Übersicht Hohlleiter Vergleich: freie Wellen vs. Leitungswellen Ebene Welle im rechteckigen Hohlleiter "Geführte Wellenlänge" Übertragung von Signalen Moden Mathematische Herleitung (Rechteck) Aufteilung der Wellenzahl: Cutoff Rundhohlleiter Besselfunktionen Wellenausbreitung Allgemeine Bemerkungen Freie Wellen: Ebene Welle Lösung der Maxwell'schen Gleichungen Leitungswellen: "Drahtwellen", (Quasi-)TEM-Wellen Lösung der Leitungs-Gleichungen 1
Freie Wellen Vergleich Leitungswellen Feldtheorie Wellenimpedanz Nur Material Charakteristische Impedanz Geometrie und Material Frage: Warum bleibt das Feld der Leitungswellen bei den Drähten? (keine Abstrahlung) Antworten: 1. Dies ist eine Suggestivfrage. 2. Praktisch jede Leitung strahlt (ein bisschen). 3. Mathematische Antwort: Eigenwert-Problem mit unbekanntem EW 4. Falls TEM, dann nur ein EW! 2
Wann existieren TEM-Wellen? 1. Zylindrische, unendlich lange Struktur. 2. Mindestens zwei ideale, voneinander isolierte Leiter. 3. Dazwischen nur ein einziges Dielektrikum. 4. Achtung: Es gibt immer auch höhere Moden. 5. Für TEM-Moden gelten: Transversales E-Feld wie in der Statik. Beispiel: Kurvenreiche Eisenbahn Wo fliesst der Strom zurück? Transversales E-Feld wie in der Statik. Wenig Strom Viel Strom 3
Hohlleiter Es geht darum, elektromagnetische Wellen durch ein Rohr zu schicken Wie sieht das EM-Feld aus, wenn es sich durch ein (leitendes) Rohr zwängt? Ebene Welle im Hohlleiter Wellenvektor y z x H-Feld Feld unabhängig von y E-Feld (y-polarisiert) Seitenflächen: Weder E- noch H-Randbedingungen erfüllt! Boden-/Deckflächen: H-normal = 0 E-tangential = 0 4
Ebene Welle im Hohlleiter x y z Randbedingungen Boden-/Deckflächen: Seitenflächen: Superposition von zwei Wellen (E-Feld) neuer Wellenvektor, gleiche Polarisation x z (H-Feld) 5
Projizierte "Wellenlängen" Geführte Wellenlänge Stehende Welle Ausbreitungskonstante von oben Geschwindigkeiten frequenzabhängig Kathetensatz von Euklid: Photon 6
Frequenzabhängigkeiten 1 Übertragung von Signalen: immer mehrere Frequenzen Trägerfrequenz Signalfrequenz Amplitude 7
Übertragung von Signalen (2) Ausbreitung frequenzabhängig! Gruppengeschwindigkeit = Signalgeschwindigkeit Puls ist Überlagerung mehrerer Frequenzen Gruppe breitet sich aus wie ein einzelner Sinusbuckel Phase wandert im Puls nach vorne 8
Moden kein Mode möglich ein Mode möglich zwei Moden möglich Frequenz nimmt zu Allg. Bemerkungen zu Moden Moden nur ab minimaler Frequenz möglich Grenzfrequenz für einen Mode heisst Cutoff-Frequenz Verschiedene Moden haben unterschiedliches Feldbild im Querschnitt (z.b. mehr Nullstellen) Verschiedene Moden haben unterschiedliche Ausbreitungskonstanten Signale haben immer mehrere Frequenzen Dispersion unvermeidbar 9
Mathematische Herleitung der Moden Vektorielle Wellengleichung plus 5 formal identische Gleichungen Skalare Wellengleichung Entkopplung? Gleichungen für Funktionen mit nur einer Variable Partielle Differential- Gleichung Gewöhnliche Differential- Gleichung 10
Mathematische Herleitung der Moden Maxwell-Gleichungen Längs-Ausbreitung 3D-Ansatz: 2D-Helmholtz-Gleichung in der Querschnittsebene Mathematische Herleitung der Moden (2) Schwingungsgleichung (Analogie: eingespannte Membran) Hohlleiter hier senkrecht! oder 11
Mathematische Herleitung der Moden (3) Schwingungsgleichung liefert nur z-komponente! Einsetzen in Maxwell-Gleichungen alle Komp. Hohlleiterwelle relativ kompliziert, wenn alle Komponenten betrachtet werden. Hohlleiter hier senkrecht! Zur Charakterisierung nur einzelne Komponenten. Nur bei Ebener Welle! Hier: Nur 2 Typen von Randbedingungen H-Wellen (TE) E-Wellen (TM) 12
TE 10 TE 11 13
TM 21 Aufteilung der Wellenzahl auflösen nach 14
Cutoff Bedingung: TE: oder möglich TM: und kleinste Cutoff-Frequenz: nächste Cutoff-Frequenz abhängig von Subcutoff: imaginär Wegen Randbedingungen: Dämpfung!! 15
Rechteckige Hohlleiter Monomode-Bandbreite ist höchstens 2 : 1 = 2 Verluste nahe bei Cutoff gross: Praktische Monomode-Bandbreite ca. 2 : 1.2 = 1.67 Praktische Hohlleiter sind normiert und haben a : b = 2 Anregung der Moden mit speziellen Übergangsgliedern beliebiges Feld Maxwell - Mathematik - Moden transversaler Ortsvektor TM-Moden TE-Moden oder Skalare 2D-Helmholtz-Gleichung mit Eigenwerten Rechteck: 16
Mode Chart (Bild 4.9, S. 140) ba / 1 cutoff TE 11/TM 11 cutoff TE 01 0.5 0 0 cutoff TE 02 0.5 cutoff TE30 2/3 cutoff TE20 1 Monomodebereich cutoff TE10 1.5 2 0 /a niedrige Frequenzen Mathematische Herleitung der Moden: Rundhohlleiter Maxwell-Gleichungen Längs-Ausbreitung 3D-Ansatz: 2D-Helmholtz-Gleichung in der Querschnittsebene 17
Mathematische Herleitung der Moden: Rundhohlleiter (2) Schwingungsgleichung (Analogie: eingespannte Membran) Rundhohlleiter Radius 2R hier senkrecht! Darstellung der z-komponente! 2 Typen von Randbedingungen H-Wellen (TE) E-Wellen (TM) 18
Bestimmen von mit Randbedingung TM: Hohlleiterradius ist -te Nullstelle von Bestimmen von mit Randbedingung TE: ist -te Nullstelle von 19
Aufteilung der Wellenzahl in Quer- und Längsanteil nur im radialen Teil Erste Nullstellen der Besselfunktionen 1.84118 TE 11 2.40483 TM 01 3.05424 TE21 3.83171 TM,TE 4.20119 TE31 5.13562 TM21 5.31755 TE41 5.33144 TE12 5.52008 TM02 11 01 Monomode-Bandbreite Achtung: Moden-Nummerierung grundsätzlich anders als beim Rechteck. sehr unregelmässige Verteilung der Moden! 20