Abbildungsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 7 Magnetisches Feld 89 7.1 Allgemeines................................... 89 7.2 Ferromagnetismus................................ 89 7.2.1 Übersicht................................ 89 7.2.2 Weiss sche Bezirke........................... 90 7.2.3 Hystereseschleife............................ 91 7.2.4 Entmagnetisieren............................ 92 7.2.5 Erdmagnetfeld............................. 92 7.3 Elektromagnetismus.............................. 94 7.3.1 Übersicht................................ 94 7.3.2 Magnetische Feldstärke und Durchflutungsgesetz........... 95 7.3.3 Kraftwirkung, Flussdichte B, Fluss Φ................. 96 7.3.4 Magnetische Induktion......................... 98 7.3.5 Permeabilität.............................. 100 7.3.6 Magnetischer Kreis und Magnetischer Widerstand.......... 101 7.3.7 Induktivität, Wirbelstöme und Selbstinduktion........... 103 7.3.8 Transformator.............................. 105 7.3.9 Reihenschaltung von Spulen...................... 107 7.3.10 Parallelschaltung von Spulen...................... 108 7.3.11 Energie in der Spule.......................... 109 7.3.12 Aufladevorgang an der Spule...................... 110 7.3.13 Entladevorgang an der Spule...................... 113 7.3.14 Anwendung............................... 116 Zündspule................................ 116 Schwingkreise.............................. 116 7.3.15 Zusammenhänge zwischen Feldstärke H, Fluss Φ, Flussdichte B und Durchflutung Θ............................. 117

Abbildungsverzeichnis 7.1 Weiss sche Bezirke............................... 90 7.2 Hystereseschleife beim Magnetisieren..................... 91 7.3 Verschiede Hystereseschleifen......................... 92 7.4 Eine Kompassnadel zeigt nach Norden.................... 93 7.5 Das Erdmagnetfeld ist nicht gleichmäßig................... 93 7.6 Fließender Strom verursacht Magnetfelder.................. 94 7.7 Das Durchflutungsgesetz............................ 95 7.8 Magnetfelder überlagern sich.......................... 97 7.9 Leiterwindungen im Magnetfeld........................ 99 7.10 Sonderfall Transformator............................ 100 7.11 Sonderfall Generator.............................. 101 7.12 Der magnetische Kreis............................. 102 7.13 Schaltsymbol einer Spule; links neu, rechts alt................ 104 7.14 Schaltsymbol eines Transformators...................... 105 7.15 Induktion am Transformator.......................... 105 7.16 Reihenschaltung von Spulen.......................... 108 7.17 Parallelschaltung von Spulen.......................... 109 7.18 Eine Spule wird aufgeladen........................... 110 7.19 Strom und Spannung beim Aufladen einer Spule............... 113 7.20 Eine Spule wird entladen............................ 114 7.21 Strom und Spannung beim Entladen einer Spule............... 115 88

Kapitel 7 Magnetisches Feld 7.1 Allgemeines Prinzipiell gibt es zwei Arten von Magnetismus. Die erste Art beruht auf einer physischen Eigenschaft bestimmter Elemente. Zu dieser Art gehören alle Dinge, die von sich aus magnetisch sind, bzw. magnetisiert werden können (Dauermagnet). Die zweite Art des Magnetismus ist der elektrisch induzierte Magnetismus. Hier wird durch einen fließenden Strom ein Magnetfeld erzeugt. Magnetfelder, die auf der Eigenheit bestimmter Elemente beruhen oder elektrisch generiert werden, können nach außen hin nicht voneinander unterschieden werden. Die Pole im Magnetismus werden Nordpol und Südpol genannt. Im Gegensatz zu den elektrischen Feldern, die Monopole kennen, gibt es beim Magnetismus NUR Dipole, also kann ein magnetischer Nordpol nie ohne einen magnetischen Südpol existieren. Dies wird deutlich, wenn ein Dauermagnet in zwei Teile zersägt wird. Der gesamte Magnet besteht nämlich aus einer Anzahl kleiner Elementarmagnete, die aus dem Atomaufbau des Elements bestehen, aus dem der Magnet hergestellt ist. Der Verlauf der Feldlinien eines Magneten ist von Nord nach Süd definiert. Wie beim elektrischen Feld stoßen sich auch beim Magnetfeld gleichnamige Pole ab, während sich ungleichnamige Pole anziehen. 7.2 Ferromagnetismus 7.2.1 Übersicht Diese Art des Magnetismus ist nach dem lateinischen Wort für Eisen (Ferrum) benannt. Außer Eisen sind auch beispielsweise noch die Metalle Nickel und Cobalt ferromagnetisch. Das Phänomen dieser Art des Magnetismus ist in der Elektronenkonfiguration (Quantenzahlen) dieser Elemente begründet. Weitere Begriffe sind: 89

12.6.2006 7.2. FERROMAGNETISMUS Diamagnetismus beschreibt das Abstoßen von Magnetfeldlinien aus einer Materialprobe heraus. Elemente dieser Kategorie werden von einem Magnetfeld abgestoßen Paramagnetismus beschreibt das Anziehen von Magnetfeldlinien in eine Materialprobe hinein. Elemente dieser Kategorie werden von einem Magnetfeld angezogen Folglich ist jedes chemische Element entweder diamagnetisch oder paramagnetisch. Manche Elemente wie Eisen, Nickel oder Cobalt, sowie Elemente der Übergangsmetalle sind ferromagnetisch, was eine deutliche Steigerung des Paramagnetischen darstellt. 7.2.2 Weiss sche Bezirke In einem Werkstoff wie Eisen, das ferromagnetisch ist, sind die einzelnen Elementarmagnete zunächst räumlich zufällig orientiert. Allerdings gibt es im Material Bezirke gleicher Orientierung. Diese Bezirke werden Weiss sche Bezirke genannt. In Abbildung 7.1 sind einzelne Körner eines Werkstoffes zu sehen. In jedem Korn gibt es eine Anzahl von Weiss schen Bezirken, die jeweils magnetisch entgegengesetzt orientiert sind. Die Trennung zwischen zwei Bezirken wird Blochwand genannt. Durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes werden diese Bezirke ausgerichtet und behalten nach dem Entfernen des äußeren Magnetfeldes ihre räumliche Orientierung (nahezu) bei. Der Werkstoff ist nun magnetisiert. Abbildung 7.1: Weiss sche Bezirke 90

12.6.2006 7.2. FERROMAGNETISMUS 7.2.3 Hystereseschleife Das Magnetisieren von z.b. Eisen geschieht durch das Ausrichten der Elementarmagneten zu einem makroskopischen Magnet. Hierfür wird ein magnetisierendes Feld H benötigt. Abbildung 7.2 zeigt das magnetische Moment über dem ausrichtenden Magnetfeld H. Ausgangspunkt ist der Ursprung, bei dem weder ein magnetisches Feld angelegt noch ein magnetisches Moment im Eisen vorhanden ist. Mit steigenden Magnetfeld steigt zunächst das magnetische Moment im Eisen an, bis es eine Sättigung (Sättigungspunkt M S ) erreicht. Wenn danach das Magnetfeld auf Null reduziert wird, bleibt ein magnetisches Moment im Eisen zurück (Remanenzmagnetisierung M R ). Um dieses verbleibende Moment zu kompensieren, muss ein entgegengesetzt ausgerichtetes magnetisches Feld angelegt werden. Dies benötigt die Stärke H K, die Koerzitivfeldstärke. Dieser Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden. So entsteht eine ständige Ummagnetisierung der Weiss schen Bezirke im Eisen. In der Grafik drückt sich dies durch eine Hystereseschleife aus. Abbildung 7.2: Hystereseschleife beim Magnetisieren Verschiedene (Eisen-)Werkstoffe besitzen verschiedene Eigenschaften, die von ihrer jeweiligen Legierung abhängen. So gibt es Werkstoffe mit breiten Hystereseschleifen und Werkstoffe mit schmalen Hystereschleifen. Eine breite Hysterese bedeutet, dass eine relativ hohe Koerzitivfeldstärke angelegt werden muss, damit die Magnetisierung aufgehoben wird. Werkstoffe mit breiten Hysteresen werden z.b. für Dauermagnete verwendet und werden hartmagnetisch genannt. Eine schmale Hysterese deutet darauf hin, dass das Ummagnetisieren relativ einfach ist. Diese Werkstoffe werden z.b. in Transformatoren verwendet und sie werden weichmagnetisch genannt. Abbildung 7.3 zeigt eine breite und 91

12.6.2006 7.2. FERROMAGNETISMUS eine schmale Hystereseschleife. 7.3.a 7.3.b Abbildung 7.3: Verschiedene Hystereseschleifen von hartmagnetischen und weichmagnetischen Werkstoffen: 7.3.a: Eine breite Hystereseschleife; 7.3.b: Eine schmale Hystereseschleife 7.2.4 Entmagnetisieren Eine weitere Möglichkeit die Magnetisierung eines Werkstoffen aufzuheben besteht darin, ihn zu erwärmen. Durch die Wärme geht die Ausrichtung der Elementarmagnete verloren und der Werkstoff wird entmagnetisiert (trotzdem wird ein entmagnetisiertes Eisen immer noch von einem externen Magnetfeld angezogen! Es bildet nur selbst kein Magnetfeld mehr aus). Die Temperatur, bei der die Entmagnetisierung erfolgt ist die Curie-Temperatur. Für Eisen beträgt sie 766 C. Wird das Eisen wieder unter die Curietemperatur abgekühlt, gewinnt das Eisen seine magnetischen Eigenschaften zurück, auch wenn kein externes Magnetfeld angelegt wird. 7.2.5 Erdmagnetfeld Das Magnetfeld der Erde ist allgegenwärtig. Es entsteht durch den geschmolzenen inneren Kern der Erde, der aus Eisen besteht. In Abbildung 7.4 ist die Erde schematisch dargestellt. Der Erdkern ist als Stabmagnet dargestellt, wobei sich sein Nordpol im Süden und sein Südpol im Norden befindet. Deshalb zeigt der magnetische Nordpol einer Kompassnadel nach Norden. Die magnetischen Pole liegen nicht in Deckung mit den geografischen Polen, sondern es gibt eine Abweichung (Deklination), die sich auch noch jährlich verändert. D.h. die magnetischen Pole der Erde wandern. Zur Zeit liegt der magnetische Südpol in 92

12.6.2006 7.2. FERROMAGNETISMUS Nordkanada, etwa 830km vom geografischen Nordpol entfernt. Er bewegt sich mit etwa 40km pro Jahr. So ist z.b. für die geografische Lage Friedbergs eine Deklination von etwa 0 51 zu messen. Außerdem ist auch das Magnetfeld an sich nicht homogen, sondern es unterliegt deutlichen örtlichen Schwankungen. Abbildung 7.5 [1] zeigt eine Darstellung des Erdmagnetfelds, bei der Linien gleicher Feldausrichtung (Isogonen) eingezeichnet sind. Abbildung 7.4: Eine Kompassnadel zeigt nach Norden Abbildung 7.5: Das Erdmagnetfeld ist nicht gleichmäßig 93

7.3 Elektromagnetismus 7.3.1 Übersicht Ein elektrischer Strom verursacht ein magnetisches Feld. Bei einem stromdurchflossenen Leiter verlaufen die Feldlinien axial um den Leiter herum, sind also in sich geschlossen (stehen nicht senkrecht auf der Oberfläche, wie beim elektrischen Feld). Die Richtung der Feldlinien kann mit Hilfe der Rechte-Daumen-Regel (Rechte-Faust-Regel, Rechte-Hand- Regel, Rechtsschraubenregel, Korkenzieherregel) bestimmt werden. Umfasst man den Leiter so mit der rechten Hand, dass der Daumen in die technische Stromrichtung zeigt, dann zeigen die Finger der Faust in die Richtung der magnetischen Feldlinien Vom Betrachter wegfließende Ströme werden mit einem Kreuz gekennzeichnet. Auf den betrachter zufließende Ströme mit einem Punkt Dies gilt ebenfalls für Leiter, die zu einer Spule aufgewickelt sind. Abbildung 7.6 zeigt einen Leiter, durch den ein Strom fließt. Es ist zu erkennen, dass sich um den Leiter herum ein axiales Magnetfeld aufbaut. Wenn nun mehrere Leiter zusammengenommen werden (Spule), so addieren sich die Magnetfelder der einzelnen aufgewickelten Leiter zu einem größeren, resultierenden Magnetfeld. 7.6.a 7.6.b Abbildung 7.6: Ein durch ein Leiter fließender Strom verursacht ein Magnetfeld: 7.6.a: Ein stromdurchflossener Leiter; 7.6.b: Mehrere stromdurchflossene Leiter (Spule); 94

7.3.2 Magnetische Feldstärke und Durchflutungsgesetz Feldstärke Das Formelzeichen der magnetischen Feldstärke ist H. Ihre Einheit ist A m. Wie die elektrische Feldstärke ist sie ein Vektor, d.h. sie hat nicht nur eine bestimmte Größe, sondern auch eine bestimmte Richtung. Die Wirkung des magnetischen Feldes kann über Magnete nachgewiesen werden. Es gilt, dass sich die Kraft auf die Magnetnadel linear mit der Stärke des Magnetfeldes ändern F = m H, wobei m die Polstärke der Magnetnadel beschreibt. Die Richtung des magnetisches Feldes lässt sich auch durch die Richtung des verursachenden Stromes bestimmen (Rechte-Hand-Regel). Durchflutung In Abbildung 7.7 erzeugen eine Anzahl Ströme (I 1, I 2... I n ) ein Magnetfeld. Eine Magnetfeldlinie ist eingezeichnet. Sie umschließt alle Ströme und sie besteht aus unendlich vielen kleinen Teilwegstrecken ds. Es gilt: H ds = n I n = Θ (7.1) Abbildung 7.7: Das Durchflutungsgesetz Magnetfeld einer Spule Wie oben beschrieben, addieren sich die Magnetfelder stromdurchflossener Leiterwindungen. Je mehr Leiterwindungen n zusammen genommen werden, desto stärker ist das resultierende Magnetfeld H. Weiterhin steigt die Stärke des Magnetfeldes im Inneren einer Spule immer mit dem verursachenden Strom I. Die geometrische Länge einer Spule l dehnt das Magnetfeld, also erzeugt eine doppelt so lange 95

Spule, bei gleicher Windungszahl und bei gleichem verursachendem Strom ein halb so starkes Magnetfeld. Die Gleichung, die die Magnetfeldstärke einer Spule beschreibt ist: H = n I l Dies gilt nur für das relativ homogene Magnetfeld im Inneren einer Spule. (7.2) 7.3.3 Kraftwirkung, Flussdichte B, Fluss Φ Flussdichte B Die Einheit der magnetischen Flussdichte (auch magnetische Induktion genannt) ist Tesla 1. Die Flussdichte ist proportionla zur magnetischen Felärke H. Der Proportionalitätsfaktor µ ist eine Konstante, die sich aus zwei Faktoren zusammensetzt. Der eine Faktor ist eine feste Naturkonstante, der andere ein materialabhängiger Wert. B = µ H (7.3) µ = µ 0 µ r (7.4) Anmerkung: Die alte Einheit des Flussdichte ist Gauß. Es gilt: 1T = 10 4 Gauß. Fluss Φ Der magnetische Fluss hängt direkt von der magnetischen Flussdichte und der Fläche ab, durch die die Flussdichte dringt. Folglich ist der Fluss das Produkt aus der Flussdichte B und der Fläche A: Φ = A B d A (7.5) Kraftwirkung Stromdurchflossene Leiter erzeugen Magnetfelder. Wenn sich nun ein stromdurchflossener Leiter innerhalb eines externen Magnetfeldes befindet, interagieren diese beiden Magnetfelder miteinander durch Überlagerung. Abbildung 7.8 zeigt ein externes Magnetfeld. Im Inneren dieses externen Feldes ist ein stromdurchflossener Leiter positioniert. Das Magnetfeld, das der stromdurchflossene Leiter aufbaut, überlagert sich mit dem externen Feld und es kommt zur Verstärkung, bzw. Auslöschung des Gesamtmagnetfeldes. In dargestellten Fall ist das resultierende Gesamtmagnetfeld oberhalb des Leiters stärker geworden, während es unterhalb des Leiters schwächer wurde. Durch dieses unsymmetrische Gesamtmagnetfeld wird eine Kraft auf den Leiter ausgeübt, die versucht den Leiter aus der Anordnung nach unten heraus zu 1 Nikola Tesla (* 10. Juli 1856 in Smiljan, Österreich-Ungarn, heute Kroatien; 7. Januar 1943 in New York), Begründer der Wechselstromtechnik 96

Abbildung 7.8: Magnetfelder überlagern sich drücken. Die Kraft auf den Leiter ist proportional zur Leiterlänge l. Ausserdem ist sie proportional zur externen magnetischen Flussdichte B und dem erregenden Strom I, wobei diese Vektoren über das Kreuzprodukt miteinander verknüpft sind. Es gilt (Achtung: I B ist nicht B I, sondern B I!): a a 1 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 b = a 2 b 2 = a 3 b 1 a 1 b 3 a 3 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 F = l ( I B) (7.6) UVW-Regel: Benutze den Daumen (Ursache), den Zeigefinger (Vermittlung) und den Mittelfinger (Wirkung) der rechten Hand(!). Wenn der Daumen entlang der Ursache (des Stromes) zeigt und der Zeigefinger entlang der vermittelden Größe (des Magnetfeldes), so zeigt der Mittelfinger in Richtung der Wirkung (der Kraft) Die Kraftwirkung von magnetischen Feldern auf Ladungen entsteht nur, wenn diese Ladungen bewegt sind, sich also ein elektrischer Strom ergibt. Die Kraft wird auch als Lorentzkraft 2 bezeichnet. Dabei ist es unerheblich, ob sich die bewegten Ladungsträger 2 Hendrik Antoon Lorentz (* 18. Juli 1853 in Arnhem; 4. Februar 1928 in Haarlem), niederländischer Mathematiker und Physiker 97

in einem Leiter befinden oder sich frei im Raum bewegen ( Röhrentechnik). Die Kraft auf eine bewegte Ladung ist abhängig von der Richtung der Bewegung und der Richtung des Magnetfeldes (Vektorprodukt). Man kann die Kraftwirkung auf eine bewegte Ladung auch so schreiben (abhängig von der bewegten Ladungsmenge und der Geschwindigkeit, mit der sich die Ladungsmenge bewegt): F = l ( I B) (7.7) F = (l I) B (7.8) l = v t (7.9) I = Q t (7.10) F = ( v t Q t ) B (7.11) = ( v Q) B (7.12) F = Q ( v B) (7.13) Eine ruhende Ladung erfährt keine Kraft, wenn das sie umgebende Magnetfeld statisch ist. Bei einem sich zeitlich veränderlichen Magnetfeld erfährt auch eine im Raum ruhende Ladung eine Kraft. 7.3.4 Magnetische Induktion Die Kraft, die auf eine Ladung in einem Magnetfeld wirkt, stammt ursprünglich von einem elektrischen Feld. Die Kraft des elektrischen Feldes E auf eine Ladung Q ist F = Q E: F E = Q (7.14) E = v B (7.15) Die entstehende elektrische Spannung kann aus dem Integral der elektrischen Feldstärke über den Weg und der umschlossenen Fläche A und der zeitlichen Veränderung der Flussdichte d B(t) bestimmt werden (U = spannungserzeugende Komponenten: b a Eds). Es gibt in der folgenden Gleichung also zwei u 1,2 = 1 2 ( v B) ds w A(t) d B(t) (7.16) 98

Abbildung 7.9: Leiterwindungen im Magnetfeld Der erste Teil beschreibt die Spannungserzeugung durch die Bewegung des Leiters mit der Geschwindigkeit v in einem statischen Magnetfeld mit der Flussdichte B (Generator). Während der zweite Teil die Spannungserzeugung eines statischen Leiters mit w Windungen in einem bewegten Magnetfeld db beschreibt, wenn die Windung(en) die Fläche A umfassen (Transformator). Transformator Für den Sonderfall, dass A(t) konstant und zusätzlich v = 0 ist, also bei einem Transformator, ist der erste Teil der Gleichung gleich 0. Im zweiten Teil kann A(t) und B(t) zu Φ(t) zusammengefasst werden. Es ergibt sich das Induktionsgesetz von Faraday 3 : Φ = A B (7.17) u 1,2 = w dφ(t) (7.18) Generator Für den Sonderfall, dass B(t) konstant und gleichzeitig v 0 ist, sich also Windungen in einem Magnetfeld bewegen, so handelt es sich um einen Generator. Hierbei ist zu beachten, dass in Abbildung 7.11 nur die Weganteile a und b einen Teil zur 3 Michael Faraday: * 22. September 1791 in Newington Butts bei London; 25. August 1867 bei Hampton Court; englischer Physiker und Chemiker 99

Abbildung 7.10: Sonderfall Transformator erzeugten Spannung leisten, da nur sie bei der Bewegung (Drehung um den Winkel φ) Magnetfeldlinien schneiden. Der zeitliche Verlauf der in der Leiterschleife induzierten Spannung folgt einer Sinuskurve, da die aus Richtung der magnetischen Flussdichte gesehene Fläche sich nach einer Sinusfunktion ändert, wenn sich die Leiterschleife dreht. 7.3.5 Permeabilität Verschiedene Werkstoffe besitzen verschiedene magnetische Eigenschaften. Im Abschnitt 7.2.3 auf Seite 91 wurde die Hystereseschleife beim Ummagnetisieren von (Eisen-)Werkstoffen beschrieben. Der Zusammenhang zwischen der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte ist: B = µ H mit (7.19) µ = µ 0 µ r (7.20) Der Faktor µ wird Permeabilitätszahl genannt und beschreibt die Eigenschaft eines Werkstoffes, Magnetfeldlinien passieren zu lassen. Die Einheit der Permeabilität ist V s. µ Am 0 ist eine Naturkonstante und sie beträgt µ 0 = 4π 10 7 V s V s = 1, 256 10 6. Die relative Am Am Permeabilität µ r ist für jeden Stoff verschieden. Für Vakuum ist µ r = 1, für andere Stoffe weicht µ r von 1 ab und ist entweder kleiner oder größer. So gilt für diamagnetische Stoffe 100

Abbildung 7.11: Sonderfall Generator µ r < 1; µ r 1. Paramagnetische Werkstoffe haben ein µ r > 1; µ r 1. Für ferromagnetische Stoffe gilt µ r >> 1. So findet sich z.b. für Eisen: µ rf e = 300000. 7.3.6 Magnetischer Kreis und Magnetischer Widerstand Die Permeabilität von Werkstoffen beeinflusst direkt die magnetische Flussdichte in zum Beispiel einer Spule. Wenn man das Innere einer Spule mit einem Werkstoff hoher Permeabilität ausfüllt (z.b. Eisenkern) so steigt die Flussdichte im Inneren der Spule (also im Eisenkern) deutlich an. Diesen Eisenkern kann man auch länglich formen und biegen, so entsteht ein magnetischer Kreis, wobei die Magnetfeldlinien im Inneren des (Ring- )Kerns laufen. Der Eisenkern muss nun nicht geschlossen sein, sondern es kann auch einen Luftspalt geben, durch den der magnetische Fluss Φ hindurch muss, trotzdem ist der magnetische Fluss Φ immer konstant. Ausserdem ist auch die Querschnittsfläche A über die gesamte Länge der Anordnung konstant. Dies ist in Abbildung 7.12 dargestellt. Die Feldstärken im Inneren des Eisenkerns und im Luftspalt sind unterschiedlich, da H über µ mit B verknüpft ist. Die magnetische Durchflutung ist definiert als: Θ = H ds (7.21) Die gesamte Länge aller ds ergibt in diesem Beispiel die Länge l einer Magnetfeldlinie im 101

Abbildung 7.12: Der magnetische Kreis Eisenkern. Asserdem gilt: Θ = I w (7.22) B = Φ A (7.23) B = µ H (7.24) Φ A = µ H (7.25) H = Φ µ A (7.26) Für jeden der beiden Teilabschnitte im magnetischen Kreis gilt ein unterschiedliches µ, nämlich eines für Eisen µ rf e und eines für die Luft in dem Luftspalt µ rluft. Da die Fläche A und die Flussdichte B über die Länge l der Feldlinien konstant sind (kontinuierliche geometrische Anordnung), ändert sich also die Feldstärke H. Es gilt: Der Bruch Θ = H F e l F e + H Luft l Luft = Φ µ rf e A l Φ F e + µ rluft A l Luft = I w (7.27) l x µ x A x wird als magnetischer Widerstand bezeichnet. l F e µ rf e A Φ + l Luft µ rluft A Φ = I w (7.28) (R mag1 + R mag2 ) Φ = R magges Φ = I w (7.29) 102

Der magnetische Widerstand ist: R magx = l x µ x A x Die Einheit des magnetischen Widerstandes ist: [ 1 Ωs] 7.3.7 Induktivität, Wirbelstöme und Selbstinduktion Ein veränderliches Magnetfeld, das eine Leiterschleife durchsetzt, induziert eine Spannung in der Leiterschleife, die proportional zur Flussänderung ( db(t) ) ist. Die Spannung in der Leiterschleife verursacht einen Strom, der wiederum ein Magnetfeld generiert. Hierbei spricht man von Selbstinduktion. Allerdings ist das durch den induzierten Strom verursachte Feld, dem ursprünglichen Feld entgegengerichtet. Ein veränderliches Magnetfeld, das einen massiven Eisenblock durchsetzt, induziert also eine Spannung in dem Eisenblock. Diese Spannung wird durch den Eisenblock kurzgeschlossen, also entsteht ein sehr großer Strom. Einen solchen Strom nennt man Wirbelstrom. Er bewegt sich kreisförmig um die Magnetfeldlinien herum. Ein sehr großer Strom heizt den Eisenblock aber stark auf, so wird Energie in Wärme umgesetzt. Da das selbstinduzierte Magnetfeld dem ursprünglichen Magnetfeld entgegengesetzt ist, kann, beruhend auf diesem Prinzip, eine verschleißfreie Bremsvorrichtung entworfen werden ( Wirbelstrombremse). Die Konstruktion besteht aus einer massiven Metallscheibe, die sich fest montiert auf einer Achse in einem externen Magnetfeld dreht. Wenn das externe Magnetfeld durch einen Elektromagneten erzeugt wird, ist die Wirbelstrombremse sogar regelbar. Hystereseschleifen verdeutlichen das Ummagnetisierverhalten von Werkstoffen. Durch das Ummagnetisieren geht Leistung verloren, also wird Arbeit im Werkstoff verrichtet. Diese wird in Wärme umgesetzt und sie entsteht durch Wirbelströme im Eisen aus dem der Kern eines Transformators gebaut ist. Um diese Verluste möglichst gering zu halten, werden sog. Elektrobleche verwendet, die dafür sorgen, dass die Wirbelströme mit einem möglichst hohen elektrischen Widerstand beaufschlagt werden, der die starken Wirbelströme dämpft. Dazu wird der Eisenkern eines Transformators aus einzelnen voneinander elektrisch getrennten Blechen aufgebaut, sog. Elektrobelechen oder Dynamoblechen. IDiesee Bleche sind durch eine Lackschicht voneinander isoliert und so angeordnet, dass der Fluss Φ ungehindert bleibt, aber der induzierte Wirbelstrom unterbunden wird. Jede Spule hat, ähnlich wie ein Kondensator eine spezifische Kapazität bestitzt, die von seiner Geometrie und anderen Faktoren abhängt, eine Induktivität, die ebenfalls von spezifischen Faktoren abhängt. Die Induktivität einer Spule berechnet sich wie folgt. Für ein sich zeitlich veränderliches Magnetfeld, das eine statische Leiterschleife durchdringt ist v = 0 (siehe Gleichung 7.16): 103

Weiter folgt: u ind = w A B(t) (7.30) B = Φ A (7.31) U = w dφ(t) Gleichung 7.29 (R Φ(t) = i(t) w) eingesetzt: (7.32) u(t) = w 2 µa l m di(t) (7.33) Um u(t) an einer Spule durch i(t) auszudrücken, wird der vorgestellte Faktor, der für eine spezifische Spule aus Konstanten besteht, zusammengefasst: u(t) = L di(t) L = w 2 µa l wobei (7.34) (7.35) Der Faktor L wird als die Induktivität einer Spule bezeichnet. Die Dimension der Induktivität ist 1H = 1Henry = 1Ωs. Das Schaltzeichen einer Spule ist in Abbildung 7.13 dargestellt, wobei das Symbol mit der geschwungenen Spule veraltet ist. Abbildung 7.13: Schaltsymbol einer Spule; links neu, rechts alt 104

7.3.8 Transformator Ugs. Trafo. Abbildung 7.14 zeigt das Schaltsymbol eines Transformators. Er besteht aus zwei Spulen, die auf einem gemeinsamen Eisenkern sitzen (Abbildung 7.15). Durch das erzeugte Magnetfeld der ersten (primäre) Spule wird über den geschlossen magnetischen Kreis ein Fluss Φ in der zweiten (sekundären) Spule fließen, der dort eine Spannung induziert. Abbildung 7.14: Schaltsymbol eines Transformators Abbildung 7.15: Induktion am Transformator Der genaue Transformationsvorgang ist, dass die Spannung u 1 an der primären Spule einen Strom i 1 erzeugt, der mit w Windungen die magnetische Durchflutung Θ hervorruft. Die magnetische Durchflutung ist auch das Produkt aus der magnetischen Feldstärke H und der Länge l einer Feldlinie, also ist H = i w l. Die magnetische Flussdichte B ist mit H direkt über die Permeabilität µ verknüpft. Weiterhin ist der magnetische Fluss Φ der Quotient aus Flussdichte und Fläche A, durch der magnetische Fluss dringt. Wenn sich nun die Flussdichte mit der Zeit ändert (und bei konstanter durchdrungener Fläche) ändert sich 105

auch der magnetische Fluss mit der Zeit und daraus folgt durch Gleichung 7.32, dass an der sekundären Spule eine Spannung u 2 induziert wird. u 1 (t) i 2 (t) H(t) B(t) dφ u 2(t) Die induzierte Spannung an der sekundären Spule hängt direkt vom Verhältnis der Windungszahlen der beiden Spulen und der Spannung an der primären Spule ab. Gleichung 7.30 beschreibt die induzierte Spannung an einer Spule: u 2 = w 2 A B(t) (7.36) Φ(t) = A B(t) (7.37) dφ(t) db(t) = A db(t) = dφ(t) A u 2 = w 2 A dφ(t) A u 2 = w 2 dφ(t) Selbstverständlich gilt Gleichung 7.41 auch für die primäre Seite, also ist auch: (7.38) (7.39) (7.40) (7.41) u 1 = w 1 dφ(t) (7.42) u 1 = w 1 dφ u 2 w 2 dφ (7.43) u 1 (t) u 2 (t) = w 1 w 2 (7.44) Das Verhältnis der Spannungen verhält sich gleich wie das Verhältnis der Windungszahlen Der induzierte Strom an der sekundären Spule hängt ebenfalls direkt vom Verhältnis der Windungszahlen der beiden Spulen ab, sowie des primären Stromes i 2 : 106

i 1 (t) w 1 = Θ 1 (t) (7.45) Θ = H l (7.46) i 1 (t) w 1 = H 1 (t) l (7.47) H 1 (t) = B 1(t) µ B 1 (t) = Φ 1(t) A (7.48) (7.49) i 1 (t) w 1 = Φ 1(t) µ A l (7.50) i 1 (t) = Φ 1(t) l µ A w 1 (7.51) Dies gilt selbstverständlich auch für die sekundäre Spule, also ist auch unter der Berücksichtigung, dass der Fluss Φ überall gleich ist: i 2 (t) = Φ 2(t) l µ A w 2 (7.52) i 1 (t) i 2 (t) = Φ l µ A w 2 µ A w 1 Φ l (7.53) i 1 (t) i 2 (t) = w 2 w 1 (7.54) Das Verhältnis der Ströme verhält sich umgekehrt(!) wie das Verhältnis der Windungszahlen 7.3.9 Reihenschaltung von Spulen In Abbildung 7.16 ist eine Anzahl von Spulen in Reihe geschaltet. Zunächst werden die einzelnen Spannungen, die an jeder Spule abfallen, aufaddiert (Maschenumlauf) und anschließend wird Gleichung 7.34 eingesetzt. So entsteht für den linken Teil der Abbildung 7.16: U AB = U L1 + U L2 +... + U Ln (7.55) U AB = L 1 di(t) + L 2 di(t) +... + L n di(t) U AB = (L 1 + L 2 +... + L n ) di(t) 107 (7.56) (7.57)

Abbildung 7.16: Reihenschaltung von Spulen Für das Ersatzschaltbild (rechter Teil von 7.16) gilt: Folglich ist: U AB = U ges = L ges di(t) (7.58) L ges di(t) = (L 1 + L 2 +... + L n ) di(t) (7.59) L ges = L 1 + L 2 +... + L n (7.60) Bei in Reihe geschalteten Spulen summieren sich die Einzelinduktivitäten zur Gesamtinduktivität: L ges = n L i i=1 7.3.10 Parallelschaltung von Spulen In Abbildung 7.17 ist eine Anzahl von Spulen parallel geschaltet. Die Ströme durch jede Spule addieren sich zu einem Gesamtstrom (Knotenregel) und es gilt: Mit ( u(t) = L di ) ( di = u(t) L i = i 1 + i 2 +... i n di = di 1 + di 2 +... di n ) : 108 d (7.61) (7.62)

Abbildung 7.17: Parallelschaltung von Spulen U AB L ges = U AB L 1 + U AB L 2 1 L ges = 1 L 1 + 1 L 2 +... +... U AB L n : U AB (7.63) 1 L n (7.64) Bei parallel geschalteten Spulen summieren sich die Kehrwerte der Einzelinduktivitäten zum Kehrwert der Gesamtinduktivität: 1 L ges = n i=1 1 L i 7.3.11 Energie in der Spule Wenn ein Strom durch eine Spule fließt baut die Spule ein Magnetfeld auf. Die elektrische Energie, die in dem fließenden Strom steckt, wird in magnetische Energie umgeformt, die in dem Magnetfeld steckt. Generell gilt für die Energie, die im Zeitraum von 0 T s umgesetzt wird: 109

dw = u(t) i(t) [J] (7.65) T dw = u(t) i(t) (7.66) W = o T o u(t) = L di W = T o W = L 7.3.12 Aufladevorgang an der Spule u(t) i(t) (7.67) (7.68) L di i(t) (7.69) T o i(t) di (7.70) W = 1 2 L I2 (7.71) Um den Vorgang des Aufladens einer Spule L genauer zu untersuchen sei die Schaltung in Abbildung 7.18 gegeben. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen und der Vorgang beginnt: Abbildung 7.18: Eine Spule wird aufgeladen 110

Ein Maschenumlauf ergibt: U q = u R + u L (7.72) u R = R i(t) (7.73) u L = L di(t) (7.74) Nach 0 aufgelöst und die Gleichungen 7.73 und 7.74 in Gleichung 7.72 eingesetzt ergibt sich: R i(t) + L di(t) U q = 0 (7.75) (7.76) Hierbei handelt es sich um eine inhomogene Differentialgleichung erster Ordnung, die nun gelöst wird. Dazu wird zunächst der homogene Teil, ohne U q, betrachtet. Ausserdem wird noch durch den Faktor L geteilt: R di(t) i(t) + L = 0 (7.77) Der allgemeine Ansatz zum Bestimmen einer DGL erster Ordnung ist: i(t) = A e kt (7.78) di(t) = Ak e kt (7.79) Die beiden Gleichungen 7.78 und 7.79 werden nun in Gleichung 7.75 eingesetzt und es ergibt sich: R L A ekt + Ak e kt = 0 (7.80) A e kt ( R L + k ) = 0 (7.81) R L + k = 0 (7.82) k = R L (7.83) 111

Somit ergibt sich die homogene Lösung der DGL: i h (t) = A e R L t (7.84) Nun wird eine Lösung des inhomogenen Teils gesucht. Hierfür bietet sich die Betrachtung zum Zeitpunkt t an, da i( ) = Uq ist. Diese Lösung wird zur homogenen Lösung R addiert: i(t) = i h (t) + i i (t) (7.85) i(t) = A e R L t + U q R (7.86) Nun wird noch der Faktor A bestimmt. Hierfür bietet sich die Betrachtung zum Zeitpunkt t = 0 an, da i(0) = 0 ist. i(0) = A + U q R = 0 (7.87) A = U q R (7.88) Eingesetzt in Gleichung 7.86 und umgeformt ergibt sich die allgemeine Formel zur Berechnung des Stromes in einer Spule, die aufgeladen wird: i(t) = U q R R e L t + U q R i(t) = U ) q (1 e R L t R (7.89) (7.90) Wie beim Kondensator die Zeitkonstante τ = RC ein spezifischen Wert für das Aufund Entladen darstellt, ist auch bei der Spule eine solche Zeitkonstante zu finden. Beim Kondensator steht im Exponent t. Bei der Spule steht im Exponent R t. Das Gleichsetzen τ L ergibt: t τ = R L t (7.91) 1 τ = R L (7.92) τ = L R (7.93) 112

Auch hier ist die Einheit der Zeitkonstanten Ωs = s, die Sekunde. Es gilt ebenfalls, Ω dass sich das Magnetfeld der Spule nach τ Sekunden zu 63% aufgebaut hat. In Abbildung 7.19 ist zu erkennen, wie sich der Strom durch die Spule zunächst schnell und dann immer langsamer erhöht. Umgekehrt verhält sich die Spannung. Sie ist zunächst groß (U q =100%) und nimmt erst schnell und dann immer langsamer ab, bis sie Null erreicht. Nach 5τ wird das Magnetfeld der Spule als voll aufgebaut betrachtet. Abbildung 7.19: Strom und Spannung beim Aufladen einer Spule 7.3.13 Entladevorgang an der Spule Zum Betrachten des Entladevorgangs wird die Spule L über einen Widerstand R entladen. Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen und der Vorgang beginnt. Zum Zeitpunkt t = 0 fließt dann ein maximaler (Start-)strom, der nur vom Widerstand R begrenzt wird, von i max = U R R. Vergleiche hierzu Abbildung 7.20. Ein Maschenumlauf ergibt: u L u R = 0 (7.94) u R = R i(t) (7.95) u L = L di(t) (7.96) L di(t) + R i(t) = 0 (7.97) di(t) + R i(t) = 0 L (7.98) 113

Abbildung 7.20: Eine Spule wird entladen Die Gleichung 7.98 ist eine homogene Differentialgleichung erster Ordung. Der allgemeine Ansatz für eine DGL erster Ordnung ist: i(t) = A e kt (7.99) di(t) = Ak e kt (7.100) Die Gleichungen 7.99 und 7.100 werden nun in Gleichung 7.98 eingesetzt und k wird bestimmt: Ak e kt + R L A ekt = 0 (7.101) k + R L = 0 (7.102) k = R L (7.103) i(t) = A e R L t (7.104) Nun wird noch die Startbedingung (i(0) = U R R ) zur Berechnung von A hinzugenommen: i(0) = U R R = A (7.105) Dies wird in Gleichung 7.104 eingesetzt, umgeformt und es ergibt sich: (7.106) i(t) = U R R R e L t (7.107) i(t) = i max e R L t (7.108) 114

Abbildung 7.21 zeigt, wie sich Strom und Spannung beim Entladen einer Spule verhalten. Das Vorzeichen der Spannung ist anders als das des Stromes. Dies ist darin begründet, dass durch die Selbstinduktion des in sich zusammenfallenden Magnetfeldes ein Strom in der Spule induziert wird, der dem ursprünglichen Strom entgegengerichtet ist. Ausserdem ist zu erkennen, dass nach der Zeit von einem τ die Spannung und der Strom um 63% nachgelassen haben, bzw. noch ca. 37% übrig sind. Dies ist sehr ähnlich zum Kondensator. Abbildung 7.21: Strom und Spannung beim Entladen einer Spule Merke: Eine Spule hat immer das Bestreben, einen Strom, der durch sie hindurchfließt, so lange wie möglich aufrecht zuerhalten oder: Je größer die Induktivität einer Spule, desto mehr wehrt sie sich gegen Änderungen der Stromstärke 115

Merke: Kondensator und Spule zeigen ein ambivalentes Verhalten. So speichert ein Kondensator Energie, indem er Spannung erhält. Eine Spule speichtert Energie, indem sie Strom erhält. Ein Kondensator zeigt einen hohen Einschaltstrom, während eine Spule einen sehr kleinen Einschaltstrom zeigt. Feldlinien eines elektrischen Feldes sind immer offen, während magnetische Feldlinien immer in sich geschlossen sind 7.3.14 Anwendung Spulen dienen in der Elektrotechnik als Bauelemente, wenn hohe Spannungen erzeugt werden sollen. Hierfür wird an eine Spule eine (niedrige) Spannung angelegt, die einen Strom hervorruft, der über die Zeit ein Magnetfeld in der Spule aufbaut. Nachdem das Magnetfeld stark genug ist, wird der felderzeugende Strom schlagartig abgeschaltet und das Magnetfeld fällt in sich zusammen. Hierbei induziert es eine Gegenspannung in der Spule, die sehr groß werden kann (mehrere tausend Volt), die gerade für elektronische Schaltungen sehr gefährlich sein kann. Daher werden Spulen i.a. mit sog. Freilaufdioden versehen, die diese hohe Spannung kurzschließen und so elektronische Schaltungen schützen. Zündspule Diese hohen induzierten Spannungen werden (eher: wurden) benutzt, um im KFZ Zündkerzen zu zünden oder Leuchtstoffröhren (nicht Neonröhren) zu starten. Hierfür gibt es neben der Spule auch noch einen Starter, der dafür sorgt, dass der Strom auch schnell genug abgeschaltet wird, um eine ausreichend hohe Spannung zum Durchzünden der Leuchtstoffröhre zu erhalten. Anmerkung: Moderne (weiße) Leuchtstoffröhren enthalten kein Neon! Schwingkreise Die Kombination aus Kondensatoren und Spulen wird benutzt, um sog. Schwingkreise zu bauen. Hier speichert abwechselnd immer der Kondensator elektrische Energie in Form von Spannung oder die Spule in Form von Strom. Die Eigenschwingfrequenz ist dabei abhängig von der Kapazität des Kondensators und der Induktivität der Spule. Diese Anwendung ist für die Radiotechnik wichtig. 116

7.3.15 Zusammenhänge zwischen Feldstärke H, Fluss Φ, Flussdichte B und Durchflutung Θ Größe Formelzeichen Einheit Magnetische Feldstärke H 1 A m Magnetischer Fluss Φ 1W eber = 1W = 1V s Magnetische Flussdichte B 1T esla = 1T = V s m 2 Durchflutung Θ 1A (auch A W indungen) Induktivität L 1Henry = 1H = 1Ωs Induktionskonstante µ 0 µ 0 = 4π 10 7 V s Am 6 As (Permeabilität im Vakuum) = 1, 256 10 Tabelle 7.1: Größen des magnetischen Feldes Die Erfahrung zeigt, dass oft der Überblick für die verschiedenen Begriffe rund um das magnetische Feld verloren geht. Daher noch einmal eine Übersicht. Zur Veranschaulichung, wie die verschiedenen Größen des magnetischen Feldes miteinander wirken dienen hier Vergleiche aus den Ohm schen Beziehungen, sowie aus den elektrischen Strömungsfeldern und elektrischen Feldern. Ein fließender Strom erzeugt ein Magnetfeld. Dabei kann das Magnetfeld verstärkt werden, wenn der selbe Strom mehrmals einen Beitrag zum gleichen Magnetfeld leistet. Dies wird erreicht, indem der Leiter zu einer Spule aufgewickelt wird. So fließt der Strom durch mehrere Windungen. Dies erzeugt die magnetische Durchflutung. Die magnetische Durchflutung wird auch als magnetische Spannung bezeichnet und so ist auch ihre Wirkung zu verstehen. So erzeugt in Abbildung 7.12 der elektrische Strom I, der w-mal um den Eisenkern fließt, die magnetische Durchflutung (Spannung) Θ = I w. Ähnlich wie das Integral der Feldstärke über den Weg die elektrische Spannung U = E ds beschreibt, ergibt sich nun auch das Integral der magnetischen Feldstärke H über den Weg die magnetische Spannung (Θ = H ds). Oder anders: Die magnetische Feldstärke ist der Quotient aus der magnetischen Spannung und des Weges (H = Θ). s Wenn ein magnetisches Feld, mit der Spannung Θ einen Körper durchdringt, so erzeugt es dort den magnetischen Fluss Φ. Dies ist analog zum elektrischen Strom I. Und ähnlich wie beim Ohm schen Gesetz (R = U ) ist auch der magnetische Fluss und die magnetische I Spannung über einen Faktor, den magnetischen Widerstand R mag = Θ verknüpft. Φ Der Fluss durchdringt also einen Werkstoff mit der Querschnittsfläche A. Nun gilt, ähnlich wie bei der elektrischen Stromdichte S = I, dass die magnetische Flussdichte B = Φ ist. A A Eine magnetische Feldstärke H, die einen bestimmten Werkstoff durchdringt, erzeugt dort also die magnetische Flussdichte B. B und H sind über die sog. Permeabilität miteinander verknüpft. Die Permeabilität ist ein Maß für die Eigenschaft eines Werkstoffes, Magnetfeldlinien passieren zu lassen, bzw. ihnen Widerstand entgegen zu setzen. Es gilt: B = µ H. 117 Am

Literaturverzeichnis [1] Aus Wikipedia (http://www.wikipedia.de): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/ Karte Deklination MKL1888.png 118