TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG Themenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung aus dem Fach Mathematik und angewandte Mathematik Termin: Sommer 2017 Prüfer: Mag. Wolfgang GALSTERER Punkteverteilung/Gewichtung: Beispiel 1: Beispiel 2: Beispiel 3: Beispiel 4: Beispiel 5: Beispiel 6: 7 Punkte 10 Punkte 8 Punkte 6 Punkte 9 Punkte 10 Punkte Gesamt: 50 Punkte Notenschlüssel: 45-50 Punkte Sehr gut 39-44 Punkte Gut 32-38 Punkte Befriedigend 25-31 Punkte Genügend 0-24 Punkte Nicht genügend Seite 1
1. TURM AUF EINER FELSWAND (7 P) a) Ein Wanderer steht in einem ebenen Gelände vor einer senkrecht aufragenden Felswand. Am oberen Ende der Felswand steht ein Turm. Der Ort A, an dem der Wanderer steht, ist x Meter vom Fuß der Felswand entfernt. Die Höhe der Felswand wird mit f bezeichnet, die Höhe des Turmes mit h. Der Wanderer misst mit der Höhen-Tiefenwinkel-Funktion seines Handys den Höhenwinkel zum Fußpunkt des Turmes mit α = 16 und zur Spitze des Turmes mit β = 18. i) Fertigen Sie eine Skizze der oben beschriebenen Lage an und beschriften Sie diese vollständig mit den im Text angeführten Bezeichnungen x, f, h, dem Punkt A, so wie den Höhenwinkeln α und β. [2P] ii) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Turmhöhe h mit den Variablen f und x. iii) Die Felswandhöhe f liest der Wanderer von der GPS-Karte seines Handys mit 150 Metern ab. Der am Handy angegebene Entfernung x von der Felswand traut er nicht. Dokumentieren Sie die Berechnung von x. iv) Berechnen Sie unter Verwendung der Felswandhöhe f = 150 m die Höhe des Turmes h. b) Der Turm ist ein hohler Ziegel-Zylinder mit 2,4 m Außenradius und 2,0 m Innenradius. Die Höhe des Turms wird mit 20 m angenommen i) Berechnen Sie das Volumen der Ziegel des Turmes. ii) Berechnen Sie die Masse der Ziegel des Turmes in Tonnen, wenn die Dichte eines Ziegelmauerwerks mit 1,5 g/cm³ angenommen wird. Seite 2
2. KAFFEE UND KOFFEIN (10 P) Koffein wird mit einer Halbwertszeit von 4 Stunden abgebaut. In einer Tasse Filterkaffee (1/4 Liter) sind 200 mg Koffein enthalten. a) i) Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für die Masse an Koffein m (in mg) in Abhängigkeit von der Zeit t (in h), die nach Trinken einer Tasse Kaffee im Körper enthalten ist. ii) Bestimmen Sie, wie viel Prozent Koffein pro Stunde abgebaut wird. iii) Berechnen Sie, wann nur mehr 40 mg Koffein im Körper vorhanden sind. iv) Manche Personen (z.b. schwangere Frauen) bauen Koffein langsamer ab. In der folgenden Grafik ist der übliche Koffeinabbau dargestellt. Zeichnen Sie den Graphen eines Koffeinabbaus in oben stehender Grafik ein, der langsamer verläuft. Seite 3
b) i) Stellen Sie die Masse an Koffein in mg in Abhängigkeit von der zu sich genommenen Menge an Filterkaffee in ml grafisch dar. Beachten Sie, dass in einer Tasse Filterkaffee (1/4 Liter) 200 mg Koffein enthalten sind. ii) Ab einer Masse von 1 g Koffein spricht man von einer Überdosis. Lesen Sie aus der Grafik ab, wie viel Kaffee man dafür trinken müsste. iii) Erklären Sie, welcher Zusammenhang zwischen Koffeinmenge und Kaffeemenge besteht. c) In Costa Rica werden durchschnittlich 1620 Kilogramm (kg) pro Hektar (ha) geerntet. Ein Sack enthält 60 kg Rohkaffee, das entspricht der Ernte von 100 gut tragenden Arabia Kaffeebäumen. i) Berechnen Sie, wie viele Kaffeebäume auf einem Quadratkilometer stehen und geben Sie das Ergebnis in Gleitkommadarstellung an. [2P] d) Durch Rösten des Rohkaffees verlieren die Kaffeebohnen an Wasser, dies macht 55% der ursprünglichen Masse aus. Geröstete Bohnen haben einen Koffeinanteil von 1,5 %. i) Ermitteln Sie, wie viel kg Koffein in 100 kg Rohkaffee enthalten sind. [1P ] Seite 4
3. STEINSCHLEUDER (8 P) Hugo hat eine einfache Steinschleuder gebaut. Er schießt zur Überprüfung des Gerätes einen Stein vertikal nach oben. Der Stein steigt zunächst und fällt dann wegen der Erdanziehung wieder hinunter. Die vom Stein erreichte Höhe h ist von der Zeit t abhängig. Wenn die Abschusshöhe 1,7 m beträgt, kann die Höhe näherungsweise durch die folgende Funktion beschrieben werden: h(t) = -5t² + 15t + 1,7 h(t) Höhe zum Zeitpunkt t in Metern (m) t Zeitpunkt nach dem Abschuss in Sekunden (s) a) i) Zeichnen Sie in untenstehender Grafik die Tangente bei t = 2 s ein und lesen Sie den Anstieg ab. [1 P] ii) Interpretieren Sie den Wert des Anstieges im Sachzusammenhang. [1 P] b) i) Geben Sie eine Formel an, die die momentane Geschwindigkeit v für diesen Steinwurf in Abhängigkeit der Zeit t angibt. [1 P] ii) Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit v (in m/s) der Stein auf dem Boden auftrifft. [2 P] c) Erklären Sie, wie man die maximale Höhe h max die der Stein erreicht, berechnen kann. [1 P] d) i) Stellen Sie eine Formel auf, mit welcher die mittlere Geschwindigkeit v im Intervall [t1; t2] berechnet werden kann. [1 P] ii) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall [0s;1s] für diesen Wurf. [1 P] Seite 5
4. ARBEIT BERECHNEN (6 P) Der physikalische Begriff der Arbeit ist definiert durch das Produkt aus dem zurückgelegten Weg x (in Meter) mal der jeweiligen Kraft F (in Newton). Das Integral der Kraft = xx2 xx1 FF(xx)dddd ergibt die Arbeit W (in Joule). a) In der folgenden Grafik ist eine Kraftfunktion eingezeichnet. i) Bestimmen Sie die zwei Funktionsterme F 1 (x) im Intervall [0;10] und F 2 (x) im Intervall [10;20] für diese Kraftfunktion. [2 P] ii) Berechnen Sie die Arbeit W als Fläche unter dem gegebenen Funktionsgraphen im Intervall [0;20] und geben Sie diese in Kilojoule an. [2 P] b) Folgende Kraftfunktion ist gegeben. F(x) = 200 + 0,2 x² i) Geben Sie die Arbeit W als Funktion des zurückgelegten Weg x an. [1 P] ii) Berechnen Sie die Arbeit im Intervall [0;20]. [1 P] Seite 6
5. SCHLAFSÄCKE (9 P) Eine Firma produziert Schlafsäcke. a) Die Kosten können mit einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Wenn nur 150 Stück produziert werden, betragen die Produktionskosten 1515. Wenn die Firma 300 Stück produziert kostet sie das 2580. Die Fixkosten betragen 900. i) Erstellen Sie das Gleichungssystem, mit dem man die Koeffizienten dieser Kostenfunktion berechnen kann. [2 P] ii) Ermitteln Sie diese Kostenfunktion. [1 P] b) Die gesamten Produktionskosten einer Firma werden mit der Funktion. K(x) = 0,01x 2 + 2,6x + 900 beschrieben. Die sogenannte Stückkostenfunktion ist die Funktion, die beschreibt, wie sich die Stückkosten (Produktionskosten pro Menge) in Abhängigkeit von der Stückzahl ändern. i) Berechnen Sie die Stückkosten bei 400 produzierten Stück. [1 P] c) Der Verkaufspreis ändert sich mit der Nachfrage. Die Preisfunktion ist durch den Funktionsterm p(x) = - 0,01x + 32,6 gegeben. i) Berechnen Sie den Verkaufspreis bei 100 verkauften Stück. [1 P] ii) Ermitteln Sie die Gleichung der dieser Preisfunktion entsprechenden Erlösfunktion. [1 P] Seite 7
d) Die Grafik zeigt die Erlösfunktion E(x) und die Kostenfunktion K(x) i) Interpretieren Sie in diesem Sachzusammenhang die Bedeutung der Schnittpunkte der beiden Graphen. [1 P] ii) Skizzieren Sie in dieser Grafik den Graphen der Gewinnfunktion. [1 P] iii) Dokumentieren Sie, wie die Gewinnfunktion ermittelt werden kann. [1 P] Seite 8
6. ENERGYDRINKS (10 P) Die Firma Blue Horse erzeugt Energydrinks. a) Die Nennfüllmenge einer Dose beträgt 500 ml. Die tatsächliche Füllmenge ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 500 ml und der Standardabweichung σ = 9 ml. Gemäß der österreichischen Fertigpackungsverordnung darf die Nennfüllmenge um höchstens 3 % unterschritten werden. i) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig ausgewählte Dose zu wenig Inhalt hat. [1 P] ii) Markieren Sie die Fläche, die dieser Wahrscheinlichkeit in der nachstehenden Verteilungsfunktion entspricht. [1 P] b) Die Firma hat ein Pfandsystem eingeführt. Statistisch werden 95 % der leeren Dosen zurückgegeben. i) Interpretieren Sie die folgende Formel in diesem Zusammenhang 10 8 0,958 0,05 2 + 10 9 0,959 0,05 1 + 10 10 0,9510 0,05 0 [1 P] Seite 9
c) In der Marketingabteilung arbeiten 12 Personen. Ihr Alter in Jahren beträgt: 25, 27, 28, 30, 32, 32, 35, 36, 37, 41, 42, 47. i) Ermitteln Sie die Spannweite und den Interquartilsabstand des Alters. [1 P] ii) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung des Alters. [1 P] iii) Im Sommer arbeitet zusätzlich eine 16-jährige Ferialpraktikantin in der Abteilung. Wie ändern sich dadurch das arithmetische Mittel und die Standardabweichung des Alters? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an: Das arithmetische Mittel wird kleiner bleibt gleich wird größer Die Standardabweichung wird kleiner bleibt gleich wird größer [2 P] d) Zwei Personen aus der Abteilung werden zufällig für eine Fortbildung ausgewählt. Im folgenden Baumdiagramm sind die Wahrscheinlichkeiten dargestellt, dass es sich bei den ausgewählten Personen um Männer (M) oder Frauen (F) handelt. i) Lesen Sie aus dem Diagramm ab, wie viele Männer und Frauen in der Abteilung arbeiten. [1 P] ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Mann an der Fortbildung teilnimmt. [2 P] Seite 10