Sylow Sätze und Anwendungen

KAPITEL 11 Sylow Sätze und Anwendungen 11A. Einführung und Überblick In diesem Kapitel widmen wir uns ausschließlich endlichen Gruppen. Der Satz von Lagrange besagt, das für jede Untergruppe H < G die Ordnung H ein Teiler von G ist. Umgekehrt muss allerdings für einen Teiler n von G nicht unbedingt eine Untergruppe der Ordnung n in G existieren. Zum Beispiel enthält die alternierende Gruppe A 5 der Ordnung 60 keine Untergruppen der Ordnung 30, 20, 15 (siehe 10E12), wohl aber Untergruppen der Ordnung 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12. Der Satz von Cauchy bietet nun eine sehr nützliche, wenn auch notwendigerweise eingeschränkte Umkehrung des Satzes von Lagrange: Satz 11A1 (Cauchy). Teilt eine Primzahl p die Ordnung der Gruppe G, dann existiert ein Element x G der Ordnung p, und damit eine Untergruppe x < G der Ordnung p. Der norwegische Mathematiker Peter Ludwig SYLOW (1832 1918) hat die Bedeutung dieses Satzes erkannt und erheblich ausgebaut. Die Grundidee ist, von p zu möglichst hohen Potenzen p e übergehen. Das Beste, das man hierbei erhoffen kann, ist in einer Gruppe G der Ordnung G = p e a mit p a eine Untergruppe P < G der Ordnung p e zu finden. Definition 11A2. Sei p N eine Primzahl. Sei G eine Gruppe der Ordnung G = p e a wobei e,a N und p a. Eine p-sylow-untergruppe von G ist eine Untergruppe P < G der Ordnung P = p e. Die Menge p-sylow-untergruppen von G bezeichnen wir mit Syl p (G) Statt p-sylow-untergruppe sagen wir kurz p-sylow-gruppe von G. A priori könnte die Menge Syl p (G) leer sein. Der Satz von Sylow klärt dies sehr zufriedenstellend auf: Satz 11A3 (Sylow). Sei p N eine Primzahl. Sei G eine Gruppe der Ordnung G = p e a wobei e,a N und p a. Dann gilt: 1. Jede p-untergruppe von G liegt in einer p-sylow-untergruppe von G. Insbesondere existiert mindestens eine p-sylow-gruppe in G, also Syl p (G) /0. 2. Je zwei p-sylow-untergruppen sind in G konjugiert. 3. Ihre Anzahl m p = Syl p (G) erfüllt m p a und m p = 1 + kp mit k N. 221

222 Kapitel 11. Sylow Sätze und Anwendungen Diese Sylow-Sätze sind ein erstes, mächtiges Werkzeug zur Strukturuntersuchung endlicher Gruppen. Dies werden wir durch vielfältige Anwendungen und Übungen illustrieren. Als wichtigen Spezialfall halten wir fest: Korollar 11A4. Eine p-sylow-gruppe P Syl p (G) ist einzig genau dann wenn P G. 11B. Die Sylow-Sätze 11Ba. Beweis des Satzes von Cauchy. Wir beginnen mit dem Satz von Cauchy: BEWEIS. Wir betrachten die Menge X = { (a 1,...,a p ) G p a 1 a p = 1 }. Diese hat G p 1 Elemente, wie man anhand folgender Bijektion X = G p 1 sieht: X G p 1, (a 1,...,a p 1,a p ) (a 1,...,a p 1 ), G p 1 X, (a 1,...,a p 1 ) (a 1,...,a p 1,(a 1 a p 1 ) 1 ). Für jedes (a 1,a 2,...,a p ) X gilt a 2 a p a 1 = a 1 1 (a 1a 2 a p )a 1 = 1, also liegt auch (a 2,...,a p,a 1 ) in X. Wir können daher auf X eine Abbildung σ : X X definieren durch σ(a 1,a 2,...,a p ) = (a 2,...,a p,a 1 ). Diese Abbildung erfüllt σ p = id, also operiert die Gruppe Z/pZ mittels n σ n. Jede Bahn hat Länge 1 oder p. Wegen p X impliziert die Bahnengleichung p Fixσ. Dabei ist (a 1,...,a p ) genau dann ein Fixpunkt von σ, wenn a 1 = = a p gilt. Ein solcher Fixpunkt ist (1,...,1), also gilt Fix(σ) 1, und damit Fix(σ) p. Also existiert ein weiterer Fixpunkt (x,...,x) Fix(σ) mit x 1 und x p = 1. Definition 11B1. Wir nennen x G ein p-element, wenn ord(x) = p k für ein k N. Der Satz von Cauchy besagt demnach: Aus der Teilbarkeit p G folgt, dass G ein nicht-triviales p-element enthält. Als unmittelbare Folgerung halten wir fest: Korollar 11B2. Eine endliche Gruppe G ist genau dann eine p-gruppe, wenn jedes Element x G ein p-element ist. BEWEIS. folgt mit Lagrange. folgt mit Cauchy. 11Bb. Beweis der Sylow-Sätze. Sei p N eine Primzahl und sei G eine Gruppe der Ordnung G = p e a wobei e,a N und p a. Die Sylow-Sätze sind trivialerweise erfüllt für a = 1: In diesem Fall gilt Syl p (G) = {G} und Syl q (G) = {{1}} für jede Primzahl q p. Wir können also im Folgenden a > 1 annehmen. Wir nennen eine p-untergruppe P < G maximal, wenn es keine p-untergruppe H < G mit P H gibt. Bemerkung 11B3. Ist P < G eine p-sylow-gruppe, also P = p e, dann ist P offenbar maximal. Bislang wissen wir aber noch nicht, ob es in G überhaupt p-sylow-gruppen gibt. Maximale p-untergruppen P < G gibt es hingegen immer, so dass dieser Anfang leicht gemacht ist. Im Folgenden werden wir zeigen, dass jede maximale p-untergruppe P < G tatsächlich P = p e erfüllt, also eine p-sylow-gruppe von G ist. Michael Eisermann www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm

11B. Die Sylow-Sätze 223 Lemma 11B4. Sei P < G eine maximale p-untergruppe. 1. Der Index N G (P) : P ist teilerfremd zu p. 2. Ist a ein p-element mit apa 1 = P, dann gilt a P. BEWEIS. Nach Definition des Normalisators N G (P) = { a G apa 1 = P } gilt P N G (P), und somit ist der Quotient N G (P)/P eine Gruppe. Sei der Quotientenhomomorphismus. π : N G (P) Q := N G (P)/P (1) Teilt p den Index N G (P) : P = Q, dann existiert nach dem Satz von Cauchy ein Element ā Q der Ordnung p. Somit ist ā < Q eine Untergruppe der Ordnung p und ihr Urbild π 1 ( ā ) < N G (P) < G ist eine Untergruppe der Ordnung p P, die P enthält. Dies widerspräche der Annahme, dass P eine maximale p-untergruppe von G ist. (2) Aus apa 1 = P folgt a N G (P). Wäre a / P, dann wäre π(a) Q ein nicht-triviales p-element, also teilte p die Ordnung Q = N G (P) : P. Das aber widerspricht Teil (1). Lemma 11B5. Sei P eine maximale p-untergruppe von G. 1. Die Anzahl m der zu P konjugierten Untergruppen erfüllt m 1 mod p. 2. Alle maximalen p-untergruppen von G sind zu P konjugiert. BEWEIS. Sei X = { gpg 1 g G } = {P 1,P 2,...,P m } die Menge der zu P konjugierten Untergruppen in G. Jede von ihnen ist eine maximale p-untergruppe. Die Gruppe G operiert auf X durch Konjugation, G X X, (g,p k ) gp k g 1. Sei Q < G eine maximale p-untergruppe. Auch Q operiert auf X durch Konjugation, und jede Bahn hat Länge p l für ein l N. Was wäre eine Bahn der Länge 1? Für jedes a Q gilt hier ap k a 1 = P k und folglich a P k nach 11B4. Das bedeutet Q < P k, und da auch Q eine maximale p-gruppe ist, folgt Q = P k. Angewendet auf Q = P bedeutet das: X zerfällt in den Fixpunkt P und nicht-triviale Bahnen, deren Länge durch p teilbar ist. Daher gilt m 1 mod p. Angewendet auf jede andere maximale p-gruppe Q bedeutet dies: Wegen m 1 mod p muss Q mindestens einen Fixpunkt P k haben, also Q = P k. Lemma 11B6. Jede maximale p-untergruppe von G ist eine p-sylow-gruppe von G. Ausführlicher bedeutet dies: Sei G eine Gruppe der Ordnung G = p e a wobei e,a N und p a. Dann hat jede maximale p-untergruppe P < G die Ordnung P = p e. BEWEIS. Nach dem Satz von Lagrange gilt G = G : P P. Wir haben also zu zeigen, dass der Index G : P teilerfremd zu p ist. Für N = N G (P) gilt G : P = G : N N : P. Hierbei ist N : P teilerfremd zu p nach 11B4. Andererseits ist m = G : N die Anzahl der zu P konjugierten Untergruppen in G (9F14), also m 1 mod p nach 11B5. Da jede p-untergruppe von G in einer maximalen p-untergruppe liegt, ist Lemma 11B6 zu folgender Aussage äquivalent: Jede p-untergruppe von G liegt in einer p-sylow-gruppe von G. Insbesondere gibt es p-sylow-gruppen, also Syl p (G) /0. Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

224 Kapitel 11. Sylow Sätze und Anwendungen 11C. Einfache Klassifikationssätze Wir kennen bereits die Struktur jeder Gruppe G von Primzahlordnung G = p: Nach Lagrange ist G zyklisch (9A4), also G = Z/pZ. Auch die Struktur jeder Gruppe G der Ordnung G = p 2 ist uns bekannt: G ist abelsch (9F23), also gilt nach dem Klassifikationssatz (9D14) entweder G = Z/p 2 oder G = Z/p Z/p. Mit Hilfe der Sylow-Sätze können wir nun die Struktur weiterer Gruppen klären. 11Ca. Gruppen der Ordnung pq. Hier eine erste schöne Anwendung: Proposition 11C1. Seien p < q zwei Primzahlen. 1. Für p q 1 ist jede Gruppe G der Ordnung pq abelsch, und demnach G = Z/pq. 2. Für p q 1 gibt es genau zwei Gruppen der Ordnung pq, nämlich die abelsche Gruppe Z/pq und die nicht-abelsche Gruppe Z/p Z/q. BEWEIS. Sei K Syl q (G). Wegen m q = 1 + kq p und q > p bleibt nur m q = 1, also K G. Sei H Syl p (G). Wegen m p = 1 + hp q bleiben nur m p {1,q}. In beiden Fällen gilt H K = {1} und HK = G nach Lagrange. Im Fall p q 1 gilt m p = 1, also H G. Mit 9C8 folgt G = H K. Für Gruppen von Primzahlordnung wissen wir H = Z/p und K = Z/q. Mit dem chinesischen Restsatz 9D7 schließen wir G = Z/pq. Im Fall p q 1 gibt es die zusätzliche Möglichkeit m p = q. In diesem Fall kommutieren H und K nicht. Die Konjugation von H auf K definiert eine Operation H K K durch (h,k) hkh 1. Dies entspricht einem nicht-trivialen Gruppenhomomorphismus H Aut(K). Da H zyklisch von Primzahlordnung ist, muss dieser injektiv sein. Da K zyklisch von Primzahlordnung q ist, wissen wir Aut(K) = (Z/q). Das Bild ist also die eindeutige Untergruppe in Aut(K) der Ordnung p. Es folgt G = K H. Beispiel 11C2. Ist p 3 eine Primzahl, dann existieren genau zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 2p, nämlich die zyklische Gruppe Z/2p = Z/p Z/2 sowie die Diedergruppe D n = Z/p Z/2. Beispiel 11C3. Jede Gruppe der Ordnung 15, 33, 35, 51,... ist zyklisch. Es gibt je genau zwei nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 21,39,55,57,... 11Cb. Einfache Gruppen der Ordnung 60. Wir wollen das folgende schöne Ergebnis zeigen: Satz 11C4. Jede einfache Gruppe G der Ordnung G = 60 ist isomorph zu A 5. Zum Beweis schlagen wir eine Folge von Übungen vor: Übung 11C5. Wenn K < S n eine Untergruppe vom Index 2 ist, dann gilt K = A n. Übung 11C6. Sei G eine endliche Gruppe und m > 1 die Anzahl der p-sylow-gruppen. 1. Es gibt dann einen nicht-trivialen Homomorphismus ϕ : G S m. 2. Ist G einfach, so ist ϕ injektiv, also ist G ein Teiler von m!. Michael Eisermann www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm

11D. Auflösbare Gruppen 225 Übung 11C7. Sei G eine einfache Gruppe der Ordnung G = 60 1. In G gibt es genau zehn 3-Sylow-Gruppen. 2. In G gibt es genau sechs 5-Sylow-Gruppen. 3. In G gibt es genau fünf 2-Sylow-Gruppen. 4. Es existiert ein nicht-trivialer Gruppenhomomorphismus G S 5. Folgern Sie hieraus, dass G = A 5 gilt. 11D. Auflösbare Gruppen 11Da. Auflösbarkeit. Eine endliche Gruppe G heißt auflösbar wenn es eine Folge G = G 0 G 1 G 2... G n = {1} von Untergruppen gibt, so dass jeweils G i+1 G i normal ist von Primzahlindex. Die sukzessiven Quotientengruppen G i /G i+1 sind dann zyklisch von Primzahlordnung. Beispiel 11D1. Jede zyklische Gruppe Z/n ist auflösbar. Aus der Primfaktorzerlegung n = p 1 p 2 p r erhalten wir nämlich die Auflösung Z/nZ p 1 Z/nZ p 1 p 2 Z/nZ... p 1 p 2 p r Z/nZ = {0}. Beispiel 11D2. Jede endliche abelsche Gruppe A ist auflösbar. Nach dem Klassifikationssatz gilt nämlich A = Z/n 1 Z/n 2 Z/n s, und die hier auftretenden zyklischen Gruppen können wir sukzessive auflösen. Beispiel 11D3. Jede p-gruppe ist auflösbar (Satz 9F26). Dies war in Kapitel 9 eine erste Anwendung der Bahnengleichung. In diesem Fall gilt sogar stärker G i G für alle i. Für Auflösbarkeit wie oben definiert reicht die schwächere Bedingung G i G i 1. Beispiel 11D4. Ist G eine nicht-abelsche einfache Gruppe, wie zum Beispiel die alternierende Gruppe A n für n 5, dann ist G nicht auflösbar. 11Db. Untergruppen und Quotienten. Zur Untersuchung der Auflösbarkeit endlicher Gruppen ist folgendes Kriterium sehr nützlich: Satz 11D5. Sei G eine endliche Gruppe. 1. Ist G auflösbar, dann ist auch jede Untergruppe H < G und jede Quotientengruppe G/K auflösbar. 2. Sind die normale Untergruppe K G und die Quotientengruppe G/K auflösbar, dann ist auch G auflösbar. BEWEIS. Sei G auflösbar durch G = G 0 G 1 G 2... G n = {1}. Für jedes Untergruppe H < G ist dann H i = H G i eine Untergruppe von H. Es gilt H i < G i und H i+1 = H i G i+1 und somit H i+1 H i. Der Index H i : H i+1 ist entweder gleich 1 oder Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

y uu u w w w w w w w w u y uu 226 Kapitel 11. Sylow Sätze und Anwendungen eine Primzahl, wie man aus folgendem Diagramm abliest: G i G i /G i+1! H i H i /H i+1 Sei K G eine normale Untergruppe und sei π : G Q der Quotientenhomomorphismus. Die Untergruppen Q i = π(g i ) erfüllen Q i+1 Q i gemäß der Korrespondenz normaler Untergruppen (9B15). Der Index Q i : Q i+1 ist entweder gleich 1 oder eine Primzahl, wie man aus folgendem Diagramm abliest: G i G i /G [ i+1 [[ [ [ ]! Q i Q i /Q i+1 Sei nun umgekehrt Q = G/K auflösbar durch Q = Q 0... Q s = {1}. Wir erhalten durch G k = π 1 (Q k ) eine Kette G = G 0... G s = K. Die sukzessiven Indizes bleiben dabei erhalten (9B15). Ist zudem K auflösbar durch K = G s... G r = {1}, dann ist G auflösbar durch die Zusammensetzung G = G 0... G s... G r. Beispiel 11D6. Die symmetrische Gruppe S n mit n 5 ist nicht auflösbar: Hier gilt A n S n. Zwar ist die Quotientengruppe S n /A n = {±1} auflösbar, aber An ist es nicht. 11Dc. Abgeleitete Gruppen. Aus jeder Gruppe G leiten wir Kommutatorgruppe ab: D(G) := [G,G] = [a,b] a,b G. Dies ist eine normale Untergruppe in G und die Quotientengruppe G/[G, G] ist die Abelschmachung von G ( 9Cb). Induktiv definieren wir die abgeleiteten Gruppen durch D 0 (G) = G, D 1 (G) = D(G) und D k+1 (G) = D(D k (G)) für alle k N. Satz 11D7. Für jede endliche Gruppe sind äquivalent: 1. Die Gruppe G ist auflösbar, das heißt: Es existiert eine Kette G = G 0... G n = {1} mit G i /G i+1 von Primzahlordnung. 2. Es existiert eine Kette G = G 0... G n = {1} mit G i /G i+1 zyklisch. 3. Es existiert eine Kette G = G 0... G n = {1} mit G i /G i+1 abelsch. 4. Die Kette G = D 0 (G) D 1 (G)... endet mit D n (G) = {1} für ein n N. BEWEIS. Die Implikationen (1) (2) (3) sind klar, denn jedesmal wird die Bedingung abgeschwächt. Für (3) (4) betrachten wir eine Kette G = G 0... G n = {1}, für die G k /G k+1 abelsch ist, und beweisen D k (G) < G k durch Induktion über k. Zunächst gilt D 0 (G) < G. Da G k /G k+1 abelsch ist, gilt [G k,g k ] < G k+1. Aus D k (G) < G k folgt dann D k+1 (G) = [D k (G),D k (G)] < [G k,g k ] < G k+1. Damit haben wir D k (G) < G k für alle k gezeigt. Aus G n = {1} folgt D n (G) = {1}. Michael Eisermann www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm

11E. Übungen und Ergänzungen 227 Die Umkehrung (4) (3) ist klar, denn D k (G) D k+1 (G) und die Quotientengruppe D k (G)/D k+1 (G) ist abelsch. Die Verschärfungen (3) (2) (1) zeigt man wie in den einführenden Beispielen 11D1 und 11D2. Der Satz gibt eine etwas größere Flexibilität zum Nachweis der Auflösbarkeit. Die ersten drei Kriterien Es existiert eine Kette... lassen die Wahl der Kette offen, was manchmal ein Vorteil ist, aber keinen konkreten Hinweis zur Suche gibt. Das vierte Kriterium gibt eine konkrete Kette vor, nämlich die abgeleiteten Untergruppen. Beispiel 11D8. Die symmetrische Gruppe S n mit n 5 ist nicht auflösbar: Hier gilt D(S n ) = A n und D(A n ) = A n. Die Kette der abgeleiteten Gruppe wird also bei A n {1} stationär. 11Dd. Gruppen der Ordnung 60. Wir schließen mit folgendem schönen Ergebnis, dass die Auflösbarkeit von Gruppen bis zur Ordnung 60 klärt: Satz 11D9. Jede Gruppe G der Ordnung G < 60 ist auflösbar. Mit Ordnung 60 gibt es genau eine nicht-auflösbare Gruppe, nämlich die alternierende Gruppe A 5. Diesen Satz zeigt man durch geduldige Anwendung der Sylow-Sätze: Übung 11D10. Gruppen der Ordnung pqr sind auflösbar (mit p < q < r prim). Übung 11D11. Gruppen der Ordnung p 2 q sind auflösbar. Übung 11D12. Gruppen der Ordnung 24,36,40,48,54, 56 sind auflösbar. Übung 11D13. Warum muss eine nicht-auflösbare Gruppe der Ordnung 60 einfach sein? 11E. Übungen und Ergänzungen 11Ea. Weitere Klassifikationen kleiner Gruppen. Übung 11E1. Man bestimme alle Gruppen der Ordnung 45 = 3 2 5 bis auf Isomorphie. Übung 11E2. Man bestimme alle Gruppen der Ordnung 665 = 5 7 19 bis auf Isomorphie. Übung 11E3. Man bestimme alle Gruppen der Ordnung 1105 = 5 13 17 bis auf Isomorphie. Übung 11E4. Sei G eine Gruppe der Ordnung 30. Für p = 2,3,5 sei m p die Anzahl der p-sylow-gruppen in G. Zudem sei H p eine p-sylow-gruppe von G. 1. Man zeige, dass G genau m 5 4 Elemente der Ordnung 5 enthält sowie m 3 2 Elemente der Ordnung 3. Man folgere hieraus m 5 = 1 oder m 3 = 1. 2. K = H 5 H 3 ist eine Untergruppe der Ordnung 15. Sie ist zyklisch und normal in G. 3. Es gilt G = K H 2 und für H 2 Aut(K) gibt es vier Möglichkeiten. Man schließe hieraus, dass G = Z/30 oder G = D 15 oder G = D 5 Z/3 oder G = Z/5 D 3. Übung 11E5. Sei G eine Gruppe der Ordnung 255. Für p = 3,5,17 sei m p die Anzahl der p-sylow-gruppen in G. Zudem sei H p eine p-sylow-untergruppe von G. 1. Man zeige, dass H 17 normal ist in G, und somit ist K = H 17 H 5 eine Untergruppe. 2. Man zeige, dass K = H 17 H 5 ein direktes Produkt ist. Somit ist K zyklisch. Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

228 Kapitel 11. Sylow Sätze und Anwendungen 3. Man benutze K < N G (H 5 ) um m 5 = G : N G (H 5 ) 3 zu zeigen. 4. Man folgere m 5 = 1, also ist auch H 5 normal in G. 5. Man zeige, dass G = K H 3 ein direktes Produkt ist, also ist G zyklisch. Die Technik der letzten Übung funktioniert ebenso für Gruppen der Ordnung 3 5 17 257 und 3 5 17 257 65537. Der folgende Abschnitt liefert das allgemeine Kriterium. 11Eb. Für welche Ordnungen n sind alle Gruppen zyklisch? Zu jeder Ordnung n N 1 gibt es mindestens eine Gruppe der Ordnung n, nämlich die zyklische Gruppe Z/nZ. Bei der Klassifikation kleiner Gruppen stößt man gelegentlich auf Ordnungen n, sodass bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung n zyklisch sind. Der folgende Satz erlaubt eine vollständige Beschreibung dieses Phänomens: Satz 11E6. Sei n N 1. Genau dann gibt es bis auf Isomorphie nur eine Gruppe der Ordnung n wenn ggt(n,ϕ(n)) = 1 gilt. (Hierbei ist ϕ die Eulersche ϕ-funktion.) Übung 11E7. Für n N gilt ggt(n,ϕ(n)) = 1 genau dann, wenn die Primfaktorzerlegung n = p 1 p 2... p k sowohl p 1 < p 2 < < p k als auch p i p j 1 für alle i, j erfüllt. Übung 11E8. Man zeige den obigen Satz: 1. Wenn ggt(n,ϕ(n)) = 1 gilt, dann ist jede Gruppe der Ordnung n zyklisch. 2. Wenn alle Gruppen der Ordnung n zyklisch sind, dann gilt ggt(n,ϕ(n)) = 1. Übung 11E9. Man bestimme alle Gruppen der Ordnung 595 bis auf Isomorphie. 11Ec. Matrixgruppen. Übung 11E10. Sei p eine Primzahl. Man konstruiere einen Gruppenisomorphismus Aut((Z/ p ) n,+) = GL n (Z/ p ). Übung 11E11. Sei F q ein Körper mit q Elementen, zum Beispiel F p = Z/pZ für eine Primzahl p. Man zeige, die Gruppe GL n (F q ) hat Ordnung Was ist die Ordnung von SL n (F q )? GL n (F q ) = (q n 1)(q n q)(q n q 2 ) (q n q n 1 ). Übung 11E12. Man konstruiere einen Gruppenisomorphismus GL 2 (F 2 ) = SL 2 (F 2 ) = S 3. Hinweis: Man lasse GL 2 (F 2 ) auf den drei Geraden des F 2 -Vektorraums F 2 2 operieren. Wenden wir die Sylow-Sätze auf G = GL n (F p ) an. Es gilt G = p e a mit e = 1 2 n(n 1). Wie sieht eine Untergruppe P < GL n (F p ) mit der maximal möglichen Ordnung p e aus? Übung 11E13. Man zeige, dass die oberen Dreiecksmatrizen )} P = {( 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 eine Untergruppe bilden, und zwar der Ordnung p n(n 1)/2. Michael Eisermann www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm

11E. Übungen und Ergänzungen 229 Wir wissen aus dem Satz von Cayley, dass man jede Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe darstellen kann. Nun lassen sich symmetrische Gruppen ihrerseits als Matrixgruppen realisieren: Übung 11E14. Sei K ein Körper. Für eine Permutation σ S n sei A σ K n n die Matrix mit den Spalten e σ(i). Man zeige, dass die Abbildung ϕ : S n GL n K, σ A σ, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Was ist deta σ? Hieraus folgt, dass jede endliche Gruppe G als Matrixgruppe darstellbar ist. Übung 11E15. Jede endliche p-gruppe lässt sich als eine Gruppe von oberen Dreiecksmatrizen über F p realisieren. 11Ed. Symmetrische Gruppen. Wir wollen die Sylow-Sätze anhand der symmetrische Gruppe S n illustrieren und zu jeder Primzahl p eine konkrete p-sylow-gruppe in S n konstruieren. Zunächst gilt es, deren Größe zu bestimmen: Übung 11E16. Wir zerlegen n! = p e a mit e,a N sodass p a. Dann gilt e = n/p + n/p 2 + n/p 3 +... Nach den Sylow-Sätzen gibt es nun eine Untergruppe P < S n der maximal möglichen Ordnung p e. Wie sieht eine solche Gruppe aus? Betrachten wir zum Beispiel p = 3 und kleine Grade n = 1,2,3,4,...: Für n = 3,4,5 gilt e = 1. Eine 3-Sylow-Gruppe ist zum Beispiel P = (1,2,3). Für n = 6,7,8 gilt e = 2. Eine 3-Sylow-Gruppe ist P = (1,2,3),(4,5,6). Für n = 9,10,11 gilt e = 4. Eine 3-Sylow-Gruppe ist (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9), P =. (1,4,7)(2,5,8)(3,6,9) Für n = 12,13,14 gilt e = 5. Eine 3-Sylow-Gruppe ist (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9), (10,11,12), P =. (1,4,7)(2,5,8)(3,6,9) Für n = 15,16,17 gilt e = 6. Eine 3-Sylow-Gruppe ist (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9), (10,11,12),(13,14,15), P =. (1,4,7)(2,5,8)(3,6,9) Für n = 18,19,20 gilt e = 8. Eine 3-Sylow-Gruppe ist (1,2,3),(4,5,6),(7,8,9), (10,11,12),(13,14,15),(16,17,18), P =. (1,4,7)(2,5,8)(3,6,9), (10,13,16)(11,14,17)(12,15,18) Übung 11E17. Man setze diese Folge fort. Wie sieht eine 3-Sylow-Gruppe von S 27 aus? Rohfassung compiliert am 22. Juli 2010

230 Kapitel 11. Sylow Sätze und Anwendungen 11Ee. Sätze von Sylow und Cayley. Für jede endliche Gruppe G existiert ein injektiver Gruppenhomomorphismus G S n für gewisse n. Man kann sich fragen, welches für G das kleinste n ist. Sicherlich ist n = G immer möglich, aber meist zu groß: Übung 11E18. Betrachten wir die Diedergruppe D 4 der Ordnung 8. 1. Man zeige D 4 S 4 indem man eine zu D 4 isomorphe Untergruppe H < S 4 angibt. Gibt es solche Gruppen auch in S n mit n < 4? Betrachten wir nun die Quaternionengruppe Q, ebenfalls der Ordnung 8. 1. Man erläutere zunächst Q = D4. 2. Ist H eine 2-Sylow-Gruppe in S 4? in S 5? Gibt es eine Untergruppe in S 5 isomorph zu Q? 3. Man finde K < S 6 isomorph zu D 4 Z/2Z. Ist K eine 2-Sylow-Gruppe in S 6? in S 7? Gibt es eine Untergruppe in S 7 isomorph zu Q? Welches ist demnach der minimale Grad n für eine Einbettung Q S n? Michael Eisermann www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm