Übung BIW2-05 Stahlbetonbau Grundlagen

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1 Übung BIW05 Stahlbetonbau Grundlagen Teil II Grundlagen der Bemessung von Spannbetonbauteilen

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines Literatur Ziel der Vorspannung Bemessungsgrundlagen 3.1 Aufgabenstellung Umgebungsbedingungen, Baustoffe und Anforderungen Materialkenngrößen Betondeckungen und statische Nutzhöhen bei M Ed,F,max Mitwirkende Plattenbreite Bemessungsquerschnitte Allgemeines BruttoQuerschnitt NettoQuerschnitt IdeellerQuerschnitt Bemessungsschnittgrößen (ohne Vorspannung) Charakteristische Schnittgrößen aus ständigen und veränderlichen Lasten Bemessungsschnittgrößen im GZG Bemessungsschnittgrößen im GZT Spanngliedführung Allgemeine Kriterien Parabelförmiger Spanngliedverlauf im Einfeldträger Parabelförmiger Spanngliedverlauf am Mehrfeldträger Verlauf in Randfeldern Verlauf in Innenfeldern Bestimmen der Wendepunkte Verlauf über Stützen Schnittgrößen infolge Vorspannung Schnittgrößen am statisch bestimmten System (EFT) Schnittgrößen am statisch unbestimmten System (MFT) Allgemeines Kraftgrößenmethode Umlenkkraftmethode Vorbemessung Allgemeines i

4 Inhaltsverzeichnis 6. NW der Dekompression minimale Vorspannkraft NW der Betondruckspannungen minimale/maximale Vorspannung Übersicht Vorbemessung und Wahl der Vorspannung (x=l/) Spannkraftverluste Zeitunabhängige Verluste Verluste infolge Reibung Verluste infolge Keilschlupf Anspannen und Nachlassen Berechnung des Spannwegs Zeitabhängige Verluste Allgemeines Verluste infolge Schwinden Verluste infolge Kriechen Relaxation Zeitabhängige Verluste bei x = l/ Spannungsnachweise im GZG Nachweis der Dekompression Nachweis der Betondruckspannungen Spannstahlspannungen Biegebemessung im GZT Allgemeines Vorspannung ohne Verbund Vorspannung mit nachträglichem Verbund Weitere Nachweise im GZT und GZG Nachweis der Querkrafttragfähigkeit Nachweis der Rissbreitenbegrenzung Sonstige Mindestbewehrung und konstruktive Durchbildung Duktiles Bauteilverhalten Mindestquerkraftbewehrung Oberflächenbewehrung Spaltzugbewehrung Zeichnerische Darstellung Übersicht Bewehrungsmengen Spanngliedverlegeplan Schlaffstahlbewehrung ii

5 1 Allgemeines 1.1 Literatur Literatur Leonhardt, F.: Vorlesung über Massivbau Teil 5 Spannbeton. SpringerVerlag, Berlin, 1980 (6. Nachdruck 004) Rossner, W., Graubner, C.A.: Spannbetonbauwerke Teil 3 Bemessungsbeispiele nach DIN und DIN Fachbericht 10. Verlag Ernst & Sohn, Berlin, 005 Thomsing, M.: Spannbeton: Grundlagen Berechnungsverfahren Beispiele. Teubner Verlag, Stuttgart, 1998 Avak, R., Glaser, R.: Spannbetonbau Theorie, Praxis, Berechnungsbeispiele. Bauwerk Verlag, Berlin, 005 Rombach, G.: Spannbetonbau. Verlag Ernst & Sohn, Berlin, 003 (1. Nachdruck 005) Curbach, Schlüter: Bemessung im Betonbau. Verlag Ernst & Sohn, Schlaich: Konstruieren im Stahlbetonbau. Aufsatz im Betonkalender 1993 Teil II. Verlag Ernst & Sohn, Normen DIN 10451:00808 (Bemessung im Hochbau) DAfStbHeft 55 (Erläuterungen zur DIN 10451) DAfStbHeft 40 DIN 1055 (Lastannahmen) DIN Fachbericht 101 (Lastannahmen im Brückenbau) DIN Fachbericht 10 (Bemessung im Massivbrückenbau) ARS, Allgemeines Rundschreiben Straßenbau (vom Bundesministerium für Verkehr, Bau, und Stadtentwicklung) ZTVIng, Zusätzliche Technische Vertragsbedingungen und Richtlinien für Ingenieurbauten Zulassungen Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung des jeweiligen Spannverfahrens (in Übung verwendet; Spannverfahren: 150 mm nach DIN und FB 10) 1

6 1 Allgemeines Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung der jeweiligen Spannstahllitzen z.b.: 1. Ziel der Vorspannung Durch das Überdrücken des Querschnitts werden die Zugspannungen im Bauteil verringert. Durch eine exzentrische Spanngliedlage wird die Spannungsverteilung günstig beeinflusst. c < c,zul SP M gq Np = N = 0 gq c,gq (a) zentrisch c,p c,gqp SP M gq Np = M p z p N = 0 gq c,gq (b) exzentrisch c,p c,gqp Abbildung 1.1: Wirkungsweise der Vorspannung Stellschrauben 1. Vorspannkraft: Änderung des Spannstahlquerschnitts. Spanngliedführung: Änderung der Spanngliedaußermitte 3. Querschnittsform: Änderung der Querschnittshöhe σ c = N gq A c M gq W c N p A c M p W c = 0 6 M gq b h }{{} 3 1 {}}{ P b h 6 1 {}}{ P b h }{{} 3 z p {}}{

7 Bemessungsgrundlagen.1 Aufgabenstellung Es ist ein Einfeldplattenbalken eines Schwimmhallendaches zu bemessen. Der Plattenbalken soll mit einer Vorspannung im nachträglichen Verbund hergestellt und einseitig vorgespannt werden. B l (Plattenbalken) A A b b b licht,1/=b1 b /=b licht, h f h w h ges B b licht,1 b w b licht, b b (Platte) Schnitt B B A A h f h w hges l Schnitt A A B h f h w h ges Skizzen nicht maßstäblich B b eff,1 b w b eff, b eff,f Abbildung.1: Darstellung Plattenbalken 3

8 Bemessungsgrundlagen Geometriewerte: Feldlänge: Achsabstand Plattenbalken: Lichte Breite zwischen den Stegen: Plattenhöhe: Steghöhe bis UK Platte: Höhe Plattenbalken: Stegbreite: l = 15, 00 m b = 6, 00 m b licht = 5, 50 m h f = 0 cm h w = 80 cm h ges = 100 cm b w = 50 cm Sonstige Eingangsgrößen / angenommene Größen für die Vorbemessung: Zementtyp: CEM I 4,5N Betonalter bei Austrocknungsbeginn: Betonalter bei Belastungsbeginn: Betonalter bei t = : t s = 7 d t 0 = 8 d t = d oder t = 50 a Umgebungsfeuchte des Bauteils: RH = 80% Spannverfahren: SUSPA 150 mm Hüllrohrdurchmesser des Spannglieds (Annahme für Vorbemessung): d H = 100 mm Spannstahlfläche (Annahme SUSPA SG619): A p = 8, 50 cm Spannglieddurchmesser (DIN ): d SG = 1, 6 A p d SG = 1, 6 8, 50 cm = 85 mm 4

9 . Umgebungsbedingungen, Baustoffe und Anforderungen Lasten: Eigengewicht Plattenbalken: g k,1 = A c γ g = ((h f b) (h w b w )) γ Beton g k,1 = ((0 cm 6 m) (80 cm 50 cm)) 5 kn/ m 3 = 40, 00 kn/m Ausbaulasten Dach: g k, = 18, 00 kn/m Eigengewicht gesamt: g k = 40, 00 kn/m 18, 00 kn/m = 58, 00 kn/m Verkehrslast (nicht begehbares Dach): q k,max = 6, 00 kn/m q k,min = 0 kn/m. Umgebungsbedingungen, Baustoffe und Anforderungen Expositionsklassen (DIN 10451, Tabelle 3) Innenraum mit hoher Luftfeuchte mäßige Feuchte XC3 Mindestwert der Betonfestigkeit Expositionsklasse: XC3 C0/5 wegen Vorspannung (DIN 10451, 6.(3)): C5/30 (maßgebend) aus Zulassung Spannverfahren (SUSPA150 mm ): C0/5 Anforderungsklasse (DIN 10451, Tabelle 19) Vorspannung im nachträglichem Verbund XC3 Anforderungsklasse C Einwirkungskombinationen für Nachweise im GZG (DIN 10451, Tabelle 18) Anfoderungsklasse C EWK für Nachweis der Dekompression: quasiständig EWK für Rissbreitenbegrenzung: häufig Rechenwert der Rissbreite: w k = 0, mm 5

10 Bemessungsgrundlagen.3 Materialkenngrößen gewählte Betongüte: C5/30 (DIN 10451, Tabelle 9) f ck = 5 N/mm f cd = α fck γ c f cm = 33 N/mm f ctm =, 60 N/mm E cm = 6700 N/mm E c0m = N/mm = 0, 85 5 N/mm 1, 5 = 14, 17 N/mm Betonstahl: BSt 500S (DIN 10451, Tabelle 9 und 9..4(4)) f yk = 500 N/mm f yd = f yk γ s = 500 N/mm 1, 15 = 435 N/mm E s = N/mm Spannstahl: St 1570/1770 (Zulassung Spannverfahren und DIN 10451, 9.3.3(5)) f pk = 1770 N/mm f p0,1k = 1500 N/mm f p0,1d = f p0,1k γ s = 1500 N/mm 1, 15 = 1304 N/mm E p = N/mm.4 Betondeckungen und statische Nutzhöhen bei M Ed,F,max Betondeckung (DIN 10451, Tabelle 4 und 6.3(4)) Schlaffstahl: gewählt d sl = 0 mm c nom,s = c min,s c = 0 mm 15 mm = 35 mm (Beachte: c min,s d sl ) Spannstahl: c nom,p = c min,p c = 30 mm 15 mm = 45 mm oder Spannglied im nachträglichen Verbund: c min,p = d H c nom,p = c min,p c = 100 mm 15 mm = 115 mm (maßgebend) Statische Nutzhöhen Statische Nutzhöhe Schlaffstahl: d s = h ges c nom,s d sl / = 100 cm 3, 5 cm 0 mm/ = 95, 50 cm Statische Nutzhöhe Spannstahl: durch Wahl von Abstand Spannstahlachse Schwerachse Querschnitt z p,f = 0, 55 m (vgl. Abschnitt 4.): d p = h ges y SP,brutto z p,f = ( ) cm = 80 cm 6

11 .5 Mitwirkende Plattenbreite.5 Mitwirkende Plattenbreite l 0 = l b 1 = b licht b = b licht 0, b 1 0, 1 l 0 b eff,1 = min 0, l 0 b 1 0, b 0, 1 l 0 b eff, = min 0, l 0 b b eff,f = b eff,1 b eff, b w l 0 = 15 m b 1 =, 75 m b =, 75 m b eff,1 =, 05 m b eff, =, 05 m b eff,f = 4, 60 m Beachte: Für Biegebemessungen (Bsp. Einspannung am Auflager) mit negativem Moment ist die mitwirkende Breite gleich der Stegbreite, da sich die Druckzone auf die Stegbreite begrenzt ist..6 Bemessungsquerschnitte.6.1 Allgemeines Bei der Bemessung von Spannbetonbauteilen müssen die Querschnittswerte drei unterschiedlicher Berechnungsquerschnitte berücksichtigt werden (brutto, netto, ideell). In der Übung wird vereinfachend nur mit dem BruttoQuerschnitt gerechnet. c SP c SP net net SP i i z u c nom,p e p a) brutto b) netto c) ideell Abbildung.: Unterschiedliche Berechnungsquerschnitte 7

12 Bemessungsgrundlagen.6. BruttoQuerschnitt Annahme: reiner Betonquerschnitt höhere Steifigkeit des Spannstahls und der daraus resultierende höhere Lastabtrag wird vernachlässigt dieser Querschnitt kann nur bei Vorspannung mit Verbund berücksichtigt werden wird bei der Vorbemessung angesetzt kann angesetzt werden wenn A p A ges Querschnittswerte sind über die gesamte Trägerlänge unveränderlich A brutto = b w h w b eff,f h f = (0, 50 m 0, 80 m) (4, 6 m 0, m) = 1, 3 m y SP,brutto = y SP,brutto = ( b w h w hw b eff,f h f h w h ) f 0, 50 m 0, 80 m A brutto 0, 80 m ( ) 0, 0 m 4, 6 m 0, m 0, 80 m = 74, 85 cm 1, 3 m I y,brutto = b w h 3 w 1 b w h w ( y SP,brutto h ) w b eff,f h 3 f 1 b eff,f h f ( h ges h ) f y SP,brutto = 0, 094 m 4 z o,brutto = y SP,brutto h ges = 74, 85 cm 100 cm = 5, 15 cm z u,brutto = y SP,brutto = 74, 85 cm W yo,brutto = I y,brutto z o,brutto = 0, 094 m4 5, 15 cm = 0, 374 m3 W yu,brutto = I y,brutto z u,brutto = 0, 094 m4 74, 85 cm = 0, 16 m3 8

13 .6 Bemessungsquerschnitte.6.3 NettoQuerschnitt nur der reine Betonquerschnitt trägt zum Lastabtrag bei bei Vorspannung im nachträglichen und ohne Verbund wird die Querschnittsfläche der Hüllrohre abgezogen bei Vorspannung im sofortigen Verbund wird die Spannstahlfläche abgezogen bei Vorspannung ohne Verbund (unterschiedliche Dehnungen im Spannstahl und Beton) und Bauteilen mit nachträglichem Verbund muss vor der Herstellung des Verbundes mit diesen Querschnittswerten gerechnet werden Bauteilwiderstand des Betonquerschnitts ist im Vergleich zum BruttoQuerschnitt geringer wenn SGLage über die Trägerlänge veränderlich ist, sind die Querschnittwerte ebenfalls veränderlich A H = π (d H) 4 = π (10 cm) 4 = 78, 54 cm A netto = A brutto A H = 1, 3 m 0, m = 1, 31 m y SP,netto = y SP,netto = A brutto y SP,brutto A H A netto ( c nom,p d ) H ( ) 1, 3 m 74, 85 cm 78, 54 cm 10 cm 11, 5 cm = 75, 3 cm 1, 31 m I y,netto = I y,brutto A brutto (y SP,netto y SP,brutto ) A H ( ( y SP,netto c nom,p d )) H I y,netto = 0, 091 m 4 z o,netto = y SP,netto h ges = 75, 3 cm 100 cm = 4, 68 cm z u,netto = y SP,netto = 75, 3 cm W o,netto = I y,netto z o,netto = 0, 091 m4 4, 68 cm = 0, 369 m3 9

14 Bemessungsgrundlagen W u,netto = I netto z u,netto = 0, 091 m4 75, 3 cm = 0, 11 m3.6.4 IdeellerQuerschnitt Spannstahl und Beton tragen entsprechend ihrer Steifigkeiten zum Lastabtrag bei kann nur für Vorspannung im Verbund angesetzt werden (gleiche Dehnungen im Spannstahl und Beton) auch Schlaffstahlanteil kann berücksichtigt werden (nur bei hohen Bewehrungsgraden lohnend) der Bauteilwiderstand wird im Vergleich zum BruttoQuerschnitt größer wenn SGLage über die Trägerlänge veränderlich ist, sind die Querschnittwerte ebenfalls veränderlich A s 0 α p = E p E cm = N/mm 6700 N/mm = 7, 3 e p = c nom,p d H d SG = 11, 50 cm 10, 00 cm 8, 50 cm = 17, 5 cm A p = 8, 50 cm A i = A brutto (α p 1) A p = 1, 3 m (7, 3 1) 8, 50 cm = 1, 34 m y SP,i = A brutto y SP,brutto (α p 1) A p e p A i y SP,i = 1, 3 m 74, 85 cm (7, 3 1) ( 8, 50 cm 17, 5 cm) 1, 34 m = 73, 50 cm I y,i = I y,brutto A brutto (y SP,i y SP,brutto ) (α p 1) A p (y SP,i e p ) I y,i = 0, 0996 m 4 10

15 .6 Bemessungsquerschnitte z o,i = y SP,i h ges = 6, 50 cm z u,i = y SP,netto = 73, 50 cm W o,i = I y,i z o,i = 0, 0996 m4 6, 50 cm = 0, 376 m3 W u,i = I y,i z u,i = 0, 0996 m4 73, 50 cm = 0, 136 m3 11

16 Bemessungsgrundlagen 1

17 3 Bemessungsschnittgrößen (ohne Vorspannung) 3.1 Charakteristische Schnittgrößen aus ständigen und veränderlichen Lasten Auflager: Feld: ständige Lasten: V gk,a = 435, 00 kn M gk,a = 0 knm V gk,f = 0 kn M gk,f = 1631, 5 knm veränderliche Lasten: V qk,a,max = 45, 00 kn M qk,a,max = 0 knm V qk,a,min = 0 kn M qk,a,min = 0 knm V qk,f,max = 0 kn M qk,f,max = 168, 75 knm V qk,f,min = 0 kn M qk,f,min = 0 knm 3. Bemessungsschnittgrößen im GZG Kombinationsregeln nach DIN , Tabelle 3 Kombinationsbeiwerte nach DIN , Tabelle A. Nutzlastkategorie C ψ 0 = 0, 7 ψ 1 = 0, 7 ψ = 0, 6 Quasiständige Einwirkungskombination Auflager A: Feld: M Ed,A,perm,max = 0 knm M Ed,F,perm,max = 1, 73 MNm M Ed,A,perm,min = 0 knm M Ed,F,perm,min = 1, 63 MNm V Ed,A,perm,max = 46, 00 kn V Ed,F,perm,max = 0 kn V Ed,A,perm,min = 435, 00 kn V Ed,F,perm,min = 0 kn 13

18 3 Bemessungsschnittgrößen (ohne Vorspannung) Häufige Einwirkungskombination Auflager A: Feld: M Ed,A,frequ,max = 0 knm M Ed,F,frequ,max = 1, 75 MNm M Ed,A,frequ,min = 0 knm M Ed,F,frequ,min = 1, 63 MNm V Ed,A,frequ,max = 466, 50 kn V Ed,F,frequ,max = 0 kn V Ed,A,frequ,min = 435, 00 kn V Ed,F,frequ,min = 0 kn Seltene Einwirkungskombination Auflager A: Feld: M Ed,A,rare,max = 0 knm M Ed,F,rare,max = 1, 80 MNm M Ed,A,rare,min = 0 knm M Ed,F,rare,min = 1, 63 MNm V Ed,A,rare,max = 480, 00 kn V Ed,F,rare,max = 0 kn V Ed,A,rare,min = 435, 00 kn V Ed,F,rare,min = 0 kn 3.3 Bemessungsschnittgrößen im GZT Kombinationsregeln nach DIN , Tabelle Teilsicherheitsbeiwerte nach DIN 10451, Tabelle 1 γ g = 1, 35 γ q = 1, 50 ψ 0 = 0, 7 Im Übungsbeispiel werden die außergewöhnliche Bemessungssituation und die Bemessungssituation infolge Erdbeben nicht berücksichtigt. Schnittgrößen für die ständige und vorübergehende Bemessungssituation Auflager A: Feld: M Ed,A,max = 0 knm M Ed,F,max =, 46 MNm M Ed,A,min = 0 knm M Ed,F,min =, 0 MNm V Ed,A,max = 654, 75 kn V Ed,F,max = 0 kn V Ed,A,min = 587, 5 kn V Ed,F,min = 0 kn 14

19 4 Spanngliedführung 4.1 Allgemeine Kriterien Mindestabstände für Hüllrohre, Ankerstellen und Koppelstellen einhalten (DIN 10451, 1.10(3) bis (5) bzw. Zulassung) Betondeckung (DIN 10451, 6.3(4) bzw. Zulassung) Koppel und Ankerbereiche in Nähe der Momentennullpunkte anordnen (u.a. wegen geringer Spannungsschwingbreite) Vorspannmoment sollte Moment aus äußerer Belastung entgegengesetzt sein zulässigen Mindestkrümmungsradius der Spannglieder beachten (Zulassung) Spannglied im Bereich von M max maximal am Rand führen Spannglied im Ankerbereich ca. 1 m geradlinig (daher günstig Spannglied im Ankerbereich bereits geneigt anzuordnen) Gegenkrümmung über Stütze möglichst klein, damit Umlenkkräfte direkt ins Auflager eingeleitet werden (günstig auch für Querkraftnachweis) /3 der Spannglieder zur Abdeckung von M max im Feld über den Auflagern durchführen (ZTVIng, Teil 3.,.3.1 (7)) 4. Parabelförmiger Spanngliedverlauf im Einfeldträger x z p,f y z (x) p l Abbildung 4.1: An den Momentenverlauf angepasster Spanngliedverlauf z (x) p maximaler Abstand des Spannglieds zur Schwerachse des Trägers bei maximalem Moment in der Praxis gerader Spanngliedverlauf im Bereich von Ankern und Kopplungen (über ca. 1 m) 15

20 4 Spanngliedführung c SP c SP z p,f z u z (x) p d H d SG c nom,p e p Abbildung 4.: Abstand der Spanngliedachse vom Querschnittsschwerpunkt (brutto) Bestimmen der Parabel: Parabelansatz: z p (x) = a x b x c Randbedingungen: I: z p (x = 0) = 0 II: z p (x = l ) = z p,f = y SP,brutto c nom,p d H d SG z p,f,theo = (74, 85 11, , 50/) cm = 57, 6 cm gewählt: z p,f = 55, 00 cm III: z p(x = l ) = 0 Konstanten: c = 0 b = a l = 0, 147 a = 0, m Parabelgleichung: z p (x) = 0, m x 0, 147 x 4.3 Parabelförmiger Spanngliedverlauf am Mehrfeldträger Verlauf in Randfeldern x1 f 1 e 1 WP SP f z (x ) p,1 1 l 1 z p,f1 SP g (x) 1 l / 1 l / 1 l / Abbildung 4.3: Parabelführung in Randfeldern 16

21 4.3 Parabelförmiger Spanngliedverlauf am Mehrfeldträger Beachte: e 1 ist negativ! Bestimmung der Parabel: Parabelansatz: z p (x) = a x b x c Randbedingungen: I: z p,1 (0) = 0 II: z p,1 (l 1 ) = e 1 Konstanten: c = 0 III: z p,1 ( l 1 ) = f 1 e 1 b = 4 f 1 e 1 l 1 a = 4 f 1 l 1 Parabelgleichung: z p,1 (x 1 ) = 4 f 1 l 1 x 1 4 f 1 e 1 l 1 x 1 Bestimmen von f 1 und e 1 : Randbedingungen: I: z p,1 (α l 1 ) = z p,f1 II: z p,1(α l 1 ) = 0 Einsetzen und l 1 kürzen: f 1 = z p,f1 4 α e 1 = α 1 α z p,f1 Mögliche Annahme für α: α gq = 0, , 400 α = 0, 40 Das Momentenmaximum M max,gq im Randfeld eines über alle Felder mit Gleichlast beanspruchten MFT liegt bei 0, , 400 l 0. Daher kann α 0, 40 angenommen werden. Es ist zu beachten, dass das maximale Moment aus Vorspannung nicht genau bei α l 0 auftritt, da es aus einem statisch bestimmten und einem statisch unbestimmten Anteil besteht. 17

22 4 Spanngliedführung 4.3. Verlauf in Innenfeldern x l 1 e 1 f 1 SP z (x ) p, WP l / g (x) f SP z p,f Abbildung 4.4: Parabelführung im Feld allgemein Bestimmung der Parabel: Parabelansatz: z p (x) = a x b x c Randbedingungen: I: z p, (0) = e 1 II: z p, (l ) = e 1 Konstanten: c = e 1 III: z p, ( l ) = f e 1 b = 4 f l a = 4 f l 18

23 4.3 Parabelförmiger Spanngliedverlauf am Mehrfeldträger Bestimmen der Wendepunkte Wendepunkt Randfeld: Geradenansatz: Randbedingungen: g(x) = m x n I: g 1 (α l 1 ) = z p,f1 II: g 1 (l 1 ) = z p,st Einsetzen: m = z p,f1 z p,st l 1 (α 1) n = z p,f1 z p,st α 1 z p,st Geradengleichung: g 1 (x 1 ) = z p,f1 z p,st l 1 (α 1) x 1 z p,f1 z p,st z p,st α 1 Wendepunkt Innenfeld: Geradenansatz: Randbedingungen: g(x) = m x n I: g (0) = z p,st II: g ( l ) = z p,f Einsetzen: n = z p,st m = (z p,f z p,st ) l Geradengleichung: g (x ) = (z p,f z p,st ) l x z p,st Verlauf über Stützen Über den Stützen wird der Spanngliedverlauf ausgerundet. x z p,st SP WP z WP w,1 z w, x l w,1 1 z (x ) p, x w, Abbildung 4.5: Parabelförmiger Spanngliedverlauf über der Stütze 19

24 4 Spanngliedführung Parabel im Randfeld: Parabelansatz: Randbedingungen: z p (x) = a x b x c I: z p,st,1 (0) = z p,st II: z p,st,1 (x w,1 l 1 ) = z w,1 III: z p,st,1 (0) = 0 Einsetzen: c = z p,st b = 0 a = z w,1 z p,st (x w,1 l 1 ) Parabelgleichung: z p,st,1 (x ) = z w,1 z p,st (x w,1 l 1 ) x z p,st Parabel im Innenfeld: Parabelansatz: Randbedingungen: z p (x) = a x b x c I: z p,st, (0) = z p,st II: z p,st, (x w, ) = z w, III: z p,st, (0) = 0 Einsetzen: c = z p,st b = 0 a = z w, z p,st x w, Parabelgleichung: z p,st, (x ) = z w, z p,st x w, x z p,st Möglichkeit zur Kontrolle: An den Wendepunkten des Spanngliedverlaufs müssen die Parabeln des Feldbereichs und des Stützbereichs die gleichen Anstiege aufweisen. 0

25 5 Schnittgrößen infolge Vorspannung 5.1 Schnittgrößen am statisch bestimmten System (EFT) P x z p,f z (x) p l N P P 4 P z p,f / l V P 4 P z p,f / l P z p,f M=P z (x) p M P Abbildung 5.1: Schnittgrößen am statisch bestimmten System wenn das Spannglied nur eine geringe Neigung aufweist, kann die erzeugte Querkraft aus Vorspannung vernachlässigt werden (cos(α) 1 und sin(α) 0) Beachte: P ist für den Betonquerschnitt eine Druckkraft! Beachte: Vorzeichen von z p (x) richtet sich nach der Definition des Koordinatensystems. 1

26 5 Schnittgrößen infolge Vorspannung 5. Schnittgrößen am statisch unbestimmten System (MFT) 5..1 Allgemeines Statisch bestimmtes System Statisch unbestimmtes System statisch bestimmter Anteil M 0 p = M p keine Auflagerkräfte (Eigenspannungszustand) statisch bestimmter Anteil M 0 p statisch unbestimmter Anteil M p Auflagerkräfte aus statisch unbestimmtem Anteil das Moment infolge Vorspannung muss bei statisch unbestimmten Systemen in einen statisch bestimmten und einen statisch unbestimmten Momentenanteil aufgeteilt werden statisch bestimmter Anteil wird als Bauteilwiderstand angesetzt kann sich nicht umlagern und ist somit immer vorhanden statisch unbestimmter Anteil muss auf der Einwirkungsseite berücksichtigt werden Umlagerung des Momentenanteils erfolgt bei Änderung der Querschnittssteifigkeit (Rissbildung) Das Moment aus Vorspannung und seine Anteile werden wie folgt bezeichnet: Gesamtmoment stat.best.anteil stat.unbest.anteil {}}{ {}}{ {}}{ M p = Mp 0 Mp Gesamtmoment stat.best.anteil stat.unbest.anteil { }} { { }} { { }} { P ẑ p = P z p P m p Berechnungsmöglichkeiten für den unbestimmten Momentenanteil aus Vorspannung: Kraftgrößenmethode Umlenkkraftmethode CAE Software

27 5. Schnittgrößen am statisch unbestimmten System (MFT) 5.. Kraftgrößenmethode Für die Schnittgrößenermittlung mittels Kraftgrößenmethode wird der Spanngliedverlauf näherungsweise mit nur einer Parabel über die gesamte Feldlänge beschrieben und angenommen. Die Ausrundung des Verlaufs über den Stützen wird nachträglich berücksichtigt. Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Momentenanteile am Dreifeldträger l 1 l l 3 z p,f1 z p(x) l 1 l 1 / f 1 f e 1 e z p,f f 3 z p,f3 Näherung des SGVerlaufs mit 3 Parabeln Statisches bestimmtes Hauptsystem X 1 X Statisch bestimmte Momentenanteile P f 1 P f P f 3 Moment M aus f, f, f p P e 1 Statisch unbestimmte Momentenanteile 1 P e Moment M aus e 1 Moment M aus e Moment M aus X 1 0 p 0 p p,1 1 Moment M aus X p, Abbildung 5.: Momentenanteile nach der Kraftgrößenmethode 3

28 5 Schnittgrößen infolge Vorspannung Beachte: P und e 1 sind negativ! Berechnung der Relativverschiebungsgrößen δ ik und δ i0 Berechnung mittels Integrationstafeln aus MVerlauf von M 0 p und M p Relativverschiebungsgrößen: δ 10 = 1 3 P [ f l f 3 l 3 e (l l 3 ) 1 e 1 l ] 1 δ 0 = 1 3 P [ f 1 l 1 f l e 1 (l 1 l ) 1 e l ] 1 δ 11 = (l l 3 ) δ = (l 1 l ) δ 1 = (l ) δ 1 = (l ) Statisch Unbestimmte: X 1 = δ 10 δ δ 0 δ 1 δ 11 δ δ 1 X = δ 0 δ 11 δ 10 δ 1 δ 11 δ δ 1 Moment infolge Vorspannung: M p =M 0 p M p = M 0 p M p,1 X 1 M p, X aus Spanngliedverlauf: f 1 = z p,f1 4 α e 1 = e = α 1 α z p,f1 f = z p,f e 1 Bei der Beschreibung des Spanngliedverlaufs mit 3 Parabeln werden die Stützmomente nachträglich ausgerundet. Hierfür wird der Anteil M p = P (e 1 z p ) vom berechneten Verlauf abgezogen. 4

29 5. Schnittgrößen am statisch unbestimmten System (MFT) Statisch bestimmte und statisch unbestimmte Querkraftanteile am Dreifeldträger Der statisch bestimmte Anteil der Querkraft infolge Vorspannung lässt sich aus dem Anstieg des Spanngliedverlaufs bestimmen. Daher benötigt man die 1. Ableitung der Parabelgleichungen die den Verlauf beschreiben z p (x) z p(x). Der statisch unbestimmte Anteil der Querkraft infolge Vorspannung wird über die Auflagerkräfte, die durch die statisch unbestimmten Vorspannmomente verursacht werden, berechnet. l 1 l l 3 l 1 z p,f1 l / 1 f 1 Näherung des SGVerlaufs mit 3 Parabeln Statisch bestimmte Querkraftanteile Querkraft V 0 p Statisch unbestimmte Querkraftanteile Querkraft V P Abbildung 5.3: Querkraftverlauf und Querkraftanteile infolge Vorspannung Randfeld: V 0 p,1(x 1 ) = z p,1(x 1 ) P = V p,1(x 1 ) = (M p(x 1 )) ( 8 f 1 x l1 1 (4 f ) 1 e 1 ) P l 1 Mittelfeld: V 0 p,(x ) = z p,(x ) P = V p,(x ) = (M p(x )) ( 8 f x l 4 f ) P l 5

30 5 Schnittgrößen infolge Vorspannung 5..3 Umlenkkraftmethode Aus den Umlenkkräften die durch den Spanngliedverlauf hervorgerufen werden, können senkrechte Ersatzstreckenlasten berechnet und angesetzt werden wenn: f l eff < 1/1 (nach Avak), oder die Spanngliedneigung zwischen 3 und 6 liegt (nach Thomsing). Die Schnittgrößen am Gesamtsystem infolge der Ersatzstreckenlasten können mit Rechenprogrammen einfach berechnet werden. Die Aufteilung in den statisch bestimmten und unbestimmten Anteil der Schnittgrößen erfolgt im Nachgang. Feld: Stütze: l/ l/ P f P e WP f a f a P F u P a links a rechts F u = P sin ( ) f f u F F u = u F l u St u F l a links Abbildung 5.4: Prinzip der Umlenkkraftmethode 6

31 5. Schnittgrößen am statisch unbestimmten System (MFT) z p (x) = 4 f l x 4 f l x z p(0) = tan (α) = 8 f l 0 4 f l = 4 f l tan (α) = 4 f l = sin (α) cos (α) sin (α) wenn α klein, dann cos(α) 0 und tan(α) sin(α) u F = F u l = P sin (α) l = 8 f P u l St = 8 e P ( a) l 1 l l 3 e f e 1 e f 1 f 3 z p,f1 z p,f3 l 1 a links a rechts l / 1 Moment M p Moment M p 0 Moment M P Abbildung 5.5: Momentenanteile aus Vorspannung nach der Umlenkkraftmethode 7

32 5 Schnittgrößen infolge Vorspannung 8

33 6 Vorbemessung 6.1 Allgemeines 1. Bestimmung der maximalen Vorspannkraft (P 0,max ) zum Zeitpunkt t = 0 um die zulässige Betondruckspannung am vorgedrückten Rand infolge Vorspannung nicht zu überschreiten (meist Bauzustand nur Trägereigengewicht).. Bestimmung der minimalen Vorspannkraft (P,min ) zum Zeitpunkt t = um die zulässige Betondruckspannung am nicht vorgedrückten Rand infolge äußerer Belastung nicht zu überschreiten. 3. Bestimmung der minimalen Vorspannkraft (P,min ) zum Zeitpunkt t = um keine Dekompression des vorgedrückten Randes infolge äußerer Belastung zuzulassen. Daraus folgt, dass für die Vorbemessung die Spannungsnachweise im GZG herangezogen werden. g 1 = c,np c,mp c,p c,g1 c,gqp g 1 g q c,np c,mp c,p P min g 1 t = 0 (P ) 0,max N p M p P 0,max 1 t = 4 Wochen ( P m0,max ) N p M p P m0,max = c,g1 c,g c,q c,gqp t = ( P min ) N p M p g q = 3 c,np c,mp c,p c,g1 c,g c,q c,gqp Abbildung 6.1: Maßgebende Einwirkungen und Spannungsverteilungen für die Vorbemessung 9

34 6 Vorbemessung Der Teilsicherheitsbeiwert für den Bemessungswert der Vorspannkraft beträgt: γ p = 1, 0 Nach DIN 10451, 8.7.4(1,) ist im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit eine mögliche Streuung der Vorspannung zu beachten. In den entsprechenden Nachweisen ist der jeweils ungünstig wirkende Beiwert r inf oder r sup anzusetzen. Im GZT sowie bei den Spannstahlspannungsnachweisen (DIN 10451, ) werden die Beiwerte r inf und r sup nicht berücksichtigt. Für Vorspannung im nachträglichen Verbund gilt: r inf = 0, 90 r sup = 1, 10 Prinzipiell ist jedem selbst überlassen, wie er die Vorbemessung durchführt! Eine Möglichkeit ist die Verwendung des Dekompressionsnachweises (untere Grenze für P) und des Betondruckspannungsnachweises (obere und untere Grenze für P). Grundlage für beide Nachweise ist die Randspannungsermittlung am Querschnitt im Zustand I. Bei statisch unbestimmten Systemen wird der statisch unbestimmte Anteil auf der Einwirkungsseite berücksichtigt. Allgemeine Gleichung zur Bestimmung der Randspannung am EFT: σ c,rand = N Ed,gq A c M Ed,gq W y,o/u N p A c M p W y,o/u σ c,rand = N Ed,gq A c Umgestellt nach der Vorspannkraft: M Ed,gq r inf/sup P 0,max/,min r inf/sup P 0,max/,min z p (x) W y,o/u A c W y,o/u P 0,max/,min = σ c,rand N Ed,gq r inf/sup A c M Ed,gq A c W y,o/u r inf/sup z p (x) W y,o/u Allgemeine Gleichung zu Bestimmung der Randspannung am MFT: σ c,rand = N Ed,gq A c M Ed,gq M p W y,o/u N p A c M0 p W y,o/u 30

35 6. NW der Dekompression minimale Vorspannkraft σ c,rand = N Ed,gq A c M Ed,gq r inf/sup P 0,max/,min m p(x) W y,o/u r inf/sup P 0,max/,min A c r inf/sup P 0,max/,min z p (x) W y,o/u Umgestellt nach der Vorspannkraft: P 0,max/,min = r inf/sup A c σ c,rand N Ed,gq A c M Ed,gq W y,o/u r inf/sup m p r inf/sup z p (x) W y,o/u Wird bei der Vorbemessung eine Vorspannkraft zum Zeitpuntkt t = (P ) bestimmt, muss diese auf den Zeitpunkt t = 0 (P 0 ) umgerechnet werden. Hierfür wird eine Annahme für die zeitabhängigen Verluste aus Schwinden, Kriechen und Relaxation (α scr ) getroffen. Die Höhe der Verluste liegt i. d. R. zwischen 10% bis 15% (α scr = 0, , 15). Die Vorspannkraft zum Zeitpunkt t = 0 berechnet sich wie folgt: P 0 = P (1 α scr ) 6. NW der Dekompression minimale Vorspannkraft 6.3 NW der Betondruckspannungen minimale/maximale Vorspannung 6.4 Übersicht Vorbemessung und Wahl der Vorspannung (x=l/) 31

36 6 Vorbemessung 3