Peter Steinke Finite-Elemente-Methode
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Peter Steinke Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung Mit 145 Abbildungen, Springer
Professor Dr. -ng. Peter Steinke Fachhochschule Münster Fachbereich Maschinenbau Stegerwaldstr. 39 48565 Steinfurt e-mail: Steinke@FH-Muenster.de http://www.jh-muenster.de/jb3/steinke Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com Bibliografische nformation der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im nternet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. SBN 978-3-540-44226-4 SBN 978-3-662-07240-0 (ebook) DO 10.1007/978-3-662-07240-0 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vorn 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Stratbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. http://www.springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New Y ork 2004 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.b. DN, VD, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Einband-Entwurf: medio Technologies AG, Berlin Satz: Digitale Druckvorlage des Autors Gedruckt auf säurefreiem Papier 7/3020 Rw- 5432 1 0
Vorwort Das vorliegende Buch samt der beigefügten CD-ROM ist aus Vorlesungen, Übungen und Praktika hervorgegangen, die der Autor an verschiedenen Hochschulen für Maschinenbauer und Maschinenbauinformatiker gehalten hat. Es wendet sich darüber hinaus an Studenten der Natur- und ngenieurwissenschaften. Weiterhin ist es für Physiker und ngenieure geeignet, die sich im Selbststudium in die Methode einarbeiten wollen oder an Weiterbildungsveranstaltungen teilnehmen. n einem Anfangskapitel werden die mathematischen Hilfsmittel wiederholt, die für die weitere Behandlung des Stoffes notwendig sind. Daran schließt sich die Beschreibung elastostatischer Probleme an. Zum Einstieg in die FEM wird das Verfahren von Ritz behandelt. Das Verfahren wird so beschrieben, daß es einer Programmierung mit einem QomputerJ:!,lgebra-System (CAS) zugänglich ist. Diese Vorgehensweise wird auch bei der Herleitung des weiteren Stoffes beibehalten. Neben der Elastostatik wird das Gebiet der Feldprobleme behandelt. Daran schließt sich die Betrachtung nichtlinearer Probleme für Stab und Balken an. Abschließend wird auf die entwickelten Computeralgebraprogramme eingegangen. Die beigefügte CD-ROM stellt eine wesentliche Ergänzung des Buches dar. Sie enthält neben der Software, die aus insgesamt ca. 27000 Zeilen besteht, Handrechenbeispiele zu den einzelnen Kapiteln des Buches. Die Software soll rechnerunterstütztes Lernen ermöglichen. Sie ist in zwei Anwendungsfelder unterteilbar. Zum einen handelt es sich um Computeralgebraprogramme in MAPLE, die die Ableitungen des Buches zum nhalt haben. So ist zum Beispiel das eindimensionale Stabelement im Programm so verallgemeinert, daß man damit ein Stabelement mit n Knoten und verschiedenen Geometrieformen entwickeln kann. Zum anderen enthält die CD-ROM ein FE-Paket. Dieses liegt sowohl als Computeralgebraprogramm als auch in einer Hochsprache vor. Hiermit lassen sich FE-Probleme in symbolischer und numerischer Form lösen. Ergänzt wird das Paket um einen Postprozessor zur grafischen Auswertung der Eingabe- und Ausgabedaten. Das Arbeiten mit der umfangreichen Software wird mit einem separaten Hilfeprogramm unterstützt. Es werden Eingabebeschreibungen, die durch Beispiele ergänzt sind, leicht verständlich. Weitere Beispiele zu den Programmen zeigen die Anwendungsbreite der Programme auf. Die Verknüpfung von Buch und CD-
V Vorvvort ROM ist durch zahlreiche Vervveise und Beispiele gegeben und machen so ein rechnergestütztes Selbststudium möglich. Die Erstellung des Buches und der CD-ROM vväre in der vorliegenden Form ohne die engagierte Mitarbeit verschiedener Personen nicht möglich gevvesen. Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn Dipl.-ng. Averkamp, der für die Erstellung der CD sowie für die Erstellung der Bilder zuständig vvar. Weiterhin kümmerte er sich um die Realisierung des Skriptes mit M\'EX. Mein Dank gilt auch Frau cand.-ing. Fresmann und Frau cand.-ing. Kreuch, die einen Großteil des Skriptes mit M\'EX realisierten und die Oberfläche von MAPLE mittels maplets programmierten. Dank auch an Frau Dipl.-ng. Terlinde für die sorgfältige Durchsicht des Skriptes. Danken möchte ich auch dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit, speziell Frau Hestermann Beyerle. Steinfurt, im Juli 2003 Peter Steinke
nhaltsverzeichnis 1. Einleitung... 1 1.1 Vorgehensweise bei der FEM............................. 1 1.2 Verschiedene Elementtypen... 3 1.3 Beispiele zur Finite-Elemente-Methode... 8 1.3.1 Beispiel zu linearen Problemen..................... 8 1.3.2 Beispiel zu nichtlinearen Problemen... 9 1.3.3 Beispiele zur Optimierung......................... 10 2. Mathematische Grundlagen............................... 13 2.1 Schreibweisen... 13 2.2 Vektoren... 14 2.2.1 Definition eines n dimensionalen Vektors............ 14 2.2.2 Skalarprodukt... 14 2.2.3 Kreuzprodukt.................................... 15 2.2.4 Ableitung von Vektoren... 16 2.2.5 Der Nabla-Vektor... 16 2.2.6 Der Gradientenvektor............................. 16 2.2.7 Divergenz und Laplace-Operator... 17 2.3 Matrizen... 17 2.3.1 Definition einer Matrix............................ 17 2.3.2 Rechenregeln... 18 2.3.3 Transponierte Matrix............................. 20 2.3.4 Orthogonale Matrix... 20 2.4 Die Dyade (Tensor zweiter Stufe)......................... 21 2.4.1 Differentialoperator... 21 2.4.2 Tensor höherer Stufe... 22.2.5 Felder... 22 2.5.1 Skalarfelder... 22 2.5.2 Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes... 22 2.5.3 Das dyadische Feld............................... 23 2.6 Lineare Transformation... 25 2.6.1 Transformation eines Vektors...................... 25 2.6.2 Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)... 27 2.6.3 Beispiele zur Transformation....................... 27
V nhaltsverzeichnis 2.7 Funktionale... 29 2.7.1 Diskretisierung des Funktionals... 31 2.8 Dreieckskoordinaten.................................... 32 2.9 Jakobi-Matrix und Ableitungen in Dreieckskoordinaten...... 34 2.9.1 Jakobi-Matrix... 34 2.9.2 Erste Ableitungen................................ 35 2.9.3 Zweite Ableitungen............................... 35 2.10 ntegration in Dreieckskoordinaten... 36 2.10.1 ntegration über die Fläche eines Dreiecks........... 36 2.10.2 ntegration entlang einer Dreieckskante.............. 37 2.10.3 Numerische ntegration (Quadratur) in Dreieckskoordinaten... 37 2.11 Lineare Gleichungssysteme bei der FEM................... 39 2.11.1 Definition der Bandbreite... 39 2.11.2 Rechenzeiten zur Lösung linearer Gleichungssysteme.. 40 2.11.3 Positiv definite Matrix... 41 2.11.4 Das Verfahren von Cholesky... 42 2.11.5 Kondition linearer Gleichungssysteme... 44 2.11.6 Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen. 46 2.12 Näherungsfehler bei der FEM... 47 2.13 Das Tonti-Diagramm... 48 3. Beschreibung elastostatischer Probleme................... 51 3.1 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie............... 51 3.1.1 Verknüpfung der Verschiebungen mit den Dehnungen. 52 3.1.2 Das Stoffgesetz..., 52 3.1.3 Gleichgewichtsbedingungen........................ 52 3.1.4 Randbedingungen................................ 52 3.1.5 Darstellung der Grundgleichungen des elastostatischen Problems in einem Tonti-Diagramm... 53 3.1.6 Verknüpfung der Grundgleichungen der Elastostatik.. 54 3.2 Das Prinzip virtueller Verrückungen... 55 3.2.1 Das Prinzip vom Gesamtpotential.................. 55 3.2.2 Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials... 57 4. Das Verfahren von Ritz................................... 59 4.1 Aufprägen der wesentlichen Randbedingungen.............. 60 4.1.1 Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen....... 61 4.2 Eindimensionale Stabprobleme........................... 63 4.2.1 Diskretisierung der Formänderungsarbeit............ 63 4.2.2 Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten..... 64 4.2.3 Beispiel zum eindimensionalen Stab... 65 4.3 Eindimensionale Balkenprobleme......................... 66 4.3.1 Diskretisierung der Formänderungsarbeit............ 67 4.3.2 Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten..... 67
nhaltsverzeichnis X 4.3.3 Variation des Gesamtpotentials... 68 4.4 Scheibenproblem....................................... 71 4.4.1 Verschiebungsansätze............................. 72 4.4.2 Wesentliche Randbedingungen.......... 73 4.4.3 Dehnungen und Spannungen der Scheibe............ 74 4.4.4 Diskretisierung der Formänderungsarbeit............ 74 4.4.5 Diskretisierung des Potentials der äußeren Lasten..... 75 4.4.6 Variation des Gesamtpotentials... 76 4.4.7 Kragbalken als Scheiben problem... 76 5. Das eindimensionale Stabelement......................... 79 5.1 Problemdefinition... 79 5.2 Grundbeziehungen des Stabes............................ 80 5.2.1 Analytische Lösung eines eindimensionalen Stabbeispieles... 81 5.3 Das Funktional des Stabproblemes........................ 82 5.4 Diskretisierung des Funktionals des Stabes................. 83 5.4.1 Das eindimensionale Stabelement................... 83 5.4.2 Verschiebungsansatz.............................. 84 5.4.3 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung... 85 5.4.4 Stoffgesetz (Hook'sches Gesetz)... 85 5.5 Variation des Funktionals................................ 85 5.6 Beispiel zum eindimensionalen Stab....................... 87 5.6.1 Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix... 92 5.7 Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein)......... 94 5.8 Variable Querschnittsfläche des Stabelementes... 96 5.9 Eindimensionales Stabelement mit n Knoten............... 98 5.10 Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten... 100 6. Das zwei- und dreidimensionale Stabelement... 103 6.1 Das zweidimensionale Stabelement... 103 6.1.1 Beispiel zum zweidimensionalen Stab... 106 6.1.2 Zusatzübung: Zweidimensionales Stabproblem... 110 6.2 Das dreidimensionale Stabelement... 111 7. Balkenelemente... 113 7.1 Das eindimensionale Balkenelement... 113 7.1.1 Problemdefinition... 113 7.1.2 Dehnungen und Spannungen im Balken... 114 7.1.3 Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens... 115 7.1.4 Funktional des Balkenproblems... 116 7.1.5 Formfunktionen des eindimensionalen Balkens... 117 7.1.6 Diskretisierung des Funktionals... 119 7.1.7 Variation des diskretisierten Funktionals... 121 7.1.8 Bilden der Steifigkeitsmatrix... 122
X nhaltsverzeichnis 7.1.9 Diskretisierung der Streckenlast... 123 7.1.10 Schnittgrößen des Balkenelementes... 124 7.2 Beispiele und Übungsaufgaben zum eindimensionalen Balken. 126 7.2.1 Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast... 126 7.2.2 Übungsaufgabe: Höhere Anzahl Balkenelemente... 130 7.2.3 Übungsaufgabe: Eindimensionaler Balken... 130 7.2.4 Übungsaufgabe: Balkenelement mit Gelenk... 131 7.2.5 Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement mit Streckenlast... 131 7.2.6 Fehlerabschätzung der Schnitt größen... 133 7.2.7 Realisierung des Gelenkes über eine Zwangsbedingung 134 7.3 Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten... 136 7.3.1 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten.. 139 7.3.2 Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten... 142 7.3.3 Balken mit unstetiger Krümmungsverteilung... 145 7.4 Der elastisch gelagerte Balken... 146 7.4.1 Beispiel zum elastisch gelagerten Balken... 148 7.5 Zweidimensionales Balkenelement... 153 7.5.1 Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkeris... 153 7.5.2 Überlagerung der Dehnungen von Stab und Balken... 153 7.5.3 Steifigkeitsmatrix... 154 7.5.4 Transformation der Steifigkeitsmatrix... 156 7.6 Beispiel und Übungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken 159 7.6.1 Winkelproblem... 159 7.6.2 Übungsaufgabe: Balkensystem... 164 7.6.3 Übungsaufgabe: Stab-Balkenproblem... 165 7.6.4 Übungsaufgabe: Winkel als Balkenproblem... 165 8. Scheibenproblem... 167 8.1 Problemdefinition... 167 8.2 Die Grundgleichungen des Scheibenproblems... 168 8.2.1 Die Feldgleichungen der Scheibe... 169 8.3 Das Funktional des Scheibenproblems... 170 8.4 Diskretisierung des Funktionals... 171 8.4.1 Formfunktionen des Dreieckselementes... 171 8.4.2 Variation des diskretisierten Funktionals... 175 8.4.3 Diskretisierung der Volumenkräfte... 177 8.4.4 Diskretisierung der Streckenlasten... 179 8.5 Spannungsberechnung in der Scheibe... 182 8.6 Beispiele und Übungsaufgaben zum Scheibenproblem... 183 8.6.1 Zugblech... 183 8.6.2 Übungsaufgabe: Scheibenproblem... 189 8.6.3 Übungsaufgabe: Scheibenproblem... 189
nhaltsverzeichnis X 9. Plattenproblem... 191 9.1 Problemdefinition... 191 9.2 Grundbeziehungen der Platte... 192 9.2.1 Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte... 192 9.2.2 Kinematische Größen der Platte... 193 9.2.3 Krümmungs-Momentenbeziehung (Stoffgleichung)... 194 9.2.4 Gleichgewichtsbeziehungen der Platte... 196 9.2.5 Randbedingungen der Platte... 197 9.3 Das Funktional der Platte... 198 9.4 Anforderungen an das Plattenelement... 199 9.4.1 Kompatibilität (konforme Elemente)... 199 9.4.2 Starrkörperbewegung... 200 9.4.3 Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand)... 201 9.4.4 Einige Dreiecksplattenelemente... 201 9.5 Diskretisierung des Funktionals... 203 9.5.1 Ansatzfunktion für die Durchbiegung... 203 9.5.2 nterpolationsbedingungen... 204 9.5.3 Formfunktionen... 206 9.5.4 Krümmungs-Verschiebungsbeziehung... 208 9.5.5 Steifigkeitsmatrix... 208 9.5.6 Flächenlast... 209 9.5.7 Streckenlast entlang einer Elementkante... 209 9.6 Konvergenztest des Plattenelementes... 211 10. Schalenelement... 213 11. Feldprobleme... 219 11.1 Das Funktional der allgemeinen Poisson'schen Gleichung... 220 11.2 Wärmeübertragung... 221 11.2.1 Das Funktional der Wärmeübertragung... 222 11.3 Eindimensionale Wärmeleitung... 223 11.3.1 Problemdefinition... 223 11.3.2 Funktional des eindimensionalen Wärmeübertragungsproblems... 223 11.3.3 Diskretisierung des Funktionals... 224 11.3.4 Variation des Funktionals... 228 11.3.5 Wärmeleitung durch eine Wand mit solation... 229 11.4 Zweidimensionale Wärmeübertragung... 233 11.4.1 Problemdefinition... 233 11.4.2 Randbedingungen bei der zweidimensionalen Wärmeübertragung..................................... 233 11.4.3 Diskretisierung des Funktionals... 234 11.4.4 Variation des Funktionals... 241 11.5 Beispiele und Übungsaufgaben zur zweidimensionalen Wärmeübertragung... 243
X nhaltsverzeichnis 11.5.1 Scheibe mit innerer Wärmeproduktion... 243 11.5.2 Übungsaufgabe: Wärmeübertragungsproblem... 248 11.5.3 Übungsaufgabe: Wärmetragungsproblem 11... 249 11.6 Torsion von prismatischen Körpern... 249 11.6.1 Funktional des Torsionsproblems... 252 11.6.2 Torsion eines Stabes mit quadratischen Querschnitt... 252 12. Nichtlineare Probleme.... 255 12.1 Große Verformungen... 255 12.1.1 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung... 255 12.1.2 Dehnungen für Stab und Balken... 256 12.1.3 Stab mit großen Verformungen... 256 12.1.4 Dehnungen für große Verschiebungen... 257 12.1.5 Formänderungsarbeit und das Gesamtpotential des Stabes... 258 12.1.6 Diskretisierung des Gesamtpotentials... 258 12.1.7 Balken mit großen Verformungen... 259 12.2 Knicken von Stäben und Balken... 263 12.2.1 Beispiel zum Stabknicken... 264 12.2.2 Beispiel zum Knicken von Balken... 267 12.2.3 Die vier Eulerfälle... 270 13. Beschreibung der Programme... 273 13.1 Computeralgebraprogramm FEM_CAS..... 276 13.1.1 Problemdefinition... 276 13.1.2 Beispiele zum Programm FEM_CAS... 277 13.2 Das Programm nterfem... 279 13.2.1 Problemdefinition... 279 13.2.2 Beispiel zum Programm nterfem... 279 13.3 Methode von Ritz... 280 13.3.1 Eindimensionaler Stab... 280 13.3.2 Eindimensionaler Balken... 282 13.3.3 Scheibe... 284 13.4 Eindimensionales Stabelement... 286 13.4.1 Problemdefinition... 286 13.4.2 Programmdaten... 287 13.4.3 Beispiel zum eindimensionalen Stab... 287 13.5 Eindimensionales Balkenelement... 288 13.5.1 Problemdefinition... 288 13.5.2 Programmdaten... 289 13.5.3 Beispiel zum eindimensionalen Balken... 289 13.6 Dreiecksscheibenelement... 290 13.6.1 Problemdefinition... 290 13.6.2 Programmdaten... 290 13.7 Plattenelement... 291
nhaltsverzeichnis X 13.7.1 Problemdefinition... 291 13.8 Knicken eines eindimensionalen Balkens... 291 13.8.1 Problemdefinition... 291 13.8.2 Beispiel zum Knicken eines eindimensionalen Balkens. 292 13.9 Feldprobleme...,... 293 13.9.1 Problemdefinition... 293 13.9.2 Programmdaten... 293 14. Beispiele zu den Computeralgebraprogrammen... 295 14.1 Stabproblem... 295 14.1.1 Ebenes Stabsystem mit drei Stäben... 295 14.2 Balkenproblem... 298 14.2.1 Rahmen durch Federn gestützt... 298 14.3 Scheibenproblem... 300 14.3.1 Scheibe gestützt durch eine Feder... 300 14.4 Feldproblem... 303 14.4.1 Wärmeübergang und Torsion eines gleichseitigen Dreiecks und eines Quadrates.......................... 303 Verwendete Formelzeichen und Symbole..... 308 Literaturverzeichnis... 319 Sachverzeichnis............................................... 323 Maple-Programme... 329
1. Einleitung Das Aufkommen und die rasante Weiterentwicklung der!llektronischen Datenyerarbeitung (EDV) in den letzten Jahrzehnten, eröffneten in vielen ngenieurdisziplinen vollkommen neue Möglichkeiten. So lassen sich viele physikalische Vorgänge, die früher ausschließlich in einem Versuch nachgebildet werden konnten, heute auf dem Rechner simulieren. Während der Versuch in der Regel ein Modell oder eine stausführung benötigt, kann die Simulation schon in einem Vorstadium der Entwicklung eingesetzt werden. Ein wichtiges Einsatzgebiet der Simulation ist das der Strukturmechanik. Sie ermöglicht in diesem Rahmen die Berechnung von Verformungen, Spannungen, Temperaturen und anderen Größen von beliebig komplizierten Bauteilen. Ein Verfahren innerhalb der Simulation, das in den letzten Jahrzehnten immer mehr an Bedeutung gewonnen hat, ist die Einite-Elemente-Methode (FEM). Die allgemeingültige Formulierung, die der FEM zugrunde liegt, führt zu einem Einsatz auf vielen Gebieten des ngenieurwesens. m Abschnitt 1.2 werden einige Beispiele zu den Anwendungsmöglichkeiten der Methode im Bereich der Statik aufgezeigt. Die FEM ist von Hause aus ein numerisches Verfahren. Die Ein- und Ausgabedaten bestehen aus Zahlen. Mit dem Aufkommen von QomputerQ,lgebra Systemen (CAS) eröffnen sich neue Möglichkeiten. Statt mit Zahlen wird mit Symbolen gearbeitet. Diese Vorgehensweise wird in diesem Buch genutzt. Es werden die abgeleiteten Algorithmen in Computeralgebraprogramme 1 umgesetzt (s. Kap. 13, 14). Diese sind auf der beigefügten CD-ROM enthalten. Die Programme dienen als Basis zur rechnergestützten Einarbeitung in die FEM. 1.1 Vorgehensweise bei der FEM n Bild 1.1 sind die einzelnen Schritte bei der Anwendung der FEM dargestellt. Der erste Schritt beschreibt die Modellierung des Problems. Die Geometrie des realen Bauteils, hier die eines Kragbalkens, wird idealisiert. m 1 Neuere Versionen der Programme können über das nternet geladen werden. Die nternetadresse steht auf der CD-ROM in der Datei readme. txt. P. Steinke, Finite-Elemente-Methode Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004
2 1. Einleitung Modellierung r--~~------------~----------~~~~;;r' d al". J : Reales Bauteil d D e. kslet~~ng Randbedingungen : \ un S re slerung J ~ -~ Algorithmen - - ---- p' - -... /. \... k," 'K~ 1 if = 2!1.K;l ff K g = L1: Te Kl: e Rff = Ku -g Kgu = ff kn1 knn Spannungen Gesamtsteifigkeitsmatrix Steifigkeitsmatrix Reaktionsgrößen Gleichungssystem \ ~ Ergebnisse,,---- - - ------- -- - -------------------------------, /. \ + 11 1j e==;:: :1 + Verformungen u Spannungen 11ä'11 Auflagereaktionen Rff \ J )J ~ ~- Bild 1.1. Schritte bei der Anwendung der FEM J Jj ;/ vorliegenden Fall wird das dreidimensionale Problem auf ein ebenes zurückgeführt, indem die Mittelebene des Kragbalkens betrachtet wird. Damit kann das Problem als Scheibenproblem beschrieben werden. Bei der Diskretisierung wird die Mittelebene gedanklich in finite Elemente eingeteilt, hier in Viereckselemente. Dies führt auf das sogenannte FE-Netz. Den Elementen des Netzes wird die Dicke des Kragbalkens zugeordnet. Damit wird die dritte Dimension der Geometrie berücksichtigt. Als nächstes werden die Randbedingungen dem Modell aufgeprägt. m angeführten Beispiel sind es die Lagerungsbedingungen1 sowie die Belastung 2. Die Modellierung wird auch als Preprozessing bezeichnet. Ausgehend von einem CAD-Modul [44J wird die Generierung der Elemente und Randbedingungen grafisch interaktiv durchgeführt. n der Mitte von Bild 1.1 sind die Algorithmen angeführt, die den Kern der FEM ausmachen. Als erstes werden die Steifigkeitsmatrizen der einzelnen Elemente aufgestellt. Sie werden sodann additiv zu einer Gesamtsteifigkeitsmatrix überlagert. Diese Matrix stellt gleichzeitig die Koeffizientenmatrix 1 Diese Bedingungen werden im folgenden wesentliche oder auch geometrische Randbedingungen genannt. 2Die Kraftrandbedingung wird allgemein als natürliche Randbedingung bezeichnet.
1.2 Verschiedene Elementtypen 3 eines Gleichungssystems dar, dessen Lösung auf die gesuchten Unbekannten führt. m vorliegenden Fall sind es die Verformungen des Kragbalkens. Zur Lösung des Gleichungssystems müssen die Lagerungsbedingungen berücksichtigt werden. Aus den Verformungen können die Spannungen und Reaktionsgrößen berechnet werden. Der hohe numerische Aufwand dieser Algorithmen stand einem praktischen Einsatz der FEM ursprünglich im Wege. nsbesondere das Lösen des Gleichungssystems erfordert eine hohe Rechenleistung. Die rasante Weiterentwicklung der Rechner ermöglicht aber heute selbst den Einsatz dieser Methode auf kleineren Rechenanlagen. n der letzten Zeile von Bild 1.1 sind die möglichen Ergebnisse angeführt. Die große Anzahl von Ergebnisdaten in Zahlenform macht auch bei der Ergebnisdarstellung, dem sogenannten Postprozessing, den Rechnereinsatz notwendig. Die grafische nterpretation der Ergebnisdaten verschafft einen schnellen Überblick über das Verformungsverhalten des Bauteils. Ebenso lassen sich die Spannungsverteilung im Bauteil sowie die auftretenden Reaktionskräfte grafisch auswerten. 1.2 Verschiedene Elementtypen n den Tabellen 1.1 bis 1.4 sind verschiedene Elementtypen dargestellt. Die Tabellen weisen jeweils zwei Spalten auf. n der linken Spalte ist die Elementform aufgeführt. Die Knoten des Elementes sind mit Punkten und mit Knotennummern in Form von Buchstaben! i,j, k,... gekennzeichnet. n einem Knoten sind exemplarisch die Knotenfreiheitsgrade angeführt. Für einen weiteren Knoten die zugeordneten Kräfte und Momente. Die Knoten, die als kleine Kreise dargestellt sind, sind mögliche, zusätzliche Knoten. So kann das Stabelement in Tabelle 1.1 sowohl zwei Knoten i,j, drei Knoten i,j,k oder eine noch höhere Knotenanzahl aufweisen (s. Kap. 5.9). Das gilt auch für das Balkenelement (s. Kap. 7.3). Das Scheibenelement hat die Form eines Dreiecks oder Vierecks. Jeder Knoten weist zwei Verschiebungen u, v als Freiheitsgrade auf. Diesen zugeordnet sind die Kräfte Fx und Fy. Zusätzliche Knoten können auf der Seitenhalbierenden des Elementes auftreten. Die rechte Spalte zeigt jeweils ein Anwendungsbeispiel zu den einzelnen Elementtypen. Für das Stabelement ist es ein ebenes Fachwerk, das durch mehrere Kräfte belastet wird. Für das Balkenelement ist ein ebener Rahmen als Beispiel angeführt. Der Rahmen wird durch eine Kraft, eine Streckenlast und ein Moment belastet und ist zweifach gelagert. Als Anwendungsgebiet der Scheibenelemente ist ein Zylinderauge mit Bolzen angeführt. Dieses Beispiel wird durch Dreiecks- und Viereckselemente beschrieben. Der Bolzen 1 Bei einigen Elementen sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht alle Knoten gekennzeichnet.
4 1. Einleitung Tabelle 1.1. Stab-, Balken- und Scheibenelemente Elementtyp Anwendung Stabelement x Vi Ui 2 Freiheitsgrade pro Knoten Balkenelement Fachwerk F...=--.---+---1) M 3 Freiheitsgrade pro Knoten Dreiecksscheibenelement Rahmen x Ebener Spannungszustand 2 Freiheitsgrade pro Knoten Vierecksscheibenelement x Viereckselement Zylinderauge mit Bolzen als Kontaktproblem 2 Freiheitsgrade pro Knoten
1.2 Verschiedene Elementtypen 5 wird durch eine Kraft F belastet. Das eine Ende des Zylinderauges ist fest eingespannt. Die Besonderheit des Problemes liegt darin, daß das Beispiel aus zwei Körpern besteht. Die Kraft F wird vom Bolzen über die Kontaktzone von Bolzen und Zylinderauge auf das Zylinderauge übertragen. Das Kontaktproblem bedarf innerhalb der FEM einer speziellen Behandlung. Tabelle 1.2. Plattenelemente Elementtyp Anwendung Dreiecksplattenelement x Plattenproblem 3 (2) Freiheitsgrade pro Knoten Vierecksplattenelement x Dreiseitig gelagerte Platte 3 Freiheitsgrade pro Knoten Die Tabelle 1.2 führt Plattenelemente an. Einen detaillierten Überblick über Plattenelemente findet man in [4]. Das einfachste Dreiecksplattenelement [7] hat drei Freiheitsgrade pro Knoten, nämlich die Durchbiegung w der Platte sowie die beiden Verdrehungen ex, ey um die x- bzw. um die y-achse. Eine Erhöhung der Knotenanzahl weist das Element auf, das auf den Seitenhalbierenden zusätzliche Knoten, m, n hat [9]. Diese zusätzlichen Knoten haben je zwei Freiheitsgrade pro Knoten, nämlich die Durchbiegung w sowie die Ableitung der Durchbiegung nach der Randnormalen aw / an. Das einfachste Vierecksplattenelement in Tabelle 1.2 hat die Form eines Rechteckes oder in erweiterter Form die eines Parallelogrammes [1, 4].
6 1. Einleitung Tabelle 1.3. Schalenelemente Elementtyp Anwendung Dreiecksschalenelement x Schalenproblem 6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten Vierecksschalenelement x element 6 (5) Freiheitsgrade pro Knoten Es weist je Knoten drei Freiheitsgrade auf. Eine Erhöhung der Knotenanzahl beim Vierecksplattenelement führt auf das achtknotige Element mit je drei Freiheitsgraden (Durchbiegung w und zwei Verdrehungen) pro Knoten. Grundlage dieses Elementes ist die Theorie schubelastischer Platten [28], während die vorherigen Plattenelemente auf der Theorie schubstarrer Platten basieren. Das Anwendungsbeispiel zu den Plattenelementen zeigt eine dreiseitig gelagerte Platte. Sie wird durch neun vierknotige Elemente beschrieben und durch Einzelkräfte belastet. Die Überlagerung von Scheiben- und Plattenelement ist ein Weg, Schalenelemente zu erstellen (s. Tabelle 1.3). Das einfachste so erstellte Schalenelement ist das dreiknotige Schalenelement [3]. Jeder Knoten hat sechs Freiheitsgrade u, v, w, Gx, Gy, Gz. Der sechste Freiheitsgrad Gz wird für einen Knoten eingeführt, wenn alle an den Knoten angrenzenden Elemente nicht in einer Ebene liegen. Liegen sie in einer Ebene, braucht er nicht definiert zu
1.2 Verschiedene Elementtypen 7 Tabelle 1.4. Tetraeder-, Pentaeder- und Hexaederelemente Elementtyp Anwendung Tetraederelement 3 Freiheitsgrade pro Knoten Pentaederelement Räumliches Spannungsproblem Vi n~ ~ ~ 3 Freiheitsgrade pro Knoten Hexaederelement Vi Ui 'n ~ _----o---- 9 0... ----<>-----4 3 Freiheitsgrade pro Knoten werden [41]. Das sechsknotige Schalenelement kann zweifach gekrümmt sein [2]. Beim Vierecksschalenelement tritt sowohl das vierknotige, achtknotige