Windmühlen, bunte Punkte und die Mathematikolympiaden Lisa Sauermann Universität Bonn 28.03.2014 Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 1 / 27
Inhalt 1 Die Mathematikolympiaden Die Deutsche Mathematikolympiade Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) Persönliche Erfahrungen Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 2 / 27
Inhalt 1 Die Mathematikolympiaden Die Deutsche Mathematikolympiade Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) Persönliche Erfahrungen 2 Bunte Punkte Herangehensweise Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Beweis Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 2 / 27
Inhalt 1 Die Mathematikolympiaden Die Deutsche Mathematikolympiade Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) Persönliche Erfahrungen 2 Bunte Punkte Herangehensweise Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Beweis 3 Windmühlen Der Windmühlenprozess Der Wert von k Beweiszusammenfassung Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 2 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Mathematikolympiaden Deutsche Mathematikolympiade Internationale Mathematikolympiade Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 3 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Mathematikolympiaden Deutsche Mathematikolympiade Internationale Mathematikolympiade Weitere Wettbewerbe für Schüler Bundeswettbewerb Mathematik Känguru-Wettbewerb Mitteleuropäische Mathematikolympiade Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 3 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Mathematikolympiaden Deutsche Mathematikolympiade Internationale Mathematikolympiade Weitere Wettbewerbe für Schüler Bundeswettbewerb Mathematik Känguru-Wettbewerb Mitteleuropäische Mathematikolympiade All diese Wettbewerbe: Freude und Spaÿ bei der Beschäftigung mit Mathematik interessante und schwierige Problemstellungen kreative Lösungsideen benötigt, die über Standardmethoden im Schulsto hinausgehen Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 3 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Deutsche Mathematikolympiade Die Deutsche Mathematikolympiade Aufgaben vom Mathematik-Olympiaden e.v. jährlich über 250.000 Teilnehmer von Klassenstufe 3 bis 12/13 altersgerechte, interessante Aufgaben: Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 4 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Deutsche Mathematikolympiade mehrstuger Wettbewerb 1. Stufe Hausaufgabenwettbewerb, danach i.a. Klausuren 4. Stufe (Bundesrunde) für Klasse 8-12 mit 192 Teilnehmern die ersten drei Stufen sind in den verschiedenen Bundesländern etwas unterschiedlich organisiert siehe auch http://www.mathematikolympiaden.de Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 5 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) jedes der rund 100 teilnehmenden Länder kann bis zu 6 Schüler entsenden jeder Teilnehmer schreibt zwei Klausuren (4 1 Stunden) mit drei 2 Aufgaben keine Klassenstufen, d.h. die gleichen Aufgaben für alle Aufgaben und Lösungen in der jeweiligen Landessprache die Aufgaben variieren im Schwierigkeitsgrad stark (die sechste ist meistens die schwerste) jede Aufgabe wird mit bis zu 7 Punkten bewertet Gold-, Silber- und Bronzemedaillen Die IMO ndet seit 1959 jährlich statt Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 6 / 27
Die Mathematikolympiaden Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) Die Internationale Mathematkolympiade (IMO) jedes der rund 100 teilnehmenden Länder kann bis zu 6 Schüler entsenden jeder Teilnehmer schreibt zwei Klausuren (4 1 Stunden) mit drei 2 Aufgaben keine Klassenstufen, d.h. die gleichen Aufgaben für alle Aufgaben und Lösungen in der jeweiligen Landessprache die Aufgaben variieren im Schwierigkeitsgrad stark (die sechste ist meistens die schwerste) jede Aufgabe wird mit bis zu 7 Punkten bewertet Gold-, Silber- und Bronzemedaillen Die IMO ndet seit 1959 jährlich statt In Deutschland werden die Teilnehmer mittels eines Auswahlverfahrens mit insgesamt neun Klausuren aus den Preisträgern der Bundesrunde der Mathematikolympiade und des Bundeswettbewerbs Mathematik ausgewählt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 6 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik aber auch: viel Spaÿ bei den Wettbewerben (und Seminaren) mit den anderen Teilnehmern Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik aber auch: viel Spaÿ bei den Wettbewerben (und Seminaren) mit den anderen Teilnehmern das erste Mal zur Landesrunde zu fahren, war damals ein tolles Erlebnis Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik aber auch: viel Spaÿ bei den Wettbewerben (und Seminaren) mit den anderen Teilnehmern das erste Mal zur Landesrunde zu fahren, war damals ein tolles Erlebnis sich erneut z.b. zur Bundesrunde zu qualizieren, um dort Gleichgesinnte zu treen, war eine wesentliche Motivation beim Training Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik aber auch: viel Spaÿ bei den Wettbewerben (und Seminaren) mit den anderen Teilnehmern das erste Mal zur Landesrunde zu fahren, war damals ein tolles Erlebnis sich erneut z.b. zur Bundesrunde zu qualizieren, um dort Gleichgesinnte zu treen, war eine wesentliche Motivation beim Training Im Nachhinein hat all das nicht nur viel Spaÿ gemacht, sondern ich habe auch sehr viel gelernt (und einiges hilft auch später im Studium) Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik aber auch: viel Spaÿ bei den Wettbewerben (und Seminaren) mit den anderen Teilnehmern das erste Mal zur Landesrunde zu fahren, war damals ein tolles Erlebnis sich erneut z.b. zur Bundesrunde zu qualizieren, um dort Gleichgesinnte zu treen, war eine wesentliche Motivation beim Training Im Nachhinein hat all das nicht nur viel Spaÿ gemacht, sondern ich habe auch sehr viel gelernt (und einiges hilft auch später im Studium) Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Die Mathematikolympiaden Persönliche Erfahrungen Persönliche Erfahrungen sieben Mal bei der Bundesrunde und fünf Mal bei der IMO Training zu Hause mittels alter Aufgaben Spaÿ an den Aufgaben und an der Mathematik aber auch: viel Spaÿ bei den Wettbewerben (und Seminaren) mit den anderen Teilnehmern das erste Mal zur Landesrunde zu fahren, war damals ein tolles Erlebnis sich erneut z.b. zur Bundesrunde zu qualizieren, um dort Gleichgesinnte zu treen, war eine wesentliche Motivation beim Training Im Nachhinein hat all das nicht nur viel Spaÿ gemacht, sondern ich habe auch sehr viel gelernt (und einiges hilft auch später im Studium) sowie viele enge Kontakte geknüpft (meine Mitbewohner in der WG und meinen Freund kenne ich von den Olympiaden). Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 7 / 27
Bunte Punkte Bunte Punkte Brasilianische Nationalolympiade 2008 Sei S eine Menge von 6n Punkten auf einer Geraden, davon seien 4n blau und die anderen 2n grün gefärbt. Zeige, dass es eine Strecke gibt, die genau 2n blaue und genau n grüne Punkte enthält. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 8 / 27
Bunte Punkte Bunte Punkte Brasilianische Nationalolympiade 2008 Sei S eine Menge von 6n Punkten auf einer Geraden, davon seien 4n blau und die anderen 2n grün gefärbt. Zeige, dass es eine Strecke gibt, die genau 2n blaue und genau n grüne Punkte enthält. Ein Beispiel zum Verständnis: Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 8 / 27
Bunte Punkte Bunte Punkte Brasilianische Nationalolympiade 2008 Sei S eine Menge von 6n Punkten auf einer Geraden, davon seien 4n blau und die anderen 2n grün gefärbt. Zeige, dass es eine Strecke gibt, die genau 2n blaue und genau n grüne Punkte enthält. Ein Beispiel zum Verständnis: n = 1 Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 8 / 27
Bunte Punkte Bunte Punkte Brasilianische Nationalolympiade 2008 Sei S eine Menge von 6n Punkten auf einer Geraden, davon seien 4n blau und die anderen 2n grün gefärbt. Zeige, dass es eine Strecke gibt, die genau 2n blaue und genau n grüne Punkte enthält. n = 1 Genau zwei blaue und genau ein grüner Punkt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 9 / 27
Bunte Punkte Bunte Punkte Brasilianische Nationalolympiade 2008 Sei S eine Menge von 6n Punkten auf einer Geraden, davon seien 4n blau und die anderen 2n grün gefärbt. Zeige, dass es eine Strecke gibt, die genau 2n blaue und genau n grüne Punkte enthält. n = 1 Eine Strecke, die genau zwei blaue und genau einen grünen Punkt enthält. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 10 / 27
Herangehensweise Bunte Punkte Herangehensweise Eine solche Strecke suchen, heiÿt also, 3n aufeinanderfolgende der Punkte zu suchen, von denen genau 2n blau und genau n grün sind. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 11 / 27
Herangehensweise Bunte Punkte Herangehensweise Eine solche Strecke suchen, heiÿt also, 3n aufeinanderfolgende der Punkte zu suchen, von denen genau 2n blau und genau n grün sind. Wenn von 3n aufeinanderfolgenden der Punkte genau 2n blau sind, sind die anderen n automatisch grün. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 11 / 27
Herangehensweise Bunte Punkte Herangehensweise Eine solche Strecke suchen, heiÿt also, 3n aufeinanderfolgende der Punkte zu suchen, von denen genau 2n blau und genau n grün sind. Wenn von 3n aufeinanderfolgenden der Punkte genau 2n blau sind, sind die anderen n automatisch grün. Also müssen wir zeigen: Es gibt 3n aufeinanderfolgende Punkte, von denen genau 2n blau sind. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 11 / 27
Herangehensweise Bunte Punkte Herangehensweise Eine solche Strecke suchen, heiÿt also, 3n aufeinanderfolgende der Punkte zu suchen, von denen genau 2n blau und genau n grün sind. Wenn von 3n aufeinanderfolgenden der Punkte genau 2n blau sind, sind die anderen n automatisch grün. Also müssen wir zeigen: Es gibt 3n aufeinanderfolgende Punkte, von denen genau 2n blau sind. Welche Möglichkeiten gibt es überhaupt, 3n aufeinanderfolgende der 6n Punkt zu wählen? Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 11 / 27
Herangehensweise Bunte Punkte Herangehensweise Eine solche Strecke suchen, heiÿt also, 3n aufeinanderfolgende der Punkte zu suchen, von denen genau 2n blau und genau n grün sind. Wenn von 3n aufeinanderfolgenden der Punkte genau 2n blau sind, sind die anderen n automatisch grün. Also müssen wir zeigen: Es gibt 3n aufeinanderfolgende Punkte, von denen genau 2n blau sind. Welche Möglichkeiten gibt es überhaupt, 3n aufeinanderfolgende der 6n Punkt zu wählen? Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 11 / 27
Bunte Punkte Herangehensweise Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 12 / 27
Bunte Punkte Herangehensweise Für jede Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten (d.h. für jede Klammer) müssen wir nun also die Anzahl der blauen Punkte betrachten. Wir wollen zeigen, dass diese mindestens einmal 2n beträgt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 12 / 27
Bunte Punkte Herangehensweise Für jede Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten (d.h. für jede Klammer) müssen wir nun also die Anzahl der blauen Punkte betrachten. Wir wollen zeigen, dass diese mindestens einmal 2n beträgt. Weil die Punkte irgendwie gefärbt sein können, wissen wir nichts Genaues über die Anzahl der blauen Punkte bei den einzelnen Wahlen (d.h. Klammern). Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 12 / 27
Bunte Punkte Herangehensweise Für jede Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten (d.h. für jede Klammer) müssen wir nun also die Anzahl der blauen Punkte betrachten. Wir wollen zeigen, dass diese mindestens einmal 2n beträgt. Weil die Punkte irgendwie gefärbt sein können, wissen wir nichts Genaues über die Anzahl der blauen Punkte bei den einzelnen Wahlen (d.h. Klammern). Wir könnten aber beispielsweise untersuchen, wie sich die Anzahl der blauen Punkte von einer Wahlmöglichkeit von 3n aufeinanderfolgenden Punkten zur nächsten ändert. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 12 / 27
Bunte Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Wir betrachten eine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten und die nächste: Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 13 / 27
Bunte Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Wir betrachten eine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten und die nächste: Wie können sich die Anzahlen der blauen Punkte bei den beiden Wahlen unterscheiden? Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 13 / 27
Bunte Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Wir betrachten eine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten und die nächste: Wie können sich die Anzahlen der blauen Punkte bei den beiden Wahlen unterscheiden? Die zweite Wahl hat nur einen Punkt, den die erste nicht hat. Damit kann die Anzahl der blauen Punkte von der ersten zur zweiten Wahl um höchstens 1 steigen. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 13 / 27
Bunte Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Die Änderung der Anzahl der blauen Punkte Wir betrachten eine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten und die nächste: Wie können sich die Anzahlen der blauen Punkte bei den beiden Wahlen unterscheiden? Die zweite Wahl hat nur einen Punkt, den die erste nicht hat. Damit kann die Anzahl der blauen Punkte von der ersten zur zweiten Wahl um höchstens 1 steigen. Die erste Wahl hat nur einen Punkt, den die zweite nicht hat. Damit kann die Anzahl der blauen Punkte von der ersten zur zweiten Wahl um höchstens 1 sinken. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 13 / 27
Beweis Bunte Punkte Beweis Damit sich kann die Anzahl der blauen Punkte von einer Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten zur nächsten um höchstens 1 ändern. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 14 / 27
Beweis Bunte Punkte Beweis Damit sich kann die Anzahl der blauen Punkte von einer Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten zur nächsten um höchstens 1 ändern. Setzen wir also damit nun zum Beweis an. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 14 / 27
Beweis Bunte Punkte Beweis Damit sich kann die Anzahl der blauen Punkte von einer Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten zur nächsten um höchstens 1 ändern. Setzen wir also damit nun zum Beweis an. Angenommen, die Behauptung wäre falsch. Also gäbe es keine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten, von denen genau 2n blau sind. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 14 / 27
Beweis Bunte Punkte Beweis Damit sich kann die Anzahl der blauen Punkte von einer Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten zur nächsten um höchstens 1 ändern. Setzen wir also damit nun zum Beweis an. Angenommen, die Behauptung wäre falsch. Also gäbe es keine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten, von denen genau 2n blau sind. Nehmen wir an, unter den ersten 3n Punkten wären mehr als 2n blaue. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 14 / 27
Beweis Bunte Punkte Beweis Damit sich kann die Anzahl der blauen Punkte von einer Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten zur nächsten um höchstens 1 ändern. Setzen wir also damit nun zum Beweis an. Angenommen, die Behauptung wäre falsch. Also gäbe es keine Wahl von 3n aufeinanderfolgenden Punkten, von denen genau 2n blau sind. Nehmen wir an, unter den ersten 3n Punkten wären mehr als 2n blaue. Weil es insgesamt 4n blaue sind, müssten unter den anderen 3n Punkten dann weniger als 2n blaue sein. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 14 / 27
Bunte Punkte Beweis Indem wir immer von einer Wahl zur nächsten gehen, kommen wir von der ersten Wahl nach mehreren Schritten zur letzten. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 15 / 27
Bunte Punkte Beweis Indem wir immer von einer Wahl zur nächsten gehen, kommen wir von der ersten Wahl nach mehreren Schritten zur letzten. Bei jedem dieser Schritte ändert sich die Anzahl der blauen Punkte um höchstens 1. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 15 / 27
Bunte Punkte Beweis Indem wir immer von einer Wahl zur nächsten gehen, kommen wir von der ersten Wahl nach mehreren Schritten zur letzten. Bei jedem dieser Schritte ändert sich die Anzahl der blauen Punkte um höchstens 1. Am Anfang ist sie gröÿer 2n und am Ende kleiner 2n. Damit muss sie irgendwann zwischendurch gleich 2n sein. Das widerspricht unserer Gegenannahme. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 15 / 27
Bunte Punkte Beweis Indem wir immer von einer Wahl zur nächsten gehen, kommen wir von der ersten Wahl nach mehreren Schritten zur letzten. Bei jedem dieser Schritte ändert sich die Anzahl der blauen Punkte um höchstens 1. Am Anfang ist sie gröÿer 2n und am Ende kleiner 2n. Damit muss sie irgendwann zwischendurch gleich 2n sein. Das widerspricht unserer Gegenannahme. Analog ergibt sich ein Widerspruch, wenn unter den ersten 3n Punkten weniger als 2n blaue sind. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 15 / 27
Bunte Punkte Beweis Indem wir immer von einer Wahl zur nächsten gehen, kommen wir von der ersten Wahl nach mehreren Schritten zur letzten. Bei jedem dieser Schritte ändert sich die Anzahl der blauen Punkte um höchstens 1. Am Anfang ist sie gröÿer 2n und am Ende kleiner 2n. Damit muss sie irgendwann zwischendurch gleich 2n sein. Das widerspricht unserer Gegenannahme. Analog ergibt sich ein Widerspruch, wenn unter den ersten 3n Punkten weniger als 2n blaue sind. Also war unsere Annahme falsch und die Behauptung ist wahr. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 15 / 27
Windmühlen Windmühlen Aufgabe 2 der IMO 2011 (Amsterdam) Sei S eine endliche Menge von mindestens zwei Punkten in der Ebene. Dabei wird angenommen, dass keine drei Punkte von S kollinear sind. Als Windmühle bezeichnen wir einen Prozess der folgenden Art. Wir starten mit einer Geraden, die genau einen Punkt P S enthält. Die Gerade wird im Uhrzeigersinn um den Drehpunkt P so lange gedreht, bis sie zum ersten Mal auf einen weiteren Punkt aus S, der mit Q bezeichnet sei, trit. Die Gerade wird weiter im Uhrzeigersinn mit Q als neuem Drehpunkt gedreht, bis sie wieder auf einen Punkt aus S trit. Dieser Prozess wird unbegrenzt fortgesetzt. Man beweise, dass für geeignete Wahl eines Punktes P S und einer Ausgangsgeraden, die P enthält, die resultierende Windmühle jeden Punkt aus S unendlich oft als Drehpunkt hat. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 16 / 27
Ein Beispiel Windmühlen Wir müssen die Ausgangsgerade (wie in diesem Beispiel) so wählen, dass jeder Punkt unendlich oft Drehpunkt ist. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 17 / 27
Windmühlen bei der IMO 2011 war ich selbst Teilnehmerin für eine zweite Aufgabe ziemlich schwer (nur 22 mal 7 Punkte, nur eine deutsche Lösung) der Windmühlenprozess kann sehr unübersichtlich werden, sobald etwas mehr Punkte im Spiel sind Viele Teilnehmer haben sich überlegt, dass der Prozess periodisch abläuft. Wenn ein Punkt von S also mindestens einmal Drehpunkt ist, so ist er es auch unendlich oft. Leider nützt dies aber nicht viel für den Beweis. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 18 / 27
Windmühlen bei der IMO 2011 war ich selbst Teilnehmerin für eine zweite Aufgabe ziemlich schwer (nur 22 mal 7 Punkte, nur eine deutsche Lösung) der Windmühlenprozess kann sehr unübersichtlich werden, sobald etwas mehr Punkte im Spiel sind Viele Teilnehmer haben sich überlegt, dass der Prozess periodisch abläuft. Wenn ein Punkt von S also mindestens einmal Drehpunkt ist, so ist er es auch unendlich oft. Leider nützt dies aber nicht viel für den Beweis. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 18 / 27
Windmühlen Der Windmühlenprozess Eine Konstante im Windmühlenprozess Wir suchen eine sogenannte Invariante des Windmühlenprozesses. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 19 / 27
Windmühlen Der Windmühlenprozess Eine Konstante im Windmühlenprozess Wir suchen eine sogenannte Invariante des Windmühlenprozesses. Die Anzahl der Punkte auf jeder Seite der Gerade bleibt (bis auf Momente mit Drehpunktwechsel) gleich: jeweils zwei Punkte auf der linken Seite und vier Punkte auf der rechten Seite Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 19 / 27
Windmühlen Die beiden Seiten der Geraden Der Windmühlenprozess Wir können die Gerade orientieren, also ihr eine Richtung geben. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 20 / 27
Windmühlen Die beiden Seiten der Geraden Der Windmühlenprozess Wir können die Gerade orientieren, also ihr eine Richtung geben. Jetzt können wir die beiden Seiten der Geraden unterscheiden (links und rechts, wenn die Blickrichtung entlang der Orientierung der Geraden ist). Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 20 / 27
Windmühlen Die beiden Seiten der Geraden Der Windmühlenprozess Wir können die Gerade orientieren, also ihr eine Richtung geben. Jetzt können wir die beiden Seiten der Geraden unterscheiden (links und rechts, wenn die Blickrichtung entlang der Orientierung der Geraden ist). Wir stellen uns vor, dass wir in jedem Moment die rechte Seite der Geraden gelb färben. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 20 / 27
Windmühlen Die beiden Seiten der Geraden Der Windmühlenprozess Wir können die Gerade orientieren, also ihr eine Richtung geben. Jetzt können wir die beiden Seiten der Geraden unterscheiden (links und rechts, wenn die Blickrichtung entlang der Orientierung der Geraden ist). Wir stellen uns vor, dass wir in jedem Moment die rechte Seite der Geraden gelb färben. Es seien auf der gelben Seite also stets genau k Punkte von S (auÿer wenn sich gerade der Drehpunkt ändert). Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 20 / 27
Windmühlen Der Windmühlenprozess Die Gerade nimmt jede Richtung (mit Orientierung) unendlich oft an. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 21 / 27
Windmühlen Der Windmühlenprozess Die Gerade nimmt jede Richtung (mit Orientierung) unendlich oft an. Sie muss dabei mit der eindeutigen Geraden dieser Richtung übereinstimmen, auf deren gelber Seite genau k andere Punkte liegen. Jeder Punkt von S, durch den es eine (sonst keinen Punkt aus S enthaltende) Gerade mit genau k Punkten auf der gelben Seite gibt, ist damit unendlich oft Drehpunkt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 21 / 27
Windmühlen Der Wert von k Der Wert von k Wir müssen also k so wählen, dass gilt: Durch jeden Punkt von S gibt es eine orientierte Gerade, die keinen weiteren Punkt von S enthält, sodass auf ihrer gelben Seiten genau k Punkte von S liegen. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 22 / 27
Windmühlen Der Wert von k Der Wert von k Wir müssen also k so wählen, dass gilt: Durch jeden Punkt von S gibt es eine orientierte Gerade, die keinen weiteren Punkt von S enthält, sodass auf ihrer gelben Seiten genau k Punkte von S liegen. Wir setzen k = n 1 für ungerades n = S und k = n für gerades n = S. 2 2 Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 22 / 27
Windmühlen Der Wert von k Der Wert von k Wir müssen also k so wählen, dass gilt: Durch jeden Punkt von S gibt es eine orientierte Gerade, die keinen weiteren Punkt von S enthält, sodass auf ihrer gelben Seiten genau k Punkte von S liegen. Wir setzen k = n 1 für ungerades n = S und k = n für gerades n = S. 2 2 Es sei R S. Wir betrachten eine orientierte Gerade durch R, die keinen weiteren Punkt von S enthält. Es sei x die Anzahl der Punkte von S auf der gelben Seite. Wir drehen die Geraden um R im Uhrzeigersinn und betrachten die Anzahl der Punkte auf der gelben Seite. Nach Drehung um 180 ist die Anzahl der Punkte auf der gelben Seite n 1 x. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 22 / 27
Windmühlen Der Wert von k Es gilt x k n 1 x oder x k n 1 x. Die Anzahl der Punkte auf der gelben Seite ändert sich aber beim Überstreichen eines Punktes um genau 1. Es liegen keine drei Punkte von S kollinear. Damit muss die Anzahl der Punkte auf der gelben Seite zu einem Zeitpunkt während der Drehung genau k betragen haben. Somit ist die Bedingung gezeigt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 23 / 27
Windmühlen Beweiszusammenfassung Beweiszusammenfassung Wir setzen k = n 1 2 für ungerades n und k = n 2 für gerades n. Dann gibt es durch jeden Punkt von S eine orientierte Gerade, die keinen weiteren Punkt von S enthält, sodass ihrer gelben Seiten genau k Punkten von S liegen. Eine dieser Geraden durch ein P S wählen wir als Ausgangsgerade. Dann liegen zu jedem Zeitpunkt (auÿer beim Wechseln des Drehpunktes) genau k Punkte von S auf der gelben Seite der Geraden. Damit muss jeder Punkt von S, durch den es eine (sonst keinen Punkt aus S enthaltende Gerade) mit genau k Punkten auf der gelben Seite gibt, unendlich oft Drehpunkt sein. Folglich ist jeder Punkt von S unendlich oft Drehpunkt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 24 / 27
Fazit Fazit Die Matheolympiaden können begabte Schüler herausfordern und zur Beschäftigung mit Mathematik motivieren. Sie bieten tolle mathematische und nicht-mathematische Erlebnisse. Die Teilnahme lohnt sich auch, selbst wenn man bereits an einem anderen Mathewettbewerb (z.b. Bundeswettbewerb Mathematik) teilnimmt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 25 / 27
Fazit Fazit Die Matheolympiaden können begabte Schüler herausfordern und zur Beschäftigung mit Mathematik motivieren. Sie bieten tolle mathematische und nicht-mathematische Erlebnisse. Die Teilnahme lohnt sich auch, selbst wenn man bereits an einem anderen Mathewettbewerb (z.b. Bundeswettbewerb Mathematik) teilnimmt. An vielen Schulen kennen weder Lehrer noch Schüler die Olympiade, das ist schade. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 25 / 27
Fazit Fazit Die Matheolympiaden können begabte Schüler herausfordern und zur Beschäftigung mit Mathematik motivieren. Sie bieten tolle mathematische und nicht-mathematische Erlebnisse. Die Teilnahme lohnt sich auch, selbst wenn man bereits an einem anderen Mathewettbewerb (z.b. Bundeswettbewerb Mathematik) teilnimmt. An vielen Schulen kennen weder Lehrer noch Schüler die Olympiade, das ist schade. Schauen Sie doch mal bei http://www.mathematik-olympiaden.de vorbei! Ihr Landesbeauftragter unterstützt Sie bestimmt bei der Organisation, falls es die Matheolympiade an Ihrer Schule noch nicht gibt. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 25 / 27
Quellen Quellen http://www.artofproblemsolving.com/forum/resources.php? http://www.mathematik-olympiaden.de Für alle Bilder zur Mathematikolympiade gilt mein herzlicher Dank dem Mathematik-Olympiaden e.v. und insbesondere seinem Vorsitzenden Prof. Dr. Jürgen Prestin. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 26 / 27
Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Lisa Sauermann (Universität Bonn) Windmühlen, bunte Punkte und... 28.03.2014 27 / 27