UND AUSGABEBEREICH Verteilungsfunktion und Stichprobenergebnis X Entstehung des Vertrauensbereichs Stichprobenergebnisse und Vertrauensbereich GRAFISCHER BEREICH Verteilungsfunktion Vertrauensbereich Simulation von 50 Stichprobenergebnissen...11

3 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) 3 1 Vorwort Ziel dieser Studienarbeit war die Entwicklung eines Java Applets zum Thema Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung). Dieses Applet ermöglicht es den Studierenden, das in Vorlesungen erworbene theoretische Wissen mit Bildern anzureichern und durch selbstständiges Experimentieren Zusammenhänge zu entdecken. In diesem Java Applet kann der Anwender zwischen drei Schaubildern hin und her schalten. Das erste Schaubild zeigt die Dichte der Binomialverteilung für die vorgegebenen Werte von Stichprobenumfang n (Anzahl) und wahrem Anteil p, ein simuliertes Stichprobenergebnis x und die für dieses Ergebnis x berechneten Grenzen des 95%- und des 99%-Vertrauensbereichs. Das zweite Schaubild zeigt, wie diese Vertrauensbereiche entstehen. Im dritten Schaubild sieht man 50 Simulationsergebnisse aus derselben Binomialverteilung, mit den zugehörigen Vertrauensbereichen. Die Eingabeparameter Anzahl n und Anteil p lassen sich im ersten und dritten Schaubild verändern, worauf das neue Schaubild unmittelbar im Ausgabebereich neu gezeichnet wird. Das Stichprobenergebnis x wird per Zufallsgenerator erzeugt. Hinweis: Falls Sie dieses Java Applet nicht starten können, liegt dies vielleicht daran, dass auf ihrem PC keine Java Virtual Machine (JVM) installiert ist. Diese JVM können Sie sich bei kostenlos downloaden (Aktuelle Version 5.0 Update 14 Stand Februar 2008). Wählen Sie hierfür die Java Runtime Environment (JRE) für Ihr Betriebssystem aus.

4 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) 4 2 Benutzeroberfläche 2.1 Legende 1 Menüleiste Enthält verschiedene Menüpunkte 2 Toolbar Erlaubt eine schnelles Umschalten der verschiedenen Grafiken 3 Ein- und Ausgabebereich Eingabe der Parameter Anzeige der berechneten Werte 4 Grafischer Bereich Zeichnet das gewünschte Schaubild

5 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) Menüleiste In der Menüleiste befinden sich die wichtigsten Optionen des Applets. Sie enthält vier Hauptgruppen Datei Grafikauswahl Ansicht? Menüeintrag Datei Im Menüeintrag Datei befindet sich der Unterpunkt beenden, über ihn kann das Applet beendet werden Hinweis: Durch Shortcut STR + B kann das Applet ebenfalls beendet werden Menüeintrag Grafikauswahl Im Menüeintrag Grafikauswahl können die drei Schaubilder aufgerufen werden. Der jeweils ausgewählte Unterpunkt wird mit einem markiert. Hinweis: Alle Schaubilder können auch mit dem entsprechendem Shortcut aufgerufen werden Verteilungsfunktion und Stichprobenergebnis Strg + V Entstehung Vertrauensbereich Strg + E 50 Stichprobenergebnisse + Vertrauensbereiche Strg + S Menüeintrag Ansicht Im Menüeintrag Ansicht lässt sich das Raster ein - und ausblenden. Hinweis: Das Raster lässt sich auch mit dem Shortcut Strg + R ein- und ausschalten.

6 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) Menüeintrag? Im Menüeintrag? stehen dem Anwender eine Hilfefunktion, Übungsbeispiele und eine Info über dieses Applet bereit. Dabei wird beim Klick auf Hilfe und Übungen jeweils ein PDF mit den entsprechenden Inhalt geöffnet. Bei Info wird lediglich ein kleines Dialogfenster mit einer kurzen Info angezeigt. 2.3 Toolbar Direkt unterhalb der Menüleiste befindet sich die Toolbar. An ihr können die verschiedenen Schaubilder schnell ausgewählt werden. Außerdem lässt sich ein neues Stichprobenergebnis generieren. Die Icons entsprechen (von links nach rechts) den Grafiken: Verteilungsfunktion und Stichprobenergebnis x Entstehung Vertrauensbereich 50 Stichprobenergebnisse + Vertrauensbereiche Generieren einer neuen Zufallszahl Hinweis: Das ausgewählte Symbol bekommt eine hellgrüne Kontur 2.4 Eingabe- und Ausgabebereich Der Ein- und Ausgabebereich unterscheidet sich bei den jeweiligen Schaubildern. Deshalb werden die drei Grafiken separat betrachtet Verteilungsfunktion und Stichprobenergebnis x Hier wird die Anzahl n, der Stichprobenumfang, eingegeben. Entweder per Schieberegler (0 500) oder per Tastatureingabe im Textfeld. Anteil p der Teile, die das betrachtete Merkmal tragen = Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der Entnahme eines einzelnen Teiles das betrachtete Ereignis eintritt Anzahl x. Ergebnis, welches man aus der Stichprobe vom Umfang n erhalten hat. Wird per Zufallsgenerator erzeugt, mit n n x x Wahrscheinlichkeit g(x) = (1 p) p x Das Feld kann nicht editiert werden, da es ein Simulationsergebnis ist.

7 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) Entstehung des Vertrauensbereichs Die Werte für n, p und x werden vom Schaubild "Verteilungsfunktion und Stichprobenergebnis" übernommen. Da dieses Schaubild lediglich dazu dient, die Entstehung der Vertrauensbereiche zu erläutern, ist es hier nicht möglich, Eingaben zu machen. Es werden aber die berechneten Werte ausgegeben und man hat die Möglichkeit, das Vertrauensniveau zu verändern. Die übernommenen Werte Zwischen den Vertrauensbereichen zum Vertrauensniveau 95% und 99% hin und her schalten. Das hellblau hinterlegte Icon ist das im Moment angewählte Icon. Die Werte für die Untergrenze des Vertrauensbereichs Freiheitsgrad f1 f 1 = 2 ( n x + 1) Freiheitsgrad f2 f 2 = 2 x F-Wert für diese Freiheitsgrade P-Wert p u x = x + (n x + 1) F Die Werte für die Obergrenze des Vertrauensbereichs Freiheitsgrad f1 f 1 = 2 ( x + 1) Freiheitsgrad f2 = 2 (n x) F-Wert für diese Freiheitsgrade f 2 f1;f2 ;1 α 2 P-Wert p o (x + 1) F = n x + (x + 1) F f1;f2 ;1 α 2 f1;f2 ;1 α 2

8 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) Stichprobenergebnisse und Vertrauensbereich Schieberegler um die Anzahl n zu verändern. Alternativ kann wieder per Texteingabe der Wert verändert werden Schieberegler für die Wahrscheinlichkeit p (0<p<1). Alternativ kann der Wert auch per Texteingabe gemacht werden Die Wertetabelle für die 50 Stichprobenergebnisse. 1. Spalte : Fortlaufende Nummer 2. Spalte : Der per Zufallsgenerator erzeugter x-wert 3. Spalte : Der Quotient x durch n = Schätzwert für den Anteil p Da die 50 Werte nicht in die Tabelle passen, lassen sich die andern Werte durch ein vertikales Scrollen einsehen.

9 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) Grafischer Bereich Die Achsenskalierung beim ersten und zweiten Schaubild ist identisch, um den Zusammenhang besser zu verdeutlichen. Das dritte Schaubild hat eine andere Skalierung. Sobald im Eingabebereich neue Werte eingegeben bzw. ausgewählt wurden, wird das zugehörige Diagramm mit den neuen Werten im Zeichenbereich dargestellt Verteilungsfunktion Dieses Schaubild zeigt die Dichte der Binomialverteilung für n=200 und p=0,5, wobei die Länge der Balken die Wahrscheinlichkeit darstellt, mit dem ein bestimmtes Ergebnis x auftritt. Der Zufallsgenerator hat hier den Wert x=90 erzeugt. Dieser Balken wird dunkelblau dargestellt. Am wahrscheinlichsten sind x-werte in der Nähe von np (hier 100). Dieser Wert wird mit einer langen senkrechten Linie markiert und ist mit dem Wert von np beschriftet. Außerdem wird ein Bereich von p-werten berechnet, der mit dem Ergebnis x konsistent ist. Dazu werden zwei Vertrauensniveaus festgelegt (95% und 99%). Zu den vorhandenen Werten x und n werden die Unter- und Obergrenzen für p berechnet und lila beziehungsweise blau eingezeichnet. Die obere horizontale Achse enthält die x-werte, die darunterliegende enthält die p-werte. Die y-achse enthält die Wahrscheinlichkeit g(x), mit der ein bestimmtes Ergebnis x auftritt.

10 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) 10 Die Skalierung erfolgt immer automatisch, so dass auch bei sehr großen beziehungsweise sehr kleinen Werten das Schaubild leserlich bleibt Vertrauensbereich Dieses Schaubild zeigt, wie die Vertrauensbereiche entstehen. Das obere Schaubild aus zeigt die Verteilung für den wahren Anteil p. Hat man nur das Ergebnis x vorliegen, so kann man fragen, welche Werte von p damit gerade noch konsistent sind. Im unteren Schaubild sieht man zwei Binomialverteilungen. Bei der linken ist p so niedrig gewählt, dass das Stichprobenergebnis x am oberen Ende der Verteilung ist. Im rechten ist p so hoch gewählt, dass x am unteren Rand dieser Verteilung ist. Die zugehörigen p-werte sind die Grenzen des Vertrauensbereichs (hier für 95%, analog für 99%).

11 Vertrauensbereich für Anteile (Binomialverteilung) Simulation von 50 Stichprobenergebnissen In diesem Schaubild werden 50 Stichprobenergebnisse simuliert. D.h. x wird 50-mal neu generiert und daraus der 95%- und der 99%-Vertrauensbereich berechnet und eingezeichnet. Enthält ein so berechneter Vertrauensbereich nicht den wahren (aber normalerweise natürlich nicht bekannten Wert p (senkrechte schwarze Linie), so wird dieser rot hervorgehoben. Im Mittel sind 5% (d.h. 2,5 der 50) 95%-Vertrauensbereiche rot (hier 3) und 1% (d.h. 0,5 der 50) 99%-Vertrauensbereiche (hier 0).