Hans Walser, [20090928a] Eine Figur mit acht plus einem Kreis Anregungen: E. Chr. W. und P. G. 1 Worum geht es? In der ebenen Geometrie scheinen sich Quadrat und regelmäßiges Dreieck zu beißen. Es ist unmöglich, ein regelmäßiges Dreieck in ein Quadratraster zu legen, und umgekehrt passt auch kein Quadrat in das regelmäßige Dreiecksraster. Gleichwohl gibt es eine auf Quadraten und Achtecken basierte Figur, welche regelmäßige Dreiecke, Sechsecke, Zwölfecke und ein 24-Eck enthält. Die Figur enthält zusätzlich einige schöne Eigenschaften. Historisch gesehen geht die Figur auf die Achteckskonstruktion in den Bauhütten der mittelalterlichen Kathedralen zurück. 2 Aus der Bauhütte 2.1 Die Konstruktion In den Bauhütten war folgende Konstruktion des Achteckes bekannt: Von den Ecken eines Quadrates aus werden vier Kreise durch den Quadratmittelpunkt geschlagen. Die Schnittpunkte dieser Kreise mit den Quadratseiten sind die Ecken eines regelmäßigen Achtecks. Konstruktion des Achteckes
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 2/15 2.2 Beweise Rein logisch genügt natürlich ein Beweis. Wenn wir versuchen, mehrere Beweise zu finden, ergibt sich didaktischer Mehrwert (steuerfrei). 2.2.1 Forza brutale Bezeichnungen Wir rechnen. Bezeichnungen gemäß Figur. Unabhängig von der Bauhüttenkonstruktion gilt: y = x 2 x + y = a Daraus ergibt sich durch Elimination von y: ( ) x = a 2 +1 = a 2 1 Aus der Bauhüttenkonstruktion ergeben sich zwei Möglichkeiten, den Kreisradius r auszudrücken: r = a 2 und r = a + x. Gleichsetzen liefert: r = a 2 = a + x ( ) x = a 2 1 Also dasselbe Resultat für die halbe Achtecksseite x.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 3/15 2.2.2 Elegante Beweisfigur Diesen schönen Beweis verdanke ich Peter Gallin, Zürich. Der Kreisradius r = a + x kann zum einen auf der Quadratseite und zum anderen auf der Diagonalen eingesehen werden. Wenn wir noch das um 45 verdrehte Quadrat einzeichnen, ergibt sich ein Proof without Words. Proof w/o Words
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 4/15 2.3 Die Achtkreisfigur Jetzt ist es wohl an der Zeit, die Achtkreisfigur anzusehen. Die Zentren der acht Kreisbogen sind die Ecken der beiden Quadrate. Vorläufig einfach eine ästhetisch schöne Figur. Achtkreisfigur Hätten wir etwas mehr Geduld gehabt und die Bogen bis zum Umkreis der Figur geschlagen, hätten wir acht gleichseitige Dreiecke gefunden. Acht kleine Dreiecke Beweis: Sämtliche neuen beteiligten Kreise haben denselben Radius. Es genügt also, zu zeigen, dass die an den Dreiecken beteiligten Kreisbogen denselben Zentriwinkel haben. Dieser Zentriwinkel ist 15, wie an der folgenden Figur eingesehen werden kann.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 5/15 Beweisfigur Die beiden magenta Dreiecke sind gleichseitig, ihre Winkel also 60. Daher gilt: α = 135 2 60 = 15 β = 60 45 = 15 Wegen α = 15 und der Symmetrie der Figur bilden die 24 Punkte auf dem Umkreis ein regelmäßiges 24-Eck.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 6/15 2.4 Das Zwölfeck Die acht Schnittpunkte dieses Umkreises mit den vier Kreisen ergeben zusammen mit den Quadratecken ein regelmäßiges Zwölfeck. Die Punkte sind ja eine alternierende Auswahl aus den 24 Ecken des regelmäßigen 24-Eckes. Regelmäßiges Zwölfeck Geben wir noch einen drauf und zeichnen die Kreise vollständig. Das liefert erneut gleichseitige Dreiecke. Die an diesen Dreiecken beteiligten Kreisbogen haben den Zentriwinkel 30. Und wir können das Zwölfeck zusammen mit den vier Dreiecken in ein Quadrat einpacken.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 7/15 Mit Dreiecken und Außenquadrat 3 Die kanonische Achtkreisfigur Wir zeichnen acht kongruente Kreise, deren Zentren ein regelmäßiges Achteck mit einem neunten kongruenten Kreis als Umkreis bilden. Acht Kreise und ein neunter
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 8/15 4 Vermutungen Die wechselseitigen Schnittpunkte der Kreise sowie deren Zentren, also die Ecken des Ausgangsachteckes, lassen einige Vermutungen zu. 4.1 Das regelmäßige 24-Eck Wie wir schon gesehen haben, bilden die 24 Punkte auf dem Umkreis des Achteckes ein regelmäßiges 24-Eck. Durch Auswahl geeigneter Punkte erhalten wir also ein regelmäßiges Dreieck, ein Quadrat, ein regelmäßiges Sechseck und ein regelmäßiges Zwölfeck. Das Achteck haben wir schon. Als Beispiel ein regelmäßiges Dreieck. Regelmäßiges Dreieck
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 9/15 4.2 Die lieben Kleinen Ganz neckisch sind die kleinen und ganz kleinen gleichseitigen Dreiecke. Wir haben diese in der Bauhütte schon angetroffen. 4.3 Quadrate Wir finden einen Kranz von Quadraten. Zweimal acht kleine gleichseitige Dreiecke Quadrate Um einzusehen, dass das wirklich Quadrate sind, ergänzen wir noch mit weiteren Vierecken.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 10/15 Rhomben An der folgenden Figur können wir einsehen, dass es sich wirklich um Rhomben handelt. Sie haben den spitzen Winkel 45, die Seiten gehören zu Kreisbogen mit dem Zentriwinkel 45. Beweisfigur Die magenta Linien zeigen, dass die Schenkel des inneren gleichschenkligen Dreiecks der Vierecke zu Bögen mit dem Zentriwinkel 45 gehören. Die blaue Linie spiegelt das innere Dreieck auf das äußere. Mit einigen Zusatzüberlegungen kann nun gezeigt werden, dass die gelben Vierecke rechtwinklige Rhomben derselben Seitenlänge sind, also Quadrate.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 11/15 4.4 Kozyklische Punkte Nun ja, wir finden nun neun Kreise mit kleinerem Radius (der Radius ist 2sin( 22.5 ) 0.7654 mal der Radius der bisherigen Kreise) welche durch mehrere Punkte unserer Figur laufen. Noch mehr Kreise 4.5 Kollineare Punkte Es gibt Tripel, Quadrupel, Quintupel und Hexatupel von kollinearen Punkten.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 12/15 4.5.1 Punktetripel Kollineare Punktetripel Die Trägergeraden der Punktetripel bilden zwei um 45 verdrehte Quadrate. Im Prinzip haben wir diese Konfiguration schon beim Zwölfeck mit den aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken angetroffen. 4.5.2 Punktequadrupel Die folgenden zwei Figuren sind eine unmittelbare Folge der Figur mit den acht gelben Quadraten. Kollineare Punktequadrupel Die Trägergeraden bilden zwei um 45 verdrehte Quadrate.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 13/15 Eine zweite Schar von kollinearen Punktequadrupeln Die Trägergeraden bilden einen achtspitzigen Stern. 4.5.3 Punktequintupel Kollineare Punktequintupel Auf den Symmetrieachsen liegen je fünf Punkte.
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 14/15 4.5.4 Punktehexatupel Auch diese Figur ergibt sich aus der Konfiguration mit den acht gelben Quadraten. Kollineare Punktehexatupel Die trägergeraden bilden einen achtspitzigen Stern. 4.5.5 Integrales Bild Kollineare Punkte mit Trägergeraden
Hans Walser: Eine Figur mit acht plus einem Kreis 15/15 4.6 Bild des 4D-Hyperwürfels Wir erkennen eine isometrische Darstellung des 4D-Hyperwürfels. Die Figur ergibt sich aus der Figur mit den Punktehexatupeln. Bild des 4D-Hyperwürfels