Vorstellung der Aufgabe 6.2 HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN STOCHASTIK DIDAKTIK SS 2010 Binomialkoeffizient Philip Denkovski Philipp Reichert Wolfram Troeder
Aufgabenstellung Wie viel No-Shows es weltweit gibt, ist nicht bekannt. Aber es müssen viele Millionen sein, denn allein bei der Lufthansa erschienen 2006 rund 4,7 Millionen Passagiere nicht auf ihren gebuchten Flügen, das sind circa 8,2 Prozent aller gebuchten Gäste und entspricht 12 700 leeren Jumbos. http://www.focus.de/reisen/fliegen/tid-8118/ueberbuchungen aid 145401.html. Zugri ff: 11.06.2010, 8.15 Uhr Nutzen Sie diese Vorlage f r den Unterricht zum Thema Binomialverteilung. Setzen Sie die Kenntnis der Binomialverteilung voraus und legen Sie den Schwerpunkt auf den Aspekt Modellbildung und Interpretation der Ergebnisse.
Schüleraufgabenstellung (1) Stell dir vor, du fliegst mit deiner Familie mit einem Jumbo der Lufthansa in den Urlaub. Sicher hast du schon einmal bemerkt, dass nicht alle Plätze im Flugzeug besetzt sind obwohl es angeblich ausgebucht sein soll. Dieses nicht erscheinen nennt man auch no-show. Wie viel No-Shows es weltweit gibt, ist nicht bekannt. Aber es müssen viele Millionen sein, denn allein bei der Lufthansa erschienen 2006 rund 4,7 Millionen Passagiere nicht auf ihren gebuchten Flügen, das sind circa 8,2 Prozent aller gebuchten Gäste und entspricht 12 700 leeren Jumbos. http://www.focus.de/reisen/iegen/tid-8118/ueberbuchungen aid 145401.html. Zugri_: 11.06.2010, 8.15 Uhr
MBK nach Bloom (1) Modellbildungskreislauf (MBK) nach Bloom...Forderung durchgesetzt, dass Schüler befähigt werden sollten, sich umfassender mit Anwendungssituationen auseinanderzusetzen, diese mathematischen Lösungen zugänglich zu machen und die erlangten Lösungen kritisch in den Ausgangssituationen zu situationen zu interpretieren. Diese Aspekte sind dem Kompetenzbereich Modellieren (in den interpretieren. Diese Aspekte sind dem Kompetenzbereich Modellieren (in den Bildungsstandards und Rahmenlehrplänen) zuzuordnen.
MBK nach Bloom (2) MBK bietet die Möglichkeit: - Anwendungssituationen geeignet zu reduzieren/abstrahieren, sodass mit den vorhandenen mathematischen Mitteln (Werkzeugen) eine Beschreibung/Bearbeitung möglich ist - Lösung des Problems im vereinfachten mathematischen Modell -Rückübertragung auf die reale Situation, Validierung der Lösung
MBK nach Bloom (3) Kreislauf beim Modellieren (a) Idealisierung (b) Modelluntersuchung (c) - Mathematisieurung (d) - Rückinterpretation
Schüleraufgabenstellung (2) a) Wie viele Plätze hat ein Jumbo? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle Plätze besetzt? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint genau ein Fluggast nicht? d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzen nur vier Leute in dem Flugzeug? e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bist du mit deiner Familie allein? Bilde ein Verhältnis zu d). f) Erstelle eine graphische Auswertung mit CAS für die Besetzung des Flugzeugs!
MBK nach Bloom (4) Anwendung des MBK auf die gestellten Aufgaben zur Binomialverteilung: (a) alle Menschen entscheiden sich unabhängig voneinander zu kommen bzw. nicht - Unabhängigkeit der Ereignisse alle Menschen nehmen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ihrem Flug wahr
MBK nach Bloom (5) (b) Übertragung der Größen auf die Mathematik: n: Anzahl der Personen im Flugzeug, die im Flugzeug Platz hätten k: Anzahl der Personen, die gebucht haben, aber den Flug nicht wahrnehmen p: Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person ihren Flug nicht wahrnimmt 1-p: Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person ihren Flug wahrnimmt N-k: Anzahl der Personen im Flugzeug P(X=k): Wahrscheinlichkeit, dass genau k Personen ihren Flug nicht wahrnehmen Diese Größen führen zur Lösung des Problems mit Hilfe der Binomialverteilung
MBK nach Bloom (6) (c) Berechnung der gestellten Probleme im mathematischen Modell der Binomialverteilung (d) Übertragung der Lösung aus dem mathematischen Sachverhalt auf die reale Situation, Rückinterpretation Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau k Personen ihren Flug nicht wahrgenommen haben beträgt P(X=k).
Lösung a) Die Anzahl der Passagiere lässt sich mit einer Verhältnisgleichung lösen. a...anzahl der fehlenden Passagiere b...anzahl der leeren Jumbos c...anzahl der Passagiere in einem Jumbo d...ein Jumbo Daher: a=4700000 b=12700 a b = c d 4700000 => => 12700 = c 1 Ein Jumbo hat 370 Sitzplätze. c 370
Lösung b) Anwendung des Binomialkoeffizienten. n=370 k=0 p=0,082 B n ; p ; k = n k pk 1 p n k => B 370 ;0,082;0 =6 10 14 Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Fluggast fehlt, ist sehr gering.
Lösung c) Anwendung des Binomialkoeffizienten. n=370 k=1 p=0,082 B n ; p ; k = n k pk 1 p n k => B 370 ;0,082;1 =9,7 10 13 Die Wahrscheinlichkeit, dass nur ein Fluggast fehlt, ist sehr gering. Aber zehnmal größer als, dass kein Fluggast fehlt.
Lösung d) Anwendung des Binomialkoeffizienten. n=370 k=366 p=0,082 B n ; p ; k = n k pk 1 p n k => B 370 ;0,082;366 0 Die Wahrscheinlichkeit, dass nur vier Fluggäste mitfliegen, ist so gering, dass man dies kaum mehr berechnen kann.
Lösung e) (1) Für die Lösung von e kann man die Besonderheit des Binomialkoeffizienten ausnutzen. Der Vorfaktor n k ist nämlich die Permutation von k aus n Elementen. Wir suchen aber nur eine Einzige. Damit erhalten wir: P e = p k 1 p n k Da Ansonsten die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben folgt: P e P d = 4! 366! =1,3 10 9 370!
Lösung e) (2) Dadurch, dass die Wahrscheinlichkeit noch einmal um 10 9 kleiner ist, wird die Familie wohl kaum allein im Flugzeug sitzen.
Lösung f) (1) Erstellen einer Wertetabelle mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Werte in einem Graphen darstellen lassen.
Lösung f) (2)