1 Nichtlineare Verfahren zur Prof. Dr.-Ing. Josef Hegger Dipl.-Ing. Tobias Dreßen
Nichtlineare Verfahren zur Berechnungsablauf 2 Festlegung des Umlagerungsgrades Biegebemessung an den maßgebenden Stellen. E M1 dx Überprüfung der Bedingung gem. DIN 1045-1, 8.3 (3) z. B. 0,64+0,8 x d /d 0,7 erfüllt Umlagerung erlaubt nicht erfüllt Nachweis der Rotationsfähigkeit erforderlich!
Nichtlineare Verfahren zur Berechnungsablauf 3 Ermittlung der rechnerischen Mittelwerte der Baustoffkennwerte (siehe DIN 1045-1, 8.5.1) Ermittlung des Rissmoments M r = f ctm Ermittlung der Dehnungsverteilung des Querschnitts unter Rissschnittgrößen im ungerissenen Zustand (Zustand I), anschließend Berechnung der zugehörigen Krümmung. W Iterative Ermittlung der Dehnungsverteilung des Querschnitts, wenn der Stahl gerade seine Fließdehnung erreicht (unter Annahme der rechnerischen Mittelwerte nach Norm). Berechnung der mittleren Stahldehnung unter Berücksichtigung des Mitwirkens des Betons auf Zug zwischen den Rissen smy = sy - 0,25 ( sr2 - sr1 ) Ermittlung der Dehnungsverteilung des Querschnitts unter Rissschnittgrößen im gerissenen Zustand (Zustand II). Berechnung der mittleren Krümmung = ( c + smy )/d Bestimmung der Kraft im Stahl, unter der Voraussetzung, dass der Stahl gerade fließt. Zeichnen der Momenten-Krümmungs-Beziehung
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 4 Beispiel 1: Zweifeldträger statisches System: Q k 115 G k 1 2 A B C 25 40 5,00 5,00 30 Belastung: Q k = 5,0 4 = 20 kn/m G k = g 1 + g 2 = (0,4 0,3 25) + (3,7 0,15 25) = 22 kn/m
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 5 186,6 139,7 M [knm] + - LFK I LFK II 104,5 123,2 LFK I LFK II LFK III LFK III Abminderung des nach linearelastischer Schnittgrößenermittlung bestimmten Stützmomentes auf 75%: M B = 0,75 186,6 = 139,95 knm
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 6 Biegebemessung Die Bemessung wird mit Bemessungswerten durchgeführt (f cd = 0,85 f ck / 1,5 ; f yd = f yk / 1,15) Beton C35/45 f ck = 35,00 MN/m 2 f cd = 0,85 35/1,5 = 19,83 MN/m 2 Betonstahl 500S (hochduktil) f yk = 500 MN/m 2 f yd = 500/1,15 = 435 MN/m 2
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 7 Stütze B (maßgebend LFK I): Abminderung des elastischen Moments auf 75 %: M Ed,B = 0,75186,6 = 139,95 knm Eds = 0,182 ; x/d = 0,2512 ; l = 0,2032 1 As, req 0, 20330, 30, 3619, 8310 10, 0cm 435 gewählt: 5Ø16 (10,05 cm²) 4 2 Feld (maßgebend LFK II): A s,req = 8,0 cm² gewählt: 4Ø16 (8,04 cm²)
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 8 Nachweis der Rotationsfähigkeit Für den Nachweis der Rotationsfähigkeit sind die rechnerischen Mittelwerte der Baustoffkennwerte anzusetzen (siehe DIN 1045-1, 8.5.1). Plastische Zone über der Stütze eines s und zugehöriges Modell eines plastischen Gelenkes: Beton C35/45 f cr = 0,85f ck = 25,29 MN/m² Betonstahl BSt 500 S (B) (hochduktil) f yr = 1,1f yk = 550 MN/m² f tr = 1,08f yr = 594 MN/m² pl p pl pl dx
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 9 Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehung B I, B II M I, II M y M u Biegesteifigkeit im ungerissenen Zustand I bzw. gerissenen Zustand II = dm / d(1/r) Moment beim Übergang von Zustand I zu Zustand II Fließmoment Bruchmoment (1/r) I, II zu M I, II gehörende Krümmung = M I / B I
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 10 Momenten-Krümmungsbeziehungen: Stütze B: A c = 2475 cm 2 y s = 13,6 cm I y = 280497 cm 4 A s = 10,0 cm 2 y s = 13,6 1,15 4 36 15 25 40 Rissmoment: I y 280497 M r fctm 3,2 10 3 66, 0 y 13,6 s knm
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 11 a) Dehnungsebene im ungerissenen Zustand Randdehnung bei Rissbildung: c c sr fctm 2 0,09610 E 33300 cm 3,2 3 (4013,6) 3 1 0,096 0,186 10 13,6 3 9,6 1 0,09610 0,06810 13,6 Krümmung unter Rissschnittgrößen: 3-0,18610-3 0,09610-3 0,06810-3 c sr1 0,186 0,068 3 3 I, II 10 0,70610 d 0,36
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 12 b) Dehnungsebene im Riss unter Rissschnittgrößen Im Risszustand wird das Rissmoment M r = 66,0 knm bei folgender iterativ ermittelter Dehnungsverteilung vom Querschnitt aufgenommen. c1 = -0,50 10-3 sr2 = 1,03 10-3 Die Dehnungsverteilung kann auch ohne Iteration ermittelt werden, sofern der innere Hebelarm auf der sicheren Seite liegend zu z F c 0,9 d = 0,9 36 = 32,4 cm angesetzt wird. = F s = 66,0/0,324 = 204,0 kn sr = 204,010-3 / (10,0 10-4) = 204,0 N/mm 2 sr2 = 204,0 / 200.000 = 1,00 10-3 k a = a / x 0,35 (aus Bild 5.7, MB I, abgeschätzt) a = d - z = 36-32,4 = 3,6 x = a / k a = 3,6 / 0,35 = 10,3 cm c = 10,3 / (36-10,3) 1,00 10-3 = -0,4 10-3 -0,5010-3 1,2010-3 1,0310-3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 13 Abschätzung der Höhe der Betondruckzone: c2 c2 (MB I- Skript, Kapitel 5) R ; k a 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0-0,5-1,0 0,81 R = m / f cd 0,42 k a = a / x -1,5-2,0-2,5-3,0-3,5 Randdehnung c2 in R m f cd a = k a x x = x d z = z d Auf den Bemessungswert der Betondruckfestigkeit bezogener Mittelwert der Betonspannungen in der Biegedruckzone Abstand des Schwerpunktes der Betondruckspannungen vom gedrückten Rand der Druckzone Höhe der Druckzone Hebelarm der inneren Kräfte
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 14 c) Bestimmung des Fließmoments und Ermittlung der zugehörigen Dehnungsverteilung Die Kraft im Stahl beträgt bei Fließen F s,fl = 10 55010-1 = 550 kn Ermittlung der Dehnungsverteilung ( sy = f yr /E s = 2,75 10-3 ): c = -1,52 10-3 s = 2,75 10-3 x = 12,79 cm z = 31,36 cm M Fl = F s,fl z = 550 0,3136 = 172,5 knm Mittlere Stahldehnung: smy sy 0,25 ( 3 3 3 sr 2 sr1) 2,7510 0,25 (1,03 0,068) 10 2,5110 3,20 10-3 2,75 10-3 -1,52 10-3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 15 Mittlere Krümmung: y 1 r y Dehnungs- bzw. Spannungsverlauf am Bewehrungsstahl zwischen zwei Rissen (Bild) c d 11,2 10 smy 1,52 2,51 10 0,36 3 m 1 3 Mit den errechneten Wertepaaren kann das Momenten-Krümmungsdiagramm erstellt werden: M R = 66,0 knm k I,II = 0,71 10-3 m -1 M y = 172,5 knm k y = 11,2 10-3 m -1
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehung (Stützbereich) -200 16-180 -160 Stützmoment [knm] -140-120 -100-80 -60-40 -20 0 0-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8 Krümmung (1/r) m [10-3 m -1 ] -9-10 -11-12
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 17 Feldbereich: Rissmoment: M I y 280497 r f ctm 3,2 10 3 34, 0 h y 40 13,6 s knm -0,049 10-3 a) Dehnungsebene im ungerissenen Zustand fctm 3, 2 3 c2 0, 096 10 Ecm 33300 3 22,4 3 srl 0,096 10 0,082 10 26,4 13,6 3 cl 0,096 0,049 10 40 13,6 Krümmung unter Rissschnittgrößen: -0,12 10-3 0,082 10-3 0,096 10-3 c sr 1 0,049 0,082 3 3 I, II 10 0,36 10 d 0,36 b) Dehnungsverteilung im Riss unter Rissschnittgrößen c = -0,12 10-3 sr2 = 0,62 10-3 0,70 10-3 0,62 10-3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 18 c) Bestimmung des Fließmoments und Ermittlung der zugehörigen Dehnungsverteilung F s,fl = 8,1 550 10-1 = 445,5 kn Gleichgewicht der inneren Kräfte bei c = -0,56 10-3 s = 2,75 10-3 x = 6,06 cm z = 33,92 cm M Fl = F s,fl z = 445,5 0,3392 = 151,1 knm Die mittlere Stahldehnung berechnet sich zu: smy sy -0,56 10-3 2,75 10-3 3,12 10-3 3 3 3, ( sr2 sr1 ) 2, 7510 0, 25( 0, 62 0, 082 ) 10 2, 61610 0 25 Damit ergibt sich die mittlere Krümmung zu: 1 0, 56 2, 616 10 3 8 3-1 y, 82 10 m r y 0, 36 Mit den errechneten Wertepaaren kann das Momenten - Krümmungsdiagramm erstellt werden: M R = 34,0 knm k I,II = 0,36 10-3 m -1 M y = 151,1 knm k y = 8,82 10-3 m -1
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 19 Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehung (Feldbereich) 160 140 120 Feldmoment [knm] 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Krümmung (1/r) m [10-3 m -1 ]
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 139,95 20 Nachweis der Rotationsfähigkeit über der Stütze B: + - 37,67 M [knm] Der Nachweis der Rotationsfähigkeit wird mit den vorher ermittelten vereinfachten Momenten-Krümmungsbeziehungen durchgeführt. Der erforderliche Rotationswinkel E ergibt sich unter Anwendung der Simpson schen Integrationsregel zu: E s 2 k M1x 3 1 rx 105,17 117,06 M 1 = 1 1,25m 1,25m 1,25m 1,25m M 1 [knm] + 0,25 0,50 0,75 1,00-7,99 1/r [m -1 ] 10-3 + 5,51 6,37 0,63
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 21 Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehung (Feldbereich) 160 140 120 117,06 Feldmoment [knm] 100 80 60 40 20 0 6,37 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Krümmung (1/r) m [10-3 m -1 ]
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 22 Zeile Punkt Faktor k M 1 (x) M(x) (1/r) m k M 1 (x) (1/r) m 1 0 1 0,00 0,00 0,00 0,00 2 1 4 0,25 105,17 5,5110-3 5,5110-3 3 2 2 0,50 117,06 6,3710-3 6,3710-3 4 3 4 0,75 37,67 0,6310-3 1,8910-3 5 4 1 1,00-139,95-7,9910-3 -7,9910-3 Summe 5,7810-3 1,25 E 2 5,7810 3 4, 82 mrad 3 Nachweis einer ausreichenden Rotationsfähigkeit in den kritischen Querschnitten: E k pl, d (Formel 3.20 im MB-III-Skript Teil 1; bzw. DIN 1045-1, 8.4.2, Formel (15))
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 23 mit: k l = 2, l2 3 Verhältnis aus dem Abstand zwischen Momentennullpunkt und maximum (nach Umlagerung) und der statischen Nutzhöhe d. Vereinfacht: l = M Ed / (V Ed d) Schnittgrößen an Stütze B: M Ed = 139,95 knm, V Ed = 177,2 kn l = 139,95 / (177,2 0,36) = 2,2 k 2, 2 3 0, 86 Aus Bild 9, DIN 1045-1 ergibt sich der Grundwert der plastischen Rotation mit der bezogenen Druckzonenhöhe x/d = 0,25 zu: Q pl,d = 11,3 mrad => k l Q pl,d = 0,86 11,3 = 9,72 mrad > 4,82 mrad
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 1: Zweifeldträger 24 Grundwert der zulässigen plastischen Rotation (DIN 1045-1, Bild 9) 11,3 Legende 1 für C 12/16 bis C 50/60 2 für C100/115
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 2: Zweifeldträger Beispiel 2: Stahlbetonträger 25 Statisches System und Belastung: q = 30 kn/m g = 50 kn/m 6,0 m 6,0 m Querschnitt 70 30
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 2: Zweifeldträger 26 Schnittgrößen a) linear elastisch LFK I: Beide Felder belastet M St,el = - 0,125 (1,35 50 + 1,5 30) 6 2 = - 0,125 112,5 6² = -506 knm LFK II: Nur ein Feld belastet b) plastisch M F,el = (0,07 1,35 50 + 0,096 1,5 30) 6 2 = 326 knm Moment über der Stütze wird gewählt: 1. M St, pl 450 knm M Feld bei 0,38 l 2, 28, max m
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 2: Zweifeldträger 27 A 2 112,5 6 2 6 450 263 kn 112,5 kn/m M Feld,max 263 2,28 112,5 2,28 2 2 307 knm A -450 2. M St, pl 400 knm A 2 112,5 6 2 6 400 271 kn M Feld,max 271 2,28 112,5 2,28 2 2 325 knm V 112,5 6 271 B 0 B 404 kn gewählt : M St, pl 400 knm
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 2: Zweifeldträger 28 Umlagerung: d = 400 / 506 = 0,79 (Momentengrenzlinie voll ausgenutzt) Dies entspricht einer Umlagerung von 21%.
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 29 Beispiel 3: (Plattenbalkenquerschnitt) Stahlbetonträger Statisches System und Belastung: A B C D 1 2 3 20 55 75 50 30 8,10 40 8,00 40 8,10 30 Baustoffe: C 20/25 BSt 500 S (hochduktil)
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 30 Wirksame Stützweiten: l 1 =8,1 + 1/30,3 + 1/20,4 = 8,40 m l 2 =8,0 + 1/20,4 + 1/20,4 = 8,40 m Mitwirkende Plattenbreite: Mittleres Feld: b eff = 0,5 + 2(0,23,0+0,10,78,4) = 2,88 m > 0,5 + 2(0,20,78,4) = 2,85 m gewählt: b eff = 2,0m Randfeld: gewählt: b eff = 2,0m Stützen: b eff = 0,5+2[0,23,0+0,10,15(8,4+8,4)]=2,20m > 0,5+2[0,20,15(8,4+8,4)]=1,51m gewählt: b eff = 1,50m
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 31 Belastung: Eigengewicht: Balkensteg: G 1 = 0,5 0,55 25 = 6,9 kn/m Decke: G 2 = 30,0 kn/m G = G 1 +G 2 = 36,9 kn/m Verkehrslast aus Decke: Q = 30,0 kn/m Q = 30 kn/m G = 36,9 kn/m 8,40 8,40 8,40
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 32 Baustoffe: C 20/25 BSt 500 S (B) (hochduktil) E cm = 28 800 N/mm 2 E s = 200 000 N/mm 2 f ck = 20 N/mm 2 f yk = 500 N/mm 2 f cd = 11,33 N/mm 2 f yd = 435 N/mm 2 f ctm = 2,2 N/mm 2 f yr = 1,1500 = 550 N/mm² f cr = 0,850,8520 = 14,45 N/mm² f tr = 1,08550 = 594 N/mm² Q = 30 kn/m G = 36,9 kn/m 8,40 8,40 8,40
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 33 Schnittgrößenermittlung Schnittgrößen nach der Elastizitätstheorie ohne Umlagerung unter Gebrauchslasten LF Lastbild M 1 M 2 M B M C A B V Bl V Br 1 208,3 65,1-260,4-260,4 124,0 341,0-186,0 155,0 2 155,23 105,8-247,0-70,6 96,6 302,4-155,4 147,0 3 211,7-105,8-105,8-105,8 113,4 138,6-138,6 0,0 4-42,3 158,8-105,8-105,8-12,6 138,6-12,6 126,0 LF 1: Eigengewicht LF 2-4: Verkehrslasten
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 34 Es werden drei Lastfallkombinationen (LFK) untersucht: LFK I: LF1+LF2 1,5 Q 1,35 G LFK II: LF1+LF3 1,5 Q1,35 G LFK III: LF1+LF4 1,5 Q 1,35 G LFK Kombination M 1 M 2 M B M C A B V Bl V Br I LF1 + LF2 514,1 246,9-722,0-457,4 312,3 914,0-484,2 429,8 II LF1 + LF 3 598,8-70,8-510,2-510,2 337,5 668,3-459,0 209,3 III LF1 + LF 4 209,8 326,1-510,2-510,2 148,5 668,3-270,0 398,3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 35 Momentenverlauf nach E-Theorie im Grenzzustand der Tragfähigkeit -722,0 LFK I LFK II -510,2 LFK III -70,8 209,8 246,9 326,1 514,1 598,8
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 36 Schnittgrößen der LFK I mit 10% bzw. 29% Umlagerung des Stützmomentes M B gegenüber der E-Theorie LFK Umlagerung M 1 M 2 M B M C A B V Bl V Br I 0 % 514,1 246,9-722,0-457,4 312,3 914,0-484,2 429,8 I 10 % 542,9 282,7-649,8-457,4 320,9 896,7-475,6 421,1 I 29 % 597,8 351,3-512,6-457,4 337,2 864,0-459,2 404,8 LFK Kombination M 1 M 2 M B M C A B V Bl V Br I LF1 + LF2 514,1 246,9-722,0-457,4 312,3 914,0-484,2 429,8 II LF1 + LF 3 598,8-70,8-510,2-510,2 337,5 668,3-459,0 209,3 III LF1 + LF 4 209,8 326,1-510,2-510,2 148,5 668,3-270,0 398,3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 37 Momentenverlauf der LFK I mit 10% bzw. 29% Umlagerung des Stützmomentes M B gegenüber der E-Theorie -722,0-649,8-512,6-457,4 LFK I LFK I (10%) LFK I (29%) -246,9-282,7-514,1-542,9-597,8-351,3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 38 Biegebemessung Bemessung für Schnittgrößenverteilung nach E-Theorie Randfeld: M Eds = 598,8 knm (LFK II) b eff = 2,00 m Eds 3 598,8 10 2 2,000,7 11,33 0,054; 0,056; x d 0,080; z d 0,969 x 0,080 70 5,60 cm Nulllinie in der Platte A s, req 1 435 (0,056 2,00 0,7 11,33) 10 4 20,4 cm 2 Innenfeld: M Eds = 326,1 knm (LFK III) b eff = 2,00 m Eds 3 326,1 10 2 2,000,7 11,33 0,029; 0,0296; x d 0,054; z d 0,981
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 39 x 0,05470 3,8 cm Nulllinie in der Platte A 1 435 4 s, req (0,02962,0 0,7 11,33) 10 10, 8 Stützbereich: cm 2 M A Eds Eds s, req 722,0 knm 1 435 ( LFK I) 3 722,0 10 0,26; 2 0,5 0,7 11,33 (0,3091 0,5 0,7 11,33) 10 0,3091; 4 28,2 cm 2 x d 0,382; z d 0,841
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 40 Bemessung für 10% umgelagertes Stützmoment M B der LFK I In den Feldbereichen ist LFK I nicht maßgebend. Stützbereich: M A Eds Eds s, req 649,8 knm 3 649,8 10 2 0,5 0,7 11,33 1 435 0,234 (0,272 0,5 0,7 11,33) 10 4 0,272 24,8 cm 2 x d 0,336 z d 0,860 Nachweis ausreichender Rotationsfähigkeit mit Grenzbedingungen nach DIN 1045-1 xd vorh 0,9 zul 0,64 0,8 0,64 0,8 0,336 0,909 d => gewählte Umlagerung zulässig!
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 41 Bemessung für 29% umgelagertes Stützmoment M B der LFK I Im Randfeld ist LFK II maßgebend. Innenfeld: M 351,3 knm A Eds Eds s, req 3 351,3 10 0,032 2 2,0 0,7 11,33 1 435 Stützbereich: M A Eds Eds s, req 1 435 (0,033 2,0 0,7 11,33) 10 512,6 knm 3 512,6 10 0,185 2 0,5 0,7 11,33 0,033 (0,207 0,5 0,7 11,33) 10 4 12,0 cm 0,207 4 2 18,8 cm x d 2 0,058 x d 0,256 z d 0,978 gewählt: 6Ø16 (12,06 cm²) z d 0,894 gewählt: 6Ø20 (18,85 cm²)
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 42 Nachweis ausreichender Rotationsfähigkeit mit Grenzbedingungen nach DIN 1045-1 vorh 512,6 722,0 0,71 zul 0,64 0,8 x d d 0,64 0,8 0,256 0,84!!! => Bedingung gemäß DIN 1045-1 nicht erfüllt!! => Genauerer Nachweis der Rotationsfähigkeit erforderlich!!
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 43 Ermittlung der Momenten-Krümmungsbeziehungen Stütze B: b eff,b = 1,50 m (siehe vorne) A c = 0,5 0,55 + 1,5 0,20 = 5750 cm 2 A s = 18,8 cm 2 y c = 27,93 cm, I y = 2.812.428 cm 4 7,64 10-5 6,27 10-5 Dehnungsebene im ungerissenen Querschnitt: Rissmoment: 3 fctm 2,2 10 M y I y 2.812.428 221, 5 knm y 27,93 s Rand- und Stahldehnungen: fctm 2,2 c1 7,6410 E 28800 c2 sr1 cm 7,6410 7,6410 5 5 75 27,93 0,12910 27,93 27,93 5 5 6,2710 27,93 5 3-0,129 10-3 Krümmung unter Rissschnittgrößen: I, II 0,129 0,0627 10 0,70 0,27 10 3 m 1 3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 44 Dehnungsebene im Riss unter Rissschnittgrößen: Rissmoment: M r = 221,5 knm Es ergibt sich folgende Dehnungsverteilung (Iterativ ermittelt): c = -0,4610-3 sr2 = 0,9410-3
Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: 45 Bestimmung der Dehnungsebene 2 Größen müssen geschätzt werden. 1. Innerer Hebelarm z 2. Betonranddehnung c 1. Schätzung z: z 0, 9 d 0, 90, 7 0, 63 m M R z F F s s s z F M R 0, 222 Fc 0, 352 MN z 0, 63 Fs 0, 352 0, 94 10 A E 18, 8200. 000 s c s 3
46
47 Nichtlineare Verfahren zur 1. Schätzung c: c 0,7 10 3 Beispiel 3: Für 0 ec 2 : + c s x d x d 0,7 x 0,299 m s 0,94 1 1 0,7 c d Alternativ mit Formeln aus Massivbau I: 1 R c 2 6 c 2 12 ka Für 2 ec 3,5 : R ar = 0,309 ka ka = 0,344 8 c2 4 6 c 2 3 c2 2 3 c2 c 2 3 c 2 4 2 2 c 2 3 c 2 2
48 Nichtlineare Verfahren zur 1. Schätzung c : 2. Schätzung: c 0,7 10 3 c s x d x d 0,7 x 0,299 m s 0,94 1 1 0,7 c Diagramm R 0,309 k a 0,346 Fc 0,5 0,299 0,309 14,45 0,667 MN 0,352 MN Fc zu groß c kleiner wählen!!! Beispiel 3: c 0,46 10 3 0,7 x 0,23 m 0,94 1 0,46 Diagramm R 0,212 k a 0,34 Fc 0,212 0,23 0,5 14,45 0,352 MN 0,352 MN Überprüfung des inneren Hebelarms z d a 0,7 0,34 0,23 0,62 0,63
49 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Dehnungsverteilung bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls: Die Kraft im Stahl beträgt bei Fließen Fs,Fl As f yr 18,8 550 10 4 1,034 MN Iterative Ermittlung der Dehnungsverteilung ( sy = fyr/es = 2,75 10-3):
50 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Betondehnung: 1. Schätzung: c 1,0 10 3 s 2,75 10 3 Strahlensatz: c c s x d c d 1,0 x 0,70 0,187 m c s 1 2,75 Mit c 1,0 in Diagramm R 0,42, k a 0,35 + d -
51 Nichtlineare Verfahren zur c2 Beispiel 3: c2 R ; ka 1,0 0,9 0,81 0,8 0,7 R = m / fcd 0,6 0,5 0,42 0,4 ka = a / x 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0 Randdehnung c2 in -2,5-3,0-3,5
52 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Fc x b R f cr 0,5 0,187 0,42 14,45 d 0,57 MN a x Gleichgewicht : Fx Fs Fc 1,034 0,57 0,464 MN 0 Fc zu klein, c muss größer sein 2. Schätzung: c 1,5 10 3 1,5 x 0,7 0,247 m 1,5 2,75 Diagramm ka 0,36, R 0,56 Fc 0,5 0,247 0,56 14,45 1,004 MN F 1,034 1,004 0,03 0
53 Nichtlineare Verfahren zur c2 Beispiel 3: c2 R ; ka 1,0 0,9 0,81 0,8 0,7 R = m / fcd 0,6 0,5 0,42 0,4 ka = a / x 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0-0,5-1,0-1,5-2,0 Randdehnung c2 in -2,5-3,0-3,5
54 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Bestimmung des Fließmomentes: M F Fs z Fs z d a a k a x 0,36 0,247 0,09 d Fc z 0,7 0,09 0,61 m M F 1,034 0,61 0,632 MNm 632 knm a x
55 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Berechnung der mittleren Stahldehnung esmy: esmy = sy - t ( sr2 - sr1) = 2,75 10-3 0,25 (0,95 0,0627) 10 3 = 2,53 10 3 Mittlere Krümmung c 2,53 1,53 3 1 y sm 10 5,80 10 3 m 1 d 0,70 r y Das Momenten-Krümmungs-Diagramm kann für den Stützenquerschnitt mit folgenden Wertepaaren erstellt werden: MI,II = 222 knm ; My = 630 knm ; I,II = 0,27 10-3 m-1 y = 5,80 10-3 m-1
56 Nichtlineare Verfahren zur Feld 1: Beispiel 3: beff,b = 2,00 m (siehe vorne) Ac = 0,5 0,55 + 2,0 0,20 = 6750 cm2 yc = 25,28 cm, -0,039 10-3 As = 20,4 cm2 Iy = 3.118.229 cm4 Dehnungsebene im ungerissenen Querschnitt: Rissmoment: f ctm 2,2 10 3 My Iy 3.118.229 138,0 knm ys 75 25,28 6,87 10-5 7,64 10-5 Rand- und Stahldehnungen: Krümmung unter Rissschnittgrößen: f ctm 2,2 c1 7,64 10 5 Ecm 28800 25,28 0,039 10 3 75 25,28 5 75 25,28 5 sr1 7,64 10 6,87 10 5 75 25,28 c 2 7,64 10 5 I, II 0,038 0,0687 10 3 0,70 I, II 0,15 10 3 m 1
57 Nichtlineare Verfahren zur Dehnungsebene im Riss unter Rissschnittgrößen: Rissmoment: Mr = 138,0 knm Es ergibt sich folgende Dehnungsverteilung (Iterativ ermittelt): c = -0,12 10-3 sr2 = 0,52 10-3 Beispiel 3:
58 Nichtlineare Verfahren zur Alternativ ohne Iteration: Abschätzung innerer Hebelarm: z 0,9 d = 0,9 70 = 63,0 cm Fc= Fs = 138 / 0,63 = 219 kn sr=219 103 / (20,4 102) = 107,0 N/mm2 sr2= 107,0 / 200.000 = 0,54 10-3 ka = a / x 0,35 -> aus Bild 5.7, MB I, abgeschätzt a = d - z = 70-63 = 7,0 cm x = a / ka = 7,0 / 0,35 = 20,0 cm c= 20,0 / (70-20) 0,54 10-3 = -0,22 10-3 Beispiel 3:
59 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Dehnungsverteilung bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls: Die Kraft im Stahl beträgt bei Fließen Fs,Fl = 20,4 550 10-1 = 1122 kn Iterative Ermittlung der Dehnungsverteilung ( sy = fyr/es = 2,75 10-3): c = -0,65 10-3 s = 2,75 10-3 z = 65,39 cm MFl = Fs,Fl z MFl = 1122 0,6539 = 733,7 knm
60 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Berechnung der mittleren Stahldehnung esmy: esmy = sy - t ( sr2 - sr1) = 2,75 10-3 0,25 (0,52 0,0687) 10 3 = 2,64 10 3 Mittlere Krümmung sm c 2,64 0,65 3 1 y 10 4,70 10 3 m 1 d 0,70 r y Das Momenten-Krümmungs-Diagramm kann für den Stützenquerschnitt mit folgenden Wertepaaren erstellt werden: MI,II = 138 knm ; My = 734 knm ; I,II = 0,15 10-3 m-1 y = 4,70 10-3 m-1
61 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: beff,b = 2,00 m (siehe vorne) Feld 2: Ac = 0,5 0,55 + 2,0 0,20 = 6750 cm2 yc = 25,28 cm, -0,039 10-3 As = 12,0 cm2 Iy = 3.118.229 cm4 Dehnungsebene im ungerissenen Querschnitt: Rissmoment: f ctm 2,2 10 3 My Iy 3.118.229 138,0 knm ys 75 25,28 Rand- und Stahldehnungen: f ctm 2,2 c1 7,64 10 5 Ecm 28800 6,87 10-5 7,64 10-5 Krümmung unter Rissschnittgrößen: 25,28 c 2 7,64 10 0,039 10 3 75 25,28 75 25,28 5 sr1 7,64 10 5 6,87 10 5 75 25,28 5 I, II 0,038 0,0687 10 3 0,70 I, II 0,15 10 3 m 1
62 Nichtlineare Verfahren zur Dehnungsebene im Riss unter Rissschnittgrößen: Rissmoment: Mr = 138,0 knm Es ergibt sich folgende Dehnungsverteilung (Iterativ ermittelt): c = -0,15 10-3 sr2 = 0, 86 10-3 Beispiel 3:
63 Nichtlineare Verfahren zur Alternativ ohne Iteration: Abschätzung innerer Hebelarm: z 0,9 d = 0,9 70 = 63,0 cm Fc= Fs = 138 / 0,63 = 219 kn sr=219 103 / (12,0 102) = 183,0 N/mm2 sr2= 107,0 / 200.000 = 0,92 10-3 ka = a / x 0,35 -> aus Bild 5.7, MB I, abgeschätzt a = d - z = 70-63 = 7,0 cm x = a / ka = 7,0 / 0,35 = 20,0 cm c= 20,0 / (70-20) 0,91 10-3 = -0,37 10-3 Beispiel 3:
64 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Dehnungsverteilung bei Erreichen der Streckgrenze des Betonstahls: Die Kraft im Stahl beträgt bei Fließen Fs,Fl = 12,0 550 10-1 = 660 kn Iterative Ermittlung der Dehnungsverteilung ( sy = fyr/es = 2,75 10-3): c = -0,48 10-3 s = 2,75 10-3 z = 66,45 cm MFl = Fs,Fl z MFl = 660 0,6645 = 438,6 knm
65 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Berechnung der mittleren Stahldehnung esmy: esmy = sy - t ( sr2 - sr1) = 2,75 10-3 0,25 (0,86 0,0687) 10 3 = 2,55 10 3 Mittlere Krümmung c 2,55 0,48 3 1 y sm 10 4,33 10 3 m 1 d 0,70 r y Das Momenten-Krümmungs-Diagramm kann für den Stützenquerschnitt mit folgenden Wertepaaren erstellt werden: MI,II = 138 knm ; My = 439 knm ; I,II = 0,15 10-3 m-1 y = 4,33 10-3 m-1
66 Nichtlineare Verfahren zur Vereinfachte Momenten-Krümmungsbeziehungen für den Träger 800 700 600 Moment [knm] Beispiel 3: 500 400 300 Momenten-Krümmungsbeziehung Stütze 200 Momenten-Krümmungsbeziehung Feld 1 Momenten-Krümmungsbeziehung Feld 2 100 0 0 1 2 3 4-3 Krümmung (1/r) m [10 m-1] 5 6
67 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Verläufe der Momente und der Krümmung -512,6 5 0-457,4 10 15 M [knm] 351,3 597,8 0,85 1 0,17 0,8 1 3,46 4,21 0 5 10 3,66 7,11 15 1/r [m-1] 10-3 3,11 1,29 1,55 M1 [knm] 5,43 1,41
68 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Berechnung des Rotationswinkels an der Stütze B: 1 B, E M 1 dx r 1 3,66 0,85 7,11 3 1 4,21 (0,85 3 1) 1,29 12 1 4,12 (3 1 0,81) 1,55 12 1 3,11 (0,81 0,17) 5,43 3 1 3,46 0,17 1,41 10 3 12 9,01 10 3 rad
69 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3:
70 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Nachweis einer ausreichenden Rotationsfähigkeit l = Verhältnis aus dem Abstand zwischen Momentennullpunkt und maximum (nach Umlagerung) und der statischen Nutzhöhe d. l = 1,29 / 0,70 = 1,84 k 1,84 0,783 3 Mit x/d = 0,256 (aus Bemessung) folgt aus Bild 9 der DIN 1045-1:
71 Nichtlineare Verfahren zur Grundwert der plastischen Rotation Beispiel 3:
72 Nichtlineare Verfahren zur Beispiel 3: Nachweis einer ausreichenden Rotationsfähigkeit l = Verhältnis aus dem Abstand zwischen Momentennullpunkt und maximum (nach Umlagerung) und der statischen Nutzhöhe d. l = 1,29 / 0,70 = 1,84 1,84 0,783 3 Mit x/d = 0,256 (aus Bemessung) folgt aus Bild 9 der DIN 1045-1: k => Grundwert pl,d = 11,2 mrad und damit für die mögliche plastische Rotation k pl, d 0,783 11,2 8,77 mrad E 9,01 mrad!!! => Nachweis nicht erbracht!!! => => Integration mit Koppeltafeln liegt sehr auf der sicheren Seite genauere Integration unter Verwendung der Simpson schen Regel