Elementare Funktionen

8 Elementare Funktionen 8. Polynome und rationale Funktionen Polynome und rationale Funktionen haben die angenehme Eigenschaft, dass man ihre Funktionswerte leicht, nämlich nur unter Verwendung der Grundrechenoperationen +,,,/, berechnen kann. Das sind aber die einzigen Operationen, die ein Computer von sich aus beherrscht! Mehr muss er aber zum Glück auch nicht können, denn alle komplizierteren Funktionen werden einfach durch Polynome approximiert. Definition 8. Eine Funktion f : R R der Form n f(x) = a j x j = a n x n + a n x n +...+ a x + a 0 j=0 mit n N {0} heißt (reelles) Polynom. Die reellen Zahlen a 0, a,..., a n werden die Koeffizienten des Polynoms genannt. Unter der Voraussetzung a n 0 nennt man n =deg(f) den Grad (engl. degree) des Polynoms. Der Grad ist also der größte vorkommende Exponent. In diesem Zusammenhang nennt man a n auch den höchsten Koeffizienten. Ein Polynom mit a n = heißt (auf eins) normiert. Auch die identisch verschwindende Funktion, f(x) =0für alle x R, kannals Polynom aufgefasst werden. Diesem Polynom ordnet man den Grad zu. Beispiel 8.2 Polynome Welche der folgenden Funktionen sind Polynome? Bestimmen Sie gegebenenfalls dengraddespolynoms. a) f (x) =3x 7 +5x b) f 2 (x) =4(x )(x +3) c)f 3 (x) =4 d) f 4 (x) = 3x 2 +4 e)f 5 (x) =x 3 + x 2 f) f 6 (x) = x x 2 Lösung zu 8.2 a) f (x) ist ein Polynom vom Grad 7. b) Durch Ausmultiplizieren erhalten wir f 2 (x) =4x 2 +8x 2. f 2 (x) ist also ein Polynom vom Grad 2.

2 8 Elementare Funktionen c) Die konstante Funktion f 3 (x) =4 x 0 ist ein Polynom vom Grad 0. d) f 4 (x) ist ein Polynom vom Grad 2. Sie haben wegen des Koeffizienten 3 gezögert? Er macht keine Probleme, denn die Koeffizienten a j eines Polynoms können beliebige reelle Zahlen sein. e) f 5 (x) ist kein Polynom, denn hier kommt x 2 = x vor (ein Polynom hat nur nichtnegative ganzzahlige Exponenten). f) f 6 (x) ist kein Polynom, weil es sich nicht in der Form a n x n + a n x n +...+ a x + a 0 schreiben lässt. Die Summe p(x)+q(x) und das Produkt p(x)q(x) von zwei Polynomen p(x) undq(x) sind wieder Polynome. Jedoch ergibt die Division zweier Polynome nicht unbedingt wieder ein Polynom, wie wir in Beispiel 8.2 f) gesehen haben. Im Allgemeinen entsteht dadurch eine rationale Funktion: Definition 8.3 Eine Funktion, die der Quotient p(x) q(x) zweier Polynome p(x) und q(x) ist,heißtrationale Funktion. Eine rationale Funktion ist nur für jene x definiert, für die das Nennerpolynom q(x) 0 ist. Das war auch bei den ganzen Zahlen so. Summe und Produkt von ganzen Zahlen sind wieder ganze Zahlen, bei der Division einer ganzen Zahl durch eine andere ergibt sich im Allgemeinen eine rationale Zahl. Wir wollen uns nun einige Polynome genauer ansehen. Ein Polynom vom Grad 0, f(x) =c mit c R, heißt auch konstante Funktion. Sie nimmt für jedes Argument x denselben Funktionswert f(x) =c an. Abbildung 8. zeigt die konstante Funktion f(x) =2. 4 3 2-2 - 2 Abbildung 8.. Konstante Funktion f(x) = 2. Besonders wichtig sind Polynome vom Grad, oft geschrieben als f(x) =kx+ d mit k, d R. Der Funktionsgraph eines solchen Polynoms ist eine Gerade. Welche anschauliche Bedeutung haben k und d? Für zwei beliebige Stellen x und x 2 ist k = f(x 2) f(x ) x 2 x = Δy Δx = vertikale Differenz horizontale Differenz

8. Polynome und rationale Funktionen 3 und heißt die Steigung der Geraden. Ist k>0, so ist die Gerade streng monoton wachsend, ist k<0, dann ist sie streng monoton fallend. Für k =0habenwires mit einer konstanten Funktion zu tun. Der Koeffizient d ist der Funktionswert an der Stelle x =0,alsod = f(0). Abbildung 8.2 zeigt die Gerade f(x) = 2x +. Wie sieht im Vergleich dazu die Gerade g(x) = 2 x +aus? 2.5 0.5-2 - 2 Abbildung 8.2. Gerade f(x) = 2 x +. Polynome vom Grad werden oft auch als lineare Funktionen bezeichnet. Streng genommen ist die Bezeichnung lineare Funktion aber nur für Geraden der Form f(x) =kx, also wenn die Gerade durch den Ursprung geht, richtig. (Vergleiche auch Abschnitt Lineare Abbildungen in Band.) Beispiel 8.4 Lineare Interpolation a) Bestimmen Sie die Gerade g, diedurchg(2) = 2 und g(4) = 3 bestimmt ist. b) Von einer Funktion f sind zwei Funktionswerte f(a) undf(b) bekannt. Finden Sie eine Formel für die Gerade g, die an den beiden Stellen a und b mit f übereinstimmt. Lösung zu 8.4 a) Es ist g(x) =kx+d. Um die Steigung k zu berechnen, werten wir den Quotienten vertikale Differenz/horizontale Differenz an den beiden gegebenen Punkten aus: k = g(4) g(2) 4 2 = 2.Umd zu berechnen, brauchen wir nun nur noch einen Punkt zu kennen, z. B. g(2) = 2: 2 = g(2) = 2k + d =2 2 + d, und damit folgt d =. Somit lautet die gesuchte Gerade g(x) = 2 x+. Sie ist in Abbildung 8.2 dargestellt. b) Wieder setzen wir g(x) = kx + d an. Die Steigung k ist wieder vertikale Differenz/horizontale Differenz an den beiden gegebenen Punkten, also k = f(b) f(a) b a.nunmüssen wir noch d berechnen. Wieder verwenden wir, dass wir den Funktionswert von g an der Stelle a kennen: Aus g(a) =ka + d = f(a) folgt damit d = f(a) a f(b) f(a) b a und daher insgesamt g(x) =f(a)+ f(b) f(a) (x a) =f(b) x a b a b a + f(a)b x b a. Zwei Punkte legen also eine Gerade eindeutig fest. Polynome vom Grad 2,

4 8 Elementare Funktionen f(x) =a 2 x 2 + a x + a 0 mit a 0,a,a 2 R,a 2 0, werden auch quadratische Funktionen genannt. Ihre Funktionsgraphen sind Parabeln. Welche Bedeutung haben die Koeffizienten? Ist a 2 > 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet, für a 2 < 0 ist sie nach unten geöffnet. Ist der Koeffizient a = 0, so liegt die Parabel spiegelsymmetrisch zur y-achse. Abbildung 8.3 zeigt die Parabeln f(x) = 3 x2 2x +4 und g(x) = 3 x2.beig verschwinden der lineare Term und der konstante Term (d.h., a =0unda 0 = 0), daher liegt die Parabel symmetrisch zur y-achse und der Scheitel der Parabel liegt im Koordinatenursprung. Beide Parabeln sind nach oben geöffnet. Zeichnen Sie zum Vergleich die Parabel h(x) = x 2! f x g x 5 5 0 0 5 5-4 -2 2 4 6 8 0-6 -4-2 2 4 6 Abbildung 8.3. Parabeln f(x) = 3 x2 2x + 4 und g(x) = 3 x2. Polynome vom Grad 3, also f(x) =a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a 0 mit a 0,a,a 2,a 3 R,a 3 0, heißen kubische Funktionen. Ista 3 > 0, so verläuft der Funktionsgraph von links unten nach rechts oben, ist a 3 < 0, so verläuft der Funktionsgraph von links oben nach rechts unten. Er ist aber nicht notwendigerweise monoton wachsend bzw. fallend! Abbildung 8.4 zeigt zwei typische Beispiele. Zeichnen Sie zum Vergleich die kubische Funktion h(x) = x 3..5 f x g x 4 2 0.5-2 - 2 - -0.5 0.5-0.5-2 - -4 Abbildung 8.4. Kubische Funktionen f(x) = 25 x3 3 5 x2 + 4 x und g(x) =x3. Kubische Funktionen werden in der Wirtschaftsmathematik oft als Modelle für Kostenfunktionen verwendet. Dabei bedeuten x (eingeschränkt auf x > 0) die Produktionsmenge und y = f(x) die zugehörigen Produktionskosten. Nun wollen wir uns überlegen, welche Eigenschaften Polynome haben (vergleiche Abschnitt Funktionen in Band ). Jede Gerade (mit Steigung k 0)wächst über alle Schranken, ebenso jede Parabel und jede kubische Funktion. Allgemein gilt:

8. Polynome und rationale Funktionen 5 Satz 8.5 Jedes nichtkonstante Polynom ist unbeschränkt. Das heißt, man kann keine zwei Geraden parallel zur x-achse (Schranken) finden, sodass der Funktionsgraph des Polynoms ganz zwischen ihnen verläuft. Beispiel: Die Parabel f(x) = 3 x2 2x +4= 3 x2 ( 6 x + 2 x 2 )verhält sich für betragsmäßig große x wie die Parabel g(x) = 3 x2 in dem Sinn, dass der Ausdruck in der Klammer beliebig nahe bei liegt, wenn x groß wird. Da g unbeschränkt ist,muss auch f unbeschränkt sein. Kommen wir nun zu den Nullstellen von Polynomen. Wir erinnern uns: Definition 8.6 Eine Stelle x 0,anderf(x 0 ) = 0 ist, heißt Nullstelle der Funktion f. Nullstellen sind also Schnittstellen oder Berührungsstellen des Funktionsgraphen mit der x-achse. Eine Funktion kann, muss aber keine Nullstellen haben. Ein Polynom vom Grad hat immer eine Nullstelle (klar, denn eine Gerade schneidet die x-achse immer irgendwo). Die Nullstellen eines Polynoms vom Grad 2 sind die Lösungen x,x 2 der quadratischen Gleichung x 2 + px + q =0(man kann jede quadratische Gleichung a 2 x 2 + a x + a 0 =0mita 2 0aufdieseForm bringen, indem man beide Seiten durch a 2 dividiert): x,2 = p 2 ± (p 2) 2 q. Je nachdem, welches Vorzeichen der Ausdruck unter der Wurzel hat, ergeben sich zwei, eine oder keine reellen Nullstellen: Für p 2 4q >0 gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen; für p 2 4q = 0 fallen beide reellen Nullstellen zusammen; ist p 2 4q < 0, so gibt es keine reellen, aber zwei zueinander konjugiert komplexe Nullstellen (siehe Abbildung 8.5). 3 2 -.5 - -0.5 0.5.5 - Abbildung 8.5. Die Parabeln x 2, x 2 und x 2 +. Der Trick, mit dem die Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung gezeigt wird, ist auch in vielen anderen Situationen nützlich. Die Idee ist, x 2 +px+q =0quadratisch zu ergänzen. Dazu addieren wir ( p 2 )2 q auf beiden Seiten von x 2 + px + q = 0. Das ergibt (x + p 2 )2 =( p 2 )2 q. Nun brauchen wir nur noch die Wurzel auf beiden Seiten zu ziehen und nach x aufzulösen, und schon steht die Formel da. Auch für die Nullstellen eines Polynoms vom Grad 3 und 4 gibt es Lösungsformeln (Cardano sche Formeln). Meist wird das aber schon zu mühsam und man greift lieber

6 8 Elementare Funktionen auf den Computer zurück. Ab dem Grad 5 ist eine allgemeine Lösung nicht mehr möglich und man muss sich mit numerischen Näherungsverfahren (z. B. Newton- Verfahren) begnügen. Gerolamo Cardano, 50 576, hat als erster die allgemeine Lösungsformel für Polynome dritten und vierten Grades in seinem Werk Ars Magna veröffentlicht. Wesentliche Hinweise hat er wohl von Niccolò Fontana Tartaglia, 499 557, erhalten, der wiederum die Formel möglicherweise von Scipione del Ferro (ca. 465 526) erfahren hat. Da dieses Wissen damals wie ein Schatz gehandelt und geheim gehalten wurde, lässt sich die genaue Urheberschaft nicht mit Sicherheit feststellen. Das hat damals zu einem heftigen Streit zwischen Cardano und Tartaglia geführt. Beispiel 8.7 ( CAS) Nullstellen von Polynomen Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen: a) f(x) =x 2 +3x 4 b) g(x) =4x 2 4x + c)h(x) =x 2 4x +5 d) Berechnen Sie die Nullstellen von k(x) =x 3 7x 2 +7x. Lösung zu 8.7 a) Wir müssen die quadratische Gleichung x 2 +3x 4=0lösen. Wir erhalten mithilfe der Lösungsformel x,2 = 3 9 2 ± 4 +4, also die Nullstellen x =undx 2 = 4. Der Funktionsgraph schneidet die x-achse an diesen beiden Nullstellen. b) Wir dividieren 4x 2 4x + = 0 durch 4 und erhalten x 2 x + 4 = 0. Daraus liefert die obige Lösungsformel x,2 = 2 ± 4 4, g hat also nur die eine Nullstelle x = 2. Der Graph von g berührt die x-achse bei x = 2. c) x 2 4x +5=0hatdieLösungen x,2 =2± 4 5, also x =2+iundx 2 =2 i. Es gibt also keine reelle Nullstelle. Der Funktionsgraph schneidet weder noch berührt er die x-achse. d) Wie oben erwähnt gibt es zwar eine Formel für die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades, aber manchmal kann man auch eine Nullstelle erraten. Hier zum Beispiel x =. Nun können wir unser Polynom faktorisieren, k(x) = (x )(x 2 6x + ) (wie das geht, werden wir gleich sehen). Da die Nullstellen eines Produktes genau dort liegen, wo die Faktoren Nullstellen haben, brauchen wir nur noch die Nullstellen von x 2 6x + zu berechnen: x 2 =3 2 2=0.7, x 3 =3+2 2=5.83. Der Graph von k schneidet die x-achse an den drei Stellen x =, 0.7 und 5.83. Im Beispiel 8.7 d) konnten wir das Polynom als Produkt von Polynomen kleineren Grades schreiben. Diese Faktorisierung hat uns die Nullstellensuche entscheidend

8. Polynome und rationale Funktionen 7 vereinfacht, denn wir mussten nur noch nach den Nullstellen der Faktoren suchen. Wie beim Rechnen mit natürlichen Zahlen kann man zwei Polynome dividieren, um zu einer Faktorisierung zu gelangen. Wie bei der Division natürlicher Zahlen bleibt dabei im Allgemeinen ein Rest. Dividieren wir p(x) durchq(x) auf folgende Weise: Seien nx mx p(x) = a j x j und q(x) = b j x j, j=0 j=0 wobei m n (m, n sind die Grade der Polynome). Wenn wir nun k = n m und c k = an b m berechnen, so ist r k (x) =p(x) c k x k q(x) ein Polynom vom Grad höchstens n (dac k gerade so definiert ist, dass sich die Koeffizienten von x n wegheben). Nun können wir dieses Verfahren wiederholen, bis zuletzt ein Restpolynom r(x) zurückbleibt, dessen Grad kleiner als der Grad von q(x) ist: p(x) = c k x k q(x)+r k (x). = (c k x k + + c 0 )q(x)+r(x). Diese Überlegung an einem Beispiel veranschaulicht: p(x) =3x 4 + x 3 2x und q(x) =x 2 +: die Graddifferenz ist k =4 2=2.Esistc 2 = a 4 b 2 = 3 = 3, also r 2(x) =p(x) 3x 2 q(x) = 3x 4 + x 3 2x 3x 2 (x 2 +) = x 3 3x 2 2x. Nun kann man dieses Restpolynom wieder durch q(x) dividieren, usw., bis der Grad des Restpolynoms kleiner ist als der Grad von q. Satz 8.8 (Polynomdivision) Sind p(x) und q(x) Polynome mit deg(q) deg(p), dann gibt es Polynome s(x) undr(x), sodass p(x) =s(x)q(x)+r(x). Der Grad von s(x) ist die Differenz deg(s) =deg(p) deg(q), und der Grad des Restpolynoms r(x) ist kleiner als der des Polynoms q(x): deg(r) < deg(q). Wenn r(x) = 0 für alle x, dann ist p(x) = s(x)q(x) und wir sprechen von einer Faktorisierung von p(x). Mit der Hand wird bei der Polynomdivision der Übersicht halber nach einem Schema vorgegangen: Beispiel 8.9 ( CAS) Polynomdivision Berechnen Sie (3x 4 + x 3 2x) :(x 2 +). Lösung zu 8.9 Wir schreiben (3x 4 + x 3 2x) :(x 2 +)= an und gehen ähnlich wie bei der Division zweier Zahlen vor: Womit muss die höchste Potenz von q(x), also x 2, multipliziert werden, um auf die höchste Potenz von p(x), also 3x 4, zu kommen? Die Antwort 3x 2 wird rechts neben das Gleichheitszeichen geschrieben. Dann wird das Polynom (x 2 +) mit 3x 2 multipliziert, das Ergebnis 3x 4 +3x 2 wird unter (3x 4 + x 3 2x) geschrieben und davon abgezogen. Es bleibt der Rest x 3 3x 2 2x, mit ihm verfährt man gleich weiter:

8 8 Elementare Funktionen (3x 4 +x 3 2x ):(x 2 +)=3x 2 + x 3 3x 4 +3x 2 x 3 3x 2 2x x 3 x 3x 2 3x 3x 2 3 3x +3 Wir brechen ab, da das Restpolynom 3x + 3 kleineren Grad hat als q(x) =x 2 +. Somit ist der Quotient s(x) =3x 2 + x 3 und der Rest ist r(x) = 3x +3. Das Polynom p(x) =3x 4 +x 3 2x kann also in der Form p(x) =(x 2 +)(3x 2 +x 3) 3x+3 geschrieben werden. Es gilt insbesondere: Satz 8.0 Sei x R (oder C). Das Polynom p(x) lässt sich genau dann ohne Rest durch den Linearfaktor q(x) =x x dividieren, also wenn x eine Nullstelle von p(x) ist. p(x) =s(x)(x x ), Warum? Dass x eine Nullstelle von p(x) = s(x)(x x ) ist, ist klar. Umgekehrt ist für eine Nullstelle x zu zeigen, dass der Rest verschwindet, wenn wir p(x) durchx x dividieren: Nun, der Rest r(x) =p(x) s(x)(x x ) der Polynomdivision p(x) durchx x ist hier vom Grad kleiner, also eine konstante Funktion. Wie sieht der (immer gleiche) Funktionswert aus? Sehen wir ihn uns an der Nullstelle x von p an: r(x) =r(x )=p(x ) s(x )(x x ) = 0. Also ist r(x) = 0für alle x. Wenn wir auch komplexe Nullstellen zulassen, so können wir jedes Polynom vollständig faktorisieren, d.h. ohne Rest als ein Produkt von Linearfaktoren schreiben: Satz 8. (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom p(x) vom Grad n N (mit reellen oder sogar mit komplexen Koeffizienten) kann in der Form p(x) =a n n j= (x x j )=a n (x x ) (x x n ) geschrieben werden, wobei x,...,x n die (nicht notwendigerweise verschiedenen) komplexen Nullstellen von p(x) sind. In diesem Sinn hat ein Polynom vom Grad n genau n Nullstellen. Tritt in diesem Produkt ein Linearfaktor k-mal auf, so heißt k die Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle. Im folgenden Beispiel sehen wir, dass der Grad des Polynoms gleich der Anzahl der Nullstellen ist, wenn wir sie entsprechend ihrer Vielfachheit zählen und auch komplexe Nullstellen zulassen:

8. Polynome und rationale Funktionen 9 Beispiel 8.2 Fundamentalsatz der Algebra a) Das Polynom p(x) =(x 4)(x 5) 2 hat die Nullstellen 4 und 5. Die Nullstelle 4 hat die Vielfachheit, die Nullstelle 5 hat die Vielfachheit 2. In diesem Sinn hat p die drei Nullstellen 4, 5, 5 (und Grad 3). b) Das Polynom p(x) =(x 4)(x 2 + ) hat die reelle Nullstelle 4 und die zwei zueinander konjugiert komplexen Nullstellen +i und i. Es kann daher noch weiter in die Form p(x) =(x 4)(x +i)(x i) zerlegt werden. Dass im letzten Beispiel die beiden Nullstellen i und i zueinander konjugiert komplex waren, ist kein Zufall: Satz 8.3 Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten treten allfällige komplexe Nullstellen immer in komplex konjugierten Paaren auf. Das heißt: Für jede komplexe Nullstelle z 0 = x 0 +iy 0 ist auch die konjugiert komplexe Zahl z 0 = x 0 iy 0 eine Nullstelle. Außerdem können zwei konjugiert komplexe Linearfaktoren immer zu einem reellen quadratischen Faktor zusammenfasst werden: (x z 0 )(x z 0 )=x 2 2x 0 x + x 2 0 + y 2 0. Das haben wir auch im Beispiel 8.2 b) gesehen: (x i)(x+i) = x 2 +. Das Produkt der beiden komplexen Linearfaktoren ergab also ein Polynom vom Grad 2 mit reellen Koeffizienten. Warum ist mit z 0 C auch z 0 eine Nullstelle? Hat p(x) reelle Koeffizienten, so gilt nach den Rechenregeln für die Konjugation p(x) =( P a j x j )= P (a j x j )= P a j (x j )= P a j (x) j = p(x) (a j reell impliziert ja a j = a j ). Damit folgt aus 0 = p(z 0 ) durch Konjugieren 0 = p(z 0 )=p(z 0 ). Daraus folgt: Jedes reelle Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle. Das heißt, dass ein Polynom ungeraden Grades die x-achse mindestens einmal schneidet. Denken Sie im einfachsten Fall an eine Gerade. Beschäftigen wir uns als Nächstes mit rationalen Funktionen.Istbeieinerratio- nalen Funktion p(x) q(x) der Grad von p größer oder gleich wie der von q, soerhaltenwir durch Polynomdivision die Darstellung p(x) q(x) = s(x)+r(x) q(x), eine rationale Funktion mit Zählergrad kleiner wobei s(x) ein Polynom und r(x) q(x) Nennergrad ist. Das Polynom s(x) wird in diesem Zusammenhang als asymptotische Näherung von p(x) p(x) q(x) bezeichnet, weil sich q(x) gegen oder x gegen ) mehr und mehr an s(x) anschmiegt. für große Werte von x (d.h. x Beispiel 8.4 Asymptotisches Verhalten einer rationalen Funktion Wie verhält sich die Funktion für x gegen ±? a) f(x) = x2 x 2 + b) g(x) = x3 + x 2 + x x 2

0 8 Elementare Funktionen Lösung zu 8.4 a) Der Grad des Zählerpolynoms p(x) =x 2 ist gleich dem des Nennerpolynoms q(x) =x 2 +. Polynomdivision von p(x) durchq(x) ergibtx 2 = (x 2 +) 2 bzw. x 2 x 2 + = 2 x 2 +. 2 Diese Funktion verhält sich für große Werte von x wie s(x) = (denn x 2 + geht dann gegen 0). Sie ist in Abbildung 8.6 dargestellt. b) Nach Polynomdivision erhalten wir x 3 + x 2 + x x 2 = x ++ 2x x 2. Die Funktion verhält sich also asymptotisch wie die Gerade s(x) = x +. Sie ist in Abbildung 8.6 dargestellt. f x g x 0.5 0 5-6 -4-2 2 4 6-0.5-4 -2 2 4-5 -0 - Abbildung 8.6. Rationale Funktionen f(x) = x2 x 2 + und g(x) = x3 +x 2 +x x 2. Im Beispiel 8.4 b) sehen wir eine weitere Eigenschaft, die eine rationale Funktion besitzen kann: Bei Annäherung von x an die Stellen x = undx = wachsen die Funktionswerte über alle Schranken: Definition 8.5 Eine Stelle x 0 heißt Polstelle einer rationalen Funktion f(x) = p(x) q(x), falls die Funktion f bei x 0 unbeschränkt ist. Man sagt, dass die Funktionswerte dort gegen bzw. gehen. Dass f bei x 0 unbeschränkt ist, soll bedeuten, dass f auf jedem noch so kleinen Intervall (x 0 ε, x 0 + ε) unbeschränkt ist. Wie finden wir die Polstellen einer rationalen Funktion? Ganz einfach. Wir bestimmen die Nullstellen des Nenners und überprüfen, ob dort gleichzeitig auch eine Nullstelle des Zählers vorliegt: Satz 8.6 Die rationale Funktion p(x) q(x) hat bei x 0 R eine Polstelle, wenn entweder q(x 0 )=0undp(x 0 ) 0(dasheißt,x 0 ist Nullstelle des Nenners, nicht aber des Zählers) oder q(x 0 )=0undp(x 0 ) = 0 und die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners ist größer als jene des Zählers.

8. Polynome und rationale Funktionen Beispiel 8.7 Polstellen Finden Sie die Polstellen der Funktion: a) f(x) = 4x x 2 b) g(x) = x + x 2 Lösung zu 8.7 Abbildung 8.7 zeigt die beiden rationalen Funktionen. a) Die Nullstellen des Nennerpolynoms x 2 sindbeix = ±. Hier ist das Zählerpolynom ungleich null. Damit hat f(x) = 4 x x 2 Polstellen an x = und x =. b) Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind wieder x = ± (jeweils Vielfachheit ). Das Zählerpolynom hat die Nullstelle x = mit Vielfachheit. Damit ist nur x = + eine Polstelle von g(x) = x+ x 2. g ist zwar an beiden Stellen x = undx = nicht definiert, hier gehen die Funktionswerte aber nur bei Annäherung an x = gegen + bzw.. BeiAnnäherung an x = verhalten sich die Funktionswerte nicht irgendwie auffällig. Der Grund dafür ist, dass bei x = auchdaszählerpolynom eine Nullstelle hat, die die Nullstelle des Nenners aufhebt : x+ g(x) = (x+)(x ) = für x. Hier wurden Zähler und Nenner durch den gemeinsamen x Linearfaktor x + gekürzt. f x g x 0 5 0 5-6 -4-2 2 4 6-5 -0-4 -2 2 4-5 -0 Abbildung 8.7. Rationale Funktionen f(x) = 4x x+ und g(x) =. x 2 x 2 Zerlegt man eine rationale Funktion f(x) = p(x) q(x) als f(x) =s(x) + r(x) mit deg(r) < deg(q), so q(x) kann man für den Teil r(x) eine so genannte Partialbruchzerlegung durchführen. Der Ansatz q(x) für die Partialbruchzerlegung hängt davon ab, ob die Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) alle verschieden sind oder ob es mehrfache Nullstellen gibt: Sind alle Nullstellen von q(x) = Q n j= (x x j) verschieden, so gibt es eine Zerlegung in der Form r(x) n q(x) = X a j. x x j= j Die Koeffizienten a j müssen durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden: Zum Beispiel können wir f(x) = x(x ) als x(x ) = a x + a 2 x ansetzen. Multiplizieren wir auf beiden Seiten mit q(x) = x(x ), so folgt =a (x ) + a 2 x = a +(a 2 + a )x. Koeffizientenvergleich liefert a =unda 2 + a = 0. Also a =, a 2 =unddamithabenwir die Partialbruchzerlegung x(x ) = x + x.

2 8 Elementare Funktionen Tritt eine Nullstelle x j k-fach auf, so müssen für sie bei der Partialbruchzerlegung k Brüche folgendermaßen angesetzt werden: a a 2 + x x j (x x j ) 2 + + a k (x x j ) k. x 2 (x ) Beispiel: f(x) = machen wir folgenden Ansatz: hateinedoppelte(x = 0) und eine einfache (x = ) Nullstelle, daher x 2 (x ) = a x + a 2 x 2 + a 3 x. Die ersten beiden Brüche stammen dabei von der doppelten Nullstelle. Koeffizientenvergleich von =a x(x ) + a 2 (x ) + a 3 x 2 = a 2 +(a 2 a )x +(a + a 3 )x 2, liefert a 2 =,a 2 a =0,a + a 3 = 0. Also a =, a 2 =, a 3 =unddamit x 2 (x ) = x + x 2 + x. 8.. Anwendung: Interpolation Da ein Computer nur die Grundrechenoperationen beherrscht, können die meisten Funktionen am Computer nicht direkt, sondern nur näherungsweise berechnet werden (insbesondere Sinus, Kosinus oder die Exponentialfunktion, die wir in den nächsten Abschnitten besprechen werden). Die Lösung ist nun, wie schon eingangs erwähnt, sie durch Polynome anzunähern. Von sin(x) kennt man zum Beispiel die Werte sin(0) = sin(π) =0,sin( π 2 )=. Wir könnten versuchen, sin(x) durch ein Polynom zu approximieren, das genau durch diese Punkte geht. Mit etwas Probieren ist es nicht schwer folgendes Polynom zu finden, das durch alle drei Punkte geht: P 2 (x) = 4 x(π x). π2 Wie finden wir dieses Polynom? Aufgrund der Nullstellen x = 0 und x 2 = π ist klar, dass sich das Polynom in der Form P 2 (x) =ax(x π) mit Parameter a faktorisieren lässt. Der Wert des Parameters a folgt aus der Forderung, dass P 2 ( π 2 )=a π 2 ( π π) gleich sein muss. 2 Zeichnen wir beide Funktionen mit dem Computer, so sehen wir, dass sich (auf dem Intervall [0,π]) eine recht gute Übereinstimmung ergibt. P 2 (x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, deren Nullstellen mit jenen von sin(x) auf diesem Intervall übereinstimmen. Ebenso stimmen die Funktionswerte von sin(x) undparabelander Stelle π 2 überein. 0.8 0.6 0.4 0.2 Π 2 Π

8. Polynome und rationale Funktionen 3 Außerhalb des Intervalls [0,π]nähert die Parabel P 2 (x) die Funktion sin(x) natürlich nicht mehr an. Unsere Hoffnung ist nun, durch Hinzunahme weiterer Punkte, an denen sin(x) und das Näherungspolynom übereinstimmen sollen, eine noch bessere Näherung auf einem gewünschten Intervall zu erreichen. Dafür wird es aber notwendig sein, ein Polynom entsprechend hohen Grades zu nehmen, denn wir haben gerade gesehen, dass durch die Vorgabe von 3 Punkten das Polynom vom Grad 2 (die Parabel) eindeutig festgelegt war. Allgemein steht man in der Praxis oft vor der Situation, dass man Punkte (x j,y j ), auch Stützpunkte genannt, vorgegeben hat (z. B. Messwerte), und ein Polynom P (x) sucht,dasp (x j )=y j erfüllt. Sind n + Punkte vorgegeben, so folgt aus dem Fundamentalsatz der Algebra, dass es höchstens ein Polynom vom Grad n geben kann, das durch diese Punkte geht. Mit anderen Worten: n + Punkte legen ein Polynom vom Grad n eindeutig fest. Demnach ist eine Gerade durch 2 Punkte, eine Parabel durch 3 Punkte usw. eindeutig festgelegt. Warum? Die Aussage ist klar für n = 0: Ein Polynom vom Grad 0 (also eine konstante Funktion) ist eindeutig durch einen einzigen Punkt festgelegt. Wie sieht es im Fall n aus: Angenommen, es gäbe zwei Polynome p(x) und q(x) vomgradn, die an n + Stellen übereinstimmen: p(x i )=q(x i )für verschiedene Stellen (reell oder komplex) x,...,x n+. Dann ist ihre Differenz p(x) q(x) ein Polynom vom Grad n (oder niedriger), das (mindestens) an diesen n + Stellen Nullstellen hat. Ein Polynom vom Grad n N kann nun aber nach dem Fundamentalsatz der Algebra maximal n Nullstellen haben. Also muss die Differenz das Nullpolynom sein, p(x) q(x) =0 für alle x, d.h., beide Polynome sind gleich. Die Frage ist nun, ob es ein solches Polynom überhaupt gibt und wie wir es finden können. Diese Aufgabe, durch vorgegebene Punkte ein Polynom zu legen, heißt Interpolationsproblem. Versuchen wir, das Interpolationsproblem zu lösen. Wenn nur ein Punkt (x 0,y 0 ) vorgegeben ist, so ist dadurch ein Polynom vom Grad 0 eindeutig festgelegt: P 0 (x) =y 0 ist dann das gesuchte Polynom. Geben wir nun einen weiteren Punkt (x,y )vor (natürlich mit x x 0 ;-) und suchen nach einem Polynom vom Grad. Wenn wir es in der Form P (x) =y 0 + k (x x 0 ) mit Parameter k ansetzen, dann ist damit schon einmal garantiert, dass es durch (x 0,y 0 )geht(überzeugen Sie sich davon, indem Sie P (x 0 ) auswerten!). Den Parameter k finden wir durch die Forderung y = P (x )=y 0 + k (x x 0 ). Auflösen nach k ergibt k = y y0 x x 0 und damit erhalten wir das Polynom P (x) =y 0 + y y 0 x x 0 (x x 0 ), das wie gewünscht durch die beiden vorgegebenen Punkte geht. Nun ahnen Sie vielleicht schon, wie es weiter geht. Wir setzen P 2 (x) =P (x)+k 2 (x x 0 )(x x ) an und bestimmen k 2 aus y 2 = P 2 (x 2 )=P (x 2 )+k 2 (x 2 x 0 )(x 2 x ). Allgemein erhält man folgenden Algorithmus, der das Interpolationsproblem löst:

4 8 Elementare Funktionen Satz 8.8 Zu vorgegebenen Stützpunkten (x j,y j ), 0 j n, gibt es genau ein Interpolationspolynom P n (x) vom Grad höchstens n, dasp (x j )=y j erfüllt. Es kann rekursiv über ermittelt werden. P 0 (x) = y 0 P k+ (x) = P k (x)+(y k+ P k (x k+ )) k x x j x k+ x j j=0 Es gibt noch andere Algorithmen um P n(x) zu berechnen. Da P n(x) nach Satz 8.8 eindeutig ist, liefern sie natürlich alle das gleiche Ergebnis. Obiger Algorithmus hat den Vorteil, dass er leicht implementiert werden kann und recht effektiv ist. Beispiel 8.9 Interpolationspolynom Bestimmen Sie das Polynom vom Grad 2, das durch die Punkte (0, ), (2, 3) und (3, 0) geht. Lösung zu 8.9 Wir bestimmen zunächst das Polynom vom Grad 0 (also das konstante Polynom), das durch den Punkt (0, ) geht: P 0 (x) =. Damit berechnen wir das Polynom vom Grad (die Gerade), das durch die Punkte (0, ) und (2, 3) geht: P (x) =P 0 (x)+(y P 0 (x )) x x 0 =+(3 ) x 0 x x 0 2 0 =+x. Mit diesem Polynom wiederum ermitteln wir das Polynom vom Grad 2, das durch alle drei gegebenen Punkte geht: P 2 (x) = x x 0 x x P (x)+(y 2 P (x 2 )) = x 2 x 0 x 2 x = +x +(0 4) x 0 3 0 x 2 3 2 = 4 3 x2 + 3 x +. Das ist das gesuchte Interpolationspolynom (eine Parabel). Nachdem wir nun wissen, wie wir zu gegebenen Stützpunkten das zugehörige Interpolationspolynom finden, stellt sich als Nächstes die Frage, ob durch Erhöhung der Anzahl der Stützpunkte eine immer bessere Übereinstimmung mit einer vorgegebenen Funktion f(x) erreicht werden kann. Ob also zum Beispiel sin(x) durch Vorgabe von mehr als 3 Punkten auf dem Intervall [0,π] besser angenähert wird. Im Fall von sin(x) ist das tatsächlich so: Man kann zeigen, dass bei gleichmäßig verteilten Stützpunkten der maximale Fehler zwischen sin(x) und dem Interpolationspolynom im Intervall [0,π] kleiner 0 8 ist: max P 0(x) sin(x) < 0 8. x [0,π]

8. Polynome und rationale Funktionen 5 Leider wird aber im Allgemeinen die Güte der Approximation durch eine Erhöhung der Stützpunkteanzahl nicht unbedingt besser, zumindest nicht, wenn man die Stützstellen gleichmäßig verteilt. Zum Beispiel macht die Funktion f(x) = +25x 2 Probleme (Phänomen von Runge). Zeichnen wir f(x) und das zu den 3 im Intervall [, ] gleichmäßig verteilten Stützstellen gehörige Interpolationspolynom vom Grad 2 ( CAS), so erleben wir eine Überraschung (Abbildung 8.8). Das Interpo- - -0.5 0.5 - -2-3 Abbildung 8.8. Phänomen von Runge lationspolynom weist am Rand starke Oszillationen auf und stimmt daher nicht mit unserer Funktion überein. Das Verhalten kann zwar etwas verbessert werden, wenn wir die Stützstellen am Rand dichter als in der Mitte wählen (Tschebyscheff Interpolation, benannt nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyscheff, 82 894), aber das prinzipielle Problem bleibt. Es kann gezeigt werden, dass jede stetige Funktion auf einem Intervall [a, b] beliebig genau durch Polynome approximiert werden kann (Approximationssatz von Weierstraß, nach dem deutschen Mathematiker Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 85 897). Wie aber bei vorgegebenem Grad das Polynom mit dem kleinsten Fehler (d.h., die größte Abweichung max x [a,b] f(x) P n(x) soll so klein wie möglich sein) gefunden werden kann, ist ein kompliziertes Problem. (Eine stetige Funktion ist im Wesentlichen eine Funktion ohne Sprünge ; die exakte Definition werden wir in Kapitel 9 kennen lernen.) Deshalb verwendet man in der Praxis meist stückweise Polynome von kleinem Grad (meist 3). Jedes Polynom lebt dabei auf einem der Intervalle (x j,x j+ ), und benachbarte Polynome werden an den Randpunkten (die genau die Stützpunkte sind) möglichst glatt (also so, dass keine Ecken entstehen) zusammengeklebt. Dieses Verfahren ist unter dem Namen Splines bekannt. Wir werden bei der Differentialrechnung in Abschnitt 9.3. darauf zurückkommen. 8..2 Anwendung: Verteilte Geheimnisse Angenommen, Sie möchten ein Geheimnis, das als eine Zahl s gegeben ist, auf n Personen verteilen. Dann könnten Sie wie folgt vorgehen (Shamir s Secret Sharing): Adi Shamir (geb. 953) ist ein israelischer Kryptologe, der viele wichtige Beiträge zur modernen Kryptographie geleistet hat. Unter anderem ist er einer der drei Erfinder des RSA-Verschlüsselungsalgorithmus.

6 8 Elementare Funktionen Sie wählen ein Polynom p(x) =a 0 +a x+ +a n x n vom Grad n mita 0 = s und zufälligen restlichen Koeffizienten a k, k n. Nun verteilen Sie die Funktionswerte y k = p(k), k n, andien Personen, die sich das Geheimnis teilen sollen. Alle zusammen können mittels Interpolation aus den Wertepaaren (k, y k ), k n, das Polynom p(x) und damit das Geheimnis s = p(0) rekonstruieren. Fehlt auch nur eine Person, so ist die Rekonstruktion nicht möglich. Was passiert, wenn nur ein Teil der Personen verfügbar ist? Können wir ein Geheimnis auch so verteilen, dass r Personen ausreichen um das Geheimnis zu rekonstruieren (mit einem zuvor festgelegten r n), nicht aber weniger Personen? Auch das ist möglich: Dazu wählt man ein Polynom vom Grad r und verteilt n r Funktionswerte y k = p(k), k n. Da ein Polynom vom Grad r durchr beliebige Wertepaare eindeutig bestimmt ist, können beliebige r der n Teilgeheimnis- Besitzer das Polynom (und damit das Geheimnis) rekonstruieren. Das Ganze funktioniert natürlich nicht nur mit reellwertigen Polynomen, sondern man kann R durch einen beliebigen Körper ersetzen. In der Praxis verwendet man dabei meist endliche Körper. 8.2 Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Erinnern Sie sich an folgende Schreibweisen für n N und a R a n = a... a }{{} n Faktoren, a 0 = (a 0), a n = a n (a 0), a n = n a (a 0). Man bezeichnet dabei a n als die n-tepotenzvona und nennt a die Basis und n den Exponent. Beispiele:5 3 =5 5 5, 5 0 =,5 = 5 oder 5 3 = 3 5. Für rationale Exponenten haben wir a n m =(a m ) n =( m a) n für m N,n Z,a>0 definiert. Beispiel: 5 2 3 =(5 3 ) 2 =( 3 5) 2. Diese Definition wird auf irrationale Exponenten erweitert, indem wir einen irrationalen Exponenten durch eine Folge von rationalen Exponenten annähern. Beispiel: 2 π wird je nach gewünschter Genauigkeit durch eine der rationalen Zahlen 2 3.4,2 3.4,2 3.45,... angenähert. (Die Folge der rationalen Exponenten 3.4, 3.4, 3.45,... konvergiert dabei gegen π.) Auch erinnern wir an folgende Regeln: Satz 8.20 (Rechenregeln für Potenzen) Für a, b > 0undx, y R gilt: a x a y = a x+y, a x b x =(a b) x, (a x ) y = a (x y), a x = a x. Beispiele: 4 4 3 =4 2,2 3 5 3 =0 3,(5 2 ) 6 =5 3. Je nachdem, ob wir bei einer Potenz a b die Zahl a oder die Zahl b als veränderlich auffassen, sprechen wir von einer Potenzfunktion oder von einer Exponentialfunktion:

http://www.springer.com/978-3-540-7245-3