Einführung in die Algebra

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1 Einführung in die Algebra TU Kaiserslautern WS 2014/2015 Prof. Dr. Wolfram Decker 14. November 2014 Dieses Skript basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Meiko Volz

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3 Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 3 1 Gruppenoperationen 5 2 Die Sätze von Sylow 9 3 Auflösbare Gruppen 13 1

4 2 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kapitel 0 Einführung In der Algebra studiert man mathematische Grundstrukturen wie Gruppen, Ringe und Körper. Der historische Ursprung der Algebra liegt in Versuchen, polynomiale Gleichungen zu lösen, also Nullstellen (bzw. Wurzeln) von Polynomen zu finden. Dabei führen lineare Gleichungen zur Struktur der Vektorräume und polynomiale Gleichungen höheren Grades zu Fragen über die Struktur von Ringen (insbesondere Polynomringen) und Körpererweiterungen (etwa beim Übergang von R nach C zum Lösen von x = 0). Zentrales Ergebnis dieser Vorlesung ist der Hauptsatz der Galoistheorie (HSG, Évariste Galois, ). Dieser stellt eine überraschende, enge Beziehung zwischen der Körper- und der Gruppentheorie her und liefert z. B. einen besonders schönen Zugang zu dem Satz von Niels Henrik Abel ( ), der besagt, dass die allgemeine Polynomgleichung f(x) = X n + a n 1 X n a 0 = 0 über einem Körper K C für n 5 nicht durch Radikale (d.h. geschachtelte Wurzelausdrücke) auflösbar ist. Zur Erinnerung: Für n = 2 gilt X 2 + ax + b = (X α 1 )(X α 2 ) mit α 1/2 = 1 2 ( a ± a 2 4b), wobei gegebenenfalls α 1, α 2 zu K hinzugefügt werden müssen: Man betrachte z. B. den kleinsten Unterkörper K(α 1, α 2 ) C, der K sowie α 1 und α 2 enthält. Für n = 3 gibt es die Formel von Giordano (1545), der Fall n = 4 lässt sich auf den Fall n = 3 zurückführen (Ferrari, 1550). Den HSG kann man auch anwenden, um den Fundamentalsatz der Algebra zu beweisen: Der Beweis von Emil Artin ( ) kombiniert, über den Hauptsatz, Methoden der reellen Analysis (Zwischenwertsatz) mit den Sylowschen Sätzen aus der Theorie endlicher Gruppen. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sind ein weiteres Anwendungsgebiet des HSG. Dabei geht man von einer Punktmenge M R 2 aus und konstruiert daraus weitere Punkte mit Hilfe der folgenden erlaubten Operationen: das Zeichnen einer Geraden durch zwei gegebene Punkte; das Zeichnen eines Kreises um einen gegebenen Mittelpunkt mit einem Radius, der gleich dem Abstand zweier gegebener Punkte ist; das Hinzufügen neuer Punkte, die man als Schnittpunkte von bereits konstruierten Geraden und/oder Kreisen erhält. Nimmt man alle aus M konstruierbaren Punkte zu M hinzu, so erhält man, wenn man R 2 mit C identifiziert, eine Teilmenge Kon(M) C. Gilt 0, 1 M, so ist Kon(M) ein Unterkörper von C, der Q, M und M := {z C z M} enthält. Mit dem HSG kann man dann zeigen, dass die folgenden klassichen Probleme der Antike keine Lösung haben: Quadratur des Kreises, Würfelverdopplung, Dreiteilung eines beliebigen Winkels. 3

6 4 KAPITEL 0. EINFÜHRUNG Man kann darüber hinaus entscheiden, für welche n das regelmäßige n-eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wir setzen die Kenntnisse aus der Vorlesung Algebraische Strukturen über Gruppen, Ringe und Körper voraus. Ist z.b. G eine zyklische Gruppe, so ist G = Z oder G = Z n für ein n 1. In letzterem Fall schreiben wir einfach C n für die zyklische Gruppe. Bemerkung 0.1. Wir können C n als Drehgruppe des regulären n-ecks in der Ebene interpretieren: Bemerkung 0.2. Mit ζ = e 2πi n Einheitswurzeln in C vorstellen: C können wir uns C n auch als (multiplikative) Gruppe der n-ten C n = {ζ k k = 0,..., n 1} Wir schreiben U G (bzw. U G) falls U Untergruppe (bzw. Normalteiler) von G ist. Analog bedeutet I R, dass I ein Ideal des Rings R ist und K L, dass K ein Unterkörper des Körpers L ist. In letzterem Fall sprechen wir von einer Körpererweiterung L/K und nennen L einen Erweiterungskörper von K. Gilt k K L, so nennen wir K einen Zwischenkörper von k und L. Literatur S. Bosch, Algebra, Springer (2006) C. Karpfinger, Algebra: Gruppen - Ringe - Körper, Springer (2013) R. Sacher, G. Fischer, Einführung in die Algebra, Vieweg (1983) G. Wüstholz, Algebra, Vieweg (2004)

7 Kapitel 1 Gruppenoperationen Gruppen treten in natürlicher Weise als Symmetriegruppen auf. Damit wollen wir uns in diesem Kapitel beschäftigen. Beispiel 1.1. Wir können die Diedergruppe D n als Symmetriegruppe (Spiegelungen und Drehungen) des regulären n-ecks in der Ebene auffassen: D 4 = σ, τ mit σ = ( ) ( , τ = ) Drehung 90 o Spiegelung Diagonale x = y Lässt man alle Gruppenelemente auf einen gegebenen Punkt los, so ergibt sich die Bahn (vgl. 1.2) des Punktes (1, 4 oder 8 Elemente). Schreibweise Wir schreiben Gruppen multiplikativ und bezeichnen mit e das Neutralelement. Definition 1.2. Seien G eine Gruppe und M eine Menge. Eine Abbildung τ : G M M, (a, x) τ(a, x) =: a.x, heißt Operation von G auf M, falls gilt: (i.) (ab).x = a.(b.x); (ii.) e.x = x. Wir sagen dann auch G operiert auf M (vermöge τ). Für x M nennen wir M(x) := { τ(a, x) a G} M die Bahn (den Orbit) von x (bezüglich τ) und G x := {a G τ(a, x) = x} G den Stabilisator (die Isotropiegruppe) von x (bzgl τ). Wir nennen τ 5

8 6 KAPITEL 1. GRUPPENOPERATIONEN effektiv (treu), wenn gilt a G, τ(a, x) = x x M a = e, d.h. x M G x = {e}; transitiv, wenn M(x) = M für ein (und damit für alle) x M. Wir sagen dann auch, G operiert effektiv bzw. transitiv auf M. Dass wir G x Isotropiegruppe nennen (und nicht nur Isotropieteilmenge) ist gerechtfertigt: Bemerkung 1.3. G operiere vermöge τ auf M. Dann gilt: (i.) G x G; (ii.) durch x y y M(x) ist eine Äquivalenzrelation auf M erklärt, die Äquivalenzklassen τ (iii.) sind gerade die Bahnen bezüglich τ; die Abbildungen τ a : M M, x τ(a, x), sind für alle a G bijektiv. Die induzierte Abbildung G S(M), a τ a, ist ein Gruppenhomomorphismus (Permutationsdarstellung). Dieser ist injektiv genau dann, wenn τ effektiv ist. Bemerkung 1.4. Ist umgekehrt ein Gruppenhomomorphismus ϕ : G S(M) gegeben, so ist G M M, (a, x) ϕ(a)(x), eine Operation von G auf M. Die so erklärten Abbildungen {Operationen von G auf M} sind bijektiv und zueinander invers. Hom(G, S(M)) Die Idee, das Studium beliebiger Gruppen auf das überschaubarer Gruppen zurückzuführen ist der Ausgangspunkt für die Darstellungstheorie von Gruppen. Dieses Teilgebiet der Mathematik wird an unserer Uni von der Arbeitsgruppe Malle betrieben. Geeignete Gruppendarstellungen mit Hilfe endlich vieler Daten (falls möglich; z.b. als Matrixgruppe) erlauben es uns, Gruppen mit Hilfe eines Computeralgebrasystems zu studieren. Dafür sind vor allem die Systeme GAP und MAGMA geeignet. Beide Systeme sind auf den Fachbereichsrechnern zu finden. Versuchen Sie, einige Gruppen einzugeben und alle möglichen Eigenschaften abzufragen. Beispiel 1.5. (i.) Die spezielle orthogonale Gruppe SO(2) (Drehungen der Ebene R 2 ) ist eine Untergruppe von S(R 2 ), operiert also effektiv auf R 2. Die Bahnen sehen so aus:

9 7 (ii.) (iii.) In 1.1 ist der Stabilisator des Eckpunkts 1 gleich {id, τ}. Sei G eine Gruppe. Durch l : G G G, (a, x) ax, ist eine Operation von G auf sich selbst erklärt, sodass für alle a G die Abbildung l a gerade die Linkstranslation mit a ist: l a : G G, x ax. Die Operation l ist effektiv: x G gilt: ax = x a = e (Kürzungsregel). Korollar 1.6 (Satz von Cayley). Beweis. Wähle M = G und l wie oben. Korollar 1.7. G endlich n N mit G S n. Jede Gruppe G besitzt eine effektive Permutationsdarstellung. Beweis. Wähle n = G und argumentiere wie oben, um einen Gruppenmonomorphismus G S n zu erhalten. Identifiziere dann G mit seinem Bild. Beispiel 1.8. Sei G eine Gruppe. Durch k : G G G, (a, x) axa 1, ist eine Operation von G auf sich selbst erklärt, sodass für alle a G die Abbildung k a gerade die Konjugation mit a ist: k a : G G, x axa 1. Die Operation k ist transitiv genau dann, wenn G = {e}. Sie ist effektiv genau dann, wenn für das Zentrum Z(G) := {a G axa 1 = x x G} von G gilt Z(G) = {e}. Definition 1.9. In obiger Situation heißt die Bahn G(x) = {axa 1 a G} =: [x] die Konjugiertenklasse von x (in G). Gilt y [x], so sagen wir, y ist konjugiert zu x und schreiben x y. Der Stabilisator G x = {a G axa 1 = x} =: Z G (x) heißt der Zentralisator von x (in G). Weiter schreiben wir Inn(G) := {k a a G} Aut(G) und nennen jedes Element von Inn(G) einen inneren Automorphism von G. Zur späteren Verwendung halten wir nun noch folgende Eigenschaften fest: Lemma Sei G eine Gruppe. Dann gilt: (i.) Z(G) ist abelsch und Z(G) G. (ii.) Für alle x G gilt: (iii.) (iv.) Beweis. Durch Z G (x) = G x Z(G) G Inn(G), a k a, ist ein Gruppenepimorphismus mit Kern Z(G) erklärt. Insbesondere gilt: G/Z(G) zyklisch G abelsch. G/Z(G) = Inn(G) (i.)-(iii.) folgt direkt aus den Definitionen, (iv.) behandeln wir in den Aufgaben. Der folgende Satz 1.13 ist ein zentraler Satz über Gruppenoperationen. Er ist unser wichtigstes Hilfsmittel bei Beweisen innerhalb der Sylowtheorie. Zur Formulierung des Satzes benötigen wir:

10 8 KAPITEL 1. GRUPPENOPERATIONEN Definition Sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Dann heißt eine Teilmenge V M ein vollständiges Vertretersystem bezüglich, falls gilt: x M! v V mit x v Beispiel Auf der Menge der Gruppen der Ordnung 4 ist durch Isomorphie eine Äquivalenzrelation erklärt. Ein vollständiges Vertretersystem ist {C 4, C 2 C 2 }. Satz 1.13 (Bahnbilanzgleichung). Die Gruppe G operiere vermöge τ auf der endlichen Menge M. Sei V ein vollständiges Vertretersystem bezüglich τ. Dann gilt: (i.) M(x) = [G : G x ]. (ii.) M = x V M(x) = x V [G : G x]. Beweis. (i.) Durch τ(a, x) ag x ist eine Bijektion von M(x) auf die Menge der Linksnebenklassen von G x erklärt. (ii.) folgt direkt aus (i.), wenn man berücksichtigt, dass M die disjunkte Vereinigung der Linksnebenklassen ist. Korollar 1.14 (Klassengleichung). Seien G eine endliche Gruppe und V G ein vollständiges Vertretersystem bezüglich der Konjugation. Dann gilt: (i.) [x] = [G : Z G (x)]; (ii.) G = Z(G) + x V [G:Z G(x)]>1 [G : Z G (x)]. Beweis. Dies ist Satz 1.13 für die Konjugation, denn wegen 1.10(ii.) gilt in (ii.): [G : Z G (x)] > 1 x / Z(G) Die Anwendungen von 1.13 und 1.14 in der Sylowtheorie sind Thema des nächsten Kapitels. Dabei beweisen wir nur den Teil, der in Artin s Beweis des Fundamentalsatzes eingeht. Wir studieren aber typische Anwendungen. Hier ist ein Amuse Gueule: Korollar (i.) (ii.) Beweis. Seien p k, k 1, eine Primzahlpotenz und G eine Gruppe mit G = p k. Dann gilt: p Z(G) Insbesondere ist Z(G) > 1. Ist p eine Primzahl, so ist jede Gruppe der Ordnung p 2 abelsch. (i.) Sei V G ein vollständiges Vertretersystem bezüglich Konjugation. Wegen der Klassengleichung genügt es zu zeigen, dass für alle x V mit [G : Z G (x)] > 1 gilt p [G : Z G (x)]. Dies ist aber klar, denn nach Lagrange gilt [G : Z G (x)] G = p k. (ii.) Wegen (i.) gilt p Z(G), es folgt Z(G) {p, p 2 }. Gilt Z(G) = p 2, so ist G = Z(G) und somit G abelsch nach 1.10(i.). Wäre Z(G) = p, so wäre auch [G : Z(G)] = p, also wäre G/Z(G) zyklisch und somit G abelsch nach 1.10(iv.). Somit ergibt sich der Widerspruch G = Z(G).

11 Kapitel 2 Die Sätze von Sylow Im Hinblick auf die Geschichte der Mathematik befinden wir uns nach wie vor im 19. Jahrhundert: Sylow hat seine Sätze 1872 bewiesen (die Durchnummerierung der Sätze in der Literatur ist nicht einheitlich). Inhaltlich ist es unser Ziel, Aussagen über die Struktur einer endlichen Gruppe G zu machen, indem wir die Zerlegung von G in Primfaktoren studieren (in den Aufgaben haben wir schon Gruppen der Ordnung 6 = 2 3 klassifiziert). Wir schreiben P := {p N p Primzahl}. Satz 2.1 (Cauchy). Seien G eine endliche Gruppe und p P ein Teiler von G. Dann enthält G ein Element der Ordnung p. Beweis. Sei M := {(a 1,..., a p ) a i G, a 1 a p = e}. Dann gilt M = G p 1, denn ist (a 1,..., a p ) M, so ist a p bereits duch a 1,..., a p 1 bestimmt. Es folgt insbesondere p M. Wir betrachten den Zykel σ = ( p) S p und die zyklische Untergruppe U = σ S p. Setzt man σ.(a 1,..., a p ) := (a 2,..., a p, a 1 ) und induktiv σ k.(a 1,..., a p ) = σ(σ k 1.(a 1,..., a p )), k 2, so ergibt sich dadurch eine Operation von U auf M : a 1 a p = e a 2 a p a 1 = a 1 1 a 1 a 2 a p a 1 = a 1 1 }{{} a 1 = e, =e also ist mit (a 1,..., a p ) auch (a 2,..., a p, a 1 ) in M enthalten. Wir betrachten nun die zugehörigen Bahnen und ihre Länge (d.h. die Anzahl ihrer Elemente). Dann hat die Bahn von (a 1,..., a p ) M die Länge 1 genau dann, wenn a 1 =... = a p. Alle anderen Bahnen haben Länge p. Schreiben wir M 0 := {(a,..., a) a G, a p = e} }{{} p mal sowie M für die Vereinigung der Bahnen der Länge p, so gilt M = M 0. M. Also liefert die Bahnbilanzgleichung 1.13 p M 0. Aus M 0 1 (wegen (e,..., e) M 0 ) folgt dann M 0 p. Also gibt es ein weiteres Element e a M 0. Für dieses gilt dann p = ord(a), also enthält G ein Element dieser Ordnung. 9

12 10 KAPITEL 2. DIE SÄTZE VON SYLOW Satz 2.2 (1. Sylowsatz). Seien G eine endliche Gruppe, p P und k N mit p k G. Dann existiert eine Untergruppe U G mit U = p k. Beweis. Durch Induktion nach G. Die Aussage ist klar für G = 1 (und k = 0). Sei also nun G > 1 (und k 1). Wir setzen voraus, dass die Aussage für alle Gruppen der Ordnung < G gilt und unterscheiden zwei Fälle: (i.) (ii.) p Z(G) : Nach dem Satz von Cauchy gibt es dann ein a Z(G) mit ord(a) = p. Dann ist N := a Z(G) G eine Untergruppe der Ordnung p. Ist also k = 1, so können wir U = N wählen. Andernfalls beachten wir, dass wegen a Z(G) sogar N G gilt und setzen G := G/N. Wegen p k G gilt dann p k 1 1 p G = G. Also liefert die Induktionsvoraussetzung eine Untergruppe U G mit U = p k 1. Ist dann π : G G, g g, die kanonische Projektion, so ist U := π 1 (U) G eine Untergruppe und der Homomorphiesatz liefert U/N = U. Es folgt U = N U = pp k 1 = p k. p Z(G) : Wegen p G und der Klassengleichung 1.14 gibt es dann ein x G \ Z(G) mit p [G : Z G (x)]. Aus p k G folgt dann p k Z G (x). Wegen [G : Z G (x)] > 1, also Z G (x) < G, liefert die Induktionsvoraussetzung die gewünschte Untergruppe U Z G (x) G. Definition/Bemerkung 2.3. Seien G eine Gruppe und p P. Dann heißt G eine p-gruppe, wenn die Ordnung jedes Elements von G eine Potenz von p ist. Ist G endlich so ist dies nach dem Satz von Cauchy äquivalent dazu, dass G eine Potenz von p ist. Definition 2.4. Seien G eine Gruppe, p P und U G eine Untergruppe. Dann nennen wir U eine p-untergruppe von G, wenn U eine p-gruppe ist. Wir nennen U eine p-sylowgruppe von G, wenn U eine maximale p-untergruppe von G ist (d.h. U ist eine p-untergruppe und es gibt keine p-untergruppe V G mit U V ). Wir schreiben Syl p (G) := {S G S p-sylowgruppe von G} sowie s p := Syl p (G). Beispiel 2.5. In S 3 gibt es genau drei 2-Sylowgruppen, nämlich die durch Transpositionen erzeugten Untergruppen, und eine 3-Sylowgruppe, die von den Dreierzykeln erzeugt wird. Wir fassen nun weitere Resultate der Sylowtheorie ohne Beweis zusammen (die Beweise ergeben sich im Wesentlichen so wie die bisherigen Beweise in diesem Kapitel, nämlich durch Anwenden der Bahnbilanzgleichung für verschiedene Gruppenoperationen; siehe Literatur). Wie wir gleich sehen werden, erlauben es uns diese Resultate insbesondere, bei einer gegebenen endlichen Gruppe Aussagen über die Zahlen s p zu machen. Im Hinblick auf die Frage nach möglichen Untergruppen der gegebenen Gruppe (man denke etwa an entsprechende Fragen in GdM- oder AgS-Prüfungen), werden wir dadurch mehr Sicherheit erlangen. Satz 2.6 (2. Sylowsatz). Seien G eine endliche Gruppe und p P mit p G. Dann gilt: (i.) Eine Untergruppe S G ist genau dann eine p-sylowgruppe von G, wenn es ein k N gibt mit S = p k und p k G aber p k+1 G. (ii.) Jede p-untergruppe von G ist in einer p-sylowgruppe von G enthalten. (iii.) Je zwei p-sylowgruppen S 1, S 2 von G sind zueinander konjugiert, d.h. a G, sodass S 2 = as 1 a 1. Mit S G ist auch jede Konjugierte asa 1, a G, eine p-sylowgruppe von G. (iv.) Es gilt s p G und s p 1 mod p. Gilt in obiger Situation s p = 1, so gibt es genau eine p-sylowgruppe von G. Diese muss dann mit ihren Konjugierten übereinstimmen, ist also per Definition ein Normalteiler von G. Diese erste Folgerung lässt bereits erahnen, dass sich aus den Sylowsätzen starke Aussagen über die Struktur endlicher Gruppen ergeben.

13 Beispiel 2.7. Es gilt Z 20 = 2 2 5, also ist jede Untergruppe S Z 20 mit S = 5 eine 5-Sylowgruppe von Z 20. Wegen s 5 20 und s 5 1 mod 5 folgt s 5 = 1. Also existiert genau eine Untergruppe der Ordnung 5 von Z 20, nämlich 4 = { 0, 4, 8, 12, 16}. Diese ist dann notwendig ein Normalteiler von Z 20. Wir behandeln nun eine typische Anwendung der Sylowsätze, aus der sich insbesondere ergibt, dass jede Gruppe der Ordnung 15 zyklich ist. Wir zeigen zunächst: Lemma 2.8. Sei G eine Gruppe der Ordnung G = p k q mit p, q P, k 1 und q 1 mod p. Dann enthält G genau eine p-sylowgruppe und diese ist ein Normalteiler von G. Beweis. Es gilt s p G = p k q und s p 1 mod p. Es folgt s p q und somit s p = 1 wegen q 1 mod p. Die Behauptung folg wie oben. Beispiel 2.9. Für die alternierende Gruppe A 4 gilt A 4 = 2 2 3, aber obiges Lemma lässt sich wegen 3 1 mod 2 nicht anwenden, um s 2 zu bestimmen. Mit Hilfe des zweiten Sylowschen Satzes ergibt sich lediglich s 2 {1, 3}. Mit V := {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} = C 2 C 2 können wir eine 2-Sylowgruppe von A 4 direkt angeben. Tatsächlich ist V die einzige solche Untergruppe, denn A 4 besteht aus den Elementen von V zusammen mit acht 3-Zykeln (es gilt s 3 = 4). Insbesondere ist V ein Normalteiler von A Sart zyklisch. Seien p, q P mit p < q und q 1 mod p. Dann ist jede Gruppe G der Ordnung pq Beweis. Nach 2.8 existieren jeweils genau ein P Syl p (G) und genau ein Q Syl q (G) und es gilt: (i.) P und Q sind Normalteiler in G; (ii.) P Q = {e}, denn P und Q haben teilerfremde Ordnungen; (iii.) P Q := {ab a P, b Q} = G, denn wegen gilt P Q = pq = G. ab = a b a 1 a = b b 1 P Q = {e} a = a, b = b Mit (i.)-(iii.) sind nun die Voraussetzungen von Aufgabe 5 erfüllt, es folgt P Q = G. Wegen P = Z p und Q = Z q liefert der Chinesische Restsatz G = Z pq. Also ist G zyklisch. Beispiel Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch. Sie sollten bereits jetzt ein Gefühl dafür haben, wie man die Sylowschen Sätze anwendet. Weitere Anwendungsbeispiele finden sich in den Aufgaben.

14 12 KAPITEL 2. DIE SÄTZE VON SYLOW

15 Kapitel 3 Auflösbare Gruppen In diesem Kapitel schaffen wir die gruppentheoretischen Voraussetzungen für den Beweis des Satzes von Abel. Definition 3.1. Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn es eine Kette von Untergruppen G = G 0 G 1... G n = {e} mit G i G gibt, sodass für alle i {0,..., n 1} gilt: (i.) G i+1 G i und (ii.) G i /G i+1 ist abelsch. Wir nennen diese Kette dann Normalreihe mit Faktoren G i /G i+1, i = 0,..., n 1 Lemma 3.2. (i.) (ii.) Sei G eine Gruppe. Dann gilt: Sind G auflösbar und U G eine Untergruppe, so ist auch U auflösbar. Ist N G ein Normalteiler, so ist G auflösbar genau dann, wenn N und G/N auflösbar sind. Beweis. Als kleine Übung für zuhause überlasse ich es Ihnen, zu zeigen, dass die folgenden Normalreihen auch wirklich solche sind. (i.) (ii.) Ist G = G 0... G n = {e} eine Normalreihe in G, so ist U = G 0 U... G n U = {e} eine solche in U. Wenn G auflösbar ist, so ist nach (i.) auch N auflösbar. Ist weiter G = G 0... G n = {e} eine Normalreihe in G, und fassen wir alle G i /(G i N) als Untergruppen von G/N auf, so ist G/N = G 0 /(G 0 N)... G n /(G n N) = {N} eine Normalreihe in G/N. Sind umgekehrt Normalreihen N = N 0... N k = {e} in N und G/N = V 0... V l = {N} in G/N gegeben und ist π : G G/N die kanonische Projektion, so ist G auflösbar mit Normalreihe G = π 1 (V 0 )... π 1 (V l ) N = N 0... N k = {e} Satz 3.3. Eine endliche Gruppe G ist auflösbar genau dann, wenn es eine Kette G = G 0... G n = {e} von Untergruppen G i von G gibt, sodass für alle i {0,... n 1} gilt: (i.) G i+1 G i und (ii.) G i /G i+1 P. Die G i /G i+1 sind dann zyklisch und damit insbesondere abelsch. Beweis. Siehe Aufgaben. 13

16 14 KAPITEL 3. AUFLÖSBARE GRUPPEN Beispiel 3.4. (i.) (ii.) (iii.) Ist G abelsch, so ist G auflösbar: G = G 0 G 1 = {e}. Die symmetrische Gruppe S 3 ist auflösbar, denn S 3 A 3 {id} und es gilt: A 3 = ker(sign : S 3 {±1}) S 3, {id} S 3, S 3 /A 3 und A 3 /{id} haben Primzahlordnung 2 bzw. 3. Die symmetrische Gruppe S 4 ist auflösbar: Betrachte S 4 A 4 V ( {id, (12)(34)}) {id} mit V = C 2 C 2 wie in 2.9 und argumentiere wie in (ii.). Wir betrachten weitere Beispiele: Satz 3.5. Ist p P, so ist jede p-gruppe auflösbar. Beweis. Wir führen Induktion nach k durch, wobei p k die Gruppenordnung ist. Die Aussage ist klar für k = 0. Sei also nun k 1 und jede Gruppe der Ordnung p l, 0 l k 1 auflösbar. Sei G eine Gruppe mit G = p k. Wegen Korollar 1.15(i.) gilt dann Z(G) > 1. Also gibt es ein 0 l k 1 mit G/Z(G) = p l. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann also G/Z(G) auflösbar. Da Z(G) als abelsche Gruppe ebenfalls auflösbar ist, folgt die Induktionsbehauptung aus 3.2(ii.). Satz 3.6. Sind p, q P, so ist jede Gruppe der Ordnung pq auflösbar. Beweis. Sei G eine Gruppe mit G = pq. Gilt p = q, so sind wir fertig nach 1.15(ii.) oder 3.5. Gilt aber p q, etwa p > q, so gibt es nach 2.8 eine eindeutig bestimmte p-sylowgruppe P in G und diese ist Normalteiler. Also ist G P {e} wegen G/P = q und P = p eine Normalreihe in G. Beispiel 3.7. Es gibt Gruppen der Ordnung pq mit p, q P, die nicht zyklisch sind. Ein Beispiel ist die symmetrische Gruppe S 3 = D 3. Man beachte, dass diese wegen S 3 = 2 3 die Voraussetzungen von 2.10 nicht erfüllt. Wichtig für die spätere Anwendung ist nun der folgende Satz: Satz 3.8. Beweis. Für alle n 5 ist die symmetrische Gruppe S n nicht auflösbar. Sei n 5. Wir nehmen an, dass S n auflösbar ist. Dann gibt es eine Normalreihe S n = G 0 G k = {id}. Wir wissen, dass S n von Dreierzykeln erzeugt wird und zeigen durch Induktion nach i, dass dann jedes G i alle Dreierzykel von S n enthält. Dies ist ein Widerspruch zu G k = {id}. Der Fall i = 0 ist klar. Sei also nun 1 i n. Wir setzen voraus, dass G i 1 alle Dreierzykel von S n enthält. Seien a, b, c {1,..., n} paarweise verschieden. Wegen n 5 gibt es weitere x, y {1,..., n}, sodass a, b, c, x, y immer noch paarweise verschieden sind. Nach Induktionsvoraussetzung gilt σ = (a b x), τ = (a c y) G i 1. Es folgt (a b c) = σ τ σ 1 τ 1 G i 1. Dieses Element wird aber unter der kanonischen Projektion G i 1 G i 1 /G i auf das Neutralelement abgebildet, da nach Voraussetzung G i 1 /G i abelsch ist. Es folgt (a b c) G i.

17 15 Korollar 3.9. Für alle n 5 ist die alternierende Gruppe A n nicht auflösbar. Beweis. Es ist A n = ker(sign : S n {±1}) und somit A n S n. Weiter ist S n /A n = 2, also ist S n /A n abelsch und damit auflösbar. Wäre A n auflösbar, so wäre auch S n nach 3.2(ii.) auflösbar im Widerspruch zu 3.8. Wir sind hier nicht weiter darauf eingegangen, wie man sich Normalreihen verschafft. Dazu mehr in den Aufgaben. Zum Schluss notieren wir einen Satz, dessen Beweis 300 Seiten umfasst: Satz (Feit-Thompson, 1963). Ist G eine Gruppe mit G < ungerade, so ist G auflösbar.