Versuch : Optische Abbildung mit dünnen Linsen, Brennweitenbestimmung 1. Aufgabenstellung Beobachtung des virtuellen und reellen Bildes Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse aus der Abbildungsgleichung Messung der Brennweite nach der Bessel-Methode. Untersuchung des Zonenfehlers (sphärische Aberration) und des Farbfehlers (chromatische Aberration) einer Sammellinse Statistische Auswertung einer Messreihe; Mittelwert und Standardabweichung. Literatur z.b.: Hering, Martin, Stohrer, Phsik für Ingenieure, Springer, Kap. 6..3.3, 6.4 Walcher, Praktikum der Phsik, Teubner, Kap. 4.1.0 4.1. Dobrinski, Krakau, Vogel, Phsik für Ingenieure, Teubner, Kap. 4.1..3 3. Grundlagen Siehe Literatur! Stichworte: Sammel- und Zerstreuungslinsen, optische Achse, Brennpunkt und Brennweite, dicke/dünne Linsen, Hauptebenen, Abbildung durch eine Sammellinse, Bildkonstruktion, Mittelpunkts- und Brennpunktsstrahl, virtuelles und reelles Bild, Abbildungsmaßstab, sphärische Aberration, chromatische Aberration 3.1 Optische Linsen 3.1.1 Strahlengang bei einer Sammellinse (Brennpunkte, Brennweite, Hauptpunkte) Ein durch die Linse laufender Lichtstrahl wird an der ersten und der zweiten Grenzfläche gebrochen. Ein Strahl durch den gegenstandseitigen n n Brennpunkt F verläuft nach der Brechung achsenparallel. Ein achsenparallel einfallender Strahl wird so gebrochen, dass er durch den bildseitigen Brennpunkt F läuft. Die zweimalige Brechung des Brennstrahls (Parallelstrahls) wird für die Bildkonstruktion durch eine einmalige Brechung an der Hauptebene H (H ) ersetzt (- - - F H H F ). Die Brennweite f (f ) ist Abstand der Brennpunkte F (F ) von den Hauptpunkten H (H ). f f Bei einer Linse, die auf beiden Seiten vom optisch gleichen Medium (Brechzahl n = n ) umgeben ist, sind bildseitige und gegenstandseitige Brennweiten (betragsmäßig) gleich ( f = f ). Die Brechkraft der Linse ist: D n = f D = dpt, 1dpt = 1m ). 1 (Einheit: Dioptrie (dpt) [ ] Phsiklabor HHN Versuch O 1 kr 14.04.011 S.1/5
3.1. Vorzeichenkonvention und Koordinatenssteme (DIN 1335) Abstände im Gegenstands- und Bildraum werden mit Hilfe der Punkte im Gegenstandsraum Bildraum Koordinatenssteme K H bzw. K H Koordinatensstem K H = {, a} K H = {, a } festgelegt. Die positive a- (a -) Nullpunkt in H H Achse zeigt dabei in Lichtrichtung (nach rechts). Für Punkte im Lichtrichtung Gegenstandsraum links (entgegen der Lichtrichtung) von H ist also a < 0! Auch für die bild- und gegenstandseitige Brennweite gilt damit: Bildseitige Brennweite: f > 0 Gegenstandseitige Brennw.: f < 0 Gegenstandsraum H a H a Bildraum Daneben werden auch die Koordinatenssteme K F = {, z} bzw. K F = {, z } verwendet, die ihren Nullpunkt im gegenstandseitigen Brennpunkt F bzw. bildseitigen Brennpunkt F haben. 3.1.3 Bildkonstruktion bei dünnen Linsen (in Luft, n = n = 1) Bei einer dünnen Linse kann bei Berechnungen die Dicke der Linse vernachlässigt werden und der Abstand der Hauptpunkte H u. H (Hauptebenen h, h ) wird Null. Die Linse kann dann durch eine Ebene dargestellt werden, durch die das Licht nur einmal gebrochen wird. Mit Hilfe der Brenn-, Parallel- und Mittelpunktstrahlen ist eine einfache Bildkonstruktion möglich: einlaufender Strahl auslaufender Strahl durch Brennpunkt F achsenparallel achsenparallel durch Brennpunkt F durch Linsenmitte ungebrochen, geradlinig Aus dem Strahlengang (vergl. Skizzen) erhält man die Abbildungsgleichung, mit der bei gegebener Brennweite f und Gegenstandsweite a die Bildweite a berechnet werden kann: 1 1 1 = + (Größen vorzeichenrichtig einsetzen - dann ist -a positiv!) f a a Der Abbildungsmaßstab β ist das Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße a (vorzeichenbehaftet!) : β = = Phsiklabor HHN Versuch O 1 kr 14.04.011 S./5
a) a > f ( a < f < 0) Alle von einem Gegenstandspunkt (P) ausgehenden Strahlen sind hinter der Linse konvergent. Sie treffen sich im Bildpunkt P bei a > 0 (reelles Bild). Abbildungsmaßstab: P a ( - ) F F β = a = < 0 (umgekehrtes Bild) a ( + ) P b) f > a ( f < a < 0) Die von einem Gegenstandspunkt P ausgehenden Strahlen sind hinter der Linse divergent. Sie scheinen von einem Bildpunkt P bei a < 0 auszugehen (virtuelles Bild). Abbildungsmaßstab: β = a = > 0 (aufrechtes Bild) P a ( - ) P F F a ( - ) 3. Brennweitenbestimmung aus Abbildungsgleichung Die Lage der Hauptebenen (bei dünnen Linsen liegen H u. H in der Linsenmitte) stimmt im allg. nicht mit der Mitte des Linsenreiters bzw. der Linsenfassung überein. Die einfache, direkte Messung der Bild- oder Gegenstandsweite wäre deshalb mit einem (unbekannten) sstematischen Fehler behaftet. Dieser Fehler wird vermieden, wenn die Position der Linse zweimal gemessen, der Linsenreiter für die zweite Messung um 180 verdreht und Mittelwert der zwei Messungen berechnet wird. 3.3 Brennweitenbestimmung nach der Bessel-Methode Bei der Bessel-Methode muss die Lage der Hauptebenen nicht bekannt sein. Hier entfällt die Drehung des Linsenreiters. Es wird (bei festem Abstand L zwischen Gegenstand und Bild) der Abstand d zwischen den Linsenstellungen mit vergrößerter und verkleinerter Abbildung gemessen. 1 1 1 Aus der Abbildungsgleichung ergibt sich für festes L mit a = L a : = + f a L a Daraus ergibt sich eine quadratische Gleichung mit den Lösungen (für vergr./verkl. Abb.): L ± L 4Lf a 1/ =. Aus der Differenz d = a a = L 4Lf 1 erhält man die Brennweite zu L d f =. 4L Phsiklabor HHN Versuch O 1 kr 14.04.011 S.3/5
4. Messprogramm Hochschule Heilbronn 4.1. Stellen Sie den Abstand (-a) zwischen Linse (Herstellerangabe: f = 150 mm) und Gegenstand (Dia À ) auf ca. 13.. 15 cm ein. Beobachten Sie das virtuelle Bild! Ist das Bild aufrecht/umgekehrt, vergrößert/verkleinert? Verkleinern Sie den Abstand Linse-Gegenstand wie verändert sich das Bild? 4.. Stellen Sie den Schirm im Abstand von ca. L 40 cm vom Gegenstand (Dia) auf. Verschieben Sie die Linse zwischen Gegenstand und Schirm. Ist es möglich, ein reelles Bild auf dem Schirm zu erzeugen? Ermitteln Sie den Abstand L min, d.h. den kleinsten Abstand, bei dem eine scharfe Abbildung noch möglich ist! Hinweis: L zunächst groß genug einstellen, L schrittweise verkleinern und Linse entsprechend nachstellen! Wie groß ist jetzt der Abbildungsmaßstab? Wie groß sind jetzt ungefähr (jeweils im Verhältnis zur Brennweite) die Gegenstandsweite ( ) a, die Bildweite a, der Abstand L min? 4.3. Weißes Licht Gegenstand : Dia konzentr. Kreise Abstand L 80 cm ( L 1 x messen!) Wahlweise: achsnahe Strahlen (Lochblende) oder volle Öffnung der Linse (keine Blende) Verschieben Sie die Linse, bis Sie eine scharfe vergrößerte (Fall I) bzw. verkleinerte (Fall II) Abbildung auf dem Schirm erhalten. Messen Sie den Abstand zwischen Linsenfassung und Gegenstand (I) bzw. Schirm (II). Drehen Sie den Linsenreiter um 180 und wiederholen Sie die Messung. Aus dem Mittelwert dieser Messungen ergibt sich die Gegenstandsweite ( ) a (I) bzw. die Bildweite a (II). Die Bild- (I) bzw. Gegenstandsweite (II) ergibt sich aus der Differenz zu L! Diese Messungen werden von jedem Teilnehmer 1 x bei vergrößertem (I) und 1 x bei verkleinertem Bild (II) durchgeführt! Aus dem Mittelwert Ihrer Messungen berechnen Sie mit Hilfe der Abbildungsgleichung sofort die Brennweite (für I und II)! 4.4. Brennweitenbestimmung mit der Bessel-Methode Achsnahe Strahlen (Lochblende) Weißes Licht Abstand L 75.. 95 cm (mindestens 5 versch. Werte) Messen Sie bei jedem Abstand L (mindestens) 5 x die Differenz d der beiden Linseneinstellungen für scharfe Abbildung (insges. also mindestens 5 L, d Wertepaare). 4.5. Messen Sie nach der Bessel-Methode die Brennweite für achsferne Strahlen (1 Messung pro Teilnehmer)! Achsferne Strahlen (Zonenblende) Weißes Licht Abstand L 70.. 80 cm (1 Wert) Bei Plankonvexlinse: Welche Seite (Planfläche/ konvexe Fläche) ist dem einfallenden Licht zugekehrt? 4.6. Messen Sie nach der Bessel-Methode die Brennweite für rotes und blaues Licht (jeweils mindestens 1 Messung pro Teilnehmer)! Achsnahe Strahlen (Lochblende) Rot- bzw. Blaufilter Phsiklabor HHN Versuch O 1 kr 14.04.011 S.4/5
5. Auswertung Hochschule Heilbronn 5.1 Zeichnen Sie den Strahlengang für die Entstehung eines virtuellen Bildes für zwei verschiedene Abstände (gleiche Gegenstandsgröße, eine gemeinsame Zeichnung!). Vergleichen Sie mit Ihren Beobachtungen (Afg. 4.1) und erklären Sie diese! 5. Zeichnen Sie den Strahlengang für die Entstehung eines reellen Bildes (für zwei verschiedene Abstände, analog zu 5.1). Wie groß ist theoretisch (im Verhältnis zur Brennweite) der kleinste Abstand L, bei dem eine scharfe Abbildung möglich ist? Vergleichen Sie mit Ihren Beobachtungen (Abbildungsmaßstab, Gegenstandsweite a, Bildweite a )! Welche Brennweite ergibt sich aus Ihrem gemessenen kleinsten L? 5.3 Berechnen Sie aus dem Mittelwert Ihrer Messungen zu 4.3 die Brennweite f (getrennt für vergrößerte und verkleinerte Abbildung; ergibt sich dabei der gleiche Wert?). Berechnen Sie aus der geschätzten Messgenauigkeit ihrer Mittelwerte für a (bzw. a ) und L die Messunsicherheit der Brennweite f! Vergleichen Sie Ihre Resultate mit der Herstellerangabe! 5.4 Berechnen Sie aus jedem L, d Wertepaar (Afg. 4.4) die Brennweite f. Berechnen Sie daraus Mittelwert, Standardabweichung s und Standardabweichung des Mittelwerts s m! Teilen Sie Ihre Messwerte in Klassen ein (Tabelle mit gewählten Klassengrenzen und Häufigkeit!). Stellen Sie Ihre Messwerte als Histogramm dar! Zeichnen Sie in das Diagramm auch den Mittelwert f sowie die Standardabweichung s (bzw. das Intervall [ f s, f + s] ein! Hinweis: Für Mittelwert und Standardabweichung gibt es z.b. in EXCEL fertige Funktionen! Wählen Sie für die Klassenbreite des Histogramms eine runde Zahl (z.b. 1 mm, 1,5 mm, ). Die N Messwerte sollten sich dabei auf ungefähr N Klassen verteilen. Achtung: Diagramm so anlegen, dass auch die Messwerte aus Afg. 4.5 u. 4.6 noch eingezeichnet werden können! Ein Beispiel finden Sie unten. Zeichnen Sie Ihr Diagramm von Hand auf mm-papier, das spart Zeit! 5.5 Berechnen Sie aus den Messwerten zu 4.5 die Brennweite für achsferne Strahlen! Zeichnen Sie diesen Wert ebenfalls in das Histogramm Brennweite (Bessel-Methode) 10 Diagramm ein. Wie groß 9 ist der Brennweitenunterschied 8 -s +s (in mm / in %) zwischen 7 achsnahen u. achsfernen Strahlen (sphärische 6 Aberration)? 5.6 Berechnen Sie die Brennweite für rotes/ blaues Licht. Zeichnen Sie diese Werte in das Diagramm ein. Wie groß ist der Brennweitenunterschied zwischen rotem u. blauem Licht (chromatische Aberration)? Anzahl 5 4 3 1 0 achsfern N=5 Std.Abw. s = 1,5 mm Mittelwert f' = (149,5 ± 0,3) mm 136 138 140 14 144 146 148 150 15 154 156 Brennweite f' /mm Phsiklabor HHN Versuch O 1 kr 14.04.011 S.5/5 blau Mittelwert rot