Ähnlichkeit, Abbildungsbegriff Inhaltsverzeichnis 1 Längenmass, Winkelmass, Flächenmass 2 1.1 Längenmessung, Zahlbegriff.............................. 2 1.2 Winkelmessung..................................... 4 1.3 Flächeninhalt, Rechtecke und Dreiecke........................ 4 2 Vergrössern, verkleinern 5 2.1 Strahlensätze...................................... 6 2.2 Zentrische Streckung.................................. 10 2.2.1 Eigenschaften der zentrischen Streckung.................. 10 2.2.2 Ähnlichkeit von Figuren........................... 11 3 Ähnlichkeitsabbildungen 12 4 Anwendungen 14 4.1 Schwerpunkt eines Dreiecks, Satz von Ceva..................... 14 4.2 Winkelhalbierende im Dreieck, Kreis des Apollonius................ 17 4.2.1 Winkelhalbierende im Dreieck......................... 17 4.2.2 Kreis des Apollonius.............................. 18 4.3 Ähnlichkeit und Kreis................................. 19 4.4 Satz des Ptolemäus................................... 20 5 Zum Abbildungsbegriff 21 5.1 Abbildungen als Konstruktionshilfsmittel...................... 21 5.1.1 Beispiele..................................... 21 5.1.2 Heuristische Hilfen zur Lösung von Konstruktionsaufgaben........ 22 5.2 Zur Entwicklung des Abbildungsbegriffs in der Geometrie............. 22 5.2.1 Euklid..................................... 22 5.2.2 L. Euler.................................... 22 5.2.3 A.F. Möbius.................................. 23 5.2.4 F. Klein..................................... 23 1
1 Längenmass, Winkelmass, Flächenmass 1.1 Längenmessung, Zahlbegriff Der Kongruenzbegriff führt auf den Begriff der Länge einer Strecke: Kongruenzklasse kongruenter Strecken. Die Möglichkeit der kongruenten Übertragung von Strecken führt auf die Addition von Strecken. Zeichnet man nun eine beliebige Kongruenzklasse als Einheitsstrecke e aus, so kann bezüglich dieser Einheitstrecke jeder Strecke AB eine Längenmasszahl L(AB) zugeordnet werden. (Bemerkung: In der hyperbolischen Geometrie ist dies nicht sinnvoll, da es dort natürliche Referenzlängen gibt.) Die Punkte der Ebene erhalten so eine metrische Struktur: (L1) L(A,A) = 0 (L2) L(A,B) = 0 A = B (L3) L(A,B) = L(C,D), wenn die Strecken AB und CD kongruent sind. (L4) L(A,B) L(A,C)+L(C,B), = gilt genau dann, wenn C zwischen A und B liegt. Operativ: Herstellung eines Messlineals, Zeichnen eines Zahlenstrahls, einer Zahlengeraden. Durch fortgesetztes Abtragen der Einheitsstrecke auf einer Geraden ergibt sich eine abstandsgleiche Punktreihe. Verfeinerung: Die Einheitsstrecke e lässt sich mit einem einfachen Verfahren in eine beliebige Anzahl gleicher Teile teilen, wie im Folgenden gezeigt wird. Satz 1.1 Es seien g 1, g 2 und g 3 parallele Geraden, die von zwei Geraden g und h geschnitten werden. Wenn die Schnittpunkte A 1, A 2, und A 3 auf der Geraden g eine abstandsgleiche Punktreihe bilden, dann bilden auch die entsprechenden Schnittpunkte B 1, B 2, und B 3 auf h eine abstandsgleiche Punktreihe. g h A 1 B 1 g 1 A 2 B 2 g 2 A 3 B 3 g 3 Beweis Da die Schnittpunkte A 1, A 2, und A 3 auf der Geraden g eine abstandsgleiche Punktreihe bilden,istg 2 nachsatz7.9deshandoutsgeometrische Grundbegriffe, Kongruenz Mittelparallele zug 1 undg 3.MitdemselbenSatzfolgt,dassauchB 1,B 2,undB 3 eineabstandsgleichepunktreihe bilden. Damit folgt Satz 1.2 Eine abstandsgleiche Parallelenreihe schneidet auf einer weiteren nicht parallelen Geraden gleich lange Strecken aus. 2
e Daher lässt sich eine Einheitsstrecke e mit Hilfe von Parallelen teilen, und es lassen sich somit beliebige rationale Vielfache einer Einheitsstrecke konstruieren. Es ergibt sich so die Vorstellung eines Messlineals mit rationalen Zahlen: Zahlenstrahl. Zwei Strecken a und b auf einem solchen Messlineal sind untereinanderkommensurabel. (Zwei Strecken a undbheissen kommensurabel, wenn sie ein gemeinsames Mass besitzen, das heisst wenn es eine Strecke t und natürliche Zahlen n und m gibt mit a = mt und b = nt.) Es waren vermutlich die Pythagoräer, die eine fundamentale Entdeckung machten: Es gibt Figuren, in welchen Strecken vorkommen, die kein gemeinsames Mass besitzen. Satz 1.3 Nicht alle Streckenverhältnisse lassen sich durch Brüche ausdrücken. Die rationalen Zahlen reichen somit nicht aus, um jeder Strecke bezüglich einer Einheit eine Masszahl zuordnen zu können. Geometrisch lässt sich dies zum Beispiel bei der Diagonale eines Quadrats oder beim regelmässigen Fünfeck mit der schon im Altertum bekannten Wechselwegnahme zeigen: s 2 d 1 s 2 d 2 s 1 s 1 Es wird das Quadrat mit Seitenlänge s 1 und Diagonale d 1 betrachtet. s 1 und d 1 sind nicht kommensurabel. Denn die Annahme, dass es eine Strecke t mit d 1 = m 1 t, s 1 = n 1 t, wobei m 1,n 1 N gibt, führt zu einem Widerspruch: Im gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck mit Katheten der Länge s 1 und der Hypotenuse der Länge d 1 lässt sich ein weiteres gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlänge s 2 = d 1 s 1 und Hypotenusenlänge d 2 = s 1 s 2 3
einbeschreiben (siehe Figur) und die obige Annahme führt auf s 2 = n 2 t, d 2 = m 2 t für bestimmtem 2,n 2 N.DiesenProzessdenkenwirdunsfortgesetzt zuimmerkleinerendreiecken. Irgendwann unterschreitet eine Kathetenlänge s i die Länge der Strecke t, was im Widerspruch zu s i = n i t steht. Durch Hinzunahme von irrationalen Zahlen können die Lücken gefüllt werden. Den Zahlen im heutigen Sinn entsprechen in der griechischen Mathematik die Verhältnisse von Grössen. Die Proportionenlehre in Euklids Elementen, Buch V, geht auf Eudoxos (400-347) zurück. Sie gründet auf folgenden Aussagen: 1. Axiom: Sind a und b zwei Strecken, so gibt es eine natürliche Zahl n, so dass na > b ist. 2. Definition: Die Strecken a und b sowie a und b stehen im selben Verhältnis, wenn für beliebige natürliche Zahlen n und m gilt: (I) Aus na > mb folgt na > mb (II) Aus na = mb folgt na = mb (III) Aus na < mb folgt na < mb. Es werden so Äquivalenzklassen von Streckenpaaren (a, b) ausgezeichnet. Jede Äquivalenzklasse teilt die Brüche m n in drei Klassen (I), (II) und (III). Die Klasse (II) enthält nur einen einzigen Bruch oder ist leer. Erst viel später wurde dieser Ansatz weiterentwickelt: Dedekindsche Schnitte zur Definition der reellen Zahlen. Die reellen Zahlen werden in der Schule als unendliche Dezimalbrüche, allenfalls auch mit Intervallschachtelungen eingeführt. Es ist eine grundlegende Annahme der Geometrie, dass es zu jeder Intervallschachtelung einen Punkt auf der Zahlengeraden gibt, der in allen Intervallen enthalten ist. (In der Fachdidaktik II kommt die Einführung der reellen Zahlen ausführlicher zur Sprache.) 1.2 Winkelmessung Der Kongruenzbegriff führt auf den Begriff der Grösse eines Winkels: Kongruenzklasse kongruenter Winkel Um eine Masszahl für Winkel anzugeben, gibt es natürliche Referenzwinkel. Man nimmt Bezug auf den Vollwinkel, den gestreckten Winkel oder den rechten Winkel. Euklid gibt Winkel in Vielfachen, respektive Bruchteilen von rechten Winkeln an. Gradmass : 1 bedeutet die Masszahl eines Winkels, der sich 360 mal in einem vollen Winkel abtragen (durch Kongruenz definiert) lässt. Die Masszahl der (geometrisch definierten) Summe zweier Winkel ist die Summe der Masszahlen der beiden Winkel: das Winkelmass ist additiv. Diese Vorstellung liegt dem Transporteur, unserem Winkelmesser zugrunde. Die Bogenlänge eines Winkels ist ebenfalls ein additives Winkelmass. Im Prinzip lässt sich die Grösse eines Winkels auch durch die Länge der zugehörigen Sehne im Einheitskreis angeben ( Sehnenrechnung der Griechen) oder beispielsweise durch den Tangens. Aber dies wären keine additiven Winkelmasse. 1.3 Flächeninhalt, Rechtecke und Dreiecke Der Inhalt A(F) einer Figur F soll folgende Eigenschaften besitzen: 4
(A1) Ist Q ein Einheitsquadrat, das heisst ein Quadrat mit der Seitenlänge 1, dann gilt: A(Q) = 1. (A2) Sind F 1 und F 2 kongruente Figuren, dann gilt: A(F 1 ) = A(F 2 ). (A3) Zerfällt eine Figur F in die Teilfiguren F 1 und F 2, dann gilt: A(F) = A(F1)+A(F2). (A4) Ist die Figur F 1 in der Figur F 2 enthalten, dann gilt: A(F 1 ) A(F 2 ). Satz 1.4 Ein Rechteck R mit den Seitenlängen a und b besitzt den Flächeninhalt A(R) = a b. Beweis Mit (A1) - (A3) erhält man die Formel für den Inhalt von Rechtecken im Fall von natürlichen und von rationalen Seitenlängen. Mit der Inhaltsformel bei rationalen Seitenlängen erhält man die Inhaltsformel für beliebige Rechtecke durch Einschachteln unter Verwendung von (A4): Es gilt R i R R i und wegen (A4) damit A ( R i ) A(R) A ( Ri ), wobei R i das Rechteck mit den Seiten a i,b i und R i das Rechteck mit den Seiten A i,b i ist, und (a i ),(b i ) monoton wachsende Folgen aus Q mit lim i a i = a und lim i b i = b und (A i ),(B i ) monoton fallende Folgen aus Q mit lim i A i = a und lim i B i = b sind. Satz 1.5 Ein Dreieck mit der Seite a und der zugehörigen Höhe h a besitzt den Flächeninhalt Beweis Dies folgt mit (A2) und (A3). a h a 2 2 Vergrössern, verkleinern Empirische Erfahrungen: Das Vergrössern und Verkleinern einer Figur, zum Beispiel eines Polygons führt auf die Beobachtung der Invarianz von Winkeln und Streckenverhältnissen. Dies führt zu den vorläufigen Definitionen Figuren sind ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben. Figuren sind ähnlich, wenn entsprechende Winkel und entsprechende Streckenverhältnisse gleich gross sind. Für Dreiecke vermutet man die Ähnlichkeitssätze: Dreiecke sind ähnlich, wenn entsprechende Winkel gleich gross sind. Dreiecke sind ähnlich, wenn entsprechende Seitenverhältnisse gleich sind. Fragen, die sich nun stellen: Kann man solche Ähnlichkeitssätze auf Grund des Bisherigen beweisen? Kann man Ähnlichkeit mit Hilfe von Abbildungen definieren? 5
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt 2.1 Strahlensätze Aus dem Satz 1.1 über abstandsgleiche Punktreihen und der Eigenschaft von Parallelogrammen, dass gegenüberliegende Seiten gleichlang sind, folgt ein wichtiger Satz: Satz 2.1 (Mittellinien im Dreieck) Die Parallele durch den Mittelpunkt einer Dreieckseite zu einer weiteren Seite schneidet die dritte Seite in deren Mittelpunkt. Jede Verbindungsstrecke zweier Seitenmittelpunkte (Mittellinie) ist parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese. C M b M a A M c B Dieser Satz lässt sich auch als Spezialfall der sogenannten Strahlensätze auffassen: O A 1 A 2 B 1 B 2 Es sei OB 1 = 2 OA 1. Dann gilt: (1) [A 1 A 2 ] [B 1 B 2 ] OB 2 = 2 OA 2 ( : 1. Strahlensatz, : Umkehrung des 1. Strahlens.) (2) [A 1 A 2 ] [B 1 B 2 ] B 1 B 2 = 2 A 1 A 2 (2. Strahlensatz) Verallgemeinerung: Satz 2.2 (1. und 2. Strahlensatz für rationale Streckenverhältnisse) ImDreieck OB 1 B 2 sei A 1 ein Punkt auf [OB 1 ] mit OA 1 OB 1 rational und A 2 ein Punkt auf [OB 2 ]. Sei [A 1 A 2 ] [B 1 B 2 ]. 6
Dann gilt OA 1 OB 1 = OA 2 OB 2 (1. Strahlensatz) Beweis A 1 A 2 B 1 B 2 = OA 1 OB 1 (2. Strahlensatz) 1. Strahlensatz: Eine passende Parallelenreihe parallel zu A 1 A 2 schneidet auf [OB 2 ] eine abstandsgleiche Punktreihe aus. 2. Strahlensatz: Eine passende Parallelenreihe parallel zu OB 1 schneidet auf [A 1 A 2 ] und [B 1 B 2 ] je abstandsgleiche Punktreihen aus. Die Abstände auf den beiden Punktreihen sind wegen der Kongruenz von gegenüberliegenden Parallelogrammseiten gleich gross. O A 1 A 2 B 1 B 2 Verallgemeinerung auf beliebige reelle Streckenverhältnisse: Satz 2.3 (1. Strahlensatz) Im Dreieck OB 1 B 2 sei A 1 ein Punkt auf [OB 1 ] und A 2 ein Punkt auf [OB 2 ]. Sei [A 1 A 2 ] [B 1 B 2 ]. Dann gilt: 1. Beweis: Flächeninhaltsüberlegung OA 1 OB 1 = OA 2 OB 2 OA 1 OB 1 = A(OA 1A 2 ) A(OB 1 A 2 ) = A(OA 1A 2 ) A(OB 2 A 1 ) = OA 2 OB 2 7
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt O A 1 A 2 B 1 B 2 2. Beweis: Intervallschachtelung Durch fortgesetzte Streckenhalbierungen folgt aus dem 1. Strahlensatz für rationale Verhältnisse, dass sich OA 1 und OA 2 höchstens um 1 OB 1 OB 2 2, 1 4, 1... unterscheiden, also gleich sind. 8 B 2 T 21 A 2 T 23 T 22 O T 11 T 13 T 12 A 1 B 1 Satz 2.4 (2. Strahlensatz) Im Dreieck OB 1 B 2 sei A 1 ein Punkt auf [OB 1 ] und A 2 ein Punkt auf [OB 2 ]. Sei [A 1 A 2 ] [B 1 B 2 ]. Dann gilt: A 1 A 2 B 1 B 2 = OA 1 OB 1 Beweis Dies lässt sich mit Hilfe des ersten Strahlensatzes zeigen, wenn man die Parallele zu A 1 A 2 durch O mit den Parallelen zu OA 1 durch A 2 und B 2 schneidet und benützt, dass in einem Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. 8
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt O A 1 A 2 B 1 B 2 Noch allgemeiner gilt: Satz 2.5 Gegeben sind zwei Geraden g 1 und g 2, die sich in einem Punkt O schneiden, sowie Punkte A 1, B 1, C 1 auf der Geraden g 1 und Punkte A 2, B 2, C 2 auf der Geraden g 2. Voraussetzung: A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2. Erster Strahlensatz: Entsprechende Strahlenabschnitte stehen im gleichen Verhältnis. Zweiter Strahlensatz: Parallelenabschnitte stehen im gleichen Verhältnis wie die ihnen entsprechenden vom Zentrum O aus gemessenen Strahlenabschnitte. g 1 C 1 O A 2 B 2 g 2 C 2 A 1 B 1 Es gilt auch Satz 2.6 (Umkehrung des ersten Strahlensatzes) Gegeben sind zwei Geraden g 1 und g 2, die sich in einem Punkt O schneiden. Stehen Streckenabschnitte auf g 1 und g 2 im selben Verhältnis, so sind die zugehörigen Querstrecken parallel. Beweis Es seien A 1, B 1 Punkte auf der Geraden g 1 und A 2, B 2 auf der Geraden g 2 für die gelte: OA 1 OB 1 = OA 2 OB 2 9
Sei h die Parallele zu A 1 A 2 durch B 1 und sei P der Schnittpunkt von h und g 2. Dann gilt auf Grund des 1. Strahlensatzes: Also ist P = B. OP = OB 1 OA 1 OA 2 = OB 2 OA 2 OA 2 = OB 2 2.2 Zentrische Streckung Definition Gegeben sind ein PunktZ und eine reelle Zahl k 0. Die zentrische Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften: (1) Z ist Fixpunkt (2) Für P Z ist der Bildpunkt P derjenige Punkt auf der Geraden PZ, für den gilt: ZP = k ZP Bemerkungen Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl ist im Unterricht natürlich erklärungsbedürftig. k ist der Vergrösserungs- respektive Verkleinerungsfaktor. Die zentrische Streckung ist eine bijektive Abbildung der Ebene auf sich. Eine zentrische Streckung ist durch das Zentrum Z und einen Punkt A Z und seinen Bildpunkt A bestimmt. Aus den Strahlensätzen folgen die Eigenschaften der zentrischen Streckung unmittelbar. Man kann das Thema Ähnlichkeit aber auch mit der zentrischen Streckung beginnen und die Eigenschaften der zentrischen Streckung herleiten. Dabei hat man die gleichen Überlegungen wie bei der Herleitung der Strahlensätze zu machen. 2.2.1 Eigenschaften der zentrischen Streckung (1) Geraden (Strecken) werden auf parallele Geraden (Strecken) abgebildet: Die zentrische Streckung ist geradentreu und richtungstreu. (2) Winkel werden auf kongruente Winkel abgebildet: Die zentrische Streckung ist winkeltreu. (3) Die Längen von Bildstrecke und Urbildstrecke stehen im Verhältnis k : (4) Die zentrische Streckung ist verhältnistreu: (5) Das Bild eines Kreises ist ein Kreis. P Q PQ = ZP ZP = k A B = AB C D CD 10
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt Begründungen (1) folgt aus der Umkehrung des ersten Strahlensatzes: Seien P und P Punkt und Bildpunkt. Dann gilt für jeden weiteren Punkt Q und seinen Bildpunkt Q auf ZQ: ZP ZP = k = ZQ ZQ Mit derumkehrungdes ersten Strahlensatzes folgt, dassq aufder Parallelen zu PQ durch P liegt. (2) folgt aus (1). (3) folgt aus dem zweiten Strahlensatz. (4) folgt aus (3). (5) Für jeden Punkt P eines Kreises mit Mittelpunkt M und Radius r gilt: M P = k MP = k r P liegt also auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius k r. E. Wittmann ([4], S. 102 ff.) schlägt im Sinne eines operativen Zugangs vor, die zentrische Streckung mit einem einfachen Gerät, dem Pantographen (oder Storchschnabel) mit dem man Figuren vergrössern oder verkleinern kann, einzuführen. Der Begriff der zentrischen Abbildung ist für SuS nicht einfach, sodass der Pantograph zur Illustration jedenfalls gute Dienste leisten kann; ein solches Gerät kann auch einfach hergestellt werden. Ein Pantograph (siehe folgende Figur) besteht aus vier gelenkig verbundenen Stäben ZA, AP, A P und PQ, wobei die Abmessungen so sind, dass AA QP ein Parallelogramm bildet und Z, P und P auf einer Geraden liegen. Der Mechanismus ist in Z drehbar gelagert. Fährt man mit einem Abtaststift in P einer Figur entlang, so zeichnet ein Schreibstift in P eine vergrösserte Figur. Der Vergrösserungsfaktor beträgt dann ZA /ZA. Werden Abtast- und Schreibstift vertauscht, so kann man eine Figur mit dem reziproken Faktor verkleinern. P P Q Z A A 2.2.2 Ähnlichkeit von Figuren Mit Hilfe der zentrischen Streckung lässt sich nun die Ähnlichkeit von Figuren definieren: 11
Definiton Eine Figur G heisst zu einer Figur F ähnlich, wenn F zu einer Figur F zentrisch gestreckt werden kann, so dass G und F kongruent sind. Für Dreiecke lassen sich Ähnlichkeitssätze formulieren. Jedem Kongruenzsatz entspricht ein Ähnlichkeitssatz. Für Anwendungen am wichtigsten ist der folgende Ähnlichkeitssatz: Satz 2.7 (Ähnlichkeitssatz WW) Stimmen Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind sie ähnlich. Beweis In den Dreiecken ABC und A B C gelte für die Winkel α = α und β = β. ( B und C seien die Bilder von B und C unter der zentrischen Streckung Z A, A B ). AB Dann gilt: A B = AB, und die Dreiecke AB C und A B C sind nach Voraussetzung wegen dem Kongruenzsatz WSW kongruent. C C C B A B B A 3 Ähnlichkeitsabbildungen Definition Die Verkettung einer zentrischen Streckung mit einer Kongruenzabbildung heisst Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeit. Nun können wir den Begriff der Ähnlichkeit von Figuren einfacher formulieren: Definition Zwei Figuren heissen ähnlich, wenn sie sich durch eine Ähnlichkeitsabbildung aufeinander abbilden lassen. Ähnlichkeitsabbildungen sind geraden- und winkeltreu. Frage Ist jede geraden- und winkeltreue Abbildung ist eine Ähnlichkeitsabbildung? Die Antwort ist ja, wie die folgenden Überlegungen zeigen. Definition Eine geradentreue und winkeltreue Abbildung heisst gleichsinnig (ungleichsinnig), wenn die Orientierung der Winkel erhalten bleibt (ändert). 12
Bemerkung Eine Ähnlichkeitsabbildung K Z ist gleichsinnig (ungleichsinnig), wenn K gleichsinnig (ungleichsinnig) ist. Lemma 3.1 Zu zwei Strecken [AB] und [A B ] gibt es (mindestens) eine gleichsinnige (ungleichsinnige) Ähnlichkeitsabbildung, die [AB] auf [A B ] abbildet. Beweis Sei c := AB und c := A B. B sei das Bild von B unter der zentrischen Streckung Z ) (A, c. c Es ist AB = A B, und es gibt eine gleichsinnige (ungleichsinnige) Kongruenzabbildung K, die [AB ] auf [A B ] abbildet. Dann ist ) K Z (A, c c eine gleichsinnige (ungleichsinnige) Ähnlichkeitsabbildung, die [AB] auf [A B ] abbildet. A B A B B Lemma 3.2 Zu gegebenen Strecken [AB] und [A B ] gibt es höchstens eine gleichsinnige (ungleichsinnige) geraden- und winkeltreue Abbildung, die [AB] auf [A B ] abbildet. Beweis Sei C ein beliebiger Punkt ausserhalb von AB. Dann ist das Bild C wegen der Geradenund Winkeltreue eindeutig bestimmt (die Figur ist für den gleichsinnigen Fall gezeichnet). Liegt ein Punkt D auf AB, dann liegt D auf A B und auf dem einen Schenkel von (BCD), der wegen der Winkeltreue bestimmt ist. 13
C C A A B D B D Eine erste Folgerung ist Satz 3.1 Zu zwei Strecken [AB] und [A B ] gibt es genau eine gleichsinnige (ungleichsinnige) Ähnlichkeitsabbildung, welche [AB] auf [A B ] abbildet. Eine zweite Folgerung ist Satz 3.2 Eine gleichsinnige (ungleichsinnige) geradentreue und winkeltreue Abbildung ist eine gleichsinnige (ungleichsinnige) Ähnlichkeit. Man kann zeigen (nicht einfach), dass eine geraden- und winkeltreue Abbildung entweder gleichsinnig oder ungleichsinnig ist. Somit gilt Satz 3.3 Jede geraden- und winkeltreue Abbildung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. 4 Anwendungen 4.1 Schwerpunkt eines Dreiecks, Satz von Ceva Satz 4.1 Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. dieser Punkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1. Beweis Seien M a, M b und M c die Seitenmittelpunkte. Sei S der Schnittpunkt von AM a und BM b. Nach dem Satz 2.1 über Mittellinien ist M a M b AB und AB = 2 M a M b. Also ist M a das Bild von A und M b das Bild von B unter der zentrischen Streckung Z ( S, 1 2). S teilt also [AM a ] und [BMb] im Verhältnis 2 : 1. Da auch CM c die Strecke [AM a ] im Verhältnis 2 : 1 teilt, schneidet die Seitenhalbierende CM c die Seitenhalbierende AM a ebenfalls in S. 14
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt C M b M a S A B Begründung aufgrund physikalischer Überlegungen (vgl. auch [2], S.4): Postulate (1) Hebelgesetz: Eine Hantel mit den Massen m 1 und m 2 befindetsich im Gleichgewicht, wenn sie im Punkt S so unterstützt wird, dass gilt: a 1 a 2 = m 2 m 1 S heisst Schwerpunkt der Massen m 1 und m 2. a 1 a 2 S m1 m 2 (2) Jedes System von Massen hat genau einen Schwerpunkt. (3) Wenn in einem System von Massen ein Teilsystem mit zwei Massen ersetzt wird durch eine im Schwerpunkt des Teilsystems konzentrierte Masse, die gleich der Summe der ersetzten Massen ist, so ändert sich der Schwerpunkt des Gesamtsystems nicht. Wir stellen uns vor, dass in den Ecken des Dreiecks Punkte mit gleicher Masse sitzen. Übungsaufgabe Begründen Sie den Satz über die Seitenhalbierenden aufgrund der obigen Postulate anhand der untenstehenden Figuren. 15
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt C C M a S M a A B A B Verallgemeinerung In den Ecken A, B und C sitzen Punkte mit den Massen m A, m B und m C. Sind X, Y und Z die Schwerpunkte der Teilsysteme B/C, C/A und A/B, so schneiden sich die Transversalen AX, BY und CZ im Gesamtschwerpunkt S. Es ist u := BX XC = m C m B, v := CY YA = m A m C, z := AZ ZB = m B m A, und es folgt uvz = 1. C Y X S A B Z Diese Überlegung führt zum Satz von Ceva (1647-1734): Satz 4.2 (Ceva) Auf den Geraden BC, CA und AB eines Dreiecks ABC seien Punkte X C, Y A, Z B gewählt, welche die entsprechenden Seiten in den Verhältnissen u, v, w teilen. Dann gilt: Falls sich die Geraden AX, BY, CZ (Transversalen) in einem Punkt schneiden oder parallel sind, dann gilt uvw = 1. Übungsaufgabe Begründen Sie den Satz von Ceva im Fall, wo X zwischen B und C, Y zwischen C und A und Z zwischen A und B liegt. a) aufgrund der physikalischen Postulate, b) geometrisch mit Hilfe der Strahlensätze. 16
Es gilt auch die Umkehrung: Satz 4.3 Falls uvw = 1 ist, schneiden sich die Geraden AX, BY, CZ in einem Punkt oder sie sind parallel. C Y P X A Z B Beweis Wir betrachten den Fall, wo sich AX und BY in einem Punkt P schneiden. Sei Z der Schnittpunkt von CP mit AB. Dann gilt nach dem Satz von Ceva BX CX CY AY AZ BZ = 1 Da nach Voraussetzung folgt Z = Z. BX CX CY AY AZ BZ = 1 4.2 Winkelhalbierende im Dreieck, Kreis des Apollonius 4.2.1 Winkelhalbierende im Dreieck Satz 4.4 Jede Winkelhalbierende im Dreieck teilt die Gegenseite innen im Verhältnis der anliegenden Seiten. Jede Winkelhalbierende eines Aussenwinkels teilt die Gegenseite aussen im Verhältnis der anliegenden Seiten. Der Satz benützt die bekannte Sprechweise von innerer und äusserer Teilung und besagt (siehe folgende Figur): T i A T i B = T aa T a B = CA CB Übungsaufgabe Beweisen Sie den Satz anhand der folgenden Figur. Tipp: Zeichnen Sie in die Figur eine Hilfsgerade ein, so dass eine Strahlensatzfigur entsteht. 17
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt C A T i B T a 4.2.2 Kreis des Apollonius Da innere und äussere Winkelhalbierende senkrecht stehen, folgt aus Satz 4.4 Lemma 4.1 Punkte, deren Abstände von zwei gegebenen Punkten ein festes Verhältnis bilden, liegen auf einem Kreis oder auf der Mittelsenkrechten der beiden Punkte, falls das Verhältnis 1 beträgt. C A X B Y Definition Der Kreis in Lemma 4.1 heisst Kreis des Apollonius. 18
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt Es gilt auch die Umkehrung: Lemma 4.2 Liegt ein Punkt C auf dem Kreis von Apollonius über AB zu einemfesten Verhältnis u : v, dann verhalten sich die Abstände von C zu A und zu B wie u : v. Übungsaufgabe Beweisen Sie den Satz anhand er folgenden Figur. Tipp: Zeichnen Sie in die Figur eine Hilfsgerade ein, so dass eine Strahlensatzfigur entsteht. C A X B Y Somit gilt Satz 4.5 Die Menge aller Punkte C, deren Abstände von zwei gegebenen Punkten A und B ein festes Verhältnis bilden, ist der Kreis des Apollonius über [AB] zu diesem Verhältnis oder die Mittelsenkrechte von [AB], falls das Verhältnis 1 beträgt. 4.3 Ähnlichkeit und Kreis Übungsaufgabe Begründen Sie den folgenden Satz mit Hilfe des Peripheriewinkelsatzes und ähnlicher Dreiecke. Satz 4.6 Sei P ein Punkt und k ein Kreis. Für jede Gerade durch P, die den Kreis in den Punkten A und B schneidet, ist das Produkt q = PA PB konstant. 19
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt P P Liegt P im Innern des Kreises, spricht man vom Sehnensatz; liegt P im Äussern, spricht man vom Sekanten- und Tangentensatz. Übungsaufgabe Begründen Sie die folgenden Aussagen: Der Satz des Pythagoras und der Höhensatz sind Spezialfälle des Sehnensatzes und der Kathetensatz ein Spezialfall des Tangentensatzes. Der Mittelpunkt des Kreises sei M und sein Radius sei r. Dann ist ( MP ) 2 r 2 die sogenannte Potenz von P bezüglich des Kreises k. Es gilt q = PA PB ist gleich dem Betrag der Potenz von P bezüglich k. 4.4 Satz des Ptolemäus Sehnenvierecke (Vierecke, deren Eckpunkte auf einem Kreis liegen) lassen sich durch die Eigenschaft, dass sich gegenüber liegende Winkel zu 180 ergänzen, charakterisieren. Sie lassen sich aber auch durch eine Beziehung der Längen von Seiten und Diagonalen charakterisieren: Satz 4.7 (Ptolemäus) In einem Sehnenviereck ABCD mit den Seiten a, b, c, d und den Diagonalen e und f gilt ac + bd = ef. Das heisst, das Produkt der Diagonalen ist gleich der Summe der Produkte der Gegenseiten. D d c A a f e C b B 20
ETH Zürich, HS 2016 Fachdidaktik I Kristine Barro-Bergflödt Beweis Der Punkt E sei auf AC so definiert, dass ADB = EDC. Dann folgt mit dem Peripheriewinkelsatz und WW die Ähnlichkeit der Dreiecke DAB DEC und DAE DBC, daraus f c = a EC und f b = d AE und somit a c = f EC und b d = f AE. Die Summe ergibt. a c+b d = e f D d c A f E e C a b B Mit Hilfe dieses Satzes stellte Ptolemäus Sehnentafeln auf, das heisst Tafeln, die die zu einem Winkel α gehörigen Sehnen S(α) angeben. (Die heutigen Sinustafeln sind Halbsehnentafeln.) Aus dem Satz des Ptolemäus lassen sich nämlich Additionstheoreme herleiten, die es gestatten aus bekannten Sehnenwerten (Sinus-/Cosinuswerten) weitere Werte zu berechnen. Bemerkung Es gilt auch die Umkehrung: Jedes Viereck, das die Bedingung ac + bd = ef erfüllt, ist ein Sehnenviereck. 5 Zum Abbildungsbegriff 5.1 Abbildungen als Konstruktionshilfsmittel 5.1.1 Beispiele 1. Gegeben: Punkt A und Geraden g und h Gesucht: Quadrat ABCD mit B auf g, D auf h 2. Gegeben: Konzentrische Kreise k 1, k 2 mit Mittelpunkt M, Punkt P Gesucht: Sekante durch P, auf der k 1, k 2 drei gleichlange Strecken ausschneiden 3. Gegeben: Kreise k 1 und k 2, Gerade g, Streckenlänge a Gesucht: Rhombus ABCD mit A auf k 1, B auf g, C auf k 2, D auf g, AB = a 21
4. Gegeben: Punkte A, P, Q Gesucht: Quadrat ABCD mit P auf BC, Q auf CD 5. Gegeben: Zwei Geraden g und h, Punkt P Gesucht: Kreis durch P, der die beiden Geraden berührt 6. Gegeben: Gerade g und zwei Punkte A und B, die auf derselben Seite von g und nicht auf g liegen. Gesucht: Kreis, der g berührt und der durch A und B geht 7. Gegeben: Punkte A, P, Q Gesucht: Rechteck mit P auf BC, Q auf CD, AB : BC = 2 : 1 5.1.2 Heuristische Hilfen zur Lösung von Konstruktionsaufgaben Überlegungsfigur: Zeichne zuerst die gesuchten Stücke und dann die gegebenen. Zeichne nützliche Hilfsgeraden ein: Verbinde Punkte, verlängere Strecken, ziehe Parallelen oder Senkrechte etc. Konstruiere eine Teilfigur. Lasse eine Bedingung weg. Suche Symmetrien und entsprechende Abbildungen. 5.2 Zur Entwicklung des Abbildungsbegriffs in der Geometrie 5.2.1 Euklid Im 4. Axiom Was einander deckt, ist einander gleich. greift Euklid auf die intuitive Vorstellung einer Bewegung von Figuren zurück. Die Idee der Abbildung kommt bei ihm nur in dieser impliziten Form vor. 5.2.2 L. Euler Leonard Euler (1707-1783), führt den Funktionsbegriff in der Algebra ein, verwendet jedoch keine geometrischen Abbildungen in unserem Sinn, sondern nur Abbildungen, deren Definitions - und Wertebereich eine gegebene Figur ist. Die Bezeichnung Abbildung kommt bei Euler nicht vor. Beispielsweise definiert Euler (in moderner Terminologie ausgedrückt): Eine Figur F heisst symmetrisch zum Punkt B, wenn es für alle von B verschiedenen Punkte A von F einen Punkt A von F mit A A gibt, so dass gilt: B ist der Mittelpunkt der Strecke AA. Dass Euler den allgemeinen Abbildungsbegriff nicht benützt, kommt auch in seiner Formulierung desfolgendensatzes zumausdruck:sindabc unda B C gleichsinnigähnlichedreiecke, wobei sich A und A, B und B, C und C entsprechen, so gibt es einen Punkt F, so dass die Vierecke ABCF und A B C F gleichsinnig ähnlich sind. Diesen Satz kann man heute so formulieren: Jede gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung der Ebene, die keine Kongruenzabbildung ist, besitzt einen Fixpunkt. (Siehe auch [3], S. 168 ff.) 22
5.2.3 A.F. Möbius Den Abbildungsbegriff findet man erst bei August Ferdinand Möbius(1790-1868). Er beschäftigt sich eingehend mit der projektiven Geometrie und veröffentlicht 1827 das berühmte Werk Der barycentrische Calcul. Im zweiten Teil, den er dem Leser besonders ans Herz legt, befasst er sich mit geometrischen Verwandtschaften zweier Figuren. Hier definiert er Kollineationen als geometrische Abbildungen, die die gesamte Ebene als Definitions- und Wertebereich besitzen und nicht nur einzelne Figuren abbilden: Das Wesen dieser neuen Verwandtschaft besteht also darin, dass bei zwei ebenen oder körperlichen Räumen, jedem Punkte des einen Raums ein Punkt in dem anderen Raume dergestalt entspricht, dass, wenn man in dem einen Raum eine beliebige Gerade zieht, von allen Punkten, welche von dieser Geraden getroffen werden, die entsprechenden Punkte in dem anderen Raume gleichfalls durch eine Gerade verbunden werden können. Es ist deshalb diese Verwandtschaft die Verwandtschaft der Collineation genannt worden. Figuren, zwischen denen sie stattfindet, heissen collinear verwandte, oder schlechthin collineare Figuren. 5.2.4 F. Klein Vom Ende des 18. Jahrhunderts an begann sich die Geometrie in verschiedene Richtungen zu entwickeln. Das 19. Jahrhundert brachte die Herausbildung der hyperbolischen und der elliptischen Geometrie, der projektiven Geometrie und auch die Anfänge der Topologie. Um die verschiedenen Zweige der Geometrie zu ordnen, führt Felix Klein (1849-1925) mit Hilfe von Abbildungen und gruppentheoretischen Methoden, basierend auf Grundideen vom ihm und Sophus Lie, Möbius Überlegungen zu den geometrischen Verwandtschaften zweier Figuren weiter. Klein stellt das Programm 1872 in Erlangen in einer Antrittsvorlesung mit dem Titel Vergleichende Betrachtungen überneuere geometrische Forschungen vor, es wird daher Erlanger Programm genannt. Klein betrachtet Gruppen von Abbildungen der Ebene resp. des Raumes auf sich. Die Sätze über Eigenschaften, die bei einer solchen Gruppe von Abbildungen ungeändert bleiben, bilden die Geometrie, die dieser Gruppe von Abbildungen zugeordnet ist. (Siehe auch [1], S. 130 ff.) Literatur [1] Courant, R. und H. Robbins: Was ist Mathematik? Springer, 2000. [2] Hanna G., Jahnke, H.N.: Another Aproach to Proof. ZDM Mathematics Education, 34(1):1 8, 2002. [3] Struve, H.: Grundlagen einer Geometriedidaktik. Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. B.I. Wissenschaftsverlag, 1990. [4] Wittmann, E.C.: Elementargeometrie und Wirklichkeit: Einführung in geometrisches Denken. Didaktik der Mathematik. Vieweg, 1987. 23