Aufgaben zum Grundwissen der Jahrgangsstufen 5 bis 7 Lösungen Auf den folgenden Seiten finden sich Lösungen zu den Aufgaben zum Grundwissen der Jahrgangsstufen 5 bis 7. Dabei handelt es sich nicht um Musterlösungen. Bei algebraischen Aufgaben sind meist nur die Endergebnisse angegeben. Bei Aufgaben, die Begründungen verlangen, sind in der Regel nur einige Stichworte angegeben, die in einer ausführlichen Begründung auftauchen sollten. Lediglich bei Aufgaben zur Prozentrechnung sind ausführliche Lösungswege dargestellt..,9. x²y 7xy² 3. 60 von 640 = 60 : 640 = ¼ = 0,5 = 5 % 4. x = 0,875 5. 5,84 cm² 6. 38,5 m 3,8 km 7. Links: Würfel, (vierseitige) Pyramide Mitte: Quader, Zylinder Rechts: Kegel, Halbkugel 8. vgl. Grundwissen GM 7.7; Konstruktion siehe GM 7. Konstruktionen. 9. α = 40 ; β = 8 ; γ = 8 0. Nein. Wären in einem Dreieck zwei Innenwinkel stumpf, betrüge die Innenwinkelsumme in diesem Dreieck mehr als 80. Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt aber stets 80.. Tische an den Schmalseiten zusammengestellt: 0, 4, 8,..., 4n + Plätze Tische an den Längsseiten zusammengestellt: 8, 0,,..., n + 4 Plätze. Der Notendurchschnitt wurde exakt angegeben. Tabelle der relativen Häufigkeiten, angegeben in Prozent auf eine Dezimale gerundet. Säulendiagramm und Kreisdiagramm sind geeignete Diagrammformen Note 3 4 5 6 Relative Häufigkeit 3,3% 3,3% 36,7% 6,7% 6,7% 3,3% Relative Häufigkeit 40,0% 35,0% 30,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 3 4 5 6 3 4 5 6 Note 3. 9,5; Termwert wird kleiner (. Summand in der Klammer wird größer, Subtrahend wird größer) 4. 3x² 8 5. 98 % von 480 = 0,98 480 = 470,40 6. x = 7. b = 5 cm, U = 30 cm
8. In Richtung der längeren Seite: 70 Streifen; Fahrstrecke 8400 m In Richtung der kürzeren Seite: 0 Streifen; Fahrstrecke 8400 m 9. Wert des Terms: 0,05 Setzt man um ( 3) und,8 eine weitere Klammer ist der Termwert negativ. Es handelt sich dann um eine Summe mit zwei Summanden. Der erste Summand ist negativ (siehe Rechnung). Der zweite Summand ist ein Quotient mit positivem Dividend und negativem Divisor, also negativ. Sind beide Summanden negativ, ist auch der Summenwert negativ. 0. Z(n) ist die Zahl der Spiele bei n Teilnehmern: Z(4) = 6, Z(5) = 0, Z(6) = 5, Z(7) =, Z(n) = + + 3 +... + (n ) = ½ n(n ). Gemeinsamkeiten: vier gleich lange Seiten, gegenüberliegende Seiten parallel, punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt, Diagonalen halbieren einander rechtwinklig Unterschiede : Quadrat hat vier rechte Winkel, Raute nicht unbedingt; Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, Raute, die kein Quadrat ist, nur.. vgl. Grundwissen GM 7.7 3. γ = 68, ε = 4, δ = 0 4. Ein solches Dreieck kann es nicht geben. Aus α + β = 7,4 und β + γ = 07,6 würde folgen, dass in einem solchen Dreieck gilt: α + β + γ = 80 (I). Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck muss aber α + β + γ = 80 (II) gelten. (I) und (II) sind aber nur für β = 0 gleichzeitig erfüllbar. β = 0 kann aber nicht Innenwinkel eines Dreiecks sein. 5. Konstruktionsbeschreibung: Zeichne eine Strecke [AB] der Länge c = 5,8 cm H liegt auf - freiem Schenkel von BAH = ½ α = 4 - k(a; 6,3 cm) C liegt auf - freiem Schenkel von HAC = ½ α = 4 - [BH 6. 9ab + 0,75b² 7. x² + xy y 6 8. 4; 3 Möglichkeiten 9. (,05 480 ) : = 4 5 4 g' a 30. a) 50 b) 00: 550 von 050 > 50 % 00: 400 von 000 = 40% 003: 650 von 00 > 50 % 004: 500 von 00 4,7 % Der Anteil war 00 am kleinsten 3 A T B g S x -3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - zu Aufgabe 3 3. ca. 57,4 t 3. Spiegeln eines Punktes an einer Geraden: vgl. GM 7. Konstruktionen. Fixpunkt: Schnittpunkt von g und a; (3 )
33. O = 08 cm², V = 48 cm³ 34. 770,0 35. α = 69, α = 30, α = 39, δ = 5 36. 6x 9; x² (9 6x + x²) 37. n ist eine gerade Zahl, n² ist eine Quadratzahl, n + und n sind ungerade Zahlen. 38. 0,8 x = 480, also x = 600 39. x =,75 40. a) Bayern: 7 km², Österreich ca. 9 km² b) 3 km² von 7 km² % 4. ACB = ADB = AEB = 90 (Thaleskreis über [AB]) AFB = DFC, CFA = BFD, AGB = EGC, CGA = BGE, AHB = EHD, BHE = DHA (Scheitelwinkel) 4. α = 44, ε = 44, β = 46 43. Die jeweils untereinander stehenden Terme sind äquivalent. 44. p K gibt den Zinsbetrag an, also wie viel Euro Zinsen man pro Jahr erhält. ( + p) K gibt den Geldbetrag an, den man zu Beginn des Folgejahres auf der Bank hat, also das um den Zinsbetrag vermehrte Kapital. 45. 74 und 06 46. b) 6,65 cm² d) 5 cm² 47. Konstruktionsbeschreibung: Zeichne eine Strecke [FC] der Länge hc = 3 cm A liegt auf - k(c; b) - Lot auf [FC] in F B liegt auf - AF - freiem Schenkel des Winkels FCB = 90 - β 3
48. 53, 53, 74 49. Er macht einen Gewinn von 5. 7 50. um 0 5.,03 x = 545 ; x = 500 ; 0,03 500 =,5 360 5. Einzeichnen eines Rechtecks, dessen Flächeninhalt den Flächeninhalt des Seen annähert. Dazu sollte der See an einigen Stellen über das Rechteck hinaus ragen, an anderen Stellen ganz im Inneren des Rechtecks liegen. Schätzung für den Flächeninhalt: 3 km² 53. 5,5 = 45 + 7,5 Konstruktion eines 45 -Winkels: Errichten eines Lotes, Konstruktion der Winkelhalbierenden Konstruktion eines 7,5 -Winkels: Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks (Innenwinkel sind jeweils 60 groß), wiederholtes Halbieren eines 60 -Winkels führt zu einem 7,5 -Winkel Konstruktion des 5,5 -Winkels durch Winkelübertragung, z.b. des 7,5 -Winkels an den 45 -Winkel 54. α + (α 30 ) +,5 [α + (α 30 )] = 80 ; α = 55, β = 5, γ = 00 55. a = 4cm, c = cm 56.,5; ; 0,5 57. 58. a) Parallelogramme b) Parallelogramme c) Drachenvierecke d) gleichschenklige Trapeze 59. Konstruktionsbeschreibung: Zeichne eine Strecke [FC] der Länge hc = 4,6 cm H liegt auf - Lot auf [FC] in F - k(c; w γ ) B liegt auf - FH - freiem Schenkel des Winkels FCB = 90 β A liegt auf - FH - freiem Schenkel des Winkels ACH = ½ γ = HCB 60. Gemeinsamkeiten der Dreiecke: ABN ABM AB AB BN AM (Halbe Schenkellänge) β α (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck) 4
Die Dreiecke ABN und ABM sind kongruent (SWS-Satz) Weitere zueinander kongruente Dreiecke sind beispielsweise ANC und BMC (SWS-Satz) 6. x² + = (x + 3)(x ); x = 7; Die Quadratseiten sind 7 cm lang. 6. Hier bietet sich ein Kreisdiagramm an: 4 Personen 3% 5 und mehr 5% Person 35% 3 Personen 4% Personen 33% 63. a) 64. 6uv( 4v) b) ½ 84 m 45m = 890m² c) Möglicher Rechenweg: Bisher genutzte Fläche: 890 m² Zukünftig genutzte Fläche: ½ 8 m 43 m = 74,5 m² Weniger genutzte Fläche: 890 m² 74,5 m² = 48,5 m² Angabe als Bruchteil: 48,5 890 50 900 = 3 38 5
65. Wenn x immer größer wird, nähert sich der Kehrwert von x der Zahl Null, also der Term T(x) dem Wert. Wenn x immer kleiner wird, sich also im Positiven der Zahl Null nähert, wird der Kehrwert von x immer größer, also der Wert der Term T(x) immer negativer. 66. β = ½ α + 45 ; Wenn α = 0 beträgt, dann ist β = 55. 5 67. 3 ; 7 ; ; 0 ; 3 5 9 3 Für x = 3 ist der Wert des Nenners Null. Der Term ist dann nicht definiert, weil die Division durch Null nicht möglich ist. 68. ab( b+a) 69. Ursprünglicher Preis: x Preis nach einer Preiserhöhung um 5%:,5 x Preis nach einer anschließenden Preissenkung um 0%: 0,8,5 x Also: 0,8,5 x = 460 Ausmultipliziert: 0,9 x = 460 Hier sieht man bereits, dass der Preisnachlass in Wirklichkeit nur 8 % betrug. Außerdem: x = 460 : 0,9 = 500 40 8 Auch damit lässt sich der Preisnachlass berechnen: 40 von 500 = = = 8% 500 00 70. Achsenspiegelung: Punktspiegelung: y 6 y 6 5 4 A' 5 4 A' 3 B' 3 C BbzwB' x 3 - - 3 4 5 A - C' C C' B 4-3 - - 3 4 - A - x 7. steht für die Zahl, O steht für die Zahl 8. 7. Da die Niederschlagsmengen im Diagramm nicht immer exakt abgelesen werden können, kann es bei den Ergebnissen zu leichten Abweichungen kommen:. Vierteljahr: 40 mm;. Vierteljahr: 67 mm; 3. Vierteljahr: 67 mm; 4. Vierteljahr: 6 mm Mittlere monatliche Niederschläge für das ganze Jahr: 59 mm 73. 35,88 cm² 74. Gregor hat Recht. Das Viereck besitzt zwei rechte Innenwinkel (Satz des Thales). Zerlegt man es in zwei rechtwinklige Dreiecke und berechnet deren Flächeninhalte mit Hilfe der Kathetenlängen, ergibt sich die angegebene Formel für den Flächeninhalt des Vierecks. 75. Wähle drei Punkte A, B und C auf dem Kreisbogen. Da der Mittelpunkt des Kreises sowohl von A und B als auch von B und C gleich weit entfernt ist, liegt er sowohl auf der Mittelsenkrechten der 6
Strecke [AB] als auch auf der Strecke [BC]. Man erhält den Kreismittelpunkt demnach als Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. 76. Konstruktionsbeschreibung: 77. 0,5xy + y Zeichne eine Strecke [FC] der Länge hc = 4 cm. H liegt auf B liegt auf A liegt auf 78. Termwerte: ; ; 4 - k(c;w γ ) - Lot auf [FC] in F - FH - freiem Schenkel des Winkels HCB = 45 - FH - Lot auf BC in C 8 79. Ist der Termwert für die natürliche Zahl n markiert, so findet man den Termwert für die Zahl n + auf der Zahlengerade auf der anderen Seite der Null. Sein Abstand zur Null ist halb so groß wie der Abstand des zur Zahl n gehörenden Termwerts von der Zahl Null. gleiche Grundlinienlänge, doppelte Höhe halbe Grundlinienlänge, vierfache Höhe doppelte Grundlinienlänge, gleiche Höhe 80. a) : 000 000 b) 0 km; 46 km 7
8. Mögliche Tabelle: a 00 000 0 000 T(a),9999,999999,99999999 Wenn a sehr groß wird, dann nähern sich die Termwerte der Zahl. a 0, 0,0 0,00 T(a) 98 9998 999998 Wenn a sehr klein wird, dann sind die Termwerte negativ, ihre Beträge werden immer größer. 8. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden ist gleich der Länge des Lotes von diesem Punkt auf die Gerade. Zur Konstruktion des Lotes von P auf g spiegle man P an g (vgl. GM 7., Konstruktionen ). 83. AC = BC α = β; AB = AD β = ADB Winkelsumme im Dreieck ABD: ½β + β + β = 80 liefert β = 7. Daraus ergibt sich: α = 7, γ = 36 Wegen γ = ½α, also ACD = DAC folgt: 84. Lukas hatte zu Anfang 3 Bonbons. AD = CD. (Lösung mit Hilfe einer Gleichung: Anzahl der Bonbons: x Gregor erhält ½x, Sophie erhält ¼x, Lukas bleiben 8, also: ½x + ¼x + 8 = x) 85. Es sei F der Fußpunkt der Höhe hc. Das Dreieck FBC ist eindeutig (SsW-Satz). A liegt auf FB und 6 cm von B entfernt. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Das Dreieck ist also nicht eindeutig (vgl. Konstruktion). C hc a A F B A 86. 4 Summanden 87. Oberfläche: 6 m²; Preis 08,50 88. Gedachte Zahl: x Erhöhen um 0 % ergibt, x Anschließendes Verkleinern um 60% ergibt: 0,4, x 0,4, x = 44; x = 300 89. Der Punkt C muss auf einer Parallelen zu AB im Abstand cm liegen. Seine y-koordinate muss demnach oder 3 betragen, seine x-koordinate ist beliebig. Dementsprechend muss der Punkt D die y-koordinate 3 oder 5 besitzen. 8
90. 7,6 g a + c 9. Ursprüngliches Trapez: A = h 9. Neues Trapez: (a + ) + (c ) h a + c h A * = = = Der Flächeninhalt des Trapezes wird halbiert. A 93. α = 80 5 = 55 (Nebenwinkel) β = 55 (Wechselwinkel) (auch punktsymmetrisch) γ = β = 55 (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck) 94. (n + ) und (n ) sind ungerade Zahlen, also ist auch ihr Produkt ungerade. Weiterhin erkennt man: (n + )(n ) = 4n + n n = 4n = (n)² Der Produktwert ist also um kleiner als das Quadrat der Zahl, die zwischen (n ) und (n + ) liegt. 95. Ursprünglicher Preis: x Neuer Preis:, x Hätte man das Kleid rechtzeitig gekauft, hätte man 0,x von,x gespart, das sind 0,x,x = 0,, = 6 6,7% 96. a) 9 475 b) c) (97 5 93 750) : 93750 = 3,6 % d) 777 : 97 5 = 0,008 = 0,8 % +5000 +4000 +3000 +000 +000 000 000 3000 4000 00 00 003 004 9
97. U = (3x + 4) + x + (3y + ) + (3x + 4) + (y + 6) = 8x + 4y + 5 3x + 4 + x + 3x + 4 ( ) ( ) A = ( + 6) = y (4x + 4) (y + 6) = 4xy + 4x + 4y + 4 x =,5 und y = : U = 45 und A = 80 98. a b. c. D C D C D C D C 9 8 8 8 A M B A M B A M B A M B 99. Zeichne eine Strecke [AB] beliebiger Länge (bzw. der gewünschten Seitenlänge). Der dritte Eckpunkt C ist der Schnittpunkt der Kreise mit Radius AB um A und B. 00. Verbindet man M mit C, erhält man zwei gleichschenklige Dreiecke, BCM mit Basis [BC] und CAM mit Basis [CA]. Da Basiswinkel gleich groß sind, gilt MCB = CBM = 30 und ACM = MAC = 80 90 30 = 60 Im Dreieck CAM sind demnach alle Winkel 60 groß, das Dreieck ist gleichseitig. Somit ist b = AM = 0,5c. 0. Der unterste und der oberste Würfel haben je Klebefläche. Die dazwischen liegenden Würfel haben je Klebeflächen. Damit haben n Würfel + (n ) + = n = (n ) Klebeflächen. 0. a) Es gibt insgesamt 65 Lehrer. b) Die Zahl der weiblichen Lehrkräfte ist um 5 höher als die Zahl der männlichen. c) Wenn 5 Frauen fehlen, dann gibt es gerade doppelt so viele Frauen als Männer. d) Wenn die Zahl der Männer 3 mal so groß wäre, würde sie die Zahl der Frauen um 5 übertreffen. 03. Planfigur: D C δ a β A B Konstruktionsbeschreibung: (Überlegung: Man konstruiere zunächst das Dreieck ABD.) Zeichne eine Strecke [AB] der Länge a D liegt auf - freiem Schenkel von α = 80 β = 65 - freiem Schenkel von DBA = β δ = 65 C liegt auf - k(b; AD ) - k(d; a) 0
04. α = 30 ; β = γ = 75 ; δ = 05 ; ε = 45 05. 0, l von 0,5 l = 0, : 0,5 =0,4 = 40% l Traubensaft 06. r = Anzahl der Ruderboote, t = Anzahl der Tretboote r = t + 8 oder r 8 = t Mögliche Zahlenpaare sind z.b. r = 0, t = ; r =, t = 3; r =, t = 4 usw. 07. a) richtig: Man schneidet das untere Dreieck ab und fügt es umgekehrt oben an. b) richtig: Als Flächensumme Dreieck + Rechteck + Dreieck c) richtig: Als Trapezformel mit a + a + a als Grundlinie d) richtig: Die zum Rechteck ergänzte Figur wird um die beiden Dreiecke reduziert 08. 8 ft; 0,75 y; 0 y; mi 35 09. Alle Sehnen der gleichen Länge s bilden mit den beiden zu ihren Endpunkten gehörenden Radien kongruente Dreiecke. Der Abstand der Sehnen zum Mittelpunkt ist aber jeweils gleichzeitig die Höhe in diesen Dreiecken und damit gleich. 0. Mögliches Zahlenbeispiel: Ursprünglicher Preis: 00 Erhöhung um 0 % auf 0 Reduzierung um 0 % auf 99. Die Uhr kostet nun 99 % des ursprünglichen Preises. Allgemein: Ursprünglicher Preis: U p 00 Erhöhung um p % auf ( + )U p 00 p 00 Reduzierung um p % auf ( )( + )U p Die Uhr kostet nun ( )( ) p + 00. des ursprünglichen Preises.. b ( a b) b a a ( a b) = 00 a a ab + b. Dreieck aus b, c, β, wenn b < c b A c B b β
3. a) falsch (Faktor auf der verkehrten Seite) b) falsch (Laura ist älter als Gregor; es müsste g + 5 heißen) c) richtig d) falsch (wie b) 4. δ = 90 + 60 = 50 (Quadrat und gleichseitiges Dreieck) < DEA = (80 50 ) : = 5 (Basiswinkel) < BEC = 5 (Symmetrie) ε = 60 5 5 = 30 (Gleichseitiges Dreieck) 5. Wegen a + b > c kann keine Seite größer als 7 cm sein. Also: + 7 + 7 + 6 + 7 3 + 5 + 7 3 + 6 + 6 4 + 4 + 7 4 + 5 + 6 5 + 5 + 5 7 Möglichkeiten!