Hydrostatik Von Wasser und Luft und anderem 1. OG Stiftsschule Engelberg, Schuljahr 2016/2017
1 Die Dichte Ziele dieses Kapitels Du weisst, was die Dichte ist und wie man sie messen kann. Du kannst Berechnungen zur Dichte, zum Volumen und zur Masse korrekt durchführen. Du bist zudem sicher im Rechnen mit Einheiten und Zehnerpotenzen. Verschiedene Stoffe lassen sich durch unterschiedliche Merkmale unterscheiden: Dichte Schmelzpunkt Ausdehnung... Ein wesentliches Merkmal ist die Dichte. Die Dichte gibt an, wie viel Masse ein Körper pro Volumen hat. Gasförmige Stoffe haben eine sehr geringe Dichte (ca. 1kg/m 3 ). Die festen und flüssigen Stoffe sind rund 1000-mal dichter gepackt, wobei Flüssigkeiten in der Regel eine geringere Dichte aufweisen als feste Stoffe. 1.1 Die Dichte: Beispiele Ein Kubikmeter (Würfel mit Seitenlänge 1m) Luft hat eine Masse von 1.293kg. Das heisst, Luft hat eine Dichte von 1.293kg/m 3. Der gleiche Würfel gefüllt mit Wasser hat eine Masse von 1000kg. Die Dichte von Wasser beträgt also 1000kg/m 3. Besteht der Würfel gar aus Gold, so ist die Masse 19 290kg. Die Dichte von Gold ist demzufolge 19 290kg/m 3. 1
Das Fallbeispiel = Welcher Stoff hat die grössere Dichte? Federn oder Eisen? 1.2 Definition der Dichte Die Dichte ist definiert als Dichte = Masse Volumen ρ = m V ρ ist der griechische Buchstabe rho. Die Einheit von ρ ist 1 kg m 3, das schreibt man auch als [ρ] = 1 kg = 1 kg m 3 m3 1.3 SI-Einheiten Um physikalische Grössen wie z.b. Massen vergleichen zu können, benötigt man einen Vergleichsmassstab. Dieser Vergleichsmassstab wird Einheit genannt. Die Masszahl gibt an, wievielmal grösser die Grösse im Vergleich zur Einheit ist. Beispiel: Wenn ein Fahrrad 15.1 kg wiegt, bedeutet dass, dass es 15.1-mal so schwer ist wie ein Kilogramm: Grösse = Masszahl Einheit 15.1kg = 15.1 1kg Das international verbreitete Système international d Unités (SI-System) leitet alle physikalischen Grössen aus sieben Basisgrössen ab: 2
Basisgrösse Länge / Strecke (displacement / distance) s Masse m (mass) Zeit t (time) Elektrische Stromstärke I (current) Temperatur T (temperature) Stoffmenge n Lichtstärke L Einheit Meter m Kilogramm kg Sekunde s Ampère A Kelvin K Mol mol Candela cd 1.4 Abgeleitete Grössen und Einheiten In der Praxis werden die Basisgrössen je nach Bedarf zu neuen abgeleiteten Grössen mit ihren entsprechenden Einheiten. Die bekanntesten abgeleiteten Grössen sind Flächeninhalt A (area) in Quadratmeter m 2 Volumen V (volume) in Kubikmeter m 3 Dichte ρ (density) in Kilogramm pro Kubikmeter kg/m 3 Geschwindigkeit v (velocity / speed) in Meter pro Sekunde m/s Beschleunigung a (acceleration) in Meter pro Sekunde zum Quadrat m/s 2 Kraft F (force) in Newton N = kg m/s 2 Druck p (pressure) in Pascal = Newton pro Quadratmeter Pa = N/m 2 1.5 Umrechnung in andere Einheiten Längen: 1mm 10 1cm 10 1dm 10 1m 10 10m 10 100m 10 1km Flächeninhalte: Volumina: 1mm 2 100 1cm 2 100 1dm 2 100 1m 2 100 1a 100 1ha 100 1km 2 1mm 3 = 1µl 1000 1cm 3 = 1ml 1000 1dm 3 = 1l 1000 1m 3 1000 1 000m 3 1000 1 000 000m 3 1000 1km 3 Massen: Zeiten: 1mg 1000 1g 1000 1kg 1000 1t 1ms 1000 1s 60 1min 60 1h 24 1d 365.25 1a 3
Beispiele zur Umrechnung 0.003456km = 3.456m = 34.56dm = 345.6cm = 3456mm = 3 456 000µm 0.003456km 2 = 0.3456ha = 34.56a = 3456m 2 = 345 600dm 2 = 34 560 000cm 2 0.003456km 3 = 3 456 000m 3 = 3 456 000 000dm 3 = 3 456 000 000l = 3 456 000 000 000cm 3 50km/h = 50 000m 3600s = 13.89m/s 23 N cm = 23 10 000N 2 10 000cm = 23 10 000N 2 1m = 230 000 N 2 m 2 1.6 Zehnerpotenzen Die Physik untersucht Bauteile von Atomen aber auch weite entfernte Objekte im Universum. Die Grössen sind daher manchmal sehr gross (Distanzen im Universum) oder sehr klein (Durchmesser eines Atoms). Um solche Grössen sinnvoll darstellen zu können, werden einerseits Zehnerpotenzen 3 570 000 = 3.57 10 6 1 800 000 000 000 = 1.8 10 12 0.0035 = 3.5 10 3 0.000 000 000 096 = 9.6 10 11 aber auch Vorsilben für die Einheiten verwendet 10 12 Tera T 10 9 Giga G 10 6 Mega M 10 3 = 1 000 Kilo k 10 2 = 100 Hekto h 10 1 = 0.1 Dezi d 10 2 = 0.01 Centi c 10 3 = 0.001 Milli m 10 6 Mikro µ 10 9 Nano n Aufgaben 1. Verwandle in die Einheiten m oder kg. Bsp: 0.2 g = 0.0002 kg = 2 10 4 kg (a) 458 km = (b) 876 10 5 g = (c) 345 mm = (d) 34.1 µg = (e) 2 10 5 km = 4
2. Verwandle in die verlangten Einheiten. Bsp: 2000 kg 2000 1000 g = m3 (100 cm) 3 = 2 106 g 100 3 cm 3 = 2 106 g 10 6 cm 3 = 2 g cm 3 (a) 7 10 3 mm 2 in cm 2 (b) 1.3 kg/m 3 in g/cm 3 (c) 51.3 µm in mm (d) 10 4 mm 3 in cm 3 (e) 7 g/cm 3 in kg/m 3 (f) 16 m 2 in cm 2 (g) 0.002 m 3 in cm 3 (h) 19 g cm 3 = 19 g/cm 3 in kg m 3 (i) 3 h 23 min in s (j) 30 km/h in m/s 3. Wägen ohne Waage: Wenn das Material eines Körpers bekannt ist, so kann man auch ohne Waage seine Masse bestimmen. Voraussetzung ist allerdings, dass man eine Dichtetabelle hat. Beim Eintauchen eines unregelmässig geformten Stückes aus Blei in einen Messzylinder steigt der Wasserspiegel wie abgebildet. Wie gross ist die Masse des Bleistücks? 4. Bestimme das Volumen von 1 g Gold. Welche Kantenlänge hat ein Würfel mit diesem Volumen? 5. Wie viele bunte Luftballone mit 5 Liter Füllvolumen können mit 100 kg Helium gefüllt werden (bei normalem Luftdruck und 0 C Temperatur)? 6. Vervollständige die Tabelle: 7.86 g/cm 3 200 cm 3 13.55 g/cm 3 0.7 kg Gold 200 cm 3 Wasser 0.7 kg 7. Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern bestimmt mit verschiedenen Stücken die Dichte von Tannenholz. Sie erhalten die Werte: 485 kg/m 3, 0.467 g/cm 3, 518.3 kg/m 3, 461.765 kg/m 3, 0.505 g/cm 3 Was würdest du mit diesen fünf Resultaten tun? 5
8. Die Masse des gezeichneten Körpers beträgt 0.189 kg. Woraus besteht er? 9. Ein Mann hat die Masse 80.0 kg. Er besitzt 5.8 l Blut der Dichte 1.06 g/cm 3. Wie viel Prozent seiner Gesamtmasse macht das Blut aus? 10. Die Dichte der Erde: Die Erde hat ein Volumen von 1080 Milliarden km 3 und eine Masse von 5.98 Trilliarden Tonnen (eine Trilliarde ist eine 1 mit 21 Nullen). (a) Bestimme die (mittlere) Dichte der Erde aus diesen Angaben in t/m 3 und in kg/dm 3. (b) An der Erdoberfläche misst man eine durchschnittliche Dichte von 2.8. Was kannst du daraus für das Innere der Erde folgern? 11. Auch Sonnen sterben! In etwa 10 Milliarden Jahren wird unserer Sonne der Brennstoff ausgehen. Kurz davor wird sie noch viel heisser als sie jemals war und dehnt sich sehr weit ins Weltall zu einem Roten Riesen aus. Ist ihr Brennstoff verbraucht, fällt sie in sich etwa auf die Grösse unseres Planeten zusammen. Sie wird zu einem Weissen Zwerg, der allmählich auskühlt. (a) Beschreibe wie sich die Dichte der Sonne bei dem gesamten Vorgang ändert. (b) Die Masse der Sonne beträgt 1 989 000 Trilliarden Tonnen. Das Volumen der Erde beträgt 1 080 Milliarden km 3. Schätze die Dichte eines Weissen Zwerges. (c) Welche Masse hätte ein Würfel von einem Zentimeter Kantenlänge aus dem Material des Weissen Zwerges? 12. Dichteänderung von Wasser: Ein 200-ml-Messbecher wird mit Wasser der Temperatur 4 C bis zum Rand gefüllt. Der Messbecher werde auf 80 C erhitzt, dabei laufen 6.0 g Wasser über, sofern sich der Messbecher überhaupt nicht ausdehnen würde. (a) Wie gross ist die Dichte des Wassers bei 80 C? (b) Was kann man über die ausgelaufene Wassermenge sagen, wenn die Ausdehnung des Messbechers nicht vernachlässigt wird? 6
Lösungen 1. (a) 458 km = 4.58 10 5 m (b) 876 10 5 g = 8.76 10 4 kg (c) 345 mm = 0.345 m = 3.45 10 1 m (d) 34.1 µg = 3.41 10 8 kg (e) 2 10 5 km = 2 10 8 m 2. (a) 7 10 3 mm 2 = 70 cm 2 (b) 1.3 kg/m 3 = 0.0013 g/cm 3 = 1.3 10 3 g/cm 3 (c) 51.3 µm = 0.0513 mm = 5.13 10 2 mm (d) 10 4 mm 3 = 10 cm 3 (e) 7 g/cm 3 = 7000 kg/m 3 (f) 16 m 2 = 1.6 10 5 cm 2 (g) 0.002 m 3 = 2 10 3 cm 3 (h) 19 g cm 3 = 19 g/cm 3 = 19 000 kg m 3 (i) 3 h 23 min = 12 180 s (j) 30 km/h = 8.33 m/s 3. Körpervolumen V = 8 ml = 8 cm 3 Masse m = ρ V = 90.72 g 4. V = 51.84 mm 3 Kantenlänge: a = 3 V = 3.73 mm 5. ca. 110 000 Ballone 6. Eisen 7.86 g/cm 3 200 cm 3 1.57 kg Quecksilber 13.55 g/cm 3 200 cm 3 0.7 kg Gold 19.29 g/cm 3 200 cm 3 3.86 kg Wasser 1 g/cm 3 700 cm 3 0.7 kg 7. In gleiche Einheiten verwandeln. Mittelwert berechnen: 487 kg/m 3 Fehler abschätzen: ±28 kg/m 3 Resultat angeben: Dichte von Tannenholz 490 kg/m 3 ± 30 kg/m 3 8. V = 18 cm 3, ρ = 10 500 kg/m 3, Silber 9. m Blut = ρ Blut V Blut = 6.15 kg Anteil: m Blut m 10. (a) ρ Erde = m Erde V Erde 6.15 kg = 80 kg = 0.077 = 7.7% = 5.54 t m = 5.54 kg 3 dm 3 (b) Das Erdinnere muss eine grössere Dichte als das Ergebnis aus Teilaufgabe (a) haben. Nur so kann sich aus der kleineren Dichte an der Erdoberfläche und einer höheren Dichte im Inneren der Erde die berechnete mittlere Dichte ergeben. (Der Erdkern besteht aus Metall: Eisen und Nickel.) 7
11. (a) Masse wird als konstant angenommen (grobe Näherung) (i) Sonne wird Roter Riese : Volumen nimmt zu, Dichte nimmt ab (ii) Roter Riese wird Weisser Zwerg : Volumen nimmt ab, Dichte nimmt zu (b) ρ Z = m Z V Z = 1.842 10 6 t m 3 (c) m = ρ V = 1.842 t 12. (a) Wasser von 4 C hat die Dichte von 1.00 g/cm 3. Somit ist die Masse des Wassers im Messbecher: m 4 = ρ 4 V = 200 g Da 6.0 g des Wassers ausgelaufen sind, hat das heisse Wasser im Messbecher noch die Masse m 80 = 194 g. Für die Dichte des heissen Wassers gilt dann: ρ 80 = m 80 V 0.97 g/cm3 (b) Berücksichtigt man die Ausdehnung des Messbechers, so wird dessen Volumen grösser. Somit läuft weniger oder eventuell gar kein Wasser aus. 8