7. GV: Geometrische Optik

Physik Praktikum I: WS 2005/06 Protokoll zum Praktikum 7. GV: Geometrische Optik Protokollanten Jörg Mönnich - Anton Friesen - Betreuer Marcel Müller Versuchstag Dienstag, 24.01.2006

1 Geometrische Optik Einleitung Der größte Teil der geometrischen Optik wurde mit Bezug auf die Reflexion und Brechung an sphärischen Oberflächen (Kugeloberflächen) entwickelt. Manchmal sind hingegen auch asphärische (deformierte, nichtkugelförmige) Oberflächen beteiligt, auf welche in diesem Protokoll jedoch nicht weiter eingegangen wird. Linsen bestehen aus lichtdurchlässigen Materialien, die zumeist von zwei Kugeloberflächen begrenzt sind 1. Bei einer optischen Achse handelt es sich um eine Bezugslinie, die praktisch eine Symmetrieachse darstellt. Sie verläuft durch das Zentrum einer sphärischen Linse oder eines sphärischen Spiegels und durch das Krümmungszentrum. Wenn ein dünnes Strahlenbündel sich entlang der optischen Achse bewegt und auf die sphärische Oberfläche eines Spiegels oder einer dünnen Linse trifft, werden die Strahlen so reflektiert oder gebrochen, dass sie sich in einem Punkt auf der optischen Achse schneiden oder zu schneiden scheinen. Zur Bildkonstruktion werden drei Strahlen (s. auch Abb. 1) verwendet: 1. Der zur optischen Achse parallele Parallelstrahl, der so gebrochen wird, dass er durch den (bildseitigen) Brennpunkt geht. 2. Der durch die Linsenmitte verlaufende Mittelpunktsstrahl, der seine Richtung nicht verändert. 3. Der Brennpunktstrahl, welcher durch den (gegenstandsseitigen) Brennpunkt verläuft und zum Parallelstrahl wird. Abb. 1: Lichtbrechung einer Sammellinse 2 1, 2 Udo Werner, Praktikumsskript, S. 19

Durchführung 2 Bei idealen Linsen treffen sich diese Strahlen im zugehörigen Bildpunkt. Wichtige Kenngrößen sind die Gegenstandsgröße G, die Bildgröße B, die Gegenstandsweite g und die Bildweite b. Aus der obigen Bildkonstruktion kann folgende Beziehung für die Vergrößerung V hergeleitet werden: B b V = = (1.1) G g Ebenfalls kann aus Abb. 1 die Linsengleichung hergeleitet werden: 1 1 1 = + (1.2) f g b Bei dicken Linsen werden Berechnungen mit Bezug auf so genannte Hauptebenen anstelle der Linsenoberfläche angestellt. Eine Linse mit zwei unterschiedlichen Oberflächen kann zwei Brennweiten haben, je nachdem, auf welche Oberfläche das Licht zuerst trifft. Wenn sich ein Körper im Brennpunkt befindet, dann sind die von ihm ausgehenden Strahlen nach der Reflexion oder Brechung parallel zur optischen Achse. Wenn Strahlen durch eine Linse oder einen Spiegel konvergiert werden (konvergieren: zusammenlaufen), so dass sie sich davor schneiden, dann ist das Bild real und invertiert (auf dem Kopf stehend). Beim genau entgegen gesetzten Fall divergieren die Strahlen nach der Reflexion oder Brechung (divergieren: auseinander laufen), so dass sie von einem Punkt zu kommen scheinen, den sie in Wirklichkeit nicht durchlaufen haben. Das Bild ist dann aufrecht und wird als virtuell bezeichnet. Das Verhältnis der Höhe des Bildes zur Höhe des Gegenstandes wird als laterale Vergrößerung bezeichnet. Ein weiterer Punkt sind in der Realität auftretende Linsenfehler. Sphärische Linsen bilden einen Punkt nur dann als Punkt ab, wenn alle auftretenden Winkel klein sind. Dieser Effekt wird sphärische Aberration genannt. Ein ähnlicher Fehler tritt bei rot- bzw. blaufarbigen Licht auf. Dies liegt daran, dass der Brechungsindex von der Wellenlänge des Lichts abhängt. Energiereichere Strahlung (kürzere Wellenlänge/blau) wird hierbei stärker gebrochen als energiearme Strahlung (langwelliger/rot). Somit hängt auch die Brennweite von der Farbe des Lichts ab. Diesen Effekt nennt man chromatische Aberration.

3 Geometrische Optik Vorbereitung 1. Anwendbarkeit des idealisierten Modells Das idealisierte Modell der geometrischen Optik ist nur bis zu einer bestimmten Linsengröße anwendbar. Wird die Linse sehr klein, kommt es zu Interferenzbildern. 2. Verifizierung von Formel 1.1 Die Vergrößerung ist definiert als Verhältnis zwischen Bildgröße und Gegenstand, also V und B) B =. Nun nutzt man, dass für den Winkel φ (zwischen 2 G b g tanϕ =, sowie für φ (den Winkel zwischen 2 und G) tan ϕ ' = gilt. B G Da aber (wegen Winkelsumme = 180 ) φ = φ ist, erhält man auch tan φ = tan φ und damit b = g. Umgestellt ergibt sich B = b und damit erhält man für B G G g B b die Vergrößerung V = =. G g Durchführung In diesem Teil werden die durchgeführten Schritte nur beschrieben. Die genauen Methoden zur Versuchsdurchführung können dem Skript (S. 19-25) entnommen werden Versuch A: Bestimmung der Brennweite einer dünnen Linse Der Versuch wurde wie im Skript beschrieben aufgebaut und nach Justierung der optischen Elemente wurden für mehrere Abstände g die Bildweite b gemessen. Mittels Linsengleichung (1.2) wurde im Anschluss die Brennweite f der Linse bestimmt. Die gemessenen Werte sowie die ermittelten Brennweiten sind in Tabelle A1 aufgeführt. Der Fehler für f wurde nach f f f = ( b) + ( g) b g b g f = ( ) + ( ( b+ g) ( b+ g) b g)

Durchführung 4 berechnet. Für g wurde ein Fehler von 0,1 cm angenommen, für b wurde der Fehler auf 1,0 cm geschätzt, da es manchmal nicht eindeutig war, an welchem Punkt das abgebildete Bild als scharf zu bezeichnen war. Tab. A1: Gemessene Werte und berechnete Brennweiten g [mm] b [mm] f [mm] f [mm] 470,0 ± 1 340,0 ± 10 197,3 1,79 410,5 ± 1 379,5 ± 10 197,,32 368,5 ± 1 361,5 ± 10 182,5 2,47 408,0 ± 1 332,0 ± 10 183,1 2,04 372,0 ± 1 338,0 ± 10 177,1 2,28 Mittelwert - - 187,4 2,18 Aus dem Mittelwert der bestimmten Brennweiten berechnet sich eine Brennweite von (187 ± 2,2) mm. Der Aufgedruckte Wert war 200 mm. Die ermittelte Brennweite liegt demnach selbst mit Fehler unter dem angegebenen Wert. Der wahrscheinlichste Grund hierfür wäre, dass die schärfste Einstellung des Bildes nicht getroffen wurde. Versuch B: Verifizierung der Linsengleichung In diesem Versuchsteil sollte wiederum die Brennweite einer Linse (mit angegebenem f = 100 mm) bestimmt werden, diesmal allerdings graphisch mit Hilfe des Schnittpunktes mehrerer Graden. Im Koordinatensystem wurde g als x- und b als y-achse gewählt. Nun wurden die durch die Messung erhaltenen Wertepaare (g i b i ) als durch Graden verbunden Punkte (0 b i ) und (g i 0) ein. Es ergeben sich i Graden mit den Gleichungen: b i y = x+ bi gi Durch Einsetzen von f für x unter Berücksichtigung der Linsengleichung erhält man durch Umformung: 2 b b bg b b( b + g) bg y = f + b = + b = + = = f. g g b+ g b+ g b+ g b+ g Dies ist der mathematische Beweis, dass alle Geraden durch den Punkt (f f) gehen müssen und somit die graphische Auftragung eine geeignete Methode zur Brennweitenbestimmung ist.

5 Geometrische Optik In Tabelle B1 sind die wie in Versuchsteil A aufgenommenen Werte für g und b aufgeführt. Die Fehler für g und b wurden aus Teil A übernommen. Tab. B1: Messwerte für g und b; Berechnung von f g [mm] b [mm] f [mm] 651 ± 1 117 ± 10 99,18 ± 0,76 619 ± 1 118 ± 10 99,11 ± 0,75 540 ± 1 121 ± 10 98,85 ± 0,75 490 ± 1 122 ± 10 97,68 ± 0,75 377 ± 1 132 ± 10 97,77 ± 0,87 Mittelwert: 98,52 ± 0,78 Die Auftragung von b gegen g mit den erhaltenen Werten ergab folgendes Diagramm: 660 600 540 480 Bildweite b i [mm] 420 360 300 240 180 120 60 0 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 Gegenstandsweite g i [mm] Diagramm B1: Auftragung b gegen g Bis auf eine treffen alle Geraden in einem Punkt zusammen. Unerwartet ist jedoch, dass sich mit dem Einzeichnen der Winkelhalbierenden (gestrichelt) kein Quadrat ergibt und man folglich keine Brennweite ermitteln kann. Es bleibt also nur die Bestimmung über den in Versuchsteil A angewandten Weg. Da die ermittelten Werte

Durchführung 6 (s. Tab. B1) nur leicht vom aufgedruckten Wert abweichen, muss eine Erklärung ausbleiben. Versuch C: Hauptebenen und Brennweite eines Linsensystems Das so genannte Verfahren von Abbe kann benutzt werden, um die Hauptebenen eines Linsensystems zu bestimmen. Es beruht auf der Messung des Abbildungsmaßstabes V (s. Formel 1.1). Mit der Linsengleichung erhält man: 1 g = f 1+ V und b = f (1 + V ). (Für b, g und f nimmt man nun den Abstand zur entsprechenden Hauptebene.) Da die Hauptebenen erst noch zu bestimmen sind, nimmt man sich daher zunächst einen Referenzpunkt und bestimmt die Abstände g 0 und b 0 relativ dazu. Setzt man nun h und h 0 für die Abstände vom Referenzpunkt zu den Hauptebenen, so gilt: 1 g' = g + h = f 1+ h V + b' = b+ h' = f (1 + V) + h' (1.3) Nach Zusammenstellung von zwei Linsen (f = +100 mm und f = -100 mm) wurden g und b gemessen. Zusätzlich wurden die Gegenstandsgröße G und Bildgröße vermessen. Die Werte sind in Tabelle C1 dargestellt. Der Fehler für V berechnete sich nach: 1 B V = B + 2 G G G Tab. C1: Ermittelte Werte für g, b und G und B zur Berechnung von V g [cm] b [cm] G [cm] B [cm] V 51,3 ± 0,1 19,6 ± 1 3,0 ± 0,1 2,4 ± 0,1 0,80 ± 0,04 48,0 ± 0,1 21,2 ± 1 3,0 ± 0,1 2,4 ± 0,1 0,80 ± 0,04 45,0 ± 0,1 23,8 ± 1 3,0 ± 0,1 2,8 ± 0,1 0,93 ± 0,05 42,0 ± 0,1 25,6 ± 1 3,0 ± 0,1 3,3 ± 0,1 1,10 ± 0,05 39,0 ± 0,1 29,5 ± 1 3,0 ± 0,1 4,1 ± 0,1 1,37 ± 0,06 In nachfolgender Tabelle (Tab. C2) sind die zur späteren Auftragung nötigen Werte für (1+V) und (1+ 1 V ) aufgeführt.

7 Geometrische Optik Die Fehler für 1 V berechneten sich nach: 1 G 1 G G = = B 2 V B + B B Tab. C2: Ermittelte (1+V) und (1+ 1 V ) (1+V) (1+ 1 V ) 1,80 ± 0,04 2,25 ± 0,07 1,80 ± 0,04 2,25 ± 0,07 1,93 ± 0,05 2,08 ± 0,05 2,10 ± 0,05 1,91 ± 0,04 2,37 ± 0,06 1,73 ± 0,03 Nun wurden g gegen (1 + 1 V ) und b gegen (1 + V) aufgetragen. Die einzutragenden Fehlerbalken sind zu klein, um aussagekräftig dargestellt zu werden. 53 51 y = 20,727x + 2,6938 49 47 g' [cm] 45 43 41 39 37 35 1,7 1,8 1,9,1 2,,3 (1 + 1/V) Diagramm C1: Auftragung g gegen (1+ 1 ) V

Durchführung 8 31 29 y = 15,742x - 7,544 27 25 b' in [cm] 23 21 19 17 15 1,7 1,8 1,9,1 2,,3 2,4 2,5 (1 + V) Diagramm C2: Auftragung b gegen (1 + V) Nach Formel 1.3 können nun f, h und h direkt aus den Geraden (bzw. dem angezeigten Wert der Regressionsgeraden) abgelesen werden. Die Werte sind: h = 2,7 h -7,5 f (20,7 + 15,7)/2 18,2 cm Versuch D: Untersuchung der chromatischen und sphärischen Abberation Im letzten Versuchsteil sollen die chromatische und die sphärische Aberration bestimmt werden. Diese ergeben sich durch Linsenfehler. Unter chromatischer Aberration versteht man die Abhängigkeit der Brechung von der Wellenlänge des gebrochenen Lichtes. Für rotes Licht liegt zum Beispiel der Brennpunkt weiter von der Linse entfernt als für blaues Licht. Unter sphärischer Aberration versteht man die Abhängigkeit der Brechung von der Entfernung des einfallenden Lichtstrahls von der optischen Achse. Der Brennpunkt für achsennäher einfallendes Licht liegt zum Beispiel weiter von der Linse entfernt als der Brennpunkt für achsenferner einfallendes Licht. Es wurden für rotes und für blaues Licht (durch Filter erzeugt) für verschiedene Abstände a>4f der Abstand der Linsenstellungen gemessen, welche sich ergeben, wenn man die beiden möglichen scharfen Bilder (einmal vergrößert und einmal

9 Geometrische Optik verkleinert) einstellt. Dabei wurde eine Messreihe für rotes Licht mit abgedecktem Linsenrand, eine für rotes Licht mit abgedeckter innerer Linsenzone und eine für blaues licht mit abgedecktem Linsenrand, um die sphärische und chromatische Aberration zu untersuchen. Mit der Formel a e f = 4a wurde die Brennweite berechnet und der Fehler nach Gauß mit berechnet. 2 e a + f e e = 2 2a + a 4a 2 Es ergab sich folgende Messreihe: Tab. D1: Messreihe mit monochromatischem Licht und Zonenblenden Rotes Licht mit abgeschirmtem Randbereich der Linse a [mm] e [mm] f [mm] 720 ± 5 295 ± 5 149,78 ± 1,07 690 ± 5 236 ± 5 152,32 ± 0,90 660 ± 5 206 ± 5 148,93 ± 0,83 Ø: 150,34 ± 0,93 Rotes Licht mit abgeschirmtem Zentralbereich der Linse 720 ± 5 330 ± 5 142,19 ± 1,19 690 ± 5 291 ± 5 141,82 ± 1,10 660 ± 5 248 ± 5 141,70 ± 0,98 Ø: 141,90 ± 1,09 Blaues Licht mit abgeschirmtem Randbereich der Linse 720 ± 5 301 ± 5 148,54 ± 1,09 690 ± 5 257 ± 5 148,57 ± 0,97 660 ± 5 206 ± 5 148,93 ± 0,83 Ø: 148,68 ± 0,96 Man erkennt an den Messwerten für gleiche Zonenabdeckung und unterschiedlichem Licht den erwarteten Effekt, dass die Brennweite bei rotem Licht größer ist als bei blauem Licht. Allerdings ist dieser Unterschied in der Brennweite nur sehr gering und liegt auch nicht außerhalb des entsprechenden Fehlerbereichs. Hingegen ist der Effekt bei der sphärischen Aberration sehr deutlich. Man erkennt an den Messwerten für gleiches Licht und unterschiedlicher Abdeckung eine um 5,6% geringere

Durchführung 10 Brennweite für achsenferner einfallendes Licht als für achsennäher einfallendes Licht. Quellen: a. Udo Werner, Praktikumsskript, 2005 b. Dorn-Bader, Physik - Mittelstufe, 1982 c. Tipler-Mosca, Physik, 2004 d. Gerthsen, Physik, 1995