Fx = mg sin θ = ma x 1 Konzeptionelle Frage I Welche der der folgenden Aussagen über Kraft Bewegung ist korrekt? Geben sie Beispiele an (a) Ist es für ein Objekt möglich sich zu bewegen, ohne dass eine Kraft auf es wirkt? Ja, es ist möglich ein sich bewegendes Objekt zu haben, ohne dass eine Kraft auf es wirkt. In Abwesenheit von Kraft (vom Bezugsinertialsystem aus betrachtet) bleibt ein ruhendes Objekt in Ruhe ein sich bewegendes Objekt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter (Newtons I Gesetz). Kraft ist also nicht die Ursache von Bewegung, sondern die Ursache von Bewegungsänderung. (b) Ist es möglich, dass Kräfte auf ein Objekt wirken, ohne dass es sich bewegt? Ja, es ist möglich, dass Kräfte auf ein Objekt wirken, ohne dass es sich bewegt. Zum Beispiel auf ein Objekt, das auf dem Boden liegt wirkt eine Kraft nach unten durch die Gravitation, trotzdem bewegt sich das Objekt nicht. Genauso gilt, dass wenn sie gegen eine Wand drücken eine Kraft auf die Wand wirkt, jedoch bewegt sie sich nicht. 2 Konzeptionelle Frage II Ein großer Mann ein kleiner Junge stehen sich auf reibungsfreiem Eis gegenüber. Sie legen die Hände gegeneinander drücken sich voneinander weg. Wer bewegt sich schneller warum? Gemäß Newtons III Gesetz, ist die Kraft die der Mann auf den Jungen ausübt die Kraft die der Junge auf den Mann ausübt ein Aktion- Reaktion Paar, sie sind also vom Betrag her gleich. Aber der Junge hat eine kleinere Masse erfährt somit eine größere Beschleunigung (Newtons II Gesetz). Beide beschleunigen für die gleiche Zeit, aber die größere Beschleunigung der Jungens führt dazu, dass er sich schneller wegbewegt. 3 Bewegung auf der schiefen Ebene Ein Auto der Masse m befindet sich auf einer vereisten Einfahrt mit Steigungswinkel θ wie in Abbildung 1 zusammen mit dem Kraftdiagramm, das die Kräfte auf das Auto darstellt zu sehen ist. (a) Die einzigen Kräfte, die auf das Auto wirken sind die Normalkraft N ausgeübt durch die schiefe Ebene (die Kraft ist senkrecht zur Oberfläche), die vertikale Gravitationskraft F g = m g. Betrachten sie das Koordinatensystem, bei dem die x-achse in Bewegungsrichtung zeigt. Wendet man Newtons II Gesetz für die x- y-richtung an, erhält man 1 / 7
Fy = N mg cos θ = ma y Lösen der oberen Gleichungen ergibt a x = g sin θ. Da es keine Bewegung in y-richtung gibt ist es offensichtlich, dass a y = 0. (b) Sei die Anfangsposition der Frontstoßstange x 0 = 0 y 0 = 0 die Endposition x f = d y f = 0. Von den Gleichungen für zurückgelegtem Weg mit konstanter Beschleunigung, ist bekannt dass x f x 0 = v 0x t + 1 2 a xt 2 Durch einsetzen von x f = d x 0 = 0 sieht man, dass d = 1 2 a xt 2 wobei a x = g sin θ. Auflösen nach t zeigt, dass die Frontstoßstange den Fuß des Hügels nach einer Zeit t erreicht, welche gegeben ist durch 2d t = g sin θ (c) Für konstante Beschleunigung gilt v 2 fx v2 0x = 2a x d Daher ist die Endgeschwindigkeit des Autos, nachdem es die Distanz d gefahren ist v fx = 2a x d Durch einsetzen von a x = g sin θ sieht man, dass das Auto den Fuß des Hügels mit einer Endgeschwindigkeit von v fx = 2gd sin θ erreicht. 2 / 7
Abbildung 1: Ein Auto auf der schiefen Ebene. 4 Anpresskraft Betrachten Sie zwei Blöcke der Masse m 1 m 2 (m 1 > m 2 ). Diese Beiden Blöcke berühren sich auf einer reibungsfreien Fläche. Eine konstante horizontale Kraft F wirkt auf m 1 wie in Abbildung 2 gezeigt. (a) Um die Beschleunigung des Systems (die zwei Blöcke zusammen) zu bestimmen, muss uns klar werden, dass die Blöcke die gleiche Beschleunigung erfahren. Das kommt daher, da sich die Blöcke berühren auch während der Bewegung den Kontakt nicht verlieren. Das ist das gleiche wie eine Nettokraft, die auf ein Objekt wirkt denn die Kraft wirkt auf ein System auf Blöcken wir suchen die Beschleunigung des Systems. Anwenden von Newtons II Gesetz auf das System zeigt Fx = F = ( )a x Somit ist die Beschleunigung des Systems gegeben durch a x = F (b) Die Anpresskraft T wirkt innerhalb des Systems der zwei Blöcke. Also lasst uns jeden Block separat betrachten (vgl. Abbildung 2). Die einzige horizontale Kraft, die auf m 2 ist die Anpresskraft T 12 (d.h. die Kraft, die m 1 auf m 2 ausübt). Mithilfe Newtons II Gesetz auf m 2 sieht man, dass Fx = T 12 = m 2 a x 3 / 7
Fx = F T 21 = m 1 a x Ersetzen von a x von oben ( m ) 2 T 12 = F Offensichtlich ist die Anpresskraft kleiner als die von außen ausgeübte Kraft F. Die Kraft um den Block der Masse m 2 alleine zu beschleunigen muss kleiner sein als die Kraft, die benötigt wird um das System aus Blöcken zu beschleunigen (das macht Sinn!). Lasst uns erneut Newtons II Gesetz auf den ersten Block anwenden. demzufolge T 21 = F m 1 a x ersetzen des entsprechenden Werts für a x liefert ( m ) 2 T 21 = F Es ist klar, dass T 12 = T 21. Dies ist nicht überraschend, da sie ein Aktion- Reaktion Paar sind. Ihre Richtung sind offensichtlich in Abbildung 2. (c) Genau wie in der oberen Analyse kann Newtons II Gesetz angewendet werden um die Anpresskraft zu bestimmen. Bedenken sie, dass wenn die Kraft nach Links auf Block m 2 ausgeübt wird, die Anpresskraft m 1 beschleunigen muss. In dem vorherigen Fall hat sie die Masse m 2 beschleunigt. Da m 1 > m 2 wird mehr Kraft benötigt, somit ist der Betrag von T 12 größer als im vorherigen Fall. Abbildung 2: Eine Kraft wirkt auf den ersten Block, welcher einen anderen Block mit anderer Masse anschiebt. 4 / 7
Fy = T m 1 g = m 1 a y Fy = m 2 g T = m 2 a y 5 Die Atwood Maschine Zwei Objekte mit unterschiedlichen Massen m 1 = 2kg m 2 = 5kg sind vertikal über eine masselose reibungsfreie Umlenkrolle gehängt wie in Abbildung 3 gezeigt. Die zwei Objekte in der Atwood Maschine sind zwei Kräften ausgesetzt. Eine ist die Gravitationskraft die andere ist die Kraft, die durch den Faden ausgeübt wird durch den die beiden miteinander verben sich. Wie in dem Diagramm zu sehen ist, wird die Kraft nach oben durch den Faden die Kraft nach unten durch die Gravitation ausgeübt. Da die Umlenkrolle reibungs- masselos ist, ist die Zugkraft im Seil auf beiden Seiten der Umlenkrolle gleich. (Achtung mit Vorzeichen in Problemen wie diesen!!!!). Wenn das Objekt der Masse m 1 nach oben beschleunigt, beschleunigt Objekt der Masse m 2 nach unten. Wenn wir die Aufwärtsbewegung von Objekt mit Masse m 1 als positiv bezeichnen, müssen wir somit die Abwärtsbewegung des Objekts mit Masse m 2 auch als positiv bezeichnen (um mit den Vorzeichen konsequent zu sein). Mit dieser Vorzeichen Konvention, bewegen sich beide Objekte durch die Vorzeichenwahl in die gleiche Richtung. Weiterhin kann man gemäß dieser Konvention Newtons II Gesetz benutzen um separate Gleichungen für jede Masse zu bestimmen Lösen des oberen Gleichungssystems liefert a y = ( m2 m ) 1 g an der ersten Gleichung kann man sehen, dass T = m 1 (g + a y ) Einsetzen des entsprechenden Werts von a y in obere Gleichung liefert T = ( 2m1 m ) 2 g Durch einsetzen von m 1 = 2kg m 2 = 5kg erhält man die Beschleunigung Zugkraft jeweils zu a y 4.3m/s 2 and T 28.6N. 5 / 7
Fy = T m 1 g = m 1 a y Fx = Mg sin θ T = Ma x Abbildung 3: Die Atwood Maschine 6 Beschleunigung zweier verbener Objekte Ein Ball der Masse m ein Block der Masse M sind mit einem masselosen Seil über eine reibungsfreie Umlenkrolle mit vernachlässigbarer Masse wie in Abbildung 4 miteinander verben. Der Block liegt auf einer reibungsfreien schiefen Ebene mit Steigungswinkel θ. Betrachten Sie den Ball den Block in Bewegung. Wenn M die schiefe Ebene hinunter rutscht, bewegt sich m nach oben. Weil die beiden Objekte mit einem Seil verben sind, sind ihre Beschleunigungen gleich (ähnlich wie bei der Atwood Maschine). An den Kraftdiagrammen kann man die einzelnen Kräfte, die auf M m wirken identifizieren. Anwendung von Newtons II Gesetz auf den Ball der Masse m kann man sehen, dass Fx = 0 Damit der Ball nach oben Beschleunigt muss T > m 1 g sein. Bedenken sie, dass m nur eine y-komponente hat, daher können wir schreiben a = a y. Für den Block der Masse M kann man die x -Achse entlang der schiefen Ebene wählen, wie im Diagramm zu sehen ist. Newtons II Gesetzt angewendet auf den Block zeigt 6 / 7
Fy = N Mg cos θ = Ma y Vom oberen Argument ist klar, dass a x = a. Da es keine Bewegung entlang der y - Richtung gibt gilt a y = 0. Von der oberen Gleichung (für den Ball der Masse m) kann man sehen, dass T = m(g + a) Durch einsetzen dieses Ausdrucks in die Gleichung für die x-komponente von M erhält man a = Mg sin θ mg M + m T = Mmg(sin θ + 1) M + m Abbildung 4: Zwei Objekte unterschiedlicher Massen über eine reibungsfreie Umlenkrolle mit einem masselosen Seil verben. 7 / 7