Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Viktoria Ronge 04.06.2014 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 1 / 63

Übersicht 1 Modulare Arithmetik 2 Primzahlen 3 Verschiedene Teiler ganzer Zahlen 4 (Lineare) Diophantische Gleichungen Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 2 / 63

Übersicht 1 Modulare Arithmetik Motivation Modulo in der Mathematik Modulo in der Programmierung Schnelle Exponentiation 2 Primzahlen 3 Verschiedene Teiler ganzer Zahlen 4 (Lineare) Diophantische Gleichungen Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 3 / 63

Die Idee bei Modularem Rechnen Manchmal interessieren beim Rechnen mit Ganzzahlen nicht die Zahlen selbst, sondern nur die Reste bei der Division. Anwendungen finden sich häufig in der Kryptographie sowie bei Aufgaben, bei denen es nur um die letzten Stellen geht und die Zahlen an sich zu groß wären, um sie in einer nützlichen Speicherstruktur wie long zu speichern. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 4 / 63

Beispiel für Modulo aus dem Alltag Ein Beispiel für Modulo Auf einer Geburtstagsfeier sind fünf Kinder. Die Torte ist in 12 Teile geteilt. Den Kindern ist egal, wie viele Tortenstücke sie essen, hauptsache keines der anderen bekommt mehr. Wie viele Kuchenstücke bleiben übrig? Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 5 / 63

Mathematische Definition Definition für n N. mod n : Z Z /nz x x n n für x > 0 x 0 für x = 0 x + x n + 1 n für x < 0 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 6 / 63

Rechenregeln a, b Z, n Z: (a + b) mod n ((a mod n) + (b mod n)) mod n (a b) mod n ((a mod n) (b mod n)) mod n (a b) mod n ((a mod n) (b mod n)) mod n (a b ) mod n (a mod n) b mod n Diese Regeln sind nützlich, um Overflows durch Umformen der Berechnung zu vermeiden. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 7 / 63

Modulares Inverses In den obigen Rechenregeln ist das Teilen mit Absicht ausgenommen, denn es tritt folgendes Problem auf: 2/3 mod 4 0.6 mod 4 Wie ist das definiert? So gar nicht! Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 8 / 63

Modulares Inverses Gesucht ist 3 1 mod 4: Definition a 1 mod n ist die Zahl b Z, sodass a b 1 mod n Naiv lässt sich dies mit Ausprobieren lösen, später mit Euklidischem Algorithmus. Manchmal auch gar nicht. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 9 / 63

Modulo in der Programmierung % mod In der Programmierung kann es passieren, dass für die gleiche Restklasse verschiedene Repräsentanten zurückgegeben werden. Insbesondere kann % auch negative Werte zurückgeben. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 10 / 63

Modulo in der Programmierung Beispiele in der Programmierung Für 11%3 ergibt sich bei der Programmierung 11%3 = 2, aber 11%3 = 1. Will man sicher sein, dass man immer einen positiven Wert hat, so kann man (x%y + y)%y schreiben. Wichtig ist dabei, dass man zuerst y addiert und danach wieder %y rechnet, sonst ist der Wert nicht möglichst klein. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 11 / 63

Schnelles Exponentiation Durch Aufspalten mit folgenden Regeln lässt sich die Exponentiation einer Zahl oder auch eine Matrix deutlich beschleunigen, da nicht jeder Schritt einzeln ausgeführt werden muss: Schnelle Exponentiation a b = { a b/2 a b/2 a b 1 a für b 2 Z sonst Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 12 / 63

Rekursive schnelle Exponentiation Rekursives Vorgehen für a x exp mod ( a, x,m) : Falls x = 0 gib 1 zurück out = exp mod ( a, x /2, m) out = ( out out ) % m Falls x % 2 = 1 g i b ( out a ) % m zurück sonst gib o u t zurück Ohne Modulo den Parameter m weglassen Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 13 / 63

Exponentiation für Matrizen Für Matrizen lässt sich der Algorithmus mit und ohne Modulo (ersteres, wenn man z.b. in Ringen, welche isomorph zu Z /nz sind, rechnet) genauso durchführen. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 14 / 63

Übersicht 1 Modulare Arithmetik 2 Primzahlen Exakte Primzahltests Probabilistische Primzahltests 3 Verschiedene Teiler ganzer Zahlen 4 (Lineare) Diophantische Gleichungen Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 15 / 63

Motivation Wofür Primzahlen? Kryptographie Algebra Quantenphysik, Chemie... Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 16 / 63

Definition von Primzahlen Definition Eine Primzahl ist eine Zahl p N, welche genau zwei Teiler in N hat, wobei diese Teiler 1 und p sind. Alternativ: p N prim a N, a p (a = 1 p) (1 p) Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 17 / 63

Primfaktorzerlegung Bis heute gibt es keine schnelle Möglichkeit, eine Primfaktorzerlegung durchzuführen. Deshalb ist RSA (noch) sehr sicher Die einfachste Implementierung ist, die Teilbarkeit einer Zahl n durch alle Primzahlen n zu testen und ihre Vielfachheit zu speichern. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 18 / 63

Idee der Einfachen Zerlegung Schleife über alle Zahlen n Falls Rest bei Division von n durch k > 0, speichere k als nicht vorkommend Sonst speichere k als vorkommend, teile n so oft durch k bis Rest 0 Erhöhe für jede Division mit Rest 0 den Zähler der Vielfachheit von k um 1 Falls n nach Schleife größer 1 ist n prim Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 19 / 63

Einfache Zerlegung Code t y p e d e f p a i r <i n t, i n t > p i i ; v e c t o r <p i i > f a c t o r i z e ( i n t n ) { v e c t o r <p i i > r e s ; f o r ( i n t i = 2 ; i i <= n ; i ++) { i f ( n % i ) c o n t i n u e ; r e s. p u s h b a c k ( p i i ( i, 0 ) ) ; w h i l e ( n % i == 0) { r e s [ s z ( r e s ) 1]. second++; n /= i ; } } i f ( n > 1) r e s. p u sh b a c k ( p i i ( n, 1 ) ) ; r e t u r n r e s ; } Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 20 / 63

Einfacher Primzahltest Alle Zahlen testen Die einfachste Variante eine Zahl n auf ihre Primalität zu testen ist es, sie durch jede natürliche Zahl < n zu teilen. Hat keine dieser Divisionen den Rest 0, so ist die Zahl selbst prim. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 21 / 63

Sieb des Erathostenes Vorgehen Teile alle Zahlen bis n durch k > 1. Alle durch k teilbaren Zahlen werden gestrichen. Jedes k, das verwendet wird, muss eine Primzahl sein. Schaue nach, ob gesuchte Zahl in Liste ist. Sinnvoll, wenn mehrere Zahlen betrachtet werden. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 22 / 63

Beispiel zu Erathostenes Berechnung der Primzahlen von 2 bis 27 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Die Primzahlen von 2 bis 27 sind 2,3,5,7,11,13,19 und 23. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 23 / 63

Probabilistische Primzahltest Bisher: Aussage über Primalität immer richtig, aber Tests sehr langsam Jetzt: Deutlich schnellere Tests, die aber nur mit einer (trotzdem sehr guten) Wahrscheinlichkeit die Primalität feststellen. Mehrere Anwendungen eines Test mit verschiedenen Basen machen ihn noch deutlich besser. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 24 / 63

Der kleine Satz von Fermat Satz p prim a Z, gilt a p a mod p. Gilt außerdem a p, so lässt sich die Behauptung umschreiben zu a p 1 1 mod p. Beweisidee Induktion über positive a mit Anfang a = 0 und Induktionsschritt über die Darstellung von (a + 1) p (a + 1) mit Hilfe von Binomialkoeffizienten. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 25 / 63

Fermat scher Primzahltest Relative Primalität zu einer Basis a a p 1 1 mod p p relativ prim zu a Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 26 / 63

Fermat scher Primzahltest Der Test beruht auf dem kleinen Fermat, sagt jedoch nur sicher, ob eine Zahl nicht prim ist. Erkennt der Test eine Zahl fälschlicherweise als Primzahl, so wird sie Fermat scher Pseudoprimzahl genannt. Zahlen, die zu jeder teilerfremden Basis a den Test bestehen, werden Carmichael-Zahlen genannt. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 27 / 63

Miller(-Selfridge)-Rabin-Test Starke Pseudoprimzahl zur Basis a Sei n die zu testende Zahl, n 1 = d 2 j, j maximal. Ist n prim, so gilt entweder a d 1 mod n oder a d 2r 1 mod n, 0 r < j Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 28 / 63

Miller-Rabin-Test Wie vorher beruht der Test letztendlich auf dem kleinen Fermat. Hier werden die Zahlen, welche den Test bestehen aber keine Primzahlen sind, als starke Pseudoprimzahlen bezeichnet. Für eine schnelle Berechnung wird hier die schnelle Exponentiation verwendet. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 29 / 63

Übersicht 1 Modulare Arithmetik 2 Primzahlen 3 Verschiedene Teiler ganzer Zahlen (Erweiterter) Euklidischer Algorithmus und Lemma von Bézout Teiler einer Zahl Pollard-ρ-Methode 4 (Lineare) Diophantische Gleichungen Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 30 / 63

Größter gemeinsamer Teiler (Einfache) Definition ggt (a, b) := die größte natürliche Zahl 0, durch die zwei ganze Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind. Im Englischen wird diese Zahl als greatest common divisor (gcd) bezeichnet. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 31 / 63

Euklidischer Algorithmus Idee Sei obda x y. Ziehe y möglichst oft von x ab, speichere Rest R Der ggt muss auch R teilen Setze x = y, y = R und wiederhole das Verfahren bis R = 0 ist Der letzte Rest 0 ist ggt (x, y) Berechnung ohne Primfaktorzerlegung möglich Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 32 / 63

Lemma von Bézout Theorem a, b Z : x, y Z : ggt (a, b) = x a + y b Der Beweis kann konstruktiv über die Korrektheit des erweiterten euklidischen Algorithmus geführt werden, welcher im Folgenden beschrieben wird. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 33 / 63

Erweiterter euklidischer Algorithmus Der Algorithmus funktioniert wie der euklidische Algorithmus mit dem Zusatz von zwei weiteren Variablen r i und s i. Hierbei werden jedoch keine Variablen überschrieben, sondern mit r 0 und r 1 gestartet und jeweils der Index hochgezählt, die Variabel q i+1 speichert, wie oft r i+1 von r i abgezogen wird. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 34 / 63

Konkrete Berechnung des eea Algorithmus s 0 = 1 s 1 = 0 t 0 = 0 t 1 = 1 r 2 = r 0 q 1 r 1 s 2 = s 0 q 1 s 1 t 2 = t 0 q 1 t 1.. ggt (a, b) = r m 2 q m r m 1 s m = s m 2 q m 1 s m 1 t m = t m 2 q m 1 s m 1 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 35 / 63

Bézout mit eea Mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus gilt (mit der Variablenbezeichnung von vorher): ggt (a, b) = s m a + t m b Der Beweis zur Korrektheit und damit zum Lemma von Bézout findet sich in (fast) jedem (Lineare) Algebra Skript. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 36 / 63

Modulares Inverses Bestimmung des Modularen Inversen Es gilt ggt (a, n) = s a + b n Betrachtet man dies mod n, so ist für ggt (a, n) = 1 das Modulare Inverse a 1 mod n s Das Modulare Inverse existiert genau dann, wenn ggt (a, n) = 1 ist. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 37 / 63

Beweis a b 1 mod n ab/n = xr1 ab = xn + 1 Ang. a und n haben gemeinsamen Primfaktor k k teilt ab und xn k 1 k = 1 a und n müssen teilerfremd gewesen sein. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 38 / 63

Eulersche φ-funktion Definition Für ein n N ist φ(n) = {k N 1 < k n, ggt (k, n) = 1} Damit ist für p prim φ(p) = p 1 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 39 / 63

Floyd s Cycle Finding Algorithm Idee Der Algorithmus findet in mathematischen Folgen Zykel. braucht man mehrere Folgenglieder, muss man u.u. nicht alle einzeln berechnen. Zwei Zeiger auf Folgenglieder; einer läuft mit doppelter Geschwindigkeit des anderen Treffen sie sich, ist der Wert Teil eines Zyklus Längenbestimmung des Zyklus durch Weiterlaufen bis zur nächsten Gleichheit der Zeiger Startpunktbestimmung (s. Code) Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 40 / 63

Pseudocode Eingabe : Funktion f, S t a r t w e r t x0 t = f ( x0 ) lam = 1 h = f ( f ( x0 ) h = f ( t ) w h i l e ( t!= h ) w h i l e ( t!= h ) t = f ( t ) h = f ( h ) h = f ( f ( h ) ) lam++ end end mu = 0 r e t u r n lam, mu t = x0 w h i l e ( t!= h ) t = f ( t ) h = f ( h ) mu++ end Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 41 / 63

Beispiel Sei f (x) = (x 2 1) mod 13 3 2 8 11 9 6 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 42 / 63

Teilersuche von Zahlen Problem Von einer Zahl n ist bekannt, dass sie zusammengesetzt ist. Nun sucht man Faktoren dieser Zahl, die aber nicht notwendigerweise prim sind. Dabei sollte n im Folgenden nicht zu groß sein. Achtung! Der Algorithmus findet nicht immer einen Teiler. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 43 / 63

Pollard-ρ-Methode Algorithmus i = 1 x 1 = RANDOM( 0, n 1) y = x 1 k = 2 w h i l e TRUE i = i + 1 x i = ( x 2 i 1 1) mod n d = gcd ( y x i, n ) i f d 1 and d n p r i n t d i f i == k y = x i k = 2k Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 44 / 63

Beispiel 9 x 5 1215 n = 1377 Gefundene Teiler: 9 und 81 x 4 728 80 x 6 x 3 279 891 x 7 81 x 2 386 x 1 42 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 45 / 63

Variante von Brent Für Floyd s Cycle Finding Algorithm und die Pollard-ρ-Methode gibt es jeweils noch eine Variante von Brent und eine Variante von Floyd und Brent, welche ähnliche Ideen verfolgen, jedoch etwas schneller sind (s. unter anderem ICPC-Wiki). Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 46 / 63

Übersicht 1 Modulare Arithmetik 2 Primzahlen 3 Verschiedene Teiler ganzer Zahlen 4 (Lineare) Diophantische Gleichungen (Allgemeine) Diophantische Gleichungen Lineare Diophantische Gleichungen Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 47 / 63

Diophantische Gleichung Definition Eine diophantische Gleichung lässt sich beschreiben als f Z[x 1,..., x n ] ev : Z[x 1,..., x n ] Z n 0 Anders gesprochen hat man ein Polynom f (x 1,..., x n ) = 0 für ganzzahlige Koeffizienten und ganzzahlige x i. Hier ist zu beachten, dass jede Variable in beliebiger Potenz auftreten kann. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 48 / 63

Beispiel Großer Fermat scher Satz (Fermats letzter Satz) x n + y n = z n Für n > 2 (also außer Pythagoräischen Tripeln) gibt es keine Lösungen. Beweis Bei Fermat war auf dem Rand der Buchseite, wo er diese Behauptung aufschrieb, nicht mehr genug Platz. Der heute anerkannte Beweis umfasst mehr als 200 Seiten. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 49 / 63

Lösbarkeit Die Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen ist unentscheidbar, man kann also einer Gleichung nicht ansehen, ob sie eine Lösung hat, bis man eine gefunden hat. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 50 / 63

Lineare Diophantische Gleichung Definition Eine lineare Diophantische Gleichung ist eine Diophantische Gleichung, bei der jede Variable maximal den Grad 1 hat. Sie hat also die Form mit a i, x i Z. a 1 x 1 +... + a n x n + c = 0 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 51 / 63

Lösbarkeit Eine Lineare Diophantische Gleichung ist genau dann lösbar, wenn der ggt ihrer Koeffizienten der linearen Terme die Summer der konstanten Terme teilt. Reduktion Eine Lineare Diophantische Gleichung lässt sich auf mehrere Gleichungen der Form ax + by = c reduzieren. Dies lässt sich dann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus lösen. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 52 / 63

Lösung für zwei Variablen Angenommen, die Gleichung a 1 x 1 + a 2 x 2 + c = 0 ist lösbar, dann Teillösung Teile die Gleichung durch ggt (a 1, a 2 ) Berechne x 1, x 2 aus a 1 x 1 + a 2 x 2 = ggt (a 1, a 2 ) c x 1, x 2 ist dann x 1 = a 1 ggt (a 1,a 2 ), x 2 = a 2 c ggt (a 1,a 2 ) Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 53 / 63

Mehrere Variablen Teile Gleichung durch ggt (a 1,..., a n ), neuen Koeff. a 1,..., a n Berechne Teillösung für a 1 x 1 + a 2 x 2 = ggt (a 1, a 2 ) wie oben Berechnen jetzt sukzessive ggt (a 1,..., a k 1 )y + a k x k = ggt (a 1,..., a k ). Vollständige Lösung durch jeweils multiplizieren von y an die vorherigen x 1,..., x k 1 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 54 / 63

Beispiel Zu lösen ist 6x + 14y + 10z + 4 = 0 ggt (24, 6, 12, 18) = 2 Löse 6y + 14y + 10z + 4 = 0 3x + 7y + 5z + 2 = 0 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 55 / 63

Beispiel Zu lösen ist 3x + 7y + 5z + 2 = 0 Die Gleichung lässt sich umschreiben zu (3x + 7y)s + 2z + 2 = 0 ggt (3, 7)s + 2z + 2 = 0 Mit dem eea ergibt sich x = 2, y = 1. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 56 / 63

Beispiel Zu lösen ist 3x + 7y + 5z + 2 = 0 Die Gleichung lässt sich nun umschreiben zu (ggt (3, 7)s + 2z)t + 2 = 0 ggt (3, 7, 2)t + 2 = 0 Mit dem eea ergibt sich s = 1, z = 0. Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 57 / 63

Beispiel Zu lösen ist 3x + 7y + 5z + 2 = 0 t + 2 = 0 t = 2, mit Resubstitution ergibt sich dann s = 2, x = 4, y = 2 und damit abschließend 3 (4) + 7 ( 2) + 5 0 + 2 = 0 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 58 / 63

Ende Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 59 / 63

Quellen I Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein Introduction to Algorithms. The MIT Press, July 2009 3. Peter Fiebig Algebra Skript, Universität Erlangen, WS 10/11 Wolfgang Ruppert Diophantische Geometrie Skript, Universität Erlangen, SS 13 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 60 / 63

Quellen II Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Hallo Welt Seminar 2008 Christoph Egger Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Hallo Welt Seminar 2010 Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Hallo Welt Seminar 2012 Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 61 / 63

Quellen III Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Hallo Welt Seminar 2013 Carmichael Numbers http://en.wikipedia.org/wiki/carmichael number Diophantine Equations http://en.wikipedia.org/wiki/diophantine equation Miller-Rabin-Test http://de.wikipedia.org/wiki/miller-rabin-test Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 62 / 63

Quellen IV Pollard s rho algorithm http://en.wikipedia.org/wiki/pollard%27s rho algorithm Viktoria Ronge Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 04.06.2014 63 / 63